Проценты

В рамках данного урока мы расскажем о том, что такое проценты, как они связаны с десятичными дробями, как найти процент от числа и целое число по известному проценту, а также что такое процентное соотношение.

Наверняка вы не раз встречали слово «процент». Например, на бутылках молока пишут «$2.5\%$», «$3.2\%$», на баночках сметаны – «$15\%$», «$20\%$». Вы знаете, что в банке кредит дают под проценты, а в прогнозе погоды говорится о влажности воздуха – тоже в процентах. Что из себя представляют проценты и как они вычисляются в математике?

Что такое проценты

Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», которое обозначает «на сто», то есть – сотая доля. Проценты обозначаются при помощи специального значка «$\%$».

Процент — это сотая доля числа, принимаемого за целое.

Почему именно такой знак?

Скрыть

{"questions":[{"content":"Какую часть от числа обозначает процент?[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["сотую","десятую"],"placeholder":0,"answer":0}}}]}

Процент как сотая часть

В повседневной жизни вы часто сталкиваетесь с необходимостью использования процентов. Например, результаты теста могут быть выражены в процентах ($85\%, 55\%$), новая стоимость товара со скидкой (минус $20\%$).

$$1\% = 0.01$$

При сравнении двух величин за $100\%$ чаще всего принимается та величина, которая больше. Например, если мы говорим «$5\%$ учащихся школы», значит, $100\%$ — это все учащиеся школы.

Иногда за $100\% $ принимают исходную величину. Например, если говорится, что прибыль от фильма составила $134\%$, значит, расходы на фильм полностью окупились (на $100\%$), и плюс он принёс доход в размере $34\%$ от потраченных на съёмки денег.

{"questions":[{"content":"Детское фруктовое пюре на $49\\%$ состоит из яблок, на $35\\%$ из груш, на $12\\%$ из персиков. Также в состав входят вода и лимонный сок.<br />Сколько процентов приходится на эти добавки?[[fill_choice_big-17]][[image-8]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/frukty.svg","width":"200"},"fill_choice_big-17":{"type":"fill_choice_big","options":["4","10","8","2"],"answer":0}},"hints":["Сначала найдём, сколько процентов составляют все фрукты вместе, для этого сложим число процентов:<br />$49 + 35 + 12 = 96 \\%$.","За $100 \\%$ принимаем весь состав пюре. Чтобы найти процентное число добавок, нам нужно из $100$ вычесть процент фруктов:<br />$100-96 = 4$."]}]}

Десятичные дроби и проценты

Бросается в глаза сходство процентов и сотых: действительно, и там, и там мы говорим о сотой доле.

Таким образом, можно легко переводить десятичные дроби в проценты и наоборот.

На рисунке показано, что закрашенная часть прямоугольника равна $\frac{1}{10}$ или $0.10$. Также этот участок составляет $10\%$ от целого.

Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать значок процентов и разделить число на 100.

Давайте рассмотрим другой рисунок. Закрашено $25\%$ квадрата. Какая это доля?

Показать решение

Скрыть

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить число на $100$ и добавить значок процентов.

Например, $0.2$ от числа – это $20\%$

{"questions":[{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$90\\%$","$20\\%$","$30\\%$","$15\\%$"],"items":["$0.9$","$\\frac{1}{5}$","$0.3$","$\\frac{3}{20}$"]}},"hints":["$\\frac{20}{100} = \\frac{2}{10} = \\frac{1}{5}$.","$\\frac{15}{100} = \\frac{3}{20}$."]}]}

Нахождение процентов от числа

Задача

В зале кинотеатра «Орбита» $300$ мест. Сейчас $12\%$ мест свободно.

Сколько ещё зрителей может вместить зал?

Сначала определим, что мы принимаем за $100\%$. Это будет наибольшее число – то есть $300$. Теперь нам нужно найти $1\%$.

Так как $300$ мест – это $100\%$, то, чтобы найти $1%$, нам нужно разделить $300$ на $100$. Это $3$, то есть $3$ места составляют $1$ процент посадочных мест.

Чтобы найти $12\%$ нужно умножить $12$ на $3$. У нас получится $36$. Следовательно, ещё $36$ зрителей могут сесть в зале.

Чтобы найти процент от числа, нам нужно число разделить на $100$ (так мы узнаем, сколько содержится в одном проценте), а затем умножить полученный результат на число процентов.

{"questions":[{"content":"Ноутбук стоит $200$ обракоинов. В магазине начинается распродажа, и все цены снижены на $15\\%$. <br />Сколько обракоинов сэкономит покупатель?[[fill_choice_big-1]][[image-6]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["15","30","10","25"],"placeholder":0,"answer":1},"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/computer-games.svg"}},"step":1,"hints":["Чтобы найти процент, нужно число разделить на $100$ и умножить на $15$.","$ \\frac{200}{100} \\cdot 15 = 2 \\cdot 15 = 30$.","Получаем, что при скидке $15\\%$ покупатель сэкономит $30$ обракоинов."]}]}

Нахождение целого по известным процентам

Задача

В аквариуме $5$ золотых рыбок, что составляет $25\%$ от общего числа рыбок в аквариуме.

Сколько всего рыбок в аквариуме?

Общее число рыбок – это $100\%$. Чтобы найти их, нужно сначала найти $1\%$.

$1\%$ – это не одна рыбка. Это сколько-то рыбок, составляющих сотую долю всех рыбок в аквариуме. Чтобы найти, сколько рыбок составляет эту долю, нужно разделить $5$ на $25$, получится $0.2$.

Здесь легко совершить ошибку

Скрыть

Чтобы узнать, чему равны $100\%$, умножим полученное число на $100$. У нас получится $20$ — это и будет общее число рыбок.

Для нахождения одного процента нужно разделить число, составляющее $N$ процентов, на $N$.
Зная, какое число составляет один процент, мы можем вычислить целое, умножив это число на $100$.

{"questions":[{"content":"В столовой на перемене ученик купил булочку и потратил $10$ обракоинов. Это составило $40\\%$ от его карманных денег.<br />Сколько всего карманных денег у него сегодня?[[fill_choice_big-1]][[image-6]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["25","50","40","100"],"placeholder":0,"answer":0},"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/bulochnaya.svg"}},"step":1,"hints":["Чтобы найти искомое число, нужно цену булочки умножить на $100\\%$ и разделить на $40$.","$ 10 \\cdot \\frac{100}{40} = 100 : 4 = 25$.","Получаем, что всего у ученика было $25$ обракоинов сегодня."]}]}

Вычисление процентного соотношения

Чтобы найти процентное соотношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на $100$.

Процентное соотношение – это то, какой процент от целого составляет данное число.

Задача

В книге $120$ страниц. Образавр прочитал $60$ страниц.

Сколько процентов книги он прочитал?

$120$ страниц – это вся книга, то есть $100\%$. Образавр прочитал $\frac{60}{120}$ книги. Нам нужно вычислить, сколько это. Разделим $60$ на $120$, получается $0.5$

Каждая сотая равна $1\%$ книги, значит, сколько сотых прочитал Образавр, столько и процентов. Умножаем $0.5$ на $100$, у нас получается $50\%.$

{"questions":[{"content":"В классе $4$ отличника. Известно, что это $20\\%$ от учеников класса. Сколько всего учеников в этом классе?[[fill_choice_big-51]][[image-68]]","widgets":{"fill_choice_big-51":{"type":"fill_choice_big","options":["16","20","10","24"],"placeholder":0,"answer":1},"image-68":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/shkolniki-klass-party-parta-okno-stulya-stoly-sidyat-za-partoi-.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем $1\\%$, разделив $4$ на $20$:<br />$4 : 20 = \\frac{2}{10}  = 0.2$.","Зная, сколько учеников составляет $1\\%$, можем вычислить $100\\%$, просто умножив полученное число на $100$:<br />$ 0.2 \\cdot 100 = 20$."]}]}

Часто задаваемые вопросы