Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель (сокращённо НОД) необходим для того, чтобы работать с обыкновенными дробями. Также он тесно связан с другим математическим понятием — наименьшим общим кратным. На этом уроке мы разберём способы нахождения НОД и рассмотрим признаки деления на разные числа.

Знакомство с наибольшим общим делителем

Наибольший общий делитель заданных чисел (НОД) – это наибольшее число, на которое все заданные числа делятся без остатка

При вычислениях нам помогут признаки деления на число. Они есть у многих чисел. Нам понадобятся вот эти четыре, если их запомнить, они станут нашими помощниками.

Признаки деления по последнему числу:

Число делится на $2$, если оно чётное, т.е. заканчивается на чётную цифру: $0, 2, 4, 6, 8$

Число делится на $5$, если его последняя цифра равна $0$ или $5$

Кроме того, существуют признаки деления и для других чисел, некоторые из них очень интересны:

Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$.
Например, $21 (2+1=3)$ и $69 (6+9=15)$

Число делится на $ 7 $, если утроенное число десятков плюс число единиц делится на $7$.
Например, число $154 (15\cdot 3 + 4 = 49) $

Также нам нужно, чтобы число делилось без остатка. Если в итоге деления получается остаток, то такое число не является множителем данного числа.

Первый способ нахождения НОД

Существует три способа нахождения НОД. Эти способы имеют очень много общего между собой, но мы разберём их все.

Первый способ заключается в нахождении всех возможных делителей для числа.

Проще рассматривать сразу на примерах. Например, нам нужно сократить дробь $\frac{12}{40}$.

Делители числа $12$: $2, 3, 4, 6, 12$

Мы не берём $1$, так как единица для нас бесполезна в качестве делителя, потому что даёт в результате то же число. Также мы отбросили $5, 7, 8, 9, 10, 11$ ( потому что число $12$ нельзя поделить на эти числа без остатка).

Делители числа $40$: $2, 4, 5, 8, 10, 20$

Теперь запишем все наши делители. Вот что получилось:

Теперь нам сразу видно, какие числа общие. Это $2$ и $4$. Так как $4$ больше, оно и является наибольшим общим делителем.

Второй способ нахождения НОД

Второй и третий способы базируются на том, что мы раскладываем числа не на делители, а на простые множители.

Для нахождения НОД нескольких чисел данные числа нужно разложить на множители и определить общие для обоих чисел. Если такой множитель один, он и будет являться наибольшим общим делителем. Если общих множителей несколько, то наибольшим общим делителем будет являться произведение этих множителей

Простой множитель — это простое число.

Простое число — это натуральное число больше единицы, которое делится без остатка только на два натуральных числа — единицу и само себя.

И так как для нахождения НОД нам нужны только простые множители, нашими делителями чаще всего будут только $ 2, 3, 5, 7 $.

Мы не будем делить на $4$ , потому что $4$ – это $2 \cdot 2$, на $6$, потому что это $3\cdot 2$. $8$ и $9$ также можно разложить на множители. Значит, выбор вариантов, на которые можно разделить число, невелик.

Сначала пробуем поделить число на $2$, затем на $3$, на $5$ и так далее.

При нахождении НОД этим способом мы будем записывать делители и промежуточные результаты деления в столбик. Так они остаются у нас на виду, и мы не запутаемся. Сначала пишем наше число, потом ставим вертикальную черту и напротив числа пишем первый делитель – то есть число, на которое собираемся разделить наше число.

Итак. Справа у нас $12$, слева – простой делитель, например, $2$.

$$12:2=6$$

Записываем частное под цифрой «12». Почему там? Потому что теперь мы будем делить уже «6», и так, пока будет возможно делить без остатка.

Получается вот такая запись:

Частные, которые получились слева, нам уже не нужны. Нам нужны числа справа, так как именно там у нас записаны делители. Но постойте, нам же были нужны множители?

Это и есть множители. Мы разобрали число на них, как конструктор разбирают на детальки, и из них же можем сложить. Давайте проверим:

$$2 \cdot 3 \cdot 2=12$$

Теперь таким же образом «разберём» число $40$.

$40$ делится без остатка также на $4, 8, 10$. Почему мы не можем использовать эти множители?

Показать ответ

Скрыть

Теперь самое интересное. Находим среди множителей обоих чисел одинаковые числа и перемножаем их между собой. То, что получится, и будет НОД – наибольший общий делитель для обоих чисел.

Второй способ наиболее распространён, потому что позволяет удобно записывать промежуточные результаты деления и делители. При записи первым способом мы записываем только делители и легко «потерять» какие-то из них, особенно если их много и они повторяются.

Третий способ нахождения НОД

Третий способ похож на второй. Мы также пишем числа в столбик, но затем не выделяем общие, а берём множители одного числа и вычёркиваем из них те, которые не встречаются во втором числе.

Этот способ не сильно отличается от второго (да и от первого тоже): мы точно таким же образом ищем общие множители, только не выделяем общие, а вычёркиваем те, которые общими не являются.

Записывают наибольший общий делитель так:

НОД ($12$ и $40$) $= 4$

Теперь, когда мы знаем НОД, мы можем легко сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД. У нас получится так:

$$\frac{12}{40} = \frac{12:4}{40:4}=\frac{3}{10}$$

Также мы можем использовать НОД для нахождения НОК (наименьшего общего кратного).

{"questions":[{"content":"Найдите наибольший общий делитель для чисел $90$ и $80$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"step":1,"hints":["Делителями числа $90$ будут $2, 5, 3, 3$","Делителями числа $80$ будут $2, 5, 2, 2, 2$","Наибольший общий делитель – произведение всех делителей, общих для обоих чисел."]},{"content":"Какие из чисел ниже являются простыми? [[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["1","2","3","5","6"],"answer":[1,2,3]}},"hints":["Простое число - это натуральное число больше единицы, которое делится без остатка только на два натуральных числа - единицу и само себя."]},{"content":"Посмотрите на записи НОД ниже. Один из НОД найден неверно, какой? [[choice-22]]","widgets":{"choice-22":{"type":"choice","options":["НОД ($56$ и $10$) $= 2$","НОД ($27$ и $18$) $= 9$","НОД ($16$ и $48$) $= 8$"],"answer":[2]}}}]}