ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Простые и составные числа
Теперь, когда мы уже знаем о признаках делимости на $10$, $5$ и на $2$, а также разобрались с признаками делимости на $3$ и на $9$, пришло время поговорить о простых и составных числах.
Простые натуральные числа
Как мы помним из урока про делители и кратные, каждое число имеет как минимум два делителя — $1$ и само себя.
Важно
Поскольку единица составляет исключение в ряду делителей и имеет единственный делитель — $1$, ее не относят ни к простым, ни к составным числам.
Приведем пример. Рассмотрим числа, как $7$, $11$, $19$, $37$. Каждое из них будет делиться только на само себя и на $1$. Ряд таких чисел можно продолжать бесконечно, потому что ряд натуральных чисел бесконечен. Наибольшего простого числа не существует.
Таким образом, натуральное число называется простым, если оно имеет только два натуральных делителя — единицу и само число.
Составные натуральные числа
Теперь рассмотрим такие числа, как $8$, $24$ и $100$. Каждое из них имеет несколько делителей, которые можно перемножить между собой.
| Число | Делители числа |
|---|---|
| $8$ | $1$, $2$, $4$ и $8$ |
| $24$ | $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ и $24$ |
| $100$ | $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$, $25$, $50$ и $100$ |
Причем сами делители ($4$, $6$, $8$, $12$, $24$, $10$, $20$, $25$, $50$ и $100$) тоже можно разложить на простые делители. Таким образом, если натуральное число можно представить в виде произведения любых простых чисел, его называют составным.
Составные числа — это натуральные числа, которые имеют не только единицу и само себя, но и другие числа, на которые они делятся без остатка.
Пример
Разложим число $8$ на простые множители.
Получим, что $8=2\cdot2\cdot2$. Мы рассматриваем разложение именно как произведение двоек, потому что $2$ в данном случае — это наименьший простой множитель. Представить $8$ как произведение $1$ и $8$ мы не можем, поскольку $8$ — это составное число.
Ряд простых множителей чисел $24$ и $100$ будет гораздо длиннее.
Как мы знаем, ряд натуральных чисел бесконечно длинный. Составные числа становятся больше, количество простых в них тоже увеличивается. Это значит, что ряд простых множителей в составном числе может быть бесконечно длинным.
Степень числа
Заметим, что некоторые числа состоят из одинакового количества простых множителей.
Например, $81=3\cdot3\cdot3\cdot3$. Иначе это произведение можно записать как $81=3^{4}$. Это означает, что чтобы получить число $81$, нужно тройку умножить на саму себя четыре раза.
Произведение одинаковых множителей в составном числе заменяют степенью. Показатель степени указывает на количество одинаковых множителей.
Пример
Как представить число $200$ в виде произведения множителей со степенями?
Разложим число на множители: $200=2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5$. Объединим одинаковые множители под знаком степени: $200=2^{3}\cdot 5^{2}$.
Схема разложения составного числа на множители
Для того, чтобы разложить любое составное число на множители, удобно пользоваться универсальной схемой. Сейчас мы ее рассмотрим на примере числа $2 940$.
- Возьмем наименьший простой множитель $2$
Разделим наше число на $2$ столько раз, сколько оно делится на него без остатка:
$2 940$ кратно $2$, тогда $2 940:2=1 470$.
$1 470$ кратно $2$, огда $1 470:2=735$.
$735$ не кратно $2$. - Возьмем следующий простой множитель $3$
$735$ кратно $3$, тогда $735:3=245$.
$245$ не кратно $3$, но кратно $5$, тогда $245:5=49$. - Перебираем следующие простые множители
$49$ не кратно $5$, но кратно $7$, тогда $49:7=7$.
$7$ кратно $7$, тогда $7:7=1$.
Заметим, что подбор простого множителя мы начинаем с наименьшего и всегда идем по возрастанию — $2$, $3$, $5$, $7$ и так далее.
Представим наше составное число в виде произведения простых множителей. Получим: $2 940=2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot7=2^{2}\cdot3\cdot5\cdot7^{2}$.
Наглядно разложение числа удобно представить в виде записи в столбик следующим образом:
Часто задаваемые вопросы
Составное число имеет больше двух делителей, которые являются простыми числами.
Поскольку единица имеет только один делитель — $1$, ее не относят ни к простым, ни к составным числам.
Степень числа указывает на количество одинаковых множителей в произведении.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Да ну вооще
да