Разложение многочлена на множители способом группировки

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Многочлен $ab+ac+3b+3c$ разбивают на две группы так, чтобы после вынесения общих множителей получилась одна и та же скобка. Какое разбиение удачное?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(ab)+(ac+3b+3c)$","$(ab+ac)+(3b+3c)$","$(ab+3c)+(ac+3b)$","$(ab+ac+3b)+(3c)$"],"explanations":["Один член отдельно: общей скобки не получится","","В группе $ab+3c$ нет общего множителя","В группе из трех членов общего множителя нет"],"answer":[1]}},"hints":["Две части складываются в прямоугольник, только если у них есть общая сторона: у членов одной группы должен быть общий множитель.","Вынесите множитель в каждой группе и сравните скобки: в удачном разбиении они одинаковые.","Ответ: $(ab+ac)+(3b+3c)$."],"step":1},{"id":"1","content":"Многочлен $2m+kn+km+2n$ разбивают на две группы так, чтобы после вынесения общих множителей получилась одна и та же скобка. Какое разбиение удачное?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$(2m+kn+km)+(2n)$","$(2m+kn)+(km+2n)$","$(2m)+(kn+km+2n)$","$(2m+2n)+(km+kn)$"],"explanations":["В группе из трех членов общего множителя нет","В группе $2m+kn$ нет общего множителя","Один член отдельно: общей скобки не получится",""],"answer":[3]}},"hints":["Две части складываются в прямоугольник, только если у них есть общая сторона: у членов одной группы должен быть общий множитель.","Вынесите множитель в каждой группе и сравните скобки: в удачном разбиении они одинаковые.","Ответ: $(2m+2n)+(km+kn)$."],"step":1},{"id":"2","content":"Заполните пропуск: $a(x+2)+5(x+2)=$[[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$5a(x+2)$","$(2x+4)(a+5)$","$(x+2)(a+5)$","$a+5(x+2)$"],"answer":2}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Оба слагаемых содержат одну и ту же скобку — это общий множитель, как буква в $ma+mb$.","Выносим скобку за скобки, а множители перед ней, вместе с их знаками, записываем во вторую скобку как сумму.","Ответ: $(x+2)(a+5)$."],"step":1},{"id":"2","content":"Заполните пропуск: $m(y-3)-2(y-3)=$[[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$m-2(y-3)$","$(2y-6)(m-2)$","$-2m(y-3)$","$(y-3)(m-2)$"],"answer":3}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Оба слагаемых содержат одну и ту же скобку — это общий множитель, как буква в $ma+mb$.","Выносим скобку за скобки, а множители перед ней, вместе с их знаками, записываем во вторую скобку как сумму.","Ответ: $(y-3)(m-2)$."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте многочлены и их разложения на множители. Одно разложение лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$ax+ay+2x+2y$","$ax-ay+2x-2y$","$ax+ay-2x-2y$"],"items":["$(x+y)(a+2)$","$(x-y)(a+2)$","$(x+y)(a-2)$","$(x-y)(a-2)$"]}},"instruction":"Соотнесите многочлен и разложение","hints":["Многочлены отличаются только знаками. Сгруппируйте первые два члена и последние два и вынесите множитель из каждой пары.","Знак второй пары переходит в множитель перед скобкой, знак внутри пары — в саму скобку.","Ответ: $ax+ay+2x+2y$ $\\to$ $(x+y)(a+2)$; $ax-ay+2x-2y$ $\\to$ $(x-y)(a+2)$; $ax+ay-2x-2y$ $\\to$ $(x+y)(a-2)$; лишнее $(x-y)(a-2)$ — при раскрытии получается $ax-ay-2x+2y$, такого многочлена среди данных нет."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте многочлены и их разложения на множители. Одно разложение лишнее.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$mb+mc+3b+3c$","$mb-mc+3b-3c$","$mb+mc-3b-3c$"],"items":["$(b+c)(m+3)$","$(b-c)(m+3)$","$(b+c)(m-3)$","$(b-c)(m-3)$"]}},"instruction":"Соотнесите многочлен и разложение","hints":["Многочлены отличаются только знаками. Сгруппируйте первые два члена и последние два и вынесите множитель из каждой пары.","Знак второй пары переходит в множитель перед скобкой, знак внутри пары — в саму скобку.","Ответ: $mb+mc+3b+3c$ $\\to$ $(b+c)(m+3)$; $mb-mc+3b-3c$ $\\to$ $(b-c)(m+3)$; $mb+mc-3b-3c$ $\\to$ $(b+c)(m-3)$; лишнее $(b-c)(m-3)$ — при раскрытии получается $mb-mc-3b+3c$, такого многочлена среди данных нет."],"step":1},{"id":"4","content":"Разложите на множители: $xy-2x-y+2$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(x-1)(y-2)$","$(x-1)(y+2)$","$(x+1)(y-2)$","$(x-2)(y-1)$"],"explanations":["","Знак в скобке $(y-2)$ изменили","Знак при вынесении $-1$ не изменили","Числа $2$ и $1$ попали не в те скобки: при раскрытии получится $xy-x-2y+2$, а в условии $-2x-y$"],"answer":[0]}},"hints":["Группируем: $(xy-2x)+(-y+2)=x(y-2)-(y-2)$.","Общая скобка: $(y-2)(x-1)$. Ответ: $(x-1)(y-2)$."],"step":1},{"id":"4","content":"Разложите на множители: $mn-5m-n+5$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$(m+1)(n-5)$","$(m-5)(n-1)$","$(m-1)(n+5)$","$(m-1)(n-5)$"],"explanations":["Знак при вынесении $-1$ не изменили","Числа $5$ и $1$ попали не в те скобки: при раскрытии получится $mn-m-5n+5$, а в условии $-5m-n$","Знак в скобке $(n-5)$ изменили",""],"answer":[3]}},"hints":["Группируем: $(mn-5m)+(-n+5)=m(n-5)-(n-5)$.","Общая скобка: $(n-5)(m-1)$. Ответ: $(m-1)(n-5)$."],"step":1},{"id":"5","content":"Разложите на множители: $a(x-y)+b(y-x)$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$(x-y)(-a+b)$","$(x-y)(a-b)$","$(x-y)(a+b)$","$(-x+y)(a+b)$"],"explanations":["Знак всего произведения изменен: $(x-y)(b-a)=-(x-y)(a-b)$, у члена $ax$ получится минус","","Скобки $(x-y)$ и $(y-x)$ считали одинаковыми: $(y-x)=-(x-y)$","Скобку $(y-x)$ выбрали общей, а знак у $a$ не изменили"],"answer":[1]}},"hints":["$b(y-x)=-b(x-y)$.","Получаем $a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)$. Ответ: $(x-y)(a-b)$."],"step":1},{"id":"5","content":"Разложите на множители: $m(p-q)+3(q-p)$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$(p-q)(m-3)$","$(-p+q)(m+3)$","$(p-q)(m+3)$","$(p-q)(-m+3)$"],"explanations":["","Скобку $(q-p)$ выбрали общей, а знак у $m$ не изменили","Скобки $(p-q)$ и $(q-p)$ считали одинаковыми: $(q-p)=-(p-q)$","Знак всего произведения изменен: $(p-q)(3-m)=-(p-q)(m-3)$, у члена $mp$ получится минус"],"answer":[0]}},"hints":["Скобки $(p-q)$ и $(q-p)$ противоположны: $(q-p)=-(p-q)$.","Замените $3(q-p)$ на $-3(p-q)$ и вынесите общую скобку."],"step":1},{"id":"6","content":"Разложите на множители: $2ax-2ay+3bx-3by$.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$(x-y)(2a-3b)$","$6ab(x-y)$","$(x+y)(2a+3b)$","$(x-y)(2a+3b)$"],"explanations":["Знак при $3b$ изменили: член $3bx$ положительный","Слагаемые $2a$ и $3b$ перемножили вместо сложения","Знак между $x$ и $y$ изменили: члены с $y$ отрицательные",""],"answer":[3]}},"hints":["Сгруппируйте члены с общим множителем: из первой пары вынесите $2a$, из второй — $3b$.","Получится $2a(x-y)+3b(x-y)$: вынесите общую скобку."],"step":1},{"id":"6","content":"Разложите на множители: $4mx-4my+nx-ny$.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$4mn(x-y)$","$(x-y)(4m+n)$","$(x-y)(4m-n)$","$(x+y)(4m+n)$"],"explanations":["Слагаемые $4m$ и $n$ перемножили вместо сложения","","Знак при $n$ изменили: член $nx$ положительный","Знак между $x$ и $y$ изменили: члены с $y$ отрицательные"],"answer":[1]}},"hints":["Сгруппируйте члены с общим множителем: из первой пары вынесите $4m$, из второй — $n$.","Получится $4m(x-y)+n(x-y)$: вынесите общую скобку."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите значение выражения $xy+2x+3y+6$ при $x=96$, $y=8$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"990"}},"hints":["Сгруппируйте члены: $(xy+2x)+(3y+6)$, вынесите множители из каждой группы.","Получится $x(y+2)+3(y+2)$: вынесите общую скобку и подставьте числа."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите значение выражения $ab-4a+3b-12$ при $a=5$, $b=7$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Сгруппируйте члены: $(ab-4a)+(3b-12)$, вынесите множители из каждой группы.","Получится $a(b-4)+3(b-4)$: вынесите общую скобку и подставьте числа."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр группирует: $ab-2a-3b+6=a(b-2)-3(b+2)$. Что неверно?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Во второй группе: верно $-3(b-2)$","В первой группе: верно $a(2-b)$","Ошибки нет, раскрытие совпадает","В общей скобке: верно $(b+2)$"],"explanations":["","Первая группа верная, ошибка во второй: знак при последнем члене","Раскрытие дает другой многочлен: знак у последнего члена не совпадает с условием","Скобки $(b-2)$ и $(b+2)$ разные: общую скобку вынести нельзя, а в записи Решавра у первой группы скобка верная"],"answer":[0]}},"hints":["Раскройте скобки в каждой группе записи Решавра и сравните члены с условием.","Сравните знаки: у одного члена знак не совпадет с условием. Проверьте, как вынесен минус."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр группирует: $xy-5x-2y+10=x(y-5)-2(y+5)$. Что неверно?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["В первой группе: верно $x(5-y)$","Во второй группе: верно $-2(y-5)$","Ошибки нет, раскрытие совпадает","В общей скобке: верно $(y+5)$"],"explanations":["Первая группа верная, ошибка во второй: знак при последнем члене","","Раскрытие дает другой многочлен: знак у последнего члена не совпадает с условием","Скобки $(y-5)$ и $(y+5)$ разные: общую скобку вынести нельзя, а в записи Решавра у первой группы скобка верная"],"answer":[1]}},"hints":["Раскройте скобки в каждой группе записи Решавра и сравните члены с условием.","Сравните знаки: у одного члена знак не совпадет с условием. Проверьте, как вынесен минус."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Представьте в виде произведения многочлен $xa+ya+xb+x+yb+y$.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$(x+y)(ab+1)$","$(x+y)(a+b-1)$","$(x+y)(a+b+1)$","$(x+y)(a+b)$"],"explanations":["Члены $a$ и $b$ перемножили вместо сложения","Знак у единицы изменили","","Члены $x$ и $y$ потеряли: в каждой группе после вынесения остается $+1$"],"answer":[2]}},"hints":["Члены стоят вперемешку: переставьте их так, чтобы в одной группе оказались члены с общим множителем.","Сгруппируйте по три члена: в первую группу — члены с $x$, во вторую — члены с $y$.","После вынесения $x$ и $y$ получатся две одинаковые скобки: вынесите общую."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Представьте в виде произведения многочлен $ac+2a+bc+2+c+2b$.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$(a+b+1)(c-2)$","$(a+b+1)2c$","$(a+b+1)(c+2)$","$(a+b)(c+2)$"],"explanations":["Знак у числа $2$ изменили","Слагаемые $c$ и $2$ перемножили вместо сложения","","Члены $c$ и $2$ потеряли: в каждой группе остается $+1$"],"answer":[2]}},"hints":["Члены стоят вперемешку: переставьте их так, чтобы в одной группе оказались члены с общим множителем.","Сгруппируйте по три члена: в первую группу — члены, где есть $c$, во вторую — члены, где есть $2$.","После вынесения $c$ и $2$ получатся две одинаковые скобки: вынесите общую."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Какой из многочленов можно разложить на множители способом группировки?[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["$ab+c+bd+cd$","$ab+ac+bd+e$","$ab+ac+bd+cd$","$ab+ac+bd+ce$"],"explanations":["Разбиения $(ab+bd)+(c+cd)$ и другие дают скобки $(a+d)$ и $(1+d)$ — разные","Член $e$ не имеет общих множителей с остальными: общей скобки нет","","Разбиения $(ab+ac)+(bd+ce)$, $(ab+bd)+(ac+ce)$, $(ab+ce)+(ac+bd)$ не дают общей скобки"],"answer":[2]}},"hints":["Для каждого многочлена переберите разбиения на две пары и вынесите множитель в каждой паре.","Подходит многочлен, у которого в обеих парах получается одна и та же скобка; член без общих множителей с остальными мешает разложению.","Ответ: $ab+ac+bd+cd=a(b+c)+d(b+c)=(b+c)(a+d)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Какой из многочленов можно разложить на множители способом группировки?[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["$xy+xz+ty+tz$","$xy+xz+t+uz$","$xy+z+ty+tz$","$xy+xz+ty+uz$"],"explanations":["","Член $t$ не имеет общих множителей с остальными: общей скобки нет","Разбиения дают скобки $(x+t)$ и $(1+t)$ — разные","Разбиения $(xy+xz)+(ty+uz)$, $(xy+ty)+(xz+uz)$, $(xy+uz)+(xz+ty)$ не дают общей скобки"],"answer":[0]}},"hints":["Для каждого многочлена переберите разбиения на две пары и вынесите множитель в каждой паре.","Подходит многочлен, у которого в обеих парах получается одна и та же скобка; член без общих множителей с остальными мешает разложению.","Ответ: $xy+xz+ty+tz=x(y+z)+t(y+z)=(y+z)(x+t)$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>