ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Наибольший общий делитель
На этом уроке мы узнаем, что такое наибольший общий делитель (сокращенно НОД), рассмотрим способы его нахождения, а также познакомимся с признаками деления числа на $2$, $3$, $5$, $7$.
Для чего нужен наибольший общий делитель?
Наибольший общий делитель заданных чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое все заданные числа делятся без остатка.
Наибольший общий делитель необходим для того, чтобы работать с обыкновенными дробями. Также он тесно связан с другим математическим понятием — наименьшим общим кратным.
Чаще всего НОД находится для двух чисел, но его также можно находить и для нескольких чисел одновременно.
Признаки деления на число
При вычислениях НОД нам помогут признаки деления на число. Они есть у многих чисел. Нам понадобятся вот эти четыре, если их запомнить, они станут нашими помощниками.
признак деления на $2$
Число делится на $2$, если оно четное, т. е. заканчивается на четную цифру: $0,\space 2, \space4,\space 6, \space8$.
признак деления на $5$
Число делится на $5$, если его последняя цифра равна $0$ или $5$.
признак деления на $3$
Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$.
признак деления на $7$
Число делится на $ 7 $, если утроенное число десятков плюс число единиц делится на $7$.
Например, число $154\space (15\cdot3 + 4 = 49) $
Первый способ нахождения НОД
первый способ нахождения НОД
Для того, чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел:
- Расписываем все делители каждого числа в строку.
- Берем наибольшее число, которое встречается в делителях всех чисел.
пример
Найдите наибольший общий делитель у числителя и знаменателя дроби $\frac{12}{40}$.
Делители числа $12$: $2, 3, 4, 6, 12$.
Мы не берем $1$, так как единица для нас бесполезна в качестве делителя, потому что дает в результате то же число. Также мы отбросили $5, 7, 8, 9, 10, 11$, потому что число $12$ нельзя поделить на эти числа без остатка.
Делители числа $40$: $2, 4, 5, 8, 10, 20$.
Теперь запишем все наши делители. Вот что получилось:
Сразу видно, какие числа общие. Это $2$ и $4$. Так как $4$ больше, оно и является наибольшим общим делителем.
Второй способ нахождения НОД
второй способ нахождения НОД
- Раскладываем числа не на делители, а на простые множители.
- Определяем общие простые множители для всех чисел.
- Если такой множитель один, он и будет являться наибольшим общим делителем.
- Если общих множителей несколько, то наибольшим общим делителем будет являться произведение этих множителей.
Простой множитель — это простое число — натуральное число больше единицы, которое делится без остатка только на два натуральных числа — единицу и само себя.
Разложение числа на простые множители
При разложении на простые множители нашими делителями чаще всего будут числа $ 2, 3, 5, 7 $.
Сначала пробуем поделить число на $2$, затем на $3$, на $5$ и так далее.
Разложим число $56$ на множители:
- Сначала пытаемся разделить $56$ на $2$. $56:2=28$. Первый множитель — $\textcolor{blue}{2}$.
- Разделим полученный результат на $2$. $28:2=14$. Второй множитель — $\textcolor{coral}{2}$.
- Снова производим деление на $2$. $14:2=7$. Третий множитель также число $\textcolor{green}{2}$.
- Число $7$ является простым и делится только на себя. Последний множитель — число $\textcolor{orange}{7}$.
- Итого имеем: $56=\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{coral}{2} \cdot \textcolor{green}{2} \cdot \textcolor{orange}{7}$.
пример
Разложим числитель и знаменатель дроби $\frac{12}{40}$ на простые множители:$$12=\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{coral}{2} \cdot 3 \newline 40 = \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{coral}{2} \cdot 2 \cdot 5$$
Находим среди множителей обоих чисел одинаковые числа и перемножаем их между собой:$$\textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{coral}{2} =4$$
Записывают наибольший общий делитель так:
НОД ($12$ и $40$) $= 4$
Теперь, когда мы знаем НОД, мы можем легко сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД:
$$\frac{12}{40} = \frac{12:4}{40:4}=\frac{3}{10}$$
Часто задаваемые вопросы
Если в итоге деления получается остаток, то такое число не является множителем данного числа.
При разложении на простые множители не используются числа $4, 6, 8, 9$, потому что эти числа не являются простыми. Число $4$ состоит из двух простых множителей: $4=2 \cdot 2$. $6=3\cdot 2$ и так далее.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти