Сложение и вычитание многочленов

Узнав о том, чем же являются многочлены, мы можем приступить к изучению действий с многочленами. Также, как и одночлены, многочлены можно вычитать и складывать.

Сложение

Предположим, что нам нужно сложить два многочлена:

$\textcolor{lightblue}{3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-7xy+x+11}$ и $\textcolor{purple}{-2xy^{2}+x^{2}y^{2}+2xy+y-2}$

Для того чтобы произвести нужное нам арифметическое действие, мы возьмем данные многочлены в скобки и поставим между ними знак «$+$»:

$$(\textcolor{lightblue}{3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-7xy+x+11})+(\textcolor{purple}{ -2xy^{2}+x^{2}y^{2}+2xy+y-2})$$

Теперь мы можем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые (если таковые имеются). Чтобы раскрыть скобки, стоящие после знака «$+$», нужно просто опустить данные скобки и переписать многочлен:

$$\textcolor{blue}{3xy^{2}}\textcolor{orange}{+5x^{2}y^{2}}\textcolor{darkgreen}{-7xy}+x\textcolor{coral}{+11}\textcolor{blue}{-2xy^{2}}\textcolor{orange}{+x^{2}y^{2}}\textcolor{darkgreen}{+2xy}\textcolor{gray}{+y}\textcolor{coral}{-2}$$

Для удобства запишем подобные многочлены друг за другом:

$$ \textcolor{blue}{3xy^{2}}\textcolor{blue}{-2xy^{2}}\textcolor{orange}{+5x^{2}y^{2}} \textcolor{orange}{+x^{2}y^{2}} \textcolor{darkgreen}{-7xy}\textcolor{darkgreen}{+2xy}+x\textcolor{gray}{+y}\textcolor{coral}{+11}\textcolor{coral}{-2}=$$

$$=\textcolor{blue}{xy^{2}}\textcolor{orange}{+6x^{2}y^{2}}\textcolor{darkgreen}{-5xy}+x\textcolor{gray}{+y}\textcolor{coral}{+9}$$

Полученный многочлен и будет являться суммой двух данных многочленов.

{"questions":[{"content":"Найди сумму многочленов и запиши ответ в стандартном виде:<br />$\\textcolor{lightblue}{-5x^{2}-4}$ и $\\textcolor{purple}{5x^{2}-6+xy}$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["xy-10","ху-10"]}},"hints":["Возьми многочлены в скобки и поставь между ними знак \"$+$\".","Получается выражение $(\\textcolor{lightblue}{-5x^{2}-4})+(\\textcolor{purple}{5x^{2}-6+xy})$.","Раскрой скобки выражения.","Получается выражение $-5x^{2}-4+5x^{2}-6+xy$.","Приведи подобные слагаемые $-5x^{2}$ и $5x^{2}$.","Приведи подобные слагаемые $-4$ и $-6$.","Ответ: $xy-10$."]}]}

Рассмотрим еще один пример сложения многочленов:

$$(ab^{3}-z+5)+(6ab^{3}+2z)+(4z-4)$$

Расскрываем скобки каждого многочлена:

$$\textcolor{coral}{ab^{3}}\textcolor{blue}{-z}\textcolor{orange}{+5}\textcolor{coral}{+6ab^{3}}\textcolor{blue}{+2z}\textcolor{blue}{+4z}\textcolor{orange}{-4}$$

Дла наглядности записываем подобные слагаемые друг за другом, а затем приводим выражение в стандартный вид:

$$\textcolor{coral}{ab^{3}}\textcolor{coral}{+6ab^{3}}\textcolor{blue}{-z}\textcolor{blue}{+2z}\textcolor{blue}{+4z}\textcolor{orange}{+5}\textcolor{orange}{-4}=$$

$$=\textcolor{coral}{7ab^{3}}\textcolor{blue}{+5z}\textcolor{orange}{+1}$$

Мы получили сумму трех многочленов.

{"questions":[{"content":"Найди сумму многочленов и запиши ответ в стандартном виде:<br />$$(6m-10)+(5n^{2}+6m)+(-5n^{2}+20)$$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"12m+10"}},"hints":["Раскрой скобки выражения.","Получается выражение $6m-10+5n^{2}+6m-5n^{2}+20$","Приведи подобные слагаемые $5n^{2}$ и $-5n^{2}$.","Приведи подобные слагаемые $6m$ и $6m$.","Приведи подобные слагаемые $-10$ и $20$.","Ответ: $12m+10$."]}]}

Если сумма двух многочленов равна $0$, то их называют противоположными.

Примером противоположных многочленов многут служить данные выражения:

$\textcolor{coral}{7p^{3}-8m+mn-3}$ и $\textcolor{darkgreen}{-7p^{3}+8m-mn+3}$

Вычитание

Для того чтобы вычесть из одного многочлена другой, нужно придерживаться схожего алгоритма выполнения задания. Давайте рассмотрим такие же многочлены, которые мы уже использовали при сложении, только теперь будем их вычитать. Первым делом возьмем многочлены в скобки и поставим между ними знак «$-$»:

$$(\textcolor{blue}{3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-7xy+x+11})-(\textcolor{orange}{ -2xy^{2}+x^{2}y^{2}+2xy+y-2})$$

Сейчас нам нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые (при их наличии). Для того чтобы расскрыть скобки, которые стоят после знака «$-$», нужно у всех слагаемых в этих скобках поменять знак на противоположный:

$$(3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-7xy+x+11)-(\textcolor{darkgreen}{-}2xy^{2}\textcolor{red}{+}x^{2}y^{2}\textcolor{red}{+}2xy\textcolor{red}{+}y\textcolor{darkgreen}{-}2)=$$

$$=3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-7xy+x+11\textcolor{red}{+}2xy^{2}\textcolor{darkgreen}{-}x^{2}y^{2}\textcolor{darkgreen}{-}2xy\textcolor{darkgreen}{-}y\textcolor{red}{+}2$$

Затем приведем подобные:

$$\textcolor{lightblue}{3xy^{2}}\textcolor{green}{+5x^{2}y^{2}}\textcolor{purple}{-7xy}+x\textcolor{coral}{+11}\textcolor{lightblue}{+2xy^{2}}\textcolor{green}{-x^{2}y^{2}}\textcolor{purple}{-2xy}\textcolor{gray}{-y}\textcolor{coral}{+2}$$

Запишем подобные члены друг за другом для удобства вычисления:

$$\textcolor{lightblue}{3xy^{2}}\textcolor{lightblue}{+2xy^{2}}\textcolor{green}{+5x^{2}y^{2}}\textcolor{green}{-x^{2}y^{2}}\textcolor{purple}{-7xy}\textcolor{purple}{-2xy}+x\textcolor{gray}{-y}\textcolor{coral}{+11}\textcolor{coral}{+2}=$$

$$=\textcolor{lightblue}{5xy^{2}}\textcolor{green}{+4x^{2}y^{2}}\textcolor{purple}{-9xy}+x\textcolor{gray}{-y}\textcolor{coral}{+13}$$

Полученный многочлен будет считаться разностью данных нам многочленов.

Стоит запомнить, что при сложении и вычитании многочленов всегда получается многочлен.

{"mix":1,"questions":[{"widgets":{"choice":{"type":"choice","options":["$6m-3c-1$","$-6m+3c+1$","$2m-3c+1$","$3c+3$"],"explanations":["","Если перед скобками стоит знак $-$, то знаки перед членами внутри скобки меняются на противоположные","",""],"answer":[0]}},"content":"Чему равно выражение $-(-2m+3c-4m+1)$[[choice]]","hints":["Перед скобками стоит знак $-$, значит, знаки перед членами внутри скобки меняются на противоположные","Опустим скобки и заменим все знаки внутри скобки на противоположные:<br>\n$+2m-3c+4m-1$","Приведём подобные члены:\n$+2m-3c+4m-1 = 6m-3c-1$"]},{"content":"Найди разность многочленов и запиши ответ в стандартном виде:<br />$\\textcolor{blue}{4z^{2}-7x+3}$ и $\\textcolor{orange}{4z^{2}-8x+11}$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["x-8","х-8"]}},"hints":["Возьми многочлены в скобки и поставь между ними знак \"$-$\".","Получается выражение $(\\textcolor{blue}{4z^{2}-7x+3})-(\\textcolor{orange}{4z^{2}-8x+11})$.","Раскрой скобки выражения.","Получается выражение $4z^{2}-7x+3-4z^{2}+8x-11$.","Приведи подобные слагаемые $4z^{2}$ и $-4z^{2}$.","Приведи подобные слагаемые $-7x$ и $8x$.","Приведи подобные слагаемые $3$ и $-11$.","Ответ: $x-8$."]}]}

Рассмотрим еще один пример вычитания многочленов:

$$(p-m+3)-(pm-m-40)-(p^{4}+3p+6)$$

Расскроем скобки, меняя знаки внутри у тех многочленов, скобки которых стоят перед знаком «$-$»:

$$(p-m+3)-(pm\textcolor{darkgreen}{-}m\textcolor{darkgreen}{-}40)-(p^{4}\textcolor{red}{+}3p\textcolor{red}{+}6)=$$

$$=p-m+3\textcolor{darkgreen}{-}pm\textcolor{red}{+}m\textcolor{red}{+}40\textcolor{darkgreen}{-}p^{4}\textcolor{darkgreen}{-}3p\textcolor{darkgreen}{-}6$$

Запишем подобные друг за другом, после чего приведем многочлен в стандартный вид:

$$\textcolor{lightblue}{p}\textcolor{purple}{-m}\textcolor{coral}{+3}-pm \textcolor{purple}{+m}\textcolor{coral}{+40}\textcolor{blue}{-p^{4}}\textcolor{lightblue}{-3p}\textcolor{coral}{-6}=$$

$$\textcolor{blue}{-p^{4}}-pm\textcolor{lightblue}{+p}\textcolor{lightblue}{-3p}\textcolor{purple}{-m}\textcolor{purple}{+m}\textcolor{coral}{+3}\textcolor{coral}{+40}\textcolor{coral}{-6}=$$

$$=\textcolor{blue}{-p^{4}}-pm\textcolor{lightblue}{-2p}\textcolor{coral}{+37}$$

Мы получили разность трех многочленов.

{"questions":[{"content":"Найди разность многочленов и запиши ответ в стандартном виде:<br />$$(13a^{3}-10b)-(b+a-13)-(13a^{3}+9b)$$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-a-20b+13"]}},"hints":["Раскрой скобки выражения.","Получается выражение $13a^{3}-10b-b-a+13-13a^{3}-9b$.","Приведи подобные слагаемые $13^{3}$ и $-13a^{3}$.","Приведи подобные слагаемые $-10b$, $-b$ и $-9b$.","Ответ: $-a-20b+13$."]}]}