Цилиндр: элементы, площадь боковой и полной поверхности

Содержание

В уроке «Цилиндр, конус, шар» для 6 класса вы познакомились с цилиндром как с фигурой, которую легко узнать. Теперь рассмотрим, как цилиндр получается вращением прямоугольника, какие у него элементы и как вычислить площадь его боковой и полной поверхности. По ходу урока ответим на практический вопрос: сколько жести нужно на консервную банку диаметром 10 см и высотой 11 см.

Цилиндр получается из прямоугольника

Возьмите прямоугольную карточку $ABCD$ со сторонами $AB = 6$ см и $BC = 2$ см. Закрепите сторону $AB$ на тонкой спице (она будет осью вращения) и проверните карточку на полный оборот. Сторона $AB$ останется на месте. Стороны $BC$ и $AD$ опишут два одинаковых круга радиуса 2 см, а сторона $CD$ «заметет» изогнутую поверхность между ними. Получится цилиндр высотой 6 см с радиусом основания 2 см.

Прямоугольник ABCD вращается вокруг стороны AB: получается цилиндр; AB — ось, BC — радиус, CD — образующая — Прямоугольник ABCD при вращении вокруг AB заметает цилиндр: AB лежит на оси, BC — радиус, CD — образующая

Стороны прямоугольника задают элементы цилиндра: $BC$ — радиус основания, $AB$ — высоту, $CD$ — образующую. При вращении $BC$ и $AD$ описывают основания, а $CD$ — боковую поверхность. Поэтому размеры цилиндра задаются двумя числами: радиусом $r$ (сторона $BC$) и высотой $h$ (сторона $AB$).

Определение

Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону.

Ось цилиндра $OO_1$ — прямая вращения; $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований.

Основания — два равных круга радиуса $r$, лежащие в параллельных плоскостях.

Высота $h$ — расстояние между плоскостями оснований; образующая — отрезок, параллельный оси, с концами на окружностях оснований.

Элементы цилиндра: основания, центры O и O1, ось OO1, радиус r, образующие, высота h — Элементы цилиндра: ось OO₁, радиус r, высота h; каждая образующая равна h

Почему все образующие равны высоте? Каждая образующая — одно из положений стороны $CD$ при вращении, а $CD = AB$. Ось $OO_1$ перпендикулярна плоскостям оснований: в прямоугольнике $BC \perp AB$ и $AD \perp AB$, а при вращении сторона $BC$ описывает радиусы основания. Возьмем два ее положения, отличающиеся поворотом на $90^\circ$: каждый из этих радиусов перпендикулярен оси, потому что прямой угол при вращении сохраняется. Это два радиуса на разных прямых, пересекающихся в центре основания, поэтому по признаку из курса 10 класса ось перпендикулярна плоскости основания. Значит, отрезок $OO_1$ между центрами оснований (сторона $AB$) имеет длину $h$, и образующая цилиндра тоже равна $h$. В школьном курсе под цилиндром понимают именно такой, прямой круговой цилиндр.

{"questions":[{"content":"Какую фигуру нужно вращать вокруг оси, чтобы получить цилиндр?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Круг вокруг его диаметра","Прямоугольный треугольник вокруг катета","Прямоугольник вокруг одной из его сторон","Прямоугольник вокруг диагонали"],"explanations":["Так получается шар","Так получается конус: гипотенуза дает наклонную образующую","","При вращении вокруг диагонали толщина тела меняется вдоль оси, а у цилиндра радиус одинаков по всей высоте"],"answer":[2]}},"hints":["Цилиндр состоит из двух кругов-оснований и боковой поверхности.","Боковую поверхность «заметает» отрезок, параллельный оси, а основания — отрезки, перпендикулярные оси.","Это прямоугольник, вращаемый вокруг стороны."],"step":1},{"content":"Прямоугольник $ABCD$ вращают вокруг прямой, содержащей сторону $AB$. Сопоставьте стороны прямоугольника и элементы получившегося цилиндра.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AB$","$BC$","$CD$"],"items":["Отрезок оси между основаниями","Радиус основания","Образующая","Диаметр основания"]}},"hints":["Какая сторона остается неподвижной, какая описывает круг, какая — боковую поверхность?","Неподвижная сторона $AB$ лежит на оси и соединяет центры оснований. Сторона $BC$ перпендикулярна оси и описывает круг.","Сторона $CD$ параллельна оси и описывает боковую поверхность — это образующая."],"step":1}],"mix":1}

Боковую поверхность можно развернуть в прямоугольник

Снимите с банки бумажную этикетку: разрежьте ее вдоль образующей и разложите на столе. Получится прямоугольник. Одна его сторона — образующая, ее длина $h$. Другая сторона раньше была окружностью основания, поэтому ее длина равна длине окружности, $2\pi r$.

Проверим на конкретной банке: $r = 3$ см, $h = 4$ см. Длинная сторона этикетки — длина окружности: $2\pi \cdot 3 = 6\pi$ см, короткая — 4 см. Площадь этикетки: $6\pi \cdot 4 = 24\pi$ см². Для любых $r$ и $h$ рассуждение то же: умножаем длину окружности на высоту.

Развертка боковой поверхности цилиндра: прямоугольник 2πr на h; ошибка — развертка по диаметру вдвое длиннее — Развертка боковой поверхности — прямоугольник 2πr × h; с диаметром вместо радиуса полоса выходит вдвое длиннее

Правило

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:

$$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$$

Почему это верно. За площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки. Развертка — прямоугольник со сторонами $2\pi r$ и $h$, а площадь прямоугольника — произведение сторон.

Пример 1

Задача. Радиус основания цилиндра равен 6 см, высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности.

Решение. Длина окружности основания: $2\pi \cdot 6 = 12\pi$ см. Это длинная сторона развертки. Вторая сторона — высота, 5 см.

$S_{\text{бок}} = 12\pi \cdot 5 = 60\pi \approx 188{,}5$ см².

Ответ: $60\pi$ см².

Ошибка

Как ошибаются. В условии дан диаметр основания 12 см и высота 5 см. Число 12 подставляют вместо $r$: $S = 2\pi \cdot 12 \cdot 5 = 120\pi$ см².

Проверка по развертке. Окружность диаметром 12 см имеет длину $12\pi \approx 37{,}7$ см. А в неверном расчете длинная сторона развертки — $2\pi \cdot 12 \approx 75{,}4$ см: такая полоса обернет банку дважды.

Где сломалось. В формуле $2\pi r$ стоит радиус — сторона $BC$ вращаемого прямоугольника, от оси до края. Диаметр вдвое больше: $r = 12 : 2 = 6$, и верный ответ $60\pi$ см². Если дан диаметр $d$, удобно писать $S_{\text{бок}} = \pi dh$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Боковая поверхность цилиндра при разрезании вдоль образующей превращается в прямоугольник со сторонами $2\\pi r$ и $h$. Значит, $S_{\\text{бок}} = [[fill_choice-1]]$.","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/g0o4mviu8yui.svg"},"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$2\\pi rh$","$2\\pi r^2$","$\\pi rh$","$\\pi r^2 h$"],"answer":0}},"hints":["Одна сторона развертки — длина окружности основания, $2\\pi r$.","Другая сторона — высота $h$.","$S_{\\text{бок}} = 2\\pi r \\cdot h$."],"step":1},{"content":"Диаметр основания цилиндра равен 14, высота равна 3. Ученик нашел площадь боковой поверхности: $S = 2\\pi \\cdot 14 \\cdot 3 = 84\\pi$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, $S = 84\\pi$","Не учтены основания; верно $S = 140\\pi$","Высоту надо уменьшить вдвое; верно $S = 21\\pi$","Вместо радиуса взят диаметр; верно $S = 42\\pi$"],"explanations":["Ошибка есть: в $2\\pi rh$ нужен радиус, вдвое меньше диаметра","Спрашивали про боковую поверхность, основания в нее не входят","Высота взята верно, неверно число вместо радиуса",""],"answer":[3]}},"hints":["Сравните, какая величина должна стоять в формуле $2\\pi rh$ на месте $r$ и какая величина дана в условии.","Радиус: $r = 14 : 2 = 7$.","$S = 2\\pi \\cdot 7 \\cdot 3 = 42\\pi$."],"step":1}],"mix":1}

Полная поверхность — это развертка и два круга

Чтобы сделать банку целиком, к прямоугольнику-развертке нужно добавить дно и крышку — два круга радиуса $r$. Площадь каждого круга $\pi r^2$. Вместе они образуют полную поверхность цилиндра.

Для той же банки ($r = 3$, $h = 4$): каждый круг имеет площадь $\pi \cdot 3^2 = 9\pi$, два круга — $18\pi$. Вместе с этикеткой получаем $24\pi + 18\pi = 42\pi$. Так же считаем для любых $r$ и $h$.

Полная развертка цилиндра: боковой прямоугольник и два круга; ошибка — потерян один круг — Полная развертка: прямоугольник и два круга; без второго круга банка остается открытой

Правило

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

$$S_{\text{полн}} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(r+h)$$

Пример 2

Задача. Радиус основания цилиндра 5, высота 7. Найдите площадь полной поверхности.

Решение. Боковая поверхность: $2\pi \cdot 5 \cdot 7 = 70\pi$. Одно основание: $\pi \cdot 5^2 = 25\pi$, два основания: $50\pi$.

$S_{\text{полн}} = 70\pi + 50\pi = 120\pi$. Проверка по формуле: $2\pi \cdot 5 \cdot (5+7) = 120\pi$.

Ответ: $120\pi$.

Ошибка

Как ошибаются. Прибавляют одно основание: $S = 70\pi + 25\pi = 95\pi$ для цилиндра из примера 2.

Проверка по развертке. Сложите развертку: прямоугольник сворачивается в трубу, и у трубы два открытых конца. Одним кругом закрыт только один из них. Формула $2\pi r(r+h)$ дает $120\pi$, а не $95\pi$.

Где сломалось. При вращении прямоугольника круги описывают две стороны, $BC$ и $AD$, — поэтому оснований два. Одно основание бывает у сосуда без крышки, ни одного — у трубы. Прежде чем считать, определите, сколько кругов в поверхности.

Проверьте связь сами: меняйте радиус и высоту и следите, как меняются размеры развертки и площади. Возьмите $h = 3$ и подберите радиус, при котором боковая поверхность равна одному основанию.

g11-cilindr-razvertka

{"questions":[{"content":"Какие части входят в площадь полной поверхности цилиндра?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Только два основания","Боковая поверхность и одно основание","Только боковая поверхность","Боковая поверхность и два основания"],"explanations":["Не учтена боковая поверхность — прямоугольник развертки","Одно основание — у конуса; у цилиндра их два","Это площадь боковой, а не полной поверхности",""],"answer":[3]}},"hints":["Поверхность цилиндра — боковая поверхность и основания.","Оснований два: верхнее и нижнее.","$S_{\\text{полн}} = S_{\\text{бок}} + 2S_{\\text{осн}}$."],"step":1},{"content":"Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 5. Найдите площадь полной поверхности, деленную на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"28"}},"hints":["$S_{\\text{полн}} = 2\\pi r(r + h)$.","$S_{\\text{полн}} = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + 5) = 28\\pi$.","Ответ: 28."],"step":1},{"content":"Ученик нашел площадь полной поверхности цилиндра с $r = 2$ и $h = 6$ так: $S = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 6 + \\pi \\cdot 2^2 = 28\\pi$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Боковая поверхность равна $\\pi rh$; верно $S = 16\\pi$","Ошибки нет; верно $S = 28\\pi$","Учтено одно основание вместо двух; верно $S = 32\\pi$","Основания не входят в ответ; верно $S = 24\\pi$"],"explanations":["Сторона развертки — длина окружности $2\\pi r$, множитель 2 нужен","У цилиндра два основания — дно и крышка, а прибавлено одно","","Без оснований получается боковая, а не полная поверхность"],"answer":[2]}},"hints":["Полная поверхность — боковая поверхность и два основания.","Ученик прибавил площадь одного основания: $\\pi \\cdot 2^2 = 4\\pi$, а нужно $2 \\cdot 4\\pi = 8\\pi$.","$S = 24\\pi + 8\\pi = 32\\pi$."],"step":1}],"mix":1}

Разрез через ось сводит цилиндр к прямоугольнику

Разрежьте цилиндр плоскостью, проходящей через ось $OO_1$. В разрезе получится прямоугольник: это вращаемый прямоугольник $ABCD$ вместе с его зеркальной копией по другую сторону оси. Его стороны — диаметр $2r$ и высота $h$.

Проверим на цилиндре из первого раздела: $r = 2$, $h = 6$. Разрез — прямоугольник: его ширина равна диаметру $2 \cdot 2 = 4$, высота равна 6, а площадь $4 \cdot 6 = 24$. Для любых $r$ и $h$ стороны разреза — $2r$ и $h$.

Определение

Осевое сечение цилиндра — сечение плоскостью, проходящей через его ось. Это прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$; его площадь $2rh$.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник KLMN со сторонами 2r и h: вращаемый прямоугольник и его зеркальная копия — Осевое сечение — прямоугольник 2r × h: в нем видны диаметр, высота и диагональ

Осевое сечение — мост к планиметрии. На плоском чертеже видны диаметр, высота и диагональ, а диагональ находится по теореме Пифагора. Заметим еще одну связь: $S_{\text{бок}} = 2\pi rh = \pi \cdot 2rh$, то есть площадь боковой поверхности в $\pi$ раз больше площади осевого сечения.

Пример 3

Задача. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 17, высота равна 15. Найдите площадь боковой поверхности.

Решение. Осевое сечение — прямоугольник с диагональю 17 и стороной 15. Вторая сторона — диаметр: $d = \sqrt{17^2-15^2} = \sqrt{64} = 8$.

$S_{\text{бок}} = \pi dh = \pi \cdot 8 \cdot 15 = 120\pi$. Проверка: площадь сечения $8 \cdot 15 = 120$, и $S_{\text{бок}}$ в $\pi$ раз больше.

Ответ: $120\pi$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Радиус основания цилиндра равен 3, высота равна 7. Найдите площадь осевого сечения. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/x9eujca00ljk.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"42"}},"hints":["Осевое сечение — прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$.","$S = 2 \\cdot 3 \\cdot 7 = 42$.","Ответ: 42."],"step":1},{"content":"Осевое сечение цилиндра — квадрат площадью 64. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, деленную на $\\pi$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"96"}},"hints":["Стороны осевого сечения — диаметр $2r$ и высота $h$. Как найти сторону квадрата по его площади?","Сторона квадрата: $\\sqrt{64} = 8$. Значит, $2r = 8$ и $h = 8$, то есть $r = 4$.","$S_{\\text{полн}} = 2\\pi r(r+h) = 2\\pi \\cdot 4 \\cdot (4+8)$.","Ответ: 96."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Сколько жести нужно на банку

Вернемся к вопросу из начала. Банка — цилиндр с диаметром 10 см и высотой 11 см, значит, $r = 5$ см. Стенка: $S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 5 \cdot 11 = 110\pi$ см². Дно и крышка: $2 \cdot \pi \cdot 5^2 = 50\pi$ см². Всего $S_{\text{полн}} = 160\pi \approx 502{,}7$ см², то есть около 503 см² жести. Это без швов и закаток, на которые на производстве уходит еще немного металла.

Две банки с одной высотой: радиус вдвое больше — полная площадь 160π и 420π — Радиус вдвое больше: развертка вдвое длиннее, а каждый круг вчетверо больше по площади

★ Что будет, если изменить размеры? В формуле $S_{\text{бок}} = 2\pi rh$ радиус и высота стоят в первой степени, а в площади основания $\pi r^2$ радиус в квадрате. Поэтому части поверхности меняются по-разному, и полную поверхность нужно пересчитать.

Что меняем	Боковая поверхность	Основания	Полная поверхность
$r$ в $k$ раз, $h$ прежняя	в $k$ раз	в $k^2$ раз	пересчитать
$h$ в $k$ раз, $r$ прежний	в $k$ раз	не меняются	пересчитать
$r$ и $h$ в $k$ раз	в $k^2$ раз	в $k^2$ раз	в $k^2$ раз

Пример 4 ★

Задача. У банки из начала раздела радиус увеличили в 2 раза, высоту оставили 11 см. Во сколько раз увеличилась площадь полной поверхности?

Решение. Новый радиус $r = 10$ см. $S_{\text{полн}} = 2\pi \cdot 10 \cdot (10+11) = 420\pi$ см². Было $160\pi$ см².

$420\pi : 160\pi = 2{,}625$. Это больше 2 (основания выросли вчетверо) и меньше 4 (стенка выросла только вдвое).

Ответ: в $2{,}625$ раза.

{"questions":[{"content":"Сколько кругов-оснований нужно учесть, чтобы найти площадь поверхности предмета? Распределите предметы.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Одно основание","Два основания","Нет оснований"],"items":[["Ведро без крышки","Стакан"],["Закрытый бак","Консервная банка"],["Труба","Этикетка банки"]]}},"hints":["Полная поверхность цилиндра — боковая поверхность и два основания.","У открытого сверху сосуда нет крышки — остается одно основание.","У трубы и этикетки нет ни дна, ни крышки — только боковая поверхность."],"step":1},{"content":"Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, а высоту оставили прежней. Во сколько раз увеличилась площадь боковой поверхности?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Не изменилась","В 6 раз","В 9 раз","В 3 раза"],"explanations":["Высота та же, но длина окружности основания выросла в 3 раза","Множитель 2 в формуле постоянный, на 3 умножается только $r$","В 9 раз увеличится площадь основания $\\pi r^2$, а в $2\\pi rh$ радиус в первой степени",""],"answer":[3]}},"hints":["$S_{\\text{бок}} = 2\\pi rh$: радиус входит в первой степени.","$2\\pi \\cdot 3r \\cdot h = 3 \\cdot 2\\pi rh$.","Ответ: в 3 раза."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Цилиндр — прямоугольник, провернутый вокруг своей стороны. Если помнить этот прямоугольник, все формулы урока восстанавливаются сами.

Две проверки перед ответом: радиус ли подставлен (а не диаметр) и сколько оснований у поверхности. В следующем уроке рассмотрим другие сечения цилиндра и задачи на развертку.

Часто задаваемые вопросы

Почему площадь боковой поверхности считают по развертке?

Боковую поверхность цилиндра можно разрезать вдоль образующей и развернуть на плоскость без растяжений и разрывов. Поэтому в учебниках за площадь боковой поверхности цилиндра принимают площадь ее развертки — прямоугольника $2\pi r \times h$.

Чем образующая отличается от высоты?

У цилиндра длины равны: образующая параллельна оси, а ось перпендикулярна основаниям. Различие в положении: высота — расстояние между плоскостями оснований, ее можно провести в любом месте, а образующая лежит на боковой поверхности. У конуса в следующих уроках образующая и высота уже будут разными.

Как найти высоту, если известна площадь боковой поверхности?

Запишите формулу $2\pi rh = S_{\text{бок}}$ и разделите обе части на $2\pi r$. Например, при $S_{\text{бок}} = 90\pi$ и $r = 5$ получаем $10h = 90$, $h = 9$.

Почему в задачах ЕГЭ просят «ответ, деленный на π»?

Площади цилиндра содержат множитель $\pi$, а в бланк ЕГЭ записывают целое число или десятичную дробь. Поэтому вычисляют выражение вида $60\pi$ и записывают 60.

Награды за урок