0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Многочлен. Упрощение, степень, стандартный вид, нуль-многочлены

Содержание

    Мы с вами уже разобрали, чем являются одночлены, и выяснили, что при произведении одночленов также получится одночлен. Однако совсем иная ситуация обстоит с суммой одночленов. Давайте рассмотрим на примере:

    $2a+b^{2}$ и $2a-b^{2}$

    Данные выражения не являются одночленами — в первом у нас представлена сумма одночленов $2a$ и $b^{2}$, а во втором — их разность.

    Если данные выражения не являются одночленами, то какое название мы можем им дать? Все просто — такие примеры называют многочленами.

    Многочлены — это выражения, которые являются суммой нескольких одночленов.

    Упрощение многочленов

    Многочлены могут быть как небольшими, так и состоящими из нескольких частей. Давайте рассмотрим несколько примеров таких выражений:

    $$7xy+y-11$$

    $$x^{4}-2x^{3}+5x^{2}-x+1$$

    $$11x-2x$$

    Многочлены состоят из одночленов, которые, в свою очередь, называются членами многочлена. Таким образом, в выражении $11x-2x$ всего 2 одночлена: $11x$ и $-2x$. Многочлены, которые состоят из 2 членов, называются двучленами, а состоящие из 3 — трехчленами. Если в примере содержится обычное число без переменных, то его называют свободным членом многочлена.

    В выражениях может находиться несколько подобных членов, что позволяет упростить само выражение. В данном выражении мы можем увидеть подобные одночлены, которые закрашены одинаковыми цветами:

    $$\textcolor{coral}{7a^{2}b}\textcolor{purple}{-3a}\textcolor{blue}{+4}\textcolor{coral}{-a^{2}b}\textcolor{blue}{-1}\textcolor{purple}{+a}+b$$

    Для упрощения такого многочлена нам нужно использовать правило подобных слагаемых, т.е. произвести отдельные арифметические действия над каждой подобной частью. В конце у нас получится такое выражение:

    $$\textcolor{coral}{6a^{2}b}\textcolor{purple}{-2a}+b\textcolor{blue}{+3}$$

    Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Это преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой — с меньшим количество членов.

    Стандартный вид многочленов

    Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания степеней и среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.

    Одночлены в многочлене стандартного вида располагают в порядке убывания их степени, а свободный одночлен записывают в самом конце. Для примера можно привести следующие выражения:

    $$xy^{2}+x^{2}$$

    $$2a^{2}b$$

    Стоит отметить, что любой многочлен можно привести к стандартному виду, если привести подобные. То есть из выражения нестандартного вида:

    $$5z-53+x^{5}+20-6z$$

    Мы можем получить выражение стандартного вида:

    $$x^{5}-z-33$$

    Степень многочлена

    Рассмотрим многочлен стандартного вида:

    $$2x^{3}y-x^{2}y^{2}+5x^{2}y+y-2$$

    Данное выражение составлено из одночленов: $2x^{3}y$, $-x^{2}y^{2}$, $5x^{2}y$, $y$ и $-2$. Их степени соответственно равны числам $4$, $4$, $3$, $1$, $0$. Наибольшая степень из этих степеней равна числу $4$, поэтому в таком случае говорят, что степень всего многочлена равна $4$.

    Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен.

    Давайте рассмотрим еще несколько примеров многочленов с их степенями:

    $\color{blue}3x^{2}-xy+5y^{2}$ — степень равна двум

    $\color{blue} 3x^{4}y^{2}$ — степень равна шести

    $\color{blue} 3$ — степень равна нулю

    Коэффициенты многочленов

    Зачастую многочлен состоит из множества частей, каждая из который имеет свой коэффициент. Они указываются перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена будет равен $1$. Рассмотрим на примере:

    $$\textcolor{orange}{2}x+\textcolor{orange}{5}x-\textcolor{orange}{18}y$$

    Выделенные числа и будут являться коэффициентами переменных множителей.

    Нуль-многочлены

    Число 0, а также многочлены, которые тождественно равны нулю, называют нуль-многочленами. Примеры таких выражений:

    $$0a+0b$$

    $$x-x$$

    Их не относят к многочленам стандартного вида и считается, что нуль-многочлены не имеют степени.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение