Наименьшее общее кратное
На этом уроке мы узнаем, что такое наименьшее общее кратное чисел (НОК), а также научимся его вычислять.
Повторение понятия кратности
кратность
Когда одно число делится на другое, говорят, что оно кратное этому числу.
Так, $10$ будет кратно $2$ и $5$, а $16$ — кратно $2$, $4$ и $8$.
общее кратное
При нахождении общего знаменателя мы также находим общее кратное число, то есть число, которое делится и на один, и на второй знаменатель.
Один из способов найти общее кратное — просто перемножить числа друг на друга, но такой способ не всегда эффективен, так как в результате получается большое число, с которым неудобно работать в дальнейшем (Рисунок $1$, а):
Очевидно, что проще и удобнее считать второй вариант (Рисунок 1, б). Поэтому мы стремимся найти не просто кратное, а наименьшее общее кратное (НОК).
Наименьшее общее кратное для двух заданных чисел — это наименьшее число, которое делится без остатка на оба заданных числа.
Первый способ вычисления НОК
Первый способ вычисления НОК заключается в том, чтобы расписать в строку числа, кратные заданным, и найти среди них наименьшее общее.
пример
Возьмем числа $6$ и $8$ и выпишем в строку числа, кратные им:
Выделим те кратные, которые будут общими для обоих чисел и выберем наименьшее:
Значит, НОК $ (6$ и $8) = 24$
Второй способ вычисления НОК
Для вычисления НОК двух заданных чисел нужно представить эти числа как произведения простых множителей. Затем нужно взять множители наибольшего числа и умножить их на те множители второго числа, которые не входят в первое.
пример
Найдем НОК для чисел $28$ и $21$.
Для этого разложим числа на множители:$$28=2 \cdot 2 \cdot \textcolor{blue}{7}\newline 21 = \textcolor{coral}{3} \cdot \textcolor{blue}{7}$$
Возьмем множители, из которых составлено наибольшее число, и добавим числа из разложения на множители второго числа тех, которых не хватает:$$\textcolor{blue}{7} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \textcolor{coral}{3} =84$$
Полученное число делится на $28$ и $21$ без остатка.
Третий способ вычисления НОК
Один из способов нахождения наименьшего общего кратного (НОК) — это перемножить числа, для которых нужно найти кратное, и разделить произведение на наибольший общий делитель (НОД).
Этот способ разумнее всего применять, когда нам требуется найти и наибольший общий делитель, и наименьшее общее кратное.
пример
Найдем НОК для больших чисел $162$ и $138$.
Сначала разложим числа $162$ и $138$ на простые множители (рисунок $2$, а):
Выделим общие множители (рисунок $2$, б) и умножим их друг на друга. Получили наибольший общий делитель — $6$.
Теперь выполним умножение чисел друг на друга:$$162 \cdot 138 = 22 356 $$
Разделим произведение на НОД:$$22 356:6=3 726$$
Это и будет наименьшее общее кратное для двух чисел.
Часто задаваемые вопросы
Первый способ нахождения НОК используется, если числа небольшие и общий делитель можно подобрать в уме. Второй способ считается самым удобным для больших чисел. Третий способ применяется, если требуется дополнительно найти НОД.
Находить НОК требуется для облегчения промежуточных расчетов, в частности, для нахождения общего знаменателя.
5
5
1
5
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
я гений