Наименьшее общее кратное

Необходимо разобрать ещё одно математическое понятие, тесно связанное с наименьшим общим знаменателем. Это наименьшее общее кратное чисел, сокращённо НОК. Есть целых три способа его нахождения.

Повторение понятия кратности

Когда одно число делится на другое, говорят, что оно кратное этому числу. Так, $10$ будет кратно двум и пяти, $16$ – кратно четырём, двум и восьми.

При нахождении общего знаменателя мы также находим общее кратное число, то есть число, которое делится и на один, и на второй знаменатель.

Так, мы можем умножить два числа друг на друга, и произведение будет кратно и одному, и второму числу. Но при действиях с обыкновенными дробями вычисления будут тем проще, чем меньше будут числа, которыми мы будем оперировать.

Сравните два примера:

Очевидно, что проще и удобнее считать второй вариант. Поэтому мы стремимся найти не просто кратное, а наименьшее общее кратное (НОК).

Наименьшее общее кратное для двух заданных чисел – это наименьшее число, которое делится без остатка на оба заданных числа.

Первый способ вычисления НОК

Один из способов нахождения НОК – нахождение кратных заданных чисел. Те числа, которые будут общими для обоих заданных чисел, будут общими кратными, и среди них нужно будет определить самое малое.

Возьмём для примера числа $6$ и $8$. Для начала вычислим числа, кратные $6$. Для этого последовательно умножим $6$ на числа от $1$ до $9$. Полученные произведения будут кратны $6$.

$$6 \cdot  1 = 6$$

$$6 \cdot  2 = 12$$

$$6 \cdot  3 = 18$$

$$6 \cdot  4 = 24$$

$$6 \cdot  5 = 30$$

$$6 \cdot  6 = 36$$

$$6 \cdot  7 = 42$$

$$6 \cdot  8 = 48$$

$$6 \cdot  9 = 54$$

Теперь находим числа, кратные $8$.

$$8 \cdot  1 = 8$$

$$8 \cdot  2 = 16$$

$$8 \cdot  3 = 24$$

$$8 \cdot  4 = 32$$

$$8 \cdot  5 = 40$$

$$8 \cdot  6 = 48$$

$$8 \cdot  7 = 56$$

$$8 \cdot  8 = 64$$

$$8 \cdot  9 = 72$$

Выпишем кратные обоих чисел (рисунок 2):

Теперь выделим те кратные, которые будут общими для обоих чисел.

Это будут числа $24$ и $48$. Выбираем из них меньшее.

Значит, НОК $ (6$ и $8) = 24$

Второй способ вычисления НОК

Предыдущий способ хорош, но он медленный и подходит скорее для небольших чисел. Найти наименьшее общее кратное можно и другим способом. Этот способ предполагает разложение заданных чисел на простые множители.

Найдём НОК для чисел 28 и 21.

Для этого разложим числа на множители:

Глядя на эти знаменатели, мы видим, что они оба делятся на $7$, но первый делится ещё и на $2 \cdot 2 $, а второй – на $3$. Значит, нам нужен знаменатель, который бы делился и на $7$, и на $4$, и на $3$, был бы кратным для всех этих чисел.

Возьмём множители, из которых составлено наибольшее число и добавим из разложения на множители второго числа тех, которых не хватает.

У нас получилось

$$7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 =84$$

В это произведение входят множители и одного, и второго числа:

Полученное число делится на $28$ и $21$ без остатка.

Для вычисления НОК двух заданных чисел нужно представить эти числа как произведения простых множителей. Затем нужно взять множители наибольшего числа и умножить их на те множители второго числа, которые не входят в первое.

Заметили ли вы, что процесс нахождения НОК очень похож на то, как мы вычисляли НОД? И в том, и в другом случае мы брали числа и раскладывали их на множители.

Третий способ вычисления НОК

Один из способов нахождения наименьшего общего кратного (НОК) — это перемножить числа, для которых нужно найти кратное, и разделить произведение на наибольший общий делитель (НОД)

Этот способ разумнее всего применять, когда нам требуется найти и наибольший общий делитель, и наименьшее общее кратное.

Разберём на примере. Специально возьмём большие числа, например, $162$ и $138$

Сначала разложим числа $162$ и $138$ на простые множители (рисунок 5, а).

Теперь выделим общие множители (рисунок 5, б). Это $2$ и $3$ . Умножаем их друг на друга, и получаем наибольший общий делитель — $6$ .

Теперь выполним умножение чисел друг на друга, у нас получится

$$162 \cdot 138 = 22 356 $$

Разделим произведение на НОД:

$$22 356:6=3 726$$

Это и будет наименьшее общее кратное для двух чисел.

{"questions":[{"content":"Найдите наименьшее общее кратное для чисел $56$ и $14$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"56"}},"step":1,"hints":["$56$ раскладываем на множители. Это $2, 7, 2, 2$","$14$ раскладываем на множители, это $7, 2$","Берём все множители от большего числа. К ним нужно добавить из меньшего числа те множители, которые не встречаются в большем, но в данном случае таких нет. У нас остаются только множители первого числа.","Следовательно, число $56$ и будет наименьшим общим кратным для чисел $56$ и $14$."]},{"content":"Расположите дроби в порядке возрастания значений[[sorter-8]]","widgets":{"sorter-8":{"type":"sorter","items":["$\\frac{1}{2}$","$\\frac{2}{3}$","$\\frac{3}{4}$"]}}},{"content":"Ребята рассказывают о способах нахождения НОК двух чисел своими словами, но они немного запутались. Укажите правильное утверждение. [[choice-19]]","widgets":{"choice-19":{"type":"choice","options":["Надо выписать несколько чисел, которые делятся на нужное число, потом сделать то же самое для второго, найти числа, которые делятся и на то, и на это, и выбрать самое маленькое.","Нужно разложить оба числа на множители и выбрать те, которые общие, перемножить, и получится НОК.","Нужно вычислить НОД, а потом взять его и поделить на произведение чисел, получится НОК."],"explanations":["Да, это один из способов нахождения НОК.","Это объяснение для нахождения наибольшего общего делителя (НОД)","Для того чтобы найти НОК при помощи НОД, нужно перемножить числа, для которых мы ищем НОК, и разделить произведение на НОД."],"answer":[0]}}}]}