ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Наименьшее общее кратное
На этом уроке мы узнаем, что такое наименьшее общее кратное чисел (НОК), а также научимся его вычислять.
Повторение понятия кратности
кратность
Когда одно число делится на другое, говорят, что оно кратное этому числу.
Так, $10$ будет кратно $2$ и $5$, а $16$ — кратно $2$, $4$ и $8$.
общее кратное
При нахождении общего знаменателя мы также находим общее кратное число, то есть число, которое делится и на один, и на второй знаменатель.
Один из способов найти общее кратное — просто перемножить числа друг на друга, но такой способ не всегда эффективен, так как в результате получается большое число, с которым неудобно работать в дальнейшем (Рисунок $1$, а):
Очевидно, что проще и удобнее считать второй вариант (Рисунок 1, б). Поэтому мы стремимся найти не просто кратное, а наименьшее общее кратное (НОК).
Наименьшее общее кратное для двух заданных чисел — это наименьшее число, которое делится без остатка на оба заданных числа.
Первый способ вычисления НОК
Первый способ вычисления НОК заключается в том, чтобы расписать в строку числа, кратные заданным, и найти среди них наименьшее общее.
пример
Возьмем числа $6$ и $8$ и выпишем в строку числа, кратные им:
Выделим те кратные, которые будут общими для обоих чисел и выберем наименьшее:
Значит, НОК $ (6$ и $8) = 24$
Второй способ вычисления НОК
Для вычисления НОК двух заданных чисел нужно представить эти числа как произведения простых множителей. Затем нужно взять множители наибольшего числа и умножить их на те множители второго числа, которые не входят в первое.
пример
Найдем НОК для чисел $28$ и $21$.
Для этого разложим числа на множители:$$28=2 \cdot 2 \cdot \textcolor{blue}{7}\newline 21 = \textcolor{coral}{3} \cdot \textcolor{blue}{7}$$
Возьмем множители, из которых составлено наибольшее число, и добавим числа из разложения на множители второго числа тех, которых не хватает:$$\textcolor{blue}{7} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \textcolor{coral}{3} =84$$
Полученное число делится на $28$ и $21$ без остатка.
Третий способ вычисления НОК
Один из способов нахождения наименьшего общего кратного (НОК) — это перемножить числа, для которых нужно найти кратное, и разделить произведение на наибольший общий делитель (НОД).
Этот способ разумнее всего применять, когда нам требуется найти и наибольший общий делитель, и наименьшее общее кратное.
пример
Найдем НОК для больших чисел $162$ и $138$.
Сначала разложим числа $162$ и $138$ на простые множители (рисунок $2$, а):
Выделим общие множители (рисунок $2$, б) и умножим их друг на друга. Получили наибольший общий делитель — $6$.
Теперь выполним умножение чисел друг на друга:$$162 \cdot 138 = 22 356 $$
Разделим произведение на НОД:$$22 356:6=3 726$$
Это и будет наименьшее общее кратное для двух чисел.
Часто задаваемые вопросы
Первый способ нахождения НОК используется, если числа небольшие и общий делитель можно подобрать в уме. Второй способ считается самым удобным для больших чисел. Третий способ применяется, если требуется дополнительно найти НОД.
Находить НОК требуется для облегчения промежуточных расчетов, в частности, для нахождения общего знаменателя.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
я гений
я тоже