7 класс Алгебра Одночлены и многочлены Многочлены

Разложение многочлена на множители способом группировки

Содержание

В уроке «Вынесение общего множителя за скобки» вы складывали части многочлена в один прямоугольник с общей стороной, а в уроке «Умножение многочлена на многочлен» раскрывали произведение двух скобок: каждый член одной скобки умножали на каждый член другой. Теперь разложим на множители многочлен, у членов которого нет общего множителя. Научимся разбивать члены на группы, выносить общую скобку, следить за знаками и проверять ответ умножением.

Четыре части без общей стороны

Начнем с вопроса, на который ответим в конце урока: как вычислить в уме $37\cdot 14+37\cdot 6+63\cdot 14+63\cdot 6$?

Участок разбит на четыре прямоугольные грядки: $3\times 5$, $3\times 4$, $2\times 5$ и $2\times 4$ метра. Их площади — $15$, $12$, $10$ и $8$ квадратных метров. Общей стороны у всех четырех грядок нет, поэтому сразу сложить их в один прямоугольник не получится. Сделаем это в два приема.

Грядки $3\times 5$ и $3\times 4$ имеют общую сторону $3$ и вместе образуют прямоугольник $3\times(5+4)$. Грядки $2\times 5$ и $2\times 4$ образуют прямоугольник $2\times(5+4)$. У двух новых прямоугольников общая сторона $5+4=9$: приставим их друг к другу по ней и получим прямоугольник $(3+2)\times 9$.

$$\begin{aligned}15+12+10+8&=3\cdot(5+4)+2\cdot(5+4)\\&=(3+2)(5+4)=45\end{aligned}$$

Четыре грядки 15, 12, 10, 8 складываются в два приема: 3·(5+4) и 2·(5+4), затем (3+2)(5+4)=45 — Сначала пары грядок с общей стороной складываются в два прямоугольника, а у этих прямоугольников общая сторона $9$: $15+12+10+8=(3+2)(5+4)$

Заменим числа буквами. Пусть одна сторона частей равна $a$ или $b$, а другая — $x$ или $y$. Площадь участка — многочлен $ax+ay+bx+by$. Общего множителя у всех четырех членов нет: буква $a$ есть только в двух членах, буква $x$ — тоже в двух. Вынести за скобки сразу нечего. Но два приема работают и здесь: сначала вынесем множитель из каждой пары, потом — одинаковую скобку.

$$\begin{aligned}ax+ay+bx+by&=a(x+y)+b(x+y)\\&=(a+b)(x+y)\end{aligned}$$

ax+ay+bx+by: две строки с общей стороной x+y, поэтому сумма равна (a+b)(x+y) — Части $ax$ и $ay$ дают прямоугольник $a(x+y)$, части $bx$ и $by$ — прямоугольник $b(x+y)$; их общая сторона $x+y$: $ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)$

Это равенство из прошлого урока, прочитанное справа налево: $(a+b)(x+y)=ax+ay+bx+by$. Поэтому любой ответ можно проверить умножением.

Определение

Способ группировки — способ разложения многочлена на множители: члены многочлена разбивают на группы, из каждой группы выносят общий множитель, а затем за скобки выносят одинаковую скобку, которая получилась во всех группах.

{"questions":[{"content":"Многочлен $mx+my+3x+3y$ разбивают на две группы, чтобы после вынесения общих множителей получилась одна и та же скобка. Какие разбиения удачные? Выберите все верные.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(mx+my)+(3x+3y)$","$(mx+my+3x)+(3y)$","$(mx+3y)+(my+3x)$","$(mx+3x)+(my+3y)$"],"explanations":["","У членов $mx$, $my$, $3x$ нет общего множителя, а $3y$ стоит без скобки: общей скобки нет","В группе $mx+3y$ нет общего множителя: вынести нечего","Это разбиение тоже удачное: $x(m+3)+y(m+3)$, скобки совпали"],"answer":[0,3]}},"hints":["Две части складываются в прямоугольник, только если у них есть общая сторона. Ищите группы, в которых у обоих членов есть общий множитель.","Вынесите множитель в каждой группе и сравните скобки: удачное разбиение дает две одинаковые скобки.","Ответ: $(mx+my)+(3x+3y)=m(x+y)+3(x+y)$ и $(mx+3x)+(my+3y)=x(m+3)+y(m+3)$."],"step":1},{"content":"Разложите на множители: $ac+bc+ad+bd$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$(a+b)(c+d)$","$ab(c+d)$","$(a-b)(c+d)$","$(a+b)(c-d)$"],"explanations":["","Множители $a$ и $b$ перемножили вместо сложения: после вынесения скобки остается сумма $a+b$","Знак между $a$ и $b$ изменили: все члены положительные","Знак между $c$ и $d$ изменили: все члены исходного многочлена положительные"],"answer":[0]}},"hints":["Члены $ac$ и $bc$ имеют общий множитель $c$, члены $ad$ и $bd$ — множитель $d$. Вынесите $c$ и $d$ из этих пар.","Получится $c(a+b)+d(a+b)$: скобка $(a+b)$ общая, ее можно вынести.","Ответ: $(a+b)(c+d)$."],"step":1}],"mix":1}

Три шага и проверка

Разберем способ по шагам на многочлене $mx-3m+2x-6$. В нем есть отрицательные члены, а отрицательных длин не бывает. Поэтому прямоугольник здесь только подсказывает, какие члены собирать вместе, а рассуждение опирается на действия с многочленами: вынести множитель из группы, затем вынести одинаковую скобку.

Алгоритм

Разбить члены на группы так, чтобы в каждой группе у членов был общий множитель.
Вынести общий множитель из каждой группы.
Если во всех группах получилась одна и та же скобка, вынести ее за скобки.
Проверить: раскрыть скобки в ответе и сравнить с исходным многочленом.

Пример

Разложите на множители $mx-3m+2x-6$.

1) Группы: $(mx-3m)+(2x-6)$. В первой группе общий множитель $m$, во второй — $2$.

2) Выносим множители: $m(x-3)+2(x-3)$.

3) В обеих группах скобка $(x-3)$, выносим ее: $(x-3)(m+2)$.

4) Проверка: $(x-3)(m+2)=xm+2x-3m-6$. Получились те же четыре члена с теми же знаками.

Ответ: $(x-3)(m+2)$.

Множители в ответе можно записать в любом порядке: $(x-3)(m+2)=(m+2)(x-3)$. Член $-6$ попал во вторую группу со своим знаком, поэтому из нее вынесли $2$, а в скобке получилось $x-3$. Проверять ответ можно и подстановкой: при $m=1$, $x=5$ исходный многочлен равен $5-3+10-6=6$, а произведение — $(5-3)(1+2)=6$.

{"questions":[{"content":"Расставьте по порядку шаги разложения многочлена $ax-5a+3x-15$ на множители способом группировки.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Разбить члены на пары с общим множителем: $(ax-5a)+(3x-15)$","Вынести множитель из каждой пары: получим $a(x-5)+3(x-5)$","Из полученной суммы вынести общую скобку $(x-5)$: получим $(x-5)(a+3)$","Раскрыть скобки в полученном произведении: получим $ax+3x-5a-15$ — исходный многочлен"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Каждый шаг работает с результатом предыдущего: множители выносят из уже составленных групп, общую скобку — из полученной суммы, а проверяют готовое произведение.","На этом многочлене: группы $(ax-5a)+(3x-15)$ → $a(x-5)+3(x-5)$ → $(x-5)(a+3)$ → раскрытие скобок.","Ответ: разбить на группы → вынести множитель из каждой группы → вынести общую скобку → раскрыть скобки и сравнить."],"step":1},{"content":"Разложите на множители: $3ax+3ay+2bx+2by$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$6ab(x+y)$","$(x+y)(3a-2b)$","$(x+y)(3a+2b)$","$(3a+2b)(x-y)$"],"explanations":["Слагаемые $3a$ и $2b$ перемножили вместо сложения","Знак изменили: все члены положительные","","Знак между $x$ и $y$ изменили: все члены положительные"],"answer":[2]}},"hints":["Разбейте на пары с общим множителем: $3ax+3ay$ и $2bx+2by$. Из первой пары вынесите $3a$, из второй — $2b$.","Получится $3a(x+y)+2b(x+y)$, общая скобка $(x+y)$.","Ответ: $(x+y)(3a+2b)$."],"step":1}],"mix":1}

Знаки в группе и скобка наоборот

Часто скобки в группах отличаются только знаками. Возьмем многочлен $2xy-6x-y+3$. Из первой группы вынесем $2x$: $2xy-6x=2x(y-3)$. Во второй группе $-y+3$ получается скобка $(-y+3)$, то есть $(3-y)$, а не $(y-3)$. Такие скобки называют противоположными.

Сравним разности $x-y$ и $y-x$ на числах. При $x=5$ и $y=2$: $x-y=3$, а $y-x=-3$. На числовой прямой это один и тот же отрезок между точками $2$ и $5$, пройденный в разные стороны: длина одна, знаки противоположны.

Скобки x−y и y−x: одна длина, противоположные направления; y−x=−(x−y) — Одна длина, разные направления: $x-y=3$, $y-x=-3$, поэтому $y-x=-(x-y)$

Противоположные скобки

Разности $x-y$ и $y-x$ отличаются только знаком:

$$y-x=-(x-y)$$

Чтобы во второй группе получилась такая же скобка, как в первой, выносят множитель с минусом. Знак меняется у каждого члена в скобке.

Пример

Разложите на множители $2xy-6x-y+3$.

Первая группа: $2xy-6x=2x(y-3)$. Во второй группе нужна та же скобка $(y-3)$, поэтому выносим $-1$: $-y+3=-(y-3)$.

$$\begin{aligned}2xy-6x-y+3&=2x(y-3)-(y-3)\\&=(y-3)(2x-1)\end{aligned}$$

В скобке $(2x-1)$ на месте второй группы стоит $-1$: это множитель, который вынесли из нее.

Проверка: $(y-3)(2x-1)=2xy-y-6x+3$ — исходный многочлен.

Ответ: $(y-3)(2x-1)$.

Ошибка

Решавр разложил на группы так: $3x-3y-ax+ay=3(x-y)-a(x+y)$. Из второй группы он вынес $-a$, но знак изменил только у первого члена.

Проверим. Раскроем скобки: $3(x-y)-a(x+y)=3x-3y-ax-ay$. В исходном многочлене $+ay$, а получилось $-ay$. При $x=2$, $y=1$, $a=1$ исходный многочлен равен $6-3-2+1=2$, а запись Решавра — $3\cdot 1-1\cdot 3=0$.

Где ломается рассуждение: при вынесении $-a$ каждый член группы делят на $-a$: $-ax:(-a)=x$, $ay:(-a)=-y$. Верно: $-ax+ay=-a(x-y)$, и тогда скобки совпадают:

$$\begin{aligned}3x-3y-ax+ay&=3(x-y)-a(x-y)\\&=(x-y)(3-a)\end{aligned}$$

Ошибка знака: вынесли −a, но в скобке (x+y) знак у ay не изменили; верно −a(x−y), скобки совпали — Раскрытие скобок ловит ошибку: вместо $+ay$ получилось $-ay$, значит, при вынесении $-a$ знак изменили не у всех членов

{"questions":[{"content":"Заполните пропуск: $7(y-x)=-7$[[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$(y-x)$","$(x-y)$","$(-x-y)$","$(x+y)$"],"answer":1}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Скобки $(y-x)$ и $(x-y)$ противоположны: при любых $x$ и $y$ их значения отличаются только знаком.","Значит, $(y-x)=-(x-y)$, и минус из скобки переходит в множитель перед ней.","Ответ: $(x-y)$."],"step":1},{"content":"Разложите на множители: $ab-3a-b+3$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(a+1)(b-3)$","$(a-3)(b-1)$","$(a-1)(b+3)$","$(a-1)(b-3)$"],"explanations":["При вынесении $-1$ знак не изменили: $-b+3=-(b-3)$, а не $+(b-3)$","Множители перепутаны: $(a-3)(b-1)=ab-a-3b+3$, а в условии $ab-3a-b+3$","Раскрытие дает $ab+3a-b-3$: в первой группе $ab-3a=a(b-3)$, скобка $(b-3)$",""],"answer":[3]}},"hints":["Первая группа: $ab-3a=a(b-3)$. Во второй группе $-b+3$ нужна та же скобка $(b-3)$, поэтому выносите $-1$.","$-b+3=-(b-3)$. Получится $a(b-3)-(b-3)$, общая скобка $(b-3)$.","Ответ: $(a-1)(b-3)$."],"step":1},{"content":"Решавр записал: $2m-6-mn+3n=2(m-3)-n(m+3)$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, раскрытие совпадает с условием","В общей скобке: верно $(m+3)$","Во второй группе: верно $-n(m-3)$, ответ $(m-3)(2-n)$","В первой группе: верно $2(3-m)$, ответ $(3-m)(2+n)$"],"explanations":["Раскрытие $2(m-3)-n(m+3)$ дает $2m-6-mn-3n$, а в условии $+3n$","Скобки $(m-3)$ и $(m+3)$ разные: общую скобку вынести нельзя, а у первой группы скобка $(m-3)$ верная","","Первая группа записана верно: $2m-6=2(m-3)$; а $2(3-m)=6-2m$"],"answer":[2]}},"hints":["Раскройте скобки в записи Решавра и сравните знак при $3n$ с условием.","При вынесении $-n$ знак меняется у каждого члена группы: $-mn+3n=-n(m-3)$.","Ответ: ошибка во второй группе, верно $(m-3)(2-n)$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Групп может быть больше двух

Иногда считают, что способом группировки раскладываются только многочлены с четным числом членов. Это неверно. Возьмем прямоугольник со сторонами $a+b+1$ и $c+d+1$. Он разрезан на девять частей: $ac$, $ad$, $a$, $bc$, $bd$, $b$, $c$, $d$ и $1$. Его площадь — многочлен из девяти членов:

$$ac+ad+a+bc+bd+b+c+d+1$$

Прямоугольник (a+b+1)(c+d+1) из девяти частей: три строки-группы с общей скобкой c+d+1 — Каждая строка — группа из трех частей с общей стороной $a$, $b$ или $1$; у всех строк общая длина $c+d+1$

Каждая строка прямоугольника — группа из трех членов с общей стороной: $a$, $b$ или $1$. Вынесем множитель из каждой группы:

$$\begin{aligned}(ac+ad+a)+(bc+bd+b)+(c+d+1)\\&=a(c+d+1)+b(c+d+1)+1\cdot(c+d+1)\end{aligned}$$

Во всех трех группах одна и та же скобка, выносим ее:

$$\begin{aligned}ac+ad+a+bc+bd+b+c+d+1\\&=(c+d+1)(a+b+1)\end{aligned}$$

Обратите внимание на единицы. В первой группе член $a$ равен вынесенному множителю, поэтому в скобке на его месте остается $1$. Третья группа — это $1\cdot(c+d+1)$, и в итоговой скобке на ее месте тоже $1$. Если потерять единицы, получится $(c+d)(a+b)$ — это всего четыре члена вместо девяти.

Группировать можно и по столбцам прямоугольника: $c(a+b+1)+d(a+b+1)+1\cdot(a+b+1)$ — ответ тот же.

Важно

Способ группировки работает не при четном числе членов, а тогда, когда после вынесения множителей во всех группах получилась одна и та же скобка. Групп может быть две, три и больше, а в группе — два, три и больше членов.

{"questions":[{"content":"Какое утверждение о способе группировки верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Способ работает, только если число членов четное","В каждой группе должно быть ровно два члена","Без общего множителя у всех членов разложить многочлен нельзя","Группы должны дать одинаковую скобку, а членов может быть и нечетное число"],"explanations":["Многочлен из девяти членов раскладывается тремя группами по три: $(a+b+1)(c+d+1)$","Группы бывают и по три члена: $ax+ay+az+bx+by+bz=a(x+y+z)+b(x+y+z)$","У $ax+ay+bx+by$ нет общего множителя всех членов, но он равен $(a+b)(x+y)$",""],"answer":[3]}},"hints":["Вспомните прямоугольник из девяти частей $(a+b+1)(c+d+1)$: сколько в нем членов и сколько групп?","Проверьте каждое утверждение на многочленах из урока: $ax+ay+bx+by$ и многочлене из девяти членов.","Ответ: группы должны дать одинаковую скобку, а членов может быть и нечетное число."],"step":1},{"content":"Разложите на множители: $ac+ad+a+bc+bd+b$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$(a+b)(cd+1)$","$(a+b)(c+d-1)$","$(a+b)(c+d)$","$(a+b)(c+d+1)$"],"explanations":["Члены $c$ и $d$ перемножили вместо сложения","Знак у единицы изменили: члены $a$ и $b$ положительные","Члены $a$ и $b$ потеряли: в каждой группе после вынесения остается $+1$",""],"answer":[3]}},"hints":["У членов $ac$, $ad$, $a$ общий множитель $a$, у членов $bc$, $bd$, $b$ — множитель $b$. Возьмите две группы по три члена.","Вынесите $a$ и $b$: на месте членов $a$ и $b$ в скобках остается $1$, получится $a(c+d+1)+b(c+d+1)$.","Ответ: $(a+b)(c+d+1)$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Если скобки не совпали

Не каждое разбиение на группы удачное. Иногда члены записаны вперемешку, и группы подряд не дают общей скобки. Тогда члены переставляют и группируют иначе.

Пример

Разложите на множители $ab+10+2a+5b$.

Группы подряд, $(ab+10)+(2a+5b)$, не подходят: ни в одной из них нет общего множителя.

Переставим члены так, чтобы в каждой паре был общий множитель: $(ab+2a)+(5b+10)=a(b+2)+5(b+2)=(b+2)(a+5)$.

Подходит и другое разбиение: $(ab+5b)+(2a+10)=b(a+5)+2(a+5)$ — ответ тот же.

Проверка: $(b+2)(a+5)=ab+5b+2a+10$.

Ответ: $(b+2)(a+5)$.

Бывает, что не подходит ни одно разбиение. Четыре члена можно разбить на две пары тремя способами. Переберем их для многочлена $ax+ay+bx-by$:

Разбиение	После вынесения множителей	Скобки
$(ax+ay)+(bx-by)$	$a(x+y)+b(x-y)$	разные
$(ax+bx)+(ay-by)$	$x(a+b)+y(a-b)$	разные
$(ax-by)+(ay+bx)$	общего множителя в группах нет	—

Ни одно разбиение не дает одинаковых скобок, значит, способом группировки этот многочлен на множители не раскладывается. На языке прямоугольников: части складываются в два прямоугольника, но их стороны $x+y$ и $x-y$ разные, и приставить их друг к другу по общей стороне нельзя.

Проверка и перегруппировка

Если скобки в группах не совпали, попробуйте другое разбиение. Ответ проверяйте умножением: каждый член одной скобки умножьте на каждый член другой — должен получиться исходный многочлен с теми же знаками.

В интерактиве четыре задания. В каждом выберите ответ — удачное разбиение или запись группы — и проверьте прогноз. После проверки появятся разбор вашего выбора и верное решение: какие скобки получаются после вынесения множителей. В последнем задании выберите удачные разбиения многочлена из шести членов.

gruppirovka-razbienie

Вернемся к вопросу из начала урока. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми множителями:

$$\begin{aligned}37\cdot 14+37\cdot 6+63\cdot 14+63\cdot 6\\&=37\cdot(14+6)+63\cdot(14+6)\\&=(37+63)(14+6)=100\cdot 20=2000\end{aligned}$$

Так же разложение помогает находить значение выражения: подставлять числа в короткие скобки проще, чем в каждый член многочлена.

Углубление: многочлен из трех членов

Скрыть

В многочлене $x^2-5x+6$ три члена, и разбить их на группы с одинаковой скобкой нельзя. Но член $-5x$ можно записать суммой двух подобных членов, например $-5x=-2x-3x$. Тогда членов станет четыре:

$$\begin{aligned}x^2-5x+6&=x^2-2x-3x+6\\&=x(x-2)-3(x-2)\\&=(x-2)(x-3)\end{aligned}$$

Почему именно $-2x$ и $-3x$? Из первой группы выносим $x$ и получаем скобку $(x-2)$. Из второй группы $-3x+6$ выносим $-3$ и получаем $(x-2)$, потому что $6:(-3)=-2$. Скобки совпадают, когда сумма двух чисел равна $-5$, а их произведение равно $6$. Если взять другие слагаемые, например $-5x=-x-4x$, получится $x(x-1)-2(2x-3)$ — скобки разные.

Проверка: $(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$.

{"questions":[{"content":"Ученик записал: $ax+bx-ay-by=(a+b)(x+y)$. Проверьте умножением. Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Неверно, верно $(a+b)(y-x)$","Верно: общая скобка $(a+b)$ найдена правильно","Неверно, верно $(a-b)(x+y)$","Неверно, верно $(a+b)(x-y)$"],"explanations":["Знаки в скобке перепутаны: $(a+b)(y-x)=ay-ax+by-bx$, а в условии при $ax$ плюс","Скобка $(a+b)$ верная, но раскрытие $(a+b)(x+y)$ дает $+ay+by$, а в условии $-ay-by$","После раскрытия получится $ax+ay-bx-by$, а в условии $ax+bx-ay-by$",""],"answer":[3]}},"hints":["Раскройте скобки в записи ученика: умножьте каждый член $a+b$ на каждый член $x+y$ и сравните знаки с условием.","Получится $ax+ay+bx+by$, а в условии при $ay$ и $by$ минус. Сгруппируйте заново: $x(a+b)-y(a+b)$.","Ответ: неверно, верно $(a+b)(x-y)$."],"step":1},{"content":"Распределите многочлены: какие раскладываются на множители способом группировки, а какие — нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Раскладывается группировкой","Не раскладывается группировкой"],"items":[["$xy-x+y-1$","$ab+5a+2b+10$","$mn-3m+2n-6$"],["$xy+x+y-1$","$ab+5a+2b+5$","$mn+3m+2n-6$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Для каждого многочлена переберите разбиения на две пары и вынесите множитель в каждой паре: скобки должны совпасть.","Например, $xy-x+y-1=x(y-1)+(y-1)$, а у $xy+x+y-1$ получаются $x(y+1)+(y-1)$ или $y(x+1)+(x-1)$ — скобки разные.","Ответ: раскладываются $xy-x+y-1$, $ab+5a+2b+10$, $mn-3m+2n-6$; не раскладываются $xy+x+y-1$, $ab+5a+2b+5$, $mn+3m+2n-6$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $ab+3a+b+3$ при $a=99$, $b=7$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1000"}},"hints":["Сначала разложите на множители: $(ab+3a)+(b+3)=a(b+3)+(b+3)$.","Получится $(a+1)(b+3)$. Подставьте $a=99$, $b=7$ в скобки.","Ответ: 1000."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Способ группировки нужен, когда у всех членов многочлена нет общего множителя, но его можно найти у отдельных групп. Он помогает считать в уме и находить значения выражений, а в следующем уроке разложение на множители поможет решать уравнения. Чтобы вспомнить способ, представьте части прямоугольника: сначала сложите их в прямоугольники с общей стороной, потом — в один.

Часто задаваемые вопросы

Обязательно ли число членов должно быть четным?

Нет. Многочлен $ac+ad+a+bc+bd+b+c+d+1$ из девяти членов раскладывается тремя группами по три: $(c+d+1)(a+b+1)$. Важно другое: после вынесения множителей во всех группах должна получиться одна и та же скобка.

Как понять, какие члены объединять в группу?

Ищите члены с общим множителем: одинаковой буквой или общим делителем коэффициентов. Вынесите множитель из каждой группы и сравните скобки. Если скобки разные, переставьте члены и попробуйте другое разбиение — часто подходят сразу два разных разбиения.

Можно ли записать ответ по-другому?

Множители можно переставлять: $(x-3)(m+2)=(m+2)(x-3)$. Можно также изменить знак у обоих множителей сразу: $(y-3)(2x-1)=(3-y)(1-2x)$. Проверка умножением в обоих случаях дает исходный многочлен.

Что делать, если ни одно разбиение не подходит?

Тогда многочлен не раскладывается способом группировки. Например, у $ax+ay+bx-by$ все три разбиения на пары дают разные скобки. Существуют и другие способы разложения на множители, с ними вы познакомитесь позже.

Зачем проверять ответ, если все шаги сделаны правильно?

Чаще всего ошибаются в знаках при вынесении множителя с минусом, а проверка умножением ловит такую ошибку сразу. Раскройте скобки и сравните члены и знаки с исходным многочленом. Быстрая проверка — подставить простые числа, например $1$ и $2$: значения должны совпасть.

Награды за урок