Понятие одночлена. Стандартный вид, коэффициент, степень

Одночлен – одно из основополагающих понятий в алгебре. Данный урок поможет вам разобраться с его определением, а также со стандартным видом одночлена, степенью и коэффициентом.

Что такое одночлен

Оказывается, любые числа (положительные или отрицательные), любые переменные или их степени – это одночлены, к примеру: $8$ или $-92$ или $d^7$. И даже любые дроби $\frac{4}{7}$ или $0,3$ являются одночленами. 

При этом переменные могут быть представлены любыми буквами ($z$, $m$, $j$, $v$, $a$ и т. п.). Любые числа без переменных (натуральные, дробные или целые, рациональные, действительные, в степени) называют одночленом без переменной.

Также выражения, представляющие собой произведение различных множителей, называют одночленами, например: $$2\times n^2$$

или

$$a\times 3\times 2x$$

или

$$-5,5y^{12}\times 84b\times 302$$ То есть, в одночлен могут входить как несколько множителей, так и одно число или переменная. 

Таким образом, запомним определение:

Числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также различные виды произведений, составленные из этих переменных, чисел и степеней, называют одночленами.

Какие же выражения не относятся к одночленам? Приведем примеры: $$s+f$$

или

$$r+63-28q$$

или

$$\frac{5^9}{h}$$ Иными словами, выражения, содержащие сумму, разность или переменную в знаменателе дроби, одночленами являться не будут.

{"questions":[{"content":"Что является одночленом, а что нет?[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$6-3d$","$5 \\times 3x$"],"items":["Не одночлен","Одночлен"]}}}]}

Стандартный вид одночлена

Для удобства математических вычислений одночлен принято приводить к стандартному виду. Разберемся, что это значит.

Стандартный вид одночлена подразумевает его запись с соблюдением нескольких правил:

1. Если в выражении среди других множителей есть одночлен без переменной (числовой множитель), то он всегда записывается первым. Это число называют коэффициентом одночлена. Стандартным видом одночлена $c^4\times 74$, к примеру, будет $74{c^4}$, а $74$ – его коэффициент.

2. Если в одночлене несколько числовых множителей без переменных, то впереди записывают их произведение. Полученное число также будет являться коэффициентом. Например, приведем к стандартному виду одночлен $21\times k^3\times 4$. Умножим $21$ на $4$ и запишем получившийся коэффициент первым: $$84k^3$$

3. В случае, если среди множителей есть несколько степеней с одинаковой переменной, то также вычисляют их произведение, например: $$c\times c^4\times s^2\times c^3$$ Стандартный вид: $$c^8\times s^2$$ То есть мы сложили все показатели натуральных степеней переменной $c$.
   
4. Таким же образом необходимо перемножить все степени с другими буквенными основаниями. В конечном итоге необходимо расположить получившиеся степени переменных в алфавитном порядке. Например, выражение $6f\times 7d\times {d^2}\times 3f^3$ запишем в стандартном виде и получим: $$126{d^3}{f^4}$$

{"questions":[{"content":"Какой стандартный вид у одночлена $-ax\\times 3y\\times 8\\times\\frac {5}{6}$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-20axy"}}}]}

Коэффициент

Запомним: 

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, который записан в стандартном виде.

В случаях, когда коэффициент в результате вычислений оказался равен $1$, он обычно не записывается, но подразумевают, что он есть. Если коэффициент получился равным $-1$, то в стандартном виде минус без единицы записывают в самом начале.

Заметим, что после тождественных преобразований можно привести к стандартному виду абсолютно любой одночлен.

Пример

Запишем в стандартном виде выражение: $\frac {3}{7}\times {j^{13}}\times m^{29}\times c^{18}\times 0,25\times {j^2}$. 

Решение

При умножении числовых множителей сначала преобразуем десятичную дробь $0,25$ в простую и получим $\frac {1}{4}$. Тогда стандартный вид этого одночлена будет: $$\frac {3}{28}\times c^{18}\times {j^{15}}\times m^{29}$$

{"questions":[{"content":"Чему равен коэффициент одночлена $t\\times b^5\\times j^9$?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1"}}}]}

Степень одночлена

Вместе с понятием одночлена изучают его степень, которая представляет собой сумму показателей всех степеней входящих в него переменных. То есть, если необходимо будет, например, посчитать степень одночлена $5h^3\times f^{18}\times 3v$, мы получим: $$3+18+1=22$$ В данном случае, степень переменной $v$ равна единице.

Таким образом, запомним:

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, будет сумма показателей степеней всех переменных, которые в него входят.

Если же в одночлене переменных нет, то его степень будет равна $0$. При этом сам он должен быть отличным от нуля. К примеру, степень одночлена $57$ равна $0$. Если одночлен равен $0$, то его называют одночленом с неопределенной степенью.

{"questions":[{"content":"Чему равна степень одночлена $0,7h\\times 4\\times j^6$?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}}}]}