Умножение одночленов

Итак, мы с вами уже разобрались в том, чем является одночлен, а также попробовали их вычитать и складывать. Теперь нам предстоить понять, как умножать между собой одночлены. На самом деле, здесь нет ничего сложного, а, возможно, даже легче, чем сложение или вычитание.

Одночлен — это перемножение числовых и буквенных коэффициентов, в котором опущены знаки умножения. Следовательно, чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно перемножить между собой каждый из его множителей.

Возьмем в пример следующее выражение:

$$3x^{2}y^{3}\cdot4xy^{2}z$$

Для удобства запишем одночлены со знаками умножения:

$$\textcolor{blue}{3}\cdot\textcolor{green}{x^{2}}\cdot\textcolor{lightblue}{y^{3}}\cdot\textcolor{blue}{4}\cdot\textcolor{green}{x}\cdot\textcolor{lightblue}{y^{2}}\cdot\textcolor{orange}{z}$$

Воспользуемся сочетательным и переместительным свойством умножения, а также правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями:

$$\textcolor{blue}{3}\cdot\textcolor{blue}{4}\cdot\textcolor{green}{x^{2}}\cdot\textcolor{green}{x}\cdot\textcolor{lightblue}{y^{3}}\cdot\textcolor{lightblue}{y^{2}}\cdot\textcolor{orange}{z}=$$

$$=\textcolor{blue}{12}\textcolor{green}{x^{3}}\textcolor{lightblue}{y^{5}}\textcolor{orange}{z}$$

Таким образом, мы с вами получили произведение двух одночленов.

{"questions":[{"widgets":{"choice":{"type":"choice","options":["$2.1a^7x^3y^2$","$2.1a^{12}x^3y^2$","$21a^7x^3y^2$","$0.7a^3x3a^4x^2y^2$"],"explanations":["","При умножении степеней одного числа степени  складываются, я не умножаются","$0.7 \\times 3 = 2.1$","Подобные члены не приведены"],"answer":[0]}},"content":"Вычислите выражение: $0.7a^3x(3a^4x^2y^2)$[[choice]]"}]}

Алгоритм выполнения

Для того чтобы умножить одночлен на одночлен правильно и не допустить ошибок в расчетах, нужно придерживаться определенной схемы:

1. Перемножить числовые коэффициенты;
2. Перемножить буквенную часть (Важно: каждую часть нужно умножать по отдельности).

Разберем на примере. У нас дано выражение:

$$ \textcolor{coral}{1,5} \textcolor{purple}{p^{2}}\textcolor{orange}{t^{3}}\cdot\textcolor{coral}{\frac{2}{3}}\textcolor{purple}{p^{4}}\textcolor{orange}{t^{5}}$$

Первым делом перемножим числовые коэффициенты $\color{coral}1,5$ и $\color{coral}\frac{2}{3}$. Получится $\color{coral}1$.

Следующим шагом перемножим первую буквенную часть: $\color{purple}p^{2}$ и $\color{purple}p^{4}$. Получится $\color{purple}p^{6}$.

Последним шагом остается перемножить оставшиеся буквенные значения: $\color{orange}t^{3}$ и $\color{orange}t^{5}$. Получится $\color{orange}t^{8}$.

Теперь осталось соединить все шаги и записать готовый ответ в стандартном виде: $\textcolor{purple}{p^{6}}\textcolor{orange}{t^{8}}$. Обратите внимание, что так как числовой коэффициент равен $ \textcolor{coral}1$, то эту единицу можно опустить.

{"questions":[{"content":"Чему будет равно выражение $8km^{12}\\cdot2k^{3}m^{3}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$16k^{4}m^{15}$","$16k^{3}m^{36}$","$16k^{3}m^{12}$","$10k^{4}m^{15}$","$64k^{3}m^{12}$"],"answer":[0]}},"hints":["Первым шагом перемножь числовые коэффициенты.","Далее сосчитай буквенную часть с $k$.","Затем посчитай буквенную часть с $m$.","Выбери правильный вариант ответа."]}]}

Произведение более двух одночленов

Помимо умножения двух одночленов нам могут встретиться задачи, в которых нужно найти произведение трех, четырех или даже пяти одночленов. В таком случае мы придерживаемся алгоритма, перемножая множители сразу всех одночленов. Рассмотрим пример:

$$\textcolor{purple}{2}\textcolor{coral}{n^{5}}\textcolor{blue}{q^{3}}\cdot\textcolor{purple}{3}\textcolor{coral}{n^{2}}\textcolor{blue}{q^{4}}\cdot\textcolor{purple}{5}\textcolor{coral}{n^{3}}\textcolor{blue}{q^{2}}$$

По алгоритму выполняем следующие действия:

1. $\textcolor{purple}{2}\cdot\textcolor{purple}{3}\cdot\textcolor{purple}{5}=\textcolor{purple}{30}$.
2. $\textcolor{coral}{n^{5}}\cdot\textcolor{coral}{n^{2}}\cdot\textcolor{coral}{n^{3}}=\textcolor{coral}{n^{10}}$.
3. $\textcolor{blue}{q^{3}}\cdot\textcolor{blue}{q^{4}}\cdot\textcolor{blue}{q^{2}}=\textcolor{blue}{q^{9}}$.

В ответе получаем $\textcolor{purple}{30}\textcolor{coral}{n^{10}}\textcolor{blue}{q^{9}}$.

{"questions":[{"content":"Соотнеси выражения и полученные ответы[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$4xyz\\cdot x^{6}y^{6}z\\cdot9x^{2}yz$","$32x^{2}yz\\cdot2xy^{2}z\\cdot x^{5}y^{5}z^{5}$","$6x^{7}y^{8}z\\cdot2xyz\\cdot 3xyz$","$x^{3}yz\\cdot16x^{5}y^{3}z\\cdot4xy^{4}z^{2}$"],"items":["$36x^{9}y^{8}z^{3}$","$64x^{8}y^{8}z^{7}$","$36x^{9}y^{10}z^{3}$","$64x^{9}y^{8}z^{4}$"]}},"hints":["Первым шагом перемножь числовые коэффициенты.","Далее сосчитай буквенную часть с $x$.","Затем посчитай буквенную часть с $y$.","Последним действием перемножь буквенную часть с $z$.","Найди нужный ответ и соотнеси его с выражением."]}]}