Числа и вычисления

Итоговый тест по модулю «Числа и вычисления»: сравнение рациональных чисел и координатная прямая, правила знаков и порядок действий, удобные вычисления, проценты, делимость и НОК, пропорциональность. Задания — как в ВПР за 7 класс и в заданиях 6–7 ОГЭ. Эти вычисления нужны в каждой теме алгебры и в жизни: цены и скидки, расписания, отрицательные температуры и долги. 10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются. После ответа в разборе есть ссылка на урок, где тему можно повторить.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений об этом числе верно?[[image-1]][[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/z8xmnc3cakp0.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$a+2>0$","$a+3>0$","$2-a<0$","$-a<0$","$a^2<4$"],"explanations":["Точка $a$ левее $-2$, значит, $a<-2$ и $a+2<0$. Например, при $a=-2{,}4$ получаем $a+2=-0{,}4$.","","Число $a$ отрицательное, поэтому $-a>0$ и $2-a=2+(-a)>2$. Вычесть отрицательное — значит прибавить положительное.","Минус перед буквой не делает число отрицательным. Число $a$ отрицательное, поэтому противоположное ему число $-a$ положительное.","Точка $a$ дальше от нуля, чем $-2$, поэтому $a^2>4$. Например, $(-2{,}4)^2=5{,}76$."],"answer":[1]}},"hints":["Найдите, между какими целыми числами стоит точка $a$, и проверьте каждое утверждение для любого числа из этого промежутка.","Точка $a$ стоит между $-3$ и $-2$: $-3<a<-2$. Возьмите для проверки, например, $a=-2{,}5$.","При $a=-2{,}5$: $a+2=-0{,}5$, $a+3=0{,}5$, $2-a=4{,}5$, $-a=2{,}5$, $a^2=6{,}25$.","Верно утверждение $a+3>0$."],"explanation":"$-3<a<-2$. Тогда $a+3$ лежит между $0$ и $1$ и положительно, а $a+2$ отрицательно. Число $a$ отрицательное, поэтому $-a>0$ и $2-a>0$. До нуля от $a$ больше $2$, поэтому $a^2>4$. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/raczionalnye-chisla/polozhitelnye-i-otriczatelnye-chisla-koordinaty/polozhitelnye-i-otriczatelnye-chisla/\">«Положительные и отрицательные числа»</a>.","step":1},{"id":"1","content":"На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений об этом числе верно?[[image-2]][[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/gnsmdq55eoqy.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$a+3>0$","$3-a<0$","$a+4>0$","$a^2<9$","$-a<0$"],"explanations":["Точка $a$ левее $-3$, значит, $a<-3$ и $a+3<0$. Например, при $a=-3{,}6$ получаем $a+3=-0{,}6$.","Число $a$ отрицательное, поэтому $-a>0$ и $3-a=3+(-a)>3$. Вычесть отрицательное — значит прибавить положительное.","","Точка $a$ дальше от нуля, чем $-3$, поэтому $a^2>9$. Например, $(-3{,}6)^2=12{,}96$.","Минус перед буквой не делает число отрицательным. Число $a$ отрицательное, поэтому противоположное ему число $-a$ положительное."],"answer":[2]}},"hints":["Найдите, между какими целыми числами стоит точка $a$, и проверьте каждое утверждение для любого числа из этого промежутка.","Точка $a$ стоит между $-4$ и $-3$: $-4<a<-3$. Возьмите для проверки, например, $a=-3{,}5$.","При $a=-3{,}5$: $a+3=-0{,}5$, $3-a=6{,}5$, $a+4=0{,}5$, $a^2=12{,}25$, $-a=3{,}5$.","Верно утверждение $a+4>0$."],"explanation":"$-4<a<-3$. Тогда $a+4$ лежит между $0$ и $1$ и положительно, а $a+3$ отрицательно. Число $a$ отрицательное, поэтому $-a>0$ и $3-a>0$. До нуля от $a$ больше $3$, поэтому $a^2>9$. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/raczionalnye-chisla/polozhitelnye-i-otriczatelnye-chisla-koordinaty/polozhitelnye-i-otriczatelnye-chisla/\">«Положительные и отрицательные числа»</a>.","step":1},{"id":"2","content":"Расположите числа в порядке возрастания (от меньшего к большему).[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$-0{,}8$","$-\\frac{3}{4}$","$-0{,}7$","$-0{,}08$","$\\frac{2}{5}$"]}},"instruction":"Перетащите числа","hints":["Представьте числа на координатной прямой: чем левее, тем меньше. Чем дальше отрицательное число от нуля, тем оно меньше.","Запишите дроби десятичными: $\\frac{3}{4}=0{,}75$, $\\frac{2}{5}=0{,}4$.","Модули отрицательных чисел: $0{,}8>0{,}75>0{,}7>0{,}08$. Значит, $-0{,}8<-0{,}75<-0{,}7<-0{,}08$. Положительное $\\frac{2}{5}$ больше их всех.","$-0{,}8;\\ -\\frac{3}{4};\\ -0{,}7;\\ -0{,}08;\\ \\frac{2}{5}$."],"explanation":"$-\\frac{3}{4}=-0{,}75$. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше: оно дальше от нуля влево. Поэтому $-0{,}8<-0{,}75<-0{,}7<-0{,}08<0{,}4$. Частые ошибки: поставить $-0{,}08$ первым, хотя среди отрицательных чисел оно самое большое — ближе всех к нулю; считать $-0{,}8$ больше $-0{,}7$, потому что $8>7$. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/otnosheniya-i-proporczii-6-klass-matematika/otnosheniya/chto-takoe-koordinatnaya-pryamaya/\">«Координатная прямая»</a> и <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/drobi-i-proczenty/desyatichnye-drobi-drobi-i-proczenty/desyatichnaya-zapis-drobej/\">«Десятичная запись дробей»</a>.","step":1},{"id":"2","content":"Расположите числа в порядке возрастания (от меньшего к большему).[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["$-1{,}5$","$-\\frac{5}{4}$","$-1{,}2$","$-0{,}12$","$\\frac{3}{5}$"]}},"instruction":"Перетащите числа","hints":["Представьте числа на координатной прямой: чем левее, тем меньше. Чем дальше отрицательное число от нуля, тем оно меньше.","Запишите дроби десятичными: $\\frac{5}{4}=1{,}25$, $\\frac{3}{5}=0{,}6$.","Модули отрицательных чисел: $1{,}5>1{,}25>1{,}2>0{,}12$. Значит, $-1{,}5<-1{,}25<-1{,}2<-0{,}12$. Положительное $\\frac{3}{5}$ больше их всех.","$-1{,}5;\\ -\\frac{5}{4};\\ -1{,}2;\\ -0{,}12;\\ \\frac{3}{5}$."],"explanation":"$-\\frac{5}{4}=-1{,}25$. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого модуль больше: оно дальше от нуля влево. Поэтому $-1{,}5<-1{,}25<-1{,}2<-0{,}12<0{,}6$. Частые ошибки: поставить $-0{,}12$ первым, хотя среди отрицательных чисел оно самое большое — ближе всех к нулю; считать $-1{,}5$ больше $-1{,}2$, потому что $5>2$. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/otnosheniya-i-proporczii-6-klass-matematika/otnosheniya/chto-takoe-koordinatnaya-pryamaya/\">«Координатная прямая»</a> и <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/drobi-i-proczenty/desyatichnye-drobi-drobi-i-proczenty/desyatichnaya-zapis-drobej/\">«Десятичная запись дробей»</a>.","step":1},{"id":"3","content":"Найдите значение выражения $-2^4\\cdot\\dfrac{3}{8}+5$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-1","−1","–1"]}},"hints":["Порядок действий: степень, затем умножение, затем сложение. Посмотрите, стоит ли $-2$ в скобках: от этого зависит, что возводят в степень.","Скобок нет, поэтому в степень возводят только $2$, а минус ставят перед результатом: $-2^4=-(2\\cdot2\\cdot2\\cdot2)=-16$.","$-16\\cdot\\frac{3}{8}=-6$, затем $-6+5$.","Ответ: $-1$."],"explanation":"$-2^4\\cdot\\frac{3}{8}+5=-16\\cdot\\frac{3}{8}+5=-6+5=-1$. Если получилось $11$ — вместо $-2^4$ взяли $(-2)^4=16$. Это главная ошибка темы: $-2^4\\ne(-2)^4$, минус без скобок в степень не возводится. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vvedenie-v-algebru/algebraicheskie-vyrazheniya/dejstviya-s-raczionalnymi-chislami-pravila-znakov-poryadok-dejstvij-udobnye-vychisleniya/\">«Действия с рациональными числами»</a> и <a href=\"https://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vyrazheniya-so-stepenyami/svojstva-stepenej/stepen-s-naturalnym-pokazatelem/\">«Степень с натуральным показателем»</a>.","step":1},{"id":"3","content":"Найдите значение выражения $-3^2\\cdot\\dfrac{4}{9}+7$.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["3","+3"]}},"hints":["Порядок действий: степень, затем умножение, затем сложение. Посмотрите, стоит ли $-3$ в скобках: от этого зависит, что возводят в степень.","Скобок нет, поэтому в степень возводят только $3$, а минус ставят перед результатом: $-3^2=-(3\\cdot3)=-9$.","$-9\\cdot\\frac{4}{9}=-4$, затем $-4+7$.","Ответ: $3$."],"explanation":"$-3^2\\cdot\\frac{4}{9}+7=-9\\cdot\\frac{4}{9}+7=-4+7=3$. Если получилось $11$ — вместо $-3^2$ взяли $(-3)^2=9$. Это главная ошибка темы: $-3^2\\ne(-3)^2$, минус без скобок в степень не возводится. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vvedenie-v-algebru/algebraicheskie-vyrazheniya/dejstviya-s-raczionalnymi-chislami-pravila-znakov-poryadok-dejstvij-udobnye-vychisleniya/\">«Действия с рациональными числами»</a> и <a href=\"https://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vyrazheniya-so-stepenyami/svojstva-stepenej/stepen-s-naturalnym-pokazatelem/\">«Степень с натуральным показателем»</a>.","step":1},{"id":"4","content":"Ученик вычислил значение выражения так:<br>$48:(-4)\\cdot2=48:(-8)=-6$.<br>В чем его ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Неверно определен знак: $48:(-8)$ — положительное число","Деление и умножение выполняют по порядку слева направо: сначала $48:(-4)$","Ошибки нет: умножение всегда выполняют раньше деления","Неверно найдено произведение: $(-4)\\cdot2$ равно $8$"],"explanations":["Знаки разные, поэтому $48:(-8)=-6$ — отрицательное число. Эта часть у ученика без ошибки, ошибка раньше.","","Умножение и деление — действия одной ступени, ни одно не «старше» другого. Их выполняют по порядку слева направо. Верный ответ $-24$, а не $-6$.","$(-4)\\cdot2=-8$, ученик так и записал. Но выполнять это умножение первым было нельзя."],"answer":[1]}},"hints":["Вычислите выражение сами по порядку действий и сравните каждый шаг с записью ученика.","Какое действие ученик выполнил первым? Он записал $48:(-8)$ — откуда взялось $-8$?","Посчитайте по порядку записи: $48:(-4)=-12$, затем $-12\\cdot2=-24$. У ученика $-6$ — ответы разные.","Ошибка: деление и умножение выполняют слева направо, сначала $48:(-4)$."],"explanation":"$48:(-4)\\cdot2=-12\\cdot2=-24$. Ученик сначала умножил $(-4)\\cdot2$, как будто умножение «старше» деления. Но это действия одной ступени: их выполняют по порядку слева направо, как сложение и вычитание. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vvedenie-v-algebru/algebraicheskie-vyrazheniya/dejstviya-s-raczionalnymi-chislami-pravila-znakov-poryadok-dejstvij-udobnye-vychisleniya/\">«Действия с рациональными числами»</a> (раздел о порядке действий).","step":1},{"id":"4","content":"Ученик вычислил значение выражения так:<br>$-60:5\\cdot(-3)=-60:(-15)=4$.<br>В чем его ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Деление и умножение выполняют по порядку слева направо: сначала $-60:5$","Неверно определен знак: $-60:(-15)$ — отрицательное число","Неверно найдено произведение: $5\\cdot(-3)$ равно $15$","Ошибки нет: умножение всегда выполняют раньше деления"],"explanations":["","Знаки одинаковые, поэтому $-60:(-15)=4$ — положительное число. Эта часть у ученика без ошибки, ошибка раньше.","$5\\cdot(-3)=-15$, ученик так и записал. Но выполнять это умножение первым было нельзя.","Умножение и деление — действия одной ступени, ни одно не «старше» другого. Их выполняют по порядку слева направо. Верный ответ $36$, а не $4$."],"answer":[0]}},"hints":["Вычислите выражение сами по порядку действий и сравните каждый шаг с записью ученика.","Какое действие ученик выполнил первым? Он записал $-60:(-15)$ — откуда взялось $-15$?","Посчитайте по порядку записи: $-60:5=-12$, затем $-12\\cdot(-3)=36$. У ученика $4$ — ответы разные.","Ошибка: деление и умножение выполняют слева направо, сначала $-60:5$."],"explanation":"$-60:5\\cdot(-3)=-12\\cdot(-3)=36$. Ученик сначала умножил $5\\cdot(-3)$, как будто умножение «старше» деления. Но это действия одной ступени: их выполняют по порядку слева направо, как сложение и вычитание. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vvedenie-v-algebru/algebraicheskie-vyrazheniya/dejstviya-s-raczionalnymi-chislami-pravila-znakov-poryadok-dejstvij-udobnye-vychisleniya/\">«Действия с рациональными числами»</a> (раздел о порядке действий).","step":1},{"id":"5","content":"Вычислите удобным способом: $0{,}25\\cdot(-17{,}3)\\cdot(-40)=$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$173$","$-173$","$17{,}3$","$1730$","$-1730$"],"answer":0,"placeholder":0}},"hints":["Множители можно переставлять: найдите пару, которая дает круглое число.","Сначала знак. Каждый отрицательный множитель разворачивает стрелку; два разворота — стрелка снова смотрит вправо, произведение положительное.","$0{,}25\\cdot40=10$. Осталось умножить $10$ на $17{,}3$.","Ответ: $173$."],"explanation":"$0{,}25\\cdot(-17{,}3)\\cdot(-40)=\\big(0{,}25\\cdot(-40)\\big)\\cdot(-17{,}3)=-10\\cdot(-17{,}3)=173$. Два минуса дают плюс, поэтому $-173$ — ошибка в знаке. $17{,}3$ и $1730$ — ошибка в запятой: умножение на $10$ сдвигает ее на один знак вправо. $-1730$ — ошибка и в знаке, и в запятой. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vvedenie-v-algebru/algebraicheskie-vyrazheniya/dejstviya-s-raczionalnymi-chislami-pravila-znakov-poryadok-dejstvij-udobnye-vychisleniya/\">«Действия с рациональными числами»</a> (раздел «Считаем удобно»).","step":1},{"id":"5","content":"Вычислите удобным способом: $-0{,}5\\cdot36{,}2\\cdot(-20)=$[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$-362$","$362$","$36{,}2$","$3620$","$-36{,}2$"],"answer":1,"placeholder":0}},"hints":["Множители можно переставлять: найдите пару, которая дает круглое число.","Сначала знак. Каждый отрицательный множитель разворачивает стрелку; два разворота — стрелка снова смотрит вправо, произведение положительное.","$0{,}5\\cdot20=10$. Осталось умножить $10$ на $36{,}2$.","Ответ: $362$."],"explanation":"$-0{,}5\\cdot36{,}2\\cdot(-20)=\\big(-0{,}5\\cdot(-20)\\big)\\cdot36{,}2=10\\cdot36{,}2=362$. Два минуса дают плюс, поэтому $-362$ — ошибка в знаке. $36{,}2$ и $3620$ — ошибка в запятой: умножение на $10$ сдвигает ее на один знак вправо. $-36{,}2$ — ошибка и в знаке, и в запятой. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vvedenie-v-algebru/algebraicheskie-vyrazheniya/dejstviya-s-raczionalnymi-chislami-pravila-znakov-poryadok-dejstvij-udobnye-vychisleniya/\">«Действия с рациональными числами»</a> (раздел «Считаем удобно»).","step":1},{"id":"6","content":"Футболка стоила 800 рублей. На распродаже ее цену снизили на 15%. Сколько рублей стоит футболка на распродаже?[[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"680","unit":"руб."}},"hints":["За 100% берем ту величину, с которой сравниваем, — старую цену 800 рублей.","1% от 800 рублей — это $800:100=8$ рублей, а 15% — $8\\cdot15=120$ рублей.","Цена снизилась на 120 рублей: $800-120$.","Ответ: 680 рублей."],"explanation":"Скидка — 15% от 800 рублей: $800\\cdot0{,}15=120$ рублей. Новая цена $800-120=680$ рублей. Короче: новая цена — это $100\\%-15\\%=85\\%$ старой, $800\\cdot0{,}85=680$. Частая ошибка — записать в ответ 120: это скидка, а не цена. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/drobi-i-proczenty/drobi-drobi-i-proczenty/chto-takoe-proczent/\">«Что такое процент»</a>.","step":1},{"id":"6","content":"Тетрадь стоила 60 рублей. Ее цена выросла на 15%. Сколько рублей стоит тетрадь теперь?[[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"69","unit":"руб."}},"hints":["За 100% берем ту величину, с которой сравниваем, — старую цену 60 рублей.","1% от 60 рублей — это $60:100=0{,}6$ рубля, а 15% — $0{,}6\\cdot15=9$ рублей.","Цена выросла на 9 рублей: $60+9$.","Ответ: 69 рублей."],"explanation":"Повышение — 15% от 60 рублей: $60\\cdot0{,}15=9$ рублей. Новая цена $60+9=69$ рублей. Короче: новая цена — это $100\\%+15\\%=115\\%$ старой, $60\\cdot1{,}15=69$. Частая ошибка — записать в ответ 9: это прибавка, а не цена. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/drobi-i-proczenty/drobi-drobi-i-proczenty/chto-takoe-proczent/\">«Что такое процент»</a>.","step":1},{"id":"7","content":"Какие из чисел делятся на $6$? Выберите все верные ответы.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$2\\,334$","$3\\,111$","$1\\,246$","$7\\,530$","$3\\,560$"],"explanations":["","Сумма цифр $3+1+1+1=6$, число делится на $3$. Но оно нечетное, поэтому на $2$, а значит, и на $6$ не делится.","Число оканчивается на $6$, поэтому делится на $2$. Но сумма цифр $1+2+4+6=13$ на $3$ не делится, значит, на $6$ число не делится.","","Число оканчивается на $0$ и делится на $2$, но сумма цифр $3+5+6+0=14$ на $3$ не делится."],"answer":[0,3]}},"hints":["$6=2\\cdot3$. Число делится на $6$, если оно делится и на $2$, и на $3$.","На $2$ делятся четные числа. На $3$ — числа, у которых сумма цифр делится на $3$.","Четные числа: $2\\,334$, $1\\,246$, $7\\,530$, $3\\,560$. Суммы их цифр: $12$, $13$, $15$, $14$.","На $6$ делятся $2\\,334$ и $7\\,530$."],"explanation":"Делятся на $6$ числа $2\\,334$ (четное, сумма цифр $12$) и $7\\,530$ (четное, сумма цифр $15$). Число $3\\,111$ делится на $3$, но нечетное; у $1\\,246$ и $3\\,560$ сумма цифр не делится на $3$. Последняя цифра $6$ не признак делимости на $6$. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/delimost-naturalnyh-chisel/deliteli-i-kratnye/priznaki-delimosti-na-10-5-i-2/\">«Признаки делимости на 10, 5 и на 2»</a> и <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/delimost-naturalnyh-chisel/deliteli-i-kratnye/priznaki-delimosti-na-9-i-na-3/\">«Признаки делимости на 9 и 3»</a>.","step":1},{"id":"7","content":"Какие из чисел делятся на $15$? Выберите все верные ответы.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$2\\,745$","$3\\,155$","$5\\,712$","$1\\,350$","$7\\,250$"],"explanations":["","Число оканчивается на $5$ и делится на $5$, но сумма цифр $3+1+5+5=14$ на $3$ не делится.","Сумма цифр $5+7+1+2=15$, число делится на $3$. Но оно оканчивается на $2$, поэтому на $5$, а значит, и на $15$ не делится.","","Число оканчивается на $0$ и делится на $5$ и на $10$, но сумма цифр $7+2+5+0=14$ на $3$ не делится."],"answer":[0,3]}},"hints":["$15=3\\cdot5$. Число делится на $15$, если оно делится и на $3$, и на $5$.","На $5$ делятся числа, которые оканчиваются на $0$ или $5$. На $3$ — числа, у которых сумма цифр делится на $3$.","Оканчиваются на $0$ или $5$: $2\\,745$, $3\\,155$, $1\\,350$, $7\\,250$. Суммы их цифр: $18$, $14$, $9$, $14$.","На $15$ делятся $2\\,745$ и $1\\,350$."],"explanation":"Делятся на $15$ числа $2\\,745$ (оканчивается на $5$, сумма цифр $18$) и $1\\,350$ (оканчивается на $0$, сумма цифр $9$). Число $5\\,712$ делится на $3$, но не на $5$; у $3\\,155$ и $7\\,250$ сумма цифр не делится на $3$. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/delimost-naturalnyh-chisel/deliteli-i-kratnye/priznaki-delimosti-na-10-5-i-2/\">«Признаки делимости на 10, 5 и на 2»</a> и <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/delimost-naturalnyh-chisel/deliteli-i-kratnye/priznaki-delimosti-na-9-i-na-3/\">«Признаки делимости на 9 и 3»</a>.","step":1},{"id":"8","content":"Шесть одинаковых насосов могут откачать воду из котлована за 8 часов. Насосы проработали 2 часа, после этого два насоса выключили. Сколько всего часов заняла откачка воды?[[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"11","unit":"ч"}},"hints":["Число насосов и время работы обратно пропорциональны: насосов стало в $6:4=1{,}5$ раза меньше — на ту же работу нужно в $1{,}5$ раза больше времени.","За 2 часа из 8 шесть насосов откачали $\\frac{2}{8}=\\frac{1}{4}$ воды. Осталось $\\frac{3}{4}$.","Четыре насоса откачали бы всю воду за $8\\cdot1{,}5=12$ часов, а $\\frac{3}{4}$ воды — за $12\\cdot\\frac{3}{4}=9$ часов.","Всего $2+9=11$ часов."],"explanation":"Шесть насосов за 2 часа сделали $\\frac{1}{4}$ работы. Четырем насосам на всю работу нужно $8\\cdot\\frac{6}{4}=12$ часов, на оставшиеся $\\frac{3}{4}$ — 9 часов. Всего $2+9=11$ часов. Частые ошибки: 9 — забыли первые 2 часа; 12 — считали, что 4 насоса работали с самого начала; ответ 6 ($2+4$) — время для четырех насосов уменьшили, а не увеличили, как будто величины прямо пропорциональны. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/otnosheniya-i-proporczii-6-klass-matematika/proporczionalnye-zavisimosti/pryamaya-i-obratnaya-proporczionalnye-zavisimosti/\">«Прямая и обратная пропорциональные зависимости»</a>.","step":1},{"id":"8","content":"Десять рабочих могут уложить плитку в здании за 12 дней. Они проработали 3 дня, после этого четверо рабочих ушли на другой объект. Сколько всего дней заняла укладка плитки?[[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"18","unit":"дн."}},"hints":["Число рабочих и время работы обратно пропорциональны: рабочих стало в $10:6=\\frac{5}{3}$ раза меньше — на ту же работу нужно в $\\frac{5}{3}$ раза больше времени.","За 3 дня из 12 десять рабочих сделали $\\frac{3}{12}=\\frac{1}{4}$ работы. Осталось $\\frac{3}{4}$.","Шесть рабочих сделали бы всю работу за $12\\cdot\\frac{5}{3}=20$ дней, а $\\frac{3}{4}$ работы — за $20\\cdot\\frac{3}{4}=15$ дней.","Всего $3+15=18$ дней."],"explanation":"Десять рабочих за 3 дня сделали $\\frac{1}{4}$ работы. Шести рабочим на всю работу нужно $12\\cdot\\frac{10}{6}=20$ дней, на оставшиеся $\\frac{3}{4}$ — 15 дней. Всего $3+15=18$ дней. Частые ошибки: 15 — забыли первые 3 дня; 20 — считали, что 6 рабочих работали с самого начала; если для шести рабочих срок получился меньше 12 дней, величины приняли за прямо пропорциональные. А на деле меньше рабочих — дольше работа. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/6-klass-matematika/otnosheniya-i-proporczii-6-klass-matematika/proporczionalnye-zavisimosti/pryamaya-i-obratnaya-proporczionalnye-zavisimosti/\">«Прямая и обратная пропорциональные зависимости»</a>.","step":1},{"id":"9","content":"Весной цена велосипеда выросла на 10%, а летом — еще на 10% от новой цены. На сколько процентов выросла цена за два повышения?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["на 20%","на 21%","на 121%","на 11%"],"explanations":["Проценты нельзя просто сложить: второй раз 10% считают от новой, большей цены, поэтому прибавка больше.","","121% — это новая цена в процентах от старой. Выросла она на $121\\%-100\\%=21\\%$.","Пусть велосипед стоил 100 рублей. 11 рублей из 110 — это только второе повышение. Всего цена выросла на $10+11=21$ рубль из 100, то есть на 21%."],"answer":[1]}},"hints":["За 100% каждый раз берут ту цену, которую меняют. Пусть сначала велосипед стоил 100 рублей.","После первого повышения: $100+10=110$ рублей.","Второе повышение — 10% от 110 рублей, это 11 рублей. Цена стала 121 рубль.","$121-100=21$, цена выросла на 21%."],"explanation":"Каждое повышение на 10% умножает цену на $1{,}1$: $1{,}1\\cdot1{,}1=1{,}21$. Новая цена — 121% старой, рост на 21%. Сложить проценты нельзя: второй раз их берут от другой величины. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vvedenie-v-algebru/matematicheskaya-model/zadachi-na-rabotu-i-proczenty/\">«Задачи на работу и проценты»</a>.","step":1},{"id":"9","content":"Зимой цена куртки снизилась на 10%, а весной — еще на 20% от новой цены. На сколько процентов снизилась цена за два снижения?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["на 30%","на 72%","на 28%","на 18%"],"explanations":["Проценты нельзя просто сложить: второй раз 20% считают от новой, меньшей цены, поэтому снижение меньше.","72% — это новая цена в процентах от старой. Снизилась она на $100\\%-72\\%=28\\%$.","","Пусть куртка стоила 100 рублей. 18 рублей из 90 — это только второе снижение. Всего цена снизилась на $10+18=28$ рублей из 100, то есть на 28%."],"answer":[2]}},"hints":["За 100% каждый раз берут ту цену, которую меняют. Пусть сначала куртка стоила 100 рублей.","После первого снижения: $100-10=90$ рублей.","Второе снижение — 20% от 90 рублей, это 18 рублей. Цена стала 72 рубля.","$100-72=28$, цена снизилась на 28%."],"explanation":"Снижение на 10% умножает цену на $0{,}9$, снижение на 20% — на $0{,}8$: $0{,}9\\cdot0{,}8=0{,}72$. Новая цена — 72% старой, снижение на 28%. Сложить проценты нельзя: второй раз их берут от другой величины. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/algebra/7-klass-algebra/vvedenie-v-algebru/matematicheskaya-model/zadachi-na-rabotu-i-proczenty/\">«Задачи на работу и проценты»</a>.","step":1},{"id":"10","content":"Три автобуса одновременно отошли от конечной остановки. Первый возвращается на нее каждые 12 минут, второй — каждые 18 минут, третий — каждые 30 минут. Через сколько минут все три автобуса впервые снова будут на остановке одновременно?[[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"180","unit":"мин"}},"hints":["Каждый автобус бывает на остановке через время, кратное своему интервалу: первый — через 12, 24, 36, … минут. Нужно число, кратное всем трем интервалам.","Нужно наименьшее общее кратное трех чисел. Разложите их на простые множители: $12=2^2\\cdot3$, $18=2\\cdot3^2$, $30=2\\cdot3\\cdot5$.","В НОК каждый простой множитель берут в наибольшей степени: $2^2$, $3^2$ и $5$. НОК $=4\\cdot9\\cdot5$.","Ответ: через 180 минут."],"explanation":"НОК$(12;\\,18;\\,30)=2^2\\cdot3^2\\cdot5=180$: $180=12\\cdot15=18\\cdot10=30\\cdot6$. Частые ошибки: 36 — это НОК только первых двух интервалов, третий автобус в это время в пути ($36$ на $30$ не делится); $12\\cdot18\\cdot30=6480$ — общее кратное, но не наименьшее; 6 — это НОД, а не НОК. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/5-klass-matematika/drobnye-chisla/nok-i-nod/naimenshee-obshhee-kratnoe/\">«Наименьшее общее кратное»</a>.","step":1},{"id":"10","content":"Три автобуса одновременно отошли от конечной остановки. Первый возвращается на нее каждые 10 минут, второй — каждые 15 минут, третий — каждые 24 минуты. Через сколько минут все три автобуса впервые снова будут на остановке одновременно?[[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"120","unit":"мин"}},"hints":["Каждый автобус бывает на остановке через время, кратное своему интервалу: первый — через 10, 20, 30, … минут. Нужно число, кратное всем трем интервалам.","Нужно наименьшее общее кратное трех чисел. Разложите их на простые множители: $10=2\\cdot5$, $15=3\\cdot5$, $24=2^3\\cdot3$.","В НОК каждый простой множитель берут в наибольшей степени: $2^3$, $3$ и $5$. НОК $=8\\cdot3\\cdot5$.","Ответ: через 120 минут."],"explanation":"НОК$(10;\\,15;\\,24)=2^3\\cdot3\\cdot5=120$: $120=10\\cdot12=15\\cdot8=24\\cdot5$. Частые ошибки: 30 — это НОК только первых двух интервалов, третий автобус в это время в пути ($30$ на $24$ не делится); $10\\cdot15\\cdot24=3600$ — общее кратное, но не наименьшее; 1 — это НОД, а не НОК. Повторить: <a href=\"https://obrazavr.ru/matematika/5-klass-matematika/drobnye-chisla/nok-i-nod/naimenshee-obshhee-kratnoe/\">«Наименьшее общее кратное»</a>.","step":1}]}</textarea></pre></div>