Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Английский язык Русский язык Геометрия Физика Всеобщая история Обществознание География Биология
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга История

Наименьшее общее кратное

Содержание

    Необходимо разобрать ещё одно математическое понятие, тесно связанное с наименьшим общим знаменателем.

    Повторение понятия кратности

    Когда одно число делится на другое, говорят, что оно кратное этому числу. Так, $10$ будет кратно двум и пяти, $16$ – кратно четырём, двум и восьми.

    При нахождении общего знаменателя мы также находим общее кратное число, то есть число, которое делится и на один, и на второй знаменатель.

    Так, мы можем умножить два числа друг на друга, и произведение будет кратно и одному, и второму числу. Но при действиях с обыкновенными дробями вычисления будут тем проще, чем меньше будут числа, которыми мы будем оперировать.

    Сравните два примера:

    Рисунок 1

    Очевидно, что проще и удобнее считать второй вариант. Поэтому мы стремимся найти не просто кратное, а наименьшее общее кратное, сокращённо НОК.

    Наименьшее общее кратное для двух заданных чисел – это наименьшее число, которое делится без остатка на оба заданных числа.

    Первый способ вычисления НОК

    Один из способов нахождения НОК – нахождение кратных заданных чисел. Те числа, которые будут общими для обоих заданных чисел, будут общими кратными, и среди них нужно будет определить самое малое.

    Возьмём для примера числа $6$ и $8$. Для начала вычислим числа, кратные $6$. Для этого последовательно умножим $6$ на числа от $1$ до $9$. Полученные произведения будут кратны $6$.

    $$6 \cdot  1 = 6$$

    $$6 \cdot  2 = 12$$

    $$6 \cdot  3 = 18$$

    $$6 \cdot  4 = 24$$

    $$6 \cdot  5 = 30$$

    $$6 \cdot  6 = 36$$

    $$6 \cdot  7 = 42$$

    $$6 \cdot  8 = 48$$

    $$6 \cdot  9 = 54$$

    Теперь находим числа, кратные $8$.

    $$8 \cdot  1 = 8$$

    $$8 \cdot  2 = 16$$

    $$8 \cdot  3 = 24$$

    $$8 \cdot  4 = 32$$

    $$8 \cdot  5 = 40$$

    $$8 \cdot  6 = 48$$

    $$8 \cdot  7 = 56$$

    $$8 \cdot  8 = 64$$

    $$8 \cdot  9 = 72$$

    Выпишем кратные обоих чисел (рисунок 2):

    Рисунок 2

    Теперь выделим те кратные, которые будут общими для обоих чисел.

    Рисунок 3

    Это будут числа $24$ и $48$. Выбираем из них меньшее.

    Значит, НОК $ (6$ и $8) = 24$

    Второй способ вычисления НОК

    Предыдущий способ хорош, но он медленный и подходит скорее для небольших чисел. Второй способ предполагает разложение заданных чисел на простые множители.

    Найдём НОК для чисел 28 и 21.

    Для этого разложим числа на множители:

    Рисунок 4

    Глядя на эти знаменатели, мы видим, что они оба делятся на $7$, но первый делится ещё и на $2 \cdot 2 $, а второй – на $3$. Значит, нам нужен знаменатель, который бы делился и на $7$, и на $4$, и на $3$, был бы кратным для всех этих чисел.

    Возьмём множители, из которых составлено наибольшее число и добавим из разложения на множители второго числа тех, которых не хватает.

    У нас получилось

    $$7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 =84$$

    В это произведение входят множители и одного, и второго числа:

    Рисунок 5

    Полученное число делится на $28$ и $21$ без остатка.

    Для вычисления НОК двух заданных чисел нужно представить эти числа как произведения простых множителей. Затем нужно взять множители наибольшего числа и умножить их на те множители второго числа, которые не входят в первое.

    Заметили ли вы, что процесс нахождения НОК очень похож на то, как мы вычисляли НОД? И в том, и в другом случае мы брали числа и раскладывали их на множители.

    Третий способ вычисления НОК

    Один из способов нахождения наименьшего общего кратного (НОК) – это перемножить числа, для которых нужно найти кратное, и разделить произведение на наибольший общий делитель (НОД)

    Этот способ разумнее всего применять, когда нам требуется найти и НОД, и НОК.

    Разберём на примере. Специально возьмём большие числа, например, $162$ и $138$

    Сначала разложим числа $162$ и $138$ на простые множители (рисунок 5, а).

    Рисунок 6

    Теперь выделим общие множители (рисунок 5, б). Это $2$ и $3$ . Умножаем их друг на друга, и получаем наибольший общий делитель – $6$ .

    Теперь выполним умножение чисел друг на друга, у нас получится

    $$162 \cdot 138 = 22 356 $$

    Разделим произведение на НОД:

    $$22 356:6=3 726$$

    Это и будет наименьшее общее кратное для двух чисел.

    Рисунок 7
    5
    5
    5Количество энергии, полученное за урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Вопросы
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение