Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Сложение и вычитание многочленов

Содержание

    Узнав о том, чем же являются многочлены, мы можем приступить к изучению действий с многочленами. Также, как и одночлены, многочлены можно вычитать и складывать.

    Сложение

    Предположим, что нам нужно сложить два многочлена:

    $\textcolor{lightblue}{3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-7xy+x+11}$ и $\textcolor{purple}{-2xy^{2}+x^{2}y^{2}+2xy+y-2}$

    Для того чтобы произвести нужное нам арифметическое действие, мы возьмем данные многочлены в скобки и поставим между ними знак «$+$»:

    $$(\textcolor{lightblue}{3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-7xy+x+11})+(\textcolor{purple}{ -2xy^{2}+x^{2}y^{2}+2xy+y-2})$$

    Теперь мы можем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые (если таковые имеются). Чтобы раскрыть скобки, стоящие после знака «$+$», нужно просто опустить данные скобки и переписать многочлен:

    $$\textcolor{blue}{3xy^{2}}\textcolor{orange}{+5x^{2}y^{2}}\textcolor{darkgreen}{-7xy}+x\textcolor{coral}{+11}\textcolor{blue}{-2xy^{2}}\textcolor{orange}{+x^{2}y^{2}}\textcolor{darkgreen}{+2xy}\textcolor{gray}{+y}\textcolor{coral}{-2}$$

    Для удобства запишем подобные многочлены друг за другом:

    $$ \textcolor{blue}{3xy^{2}}\textcolor{blue}{-2xy^{2}}\textcolor{orange}{+5x^{2}y^{2}} \textcolor{orange}{+x^{2}y^{2}} \textcolor{darkgreen}{-7xy}\textcolor{darkgreen}{+2xy}+x\textcolor{gray}{+y}\textcolor{coral}{+11}\textcolor{coral}{-2}=$$

    $$=\textcolor{blue}{xy^{2}}\textcolor{orange}{+6x^{2}y^{2}}\textcolor{darkgreen}{-5xy}+x\textcolor{gray}{+y}\textcolor{coral}{+9}$$

    Полученный многочлен и будет являться суммой двух данных многочленов.

    Рассмотрим еще один пример сложения многочленов:

    $$(ab^{3}-z+5)+(6ab^{3}+2z)+(4z-4)$$

    Расскрываем скобки каждого многочлена:

    $$\textcolor{coral}{ab^{3}}\textcolor{blue}{-z}\textcolor{orange}{+5}\textcolor{coral}{+6ab^{3}}\textcolor{blue}{+2z}\textcolor{blue}{+4z}\textcolor{orange}{-4}$$

    Дла наглядности записываем подобные слагаемые друг за другом, а затем приводим выражение в стандартный вид:

    $$\textcolor{coral}{ab^{3}}\textcolor{coral}{+6ab^{3}}\textcolor{blue}{-z}\textcolor{blue}{+2z}\textcolor{blue}{+4z}\textcolor{orange}{+5}\textcolor{orange}{-4}=$$

    $$=\textcolor{coral}{7ab^{3}}\textcolor{blue}{+5z}\textcolor{orange}{+1}$$

    Мы получили сумму трех многочленов.

    Если сумма двух многочленов равна $0$, то их называют противоположными.

    Примером противоположных многочленов многут служить данные выражения:

    $\textcolor{coral}{7p^{3}-8m+mn-3}$ и $\textcolor{darkgreen}{-7p^{3}+8m-mn+3}$

    Вычитание

    Для того чтобы вычесть из одного многочлена другой, нужно придерживаться схожего алгоритма выполнения задания. Давайте рассмотрим такие же многочлены, которые мы уже использовали при сложении, только теперь будем их вычитать. Первым делом возьмем многочлены в скобки и поставим между ними знак «$-$»:

    $$(\textcolor{blue}{3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-7xy+x+11})-(\textcolor{orange}{ -2xy^{2}+x^{2}y^{2}+2xy+y-2})$$

    Сейчас нам нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые (при их наличии). Для того чтобы расскрыть скобки, которые стоят после знака «$-$», нужно у всех слагаемых в этих скобках поменять знак на противоположный:

    $$(3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-7xy+x+11)-(\textcolor{darkgreen}{-}2xy^{2}\textcolor{red}{+}x^{2}y^{2}\textcolor{red}{+}2xy\textcolor{red}{+}y\textcolor{darkgreen}{-}2)=$$

    $$=3xy^{2}+5x^{2}y^{2}-7xy+x+11\textcolor{red}{+}2xy^{2}\textcolor{darkgreen}{-}x^{2}y^{2}\textcolor{darkgreen}{-}2xy\textcolor{darkgreen}{-}y\textcolor{red}{+}2$$

    Затем приведем подобные:

    $$\textcolor{lightblue}{3xy^{2}}\textcolor{green}{+5x^{2}y^{2}}\textcolor{purple}{-7xy}+x\textcolor{coral}{+11}\textcolor{lightblue}{+2xy^{2}}\textcolor{green}{-x^{2}y^{2}}\textcolor{purple}{-2xy}\textcolor{gray}{-y}\textcolor{coral}{+2}$$

    Запишем подобные члены друг за другом для удобства вычисления:

    $$\textcolor{lightblue}{3xy^{2}}\textcolor{lightblue}{+2xy^{2}}\textcolor{green}{+5x^{2}y^{2}}\textcolor{green}{-x^{2}y^{2}}\textcolor{purple}{-7xy}\textcolor{purple}{-2xy}+x\textcolor{gray}{-y}\textcolor{coral}{+11}\textcolor{coral}{+2}=$$

    $$=\textcolor{lightblue}{5xy^{2}}\textcolor{green}{+4x^{2}y^{2}}\textcolor{purple}{-9xy}+x\textcolor{gray}{-y}\textcolor{coral}{+13}$$

    Полученный многочлен будет считаться разностью данных нам многочленов.

    Стоит запомнить, что при сложении и вычитании многочленов всегда получается многочлен.

    Рассмотрим еще один пример вычитания многочленов:

    $$(p-m+3)-(pm-m-40)-(p^{4}+3p+6)$$

    Расскроем скобки, меняя знаки внутри у тех многочленов, скобки которых стоят перед знаком «$-$»:

    $$(p-m+3)-(pm\textcolor{darkgreen}{-}m\textcolor{darkgreen}{-}40)-(p^{4}\textcolor{red}{+}3p\textcolor{red}{+}6)=$$

    $$=p-m+3\textcolor{darkgreen}{-}pm\textcolor{red}{+}m\textcolor{red}{+}40\textcolor{darkgreen}{-}p^{4}\textcolor{darkgreen}{-}3p\textcolor{darkgreen}{-}6$$

    Запишем подобные друг за другом, после чего приведем многочлен в стандартный вид:

    $$\textcolor{lightblue}{p}\textcolor{purple}{-m}\textcolor{coral}{+3}-pm \textcolor{purple}{+m}\textcolor{coral}{+40}\textcolor{blue}{-p^{4}}\textcolor{lightblue}{-3p}\textcolor{coral}{-6}=$$

    $$\textcolor{blue}{-p^{4}}-pm\textcolor{lightblue}{+p}\textcolor{lightblue}{-3p}\textcolor{purple}{-m}\textcolor{purple}{+m}\textcolor{coral}{+3}\textcolor{coral}{+40}\textcolor{coral}{-6}=$$

    $$=\textcolor{blue}{-p^{4}}-pm\textcolor{lightblue}{-2p}\textcolor{coral}{+37}$$

    Мы получили разность трех многочленов.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение