Многочлен. Стандартный вид и степень многочлена

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Распределите выражения: какие из них многочлены, а какие — нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Многочлен","Не многочлен"],"items":[["$3x$","$x^2-y$","$5$"],["$\\frac{4}{x}$","$x+\\frac{1}{y}$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Многочлен — сумма одночленов; одночлен и число — тоже многочлены.","Деление на переменную одночленом не является: в $\\frac{4}{x}$ и $\\frac{1}{y}$ переменная стоит в знаменателе.","Ответ: многочлены — $3x$, $x^2-y$, $5$; не многочлены — $\\frac{4}{x}$, $x+\\frac{1}{y}$."],"step":1},{"id":"1","content":"Распределите выражения: какие из них многочлены, а какие — нет.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Многочлен","Не многочлен"],"items":[["$-7$","$2ab$","$a^2+b$"],["$\\frac{a}{b}$","$\\frac{3}{a}-a$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Многочлен — сумма одночленов; одночлен и число — тоже многочлены.","Деление на переменную одночленом не является: в $\\frac{a}{b}$ и $\\frac{3}{a}$ переменная стоит в знаменателе.","Ответ: многочлены — $-7$, $2ab$, $a^2+b$; не многочлены — $\\frac{a}{b}$, $\\frac{3}{a}-a$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите коэффициент при $a$ в многочлене $9-2a-a^2$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Член с $a$ в первой степени — $-2a$.","Коэффициент берут со знаком. Ответ: $-2$."],"step":1},{"id":"2","content":"Найдите коэффициент при $y$ в многочлене $5-7y+y^3$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-7"}},"hints":["Член с $y$ в первой степени — $-7y$.","Коэффициент берут со знаком. Ответ: $-7$."],"step":1},{"id":"3","content":"Приведите подобные члены: $3x^2y-xy^2+4x^2y+5xy^2$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$7x^2y-4xy^2$","$7x^2y+4xy^2$","$7x^2y+6xy^2$","$11x^2y^2$"],"explanations":["У $xy^2$ коэффициент $-1+5=4$ со знаком плюс: $5$ по модулю больше $1$","","Коэффициент при $xy^2$: $-1+5=4$, а не $6$ — минус единицу не заметили","Члены с $x^2y$ и $xy^2$ — разные виды, их складывать нельзя"],"answer":[1]}},"hints":["Группируем члены с одинаковой буквенной частью.","Складываем коэффициенты, буквенную часть оставляем.","Ответ: $7x^2y+4xy^2$."],"step":1},{"id":"3","content":"Приведите подобные члены: $6ab^2-2a^2b-ab^2+3a^2b$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$11a^2b^2$","$a^2b+5ab^2$","$a^2b+7ab^2$","$5a^2b+ab^2$"],"explanations":["Члены $ab^2$ и $a^2b$ — разные виды, их складывать нельзя","","Коэффициент при $ab^2$: $6-1=5$, а не $7$ — минус при $ab^2$ потерян","Коэффициенты перепутаны: у $a^2b$ получается $-2+3=1$, у $ab^2$ — $6-1=5$"],"answer":[1]}},"hints":["Группируем члены с одинаковой буквенной частью.","Складываем коэффициенты, буквенную часть оставляем.","Ответ: $a^2b+5ab^2$."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите степень многочлена $2x^2y+xy^3-5$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Степень члена — сумма показателей: $x^2y$ — 3, $xy^3$ — $1+3=4$, $-5$ — нуль.","Наибольшая — 4. Ответ: 4."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите степень многочлена $3a^3b-ab^2+a$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Степень члена — сумма показателей: $a^3b$ — $3+1=4$, $ab^2$ — 3, $a$ — 1.","Наибольшая — 4. Ответ: 4."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите значение многочлена $2x^2-x+3$ при $x=-3$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["Подставляем: $2\\cdot(-3)^2-(-3)+3$.","$(-3)^2=9$, $2\\cdot9=18$; $-(-3)=3$.","$18+3+3=24$. Ответ: 24."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите значение многочлена $-x^2+4x$ при $x=-2$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-12"}},"hints":["Подставляем: $-(-2)^2+4\\cdot(-2)$.","$(-2)^2=4$, поэтому $-(-2)^2=-4$; $4\\cdot(-2)=-8$.","$-4-8=-12$. Ответ: $-12$."],"step":1},{"id":"6","content":"Многочлен $6a+2b-a-2b+3$ в стандартном виде равен [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$5a-4b+3$","$5a+3$","$7a+3$","$5a+4b+3$"],"answer":1}},"hints":["Находим подобные члены — члены с одинаковой буквенной частью.","$6a-a=5a$; $2b-2b=0$ — члены с $b$ исчезают; $3$ остается.","Ответ: $5a+3$."],"step":1},{"id":"6","content":"Многочлен $3y^2-2y+y^2+2y-5$ в стандартном виде равен [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$2y^2-5$","$4y^4-5$","$4y^2-5$","$4y^2-4y-5$"],"answer":2}},"hints":["Находим подобные члены — члены с одинаковой буквенной частью.","$3y^2+y^2=4y^2$; $-2y+2y=0$ — члены с $y$ исчезают; $-5$ остается.","Ответ: $4y^2-5$."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр нашел степень многочлена $x^3-x^3+2x$ так: «Старший член — первый, значит, степень 3». Что верно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Степень 4: степени членов складывают","Степень 1: после приведения остается $2x$","Степень 3: старший член стоит первым","Степень 0: все члены сократились"],"explanations":["Степени не складывают: степень многочлена — наибольшая из степеней его членов","","Степень берут не по первому члену, а после приведения подобных; здесь первый член исчезает","Сократились только два члена, а оставшиеся члены есть, и у них своя степень"],"answer":[1]}},"hints":["Степень определяют после приведения подобных членов.","Первые два члена уничтожают друг друга, остается $2x$.","Степень оставшегося многочлена — 1. Ответ: Решавр ошибся, степень равна 1."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр нашел степень многочлена $4y^5-4y^5+y^2-1$ так: «Старший член — первый, значит, степень 5». Что верно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Степень 2: после приведения остается $y^2-1$","Степень 0: все члены сократились","Степень 7: степени членов складывают","Степень 5: старший член стоит первым"],"explanations":["","Сократились только два члена, а оставшиеся члены есть, и у них своя степень","Степени не складывают: степень многочлена — наибольшая из степеней его членов","Степень берут не по первому члену, а после приведения подобных; здесь первый член исчезает"],"answer":[0]}},"hints":["Степень определяют после приведения подобных членов.","Первые два члена уничтожают друг друга, остается $y^2-1$.","Степень оставшегося многочлена — 2. Ответ: Решавр ошибся, степень равна 2."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"При каком значении $a$ степень многочлена $ax^4-3x^4+x^2-1$ равна 2? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Члены $ax^4$ и $-3x^4$ подобны: вместе они дают $(a-3)x^4$.","Степень 2 получится, если этот член исчезнет: $a-3=0$.","Ответ: $a=3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"При каком значении $b$ степень многочлена $by^3+5y^3+y$ равна 1? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"-5"}},"hints":["Члены $by^3$ и $5y^3$ подобны: вместе $(b+5)y^3$.","Степень 1 получится, если этот член исчезнет: $b+5=0$.","Ответ: $b=-5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Какой из многочленов после приведения подобных обращается в нуль?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$5x^2-x-5x^2+x$","$5x^2-x-5x+x^2$","$5x^2-x+5x^2-x$","$5x^2-x-5x^2-x$"],"explanations":["","Члены $x^2$ и $x$ — разные виды: остается $6x^2-6x$","Члены не противоположны, а одинаковы: $5x^2+5x^2=10x^2$, остается $10x^2-2x$","Члены $x^2$ уничтожаются, но $-x-x=-2x$, остается $-2x$"],"answer":[0]}},"hints":["Приводим подобные в каждом варианте.","Члены $5x^2$ и $-5x^2$, $-x$ и $x$ противоположны — сумма нуль.","Ответ: $5x^2-x-5x^2+x$."],"step":1},{"id":"9","content":"Какой из многочленов после приведения подобных обращается в нуль?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$3a-b-3a-b$","$3a-b+3a+b$","$3a-b-b+3a$","$3a-b-3a+b$"],"explanations":["Члены $a$ уничтожаются, но $-b-b=-2b$, остается $-2b$","$3a+3a=6a$, члены не противоположны: остается $6a$","Члены одинаковые: после приведения $6a-2b$",""],"answer":[3]}},"hints":["Приводим подобные в каждом варианте.","Члены $3a$ и $-3a$, $-b$ и $b$ противоположны — сумма нуль.","Ответ: $3a-b-3a+b$."],"step":1},{"id":"10","content":"Какой из многочленов после приведения подобных имеет степень 3 и свободный член $-2$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$2y^3+2-y$","$y^3-y^3+y^2-2$","$2y^3-y^2+y^2-2$","$y^3+y^2-2y$"],"explanations":["Свободный член здесь $2$, а нужен $-2$; подобных членов нет","Члены $y^3$ и $-y^3$ уничтожаются, степень становится 2, а не 3","","Свободного члена нет: все члены содержат переменную, а нужен свободный член $-2$"],"answer":[2]}},"hints":["Приводим подобные в каждом варианте и сравниваем степень и свободный член.","У $2y^3-y^2+y^2-2$ получаем $2y^3-2$: степень 3, свободный член $-2$.","Ответ: $2y^3-y^2+y^2-2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Какой из многочленов после приведения подобных имеет степень 4 и свободный член $-5$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$m^4-m^4+m^3-5$","$3m^4-m+5$","$m^4+m^2-5m$","$3m^4-m+m-5$"],"explanations":["Члены $m^4$ и $-m^4$ уничтожаются, степень становится 3, а не 4","Степень 4, но свободный член равен $5$, а нужен $-5$","Свободного члена нет: все члены содержат переменную, а нужен свободный член $-5$",""],"answer":[3]}},"hints":["Приводим подобные в каждом варианте и сравниваем степень и свободный член.","У $3m^4-m+m-5$ получаем $3m^4-5$: степень 4, свободный член $-5$.","Ответ: $3m^4-m+m-5$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>