Одночлены. Итоговый тест

Итоговый тест по теме «Одночлены»: понятие одночлена, стандартный вид, коэффициент и степень, подобные одночлены, сложение, вычитание и умножение одночленов, возведение одночлена в степень. 10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какие из выражений являются одночленами?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Одночлен","Не одночлен"],"items":[["$-7$","$2a \\cdot 3b$","$\\frac{2}{5}x^2y$"],["$a + b$","$\\frac{5}{x}$","$2x-3$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Одночлен — число, переменная, степень переменной с натуральным показателем или произведение таких множителей.","Сумма, разность и переменная в знаменателе дроби — признаки выражения, которое одночленом не является. Число $\\frac{2}{5}$ — обычный числовой множитель."],"explanation":"Одночлены: $-7$ (число), $2a \\cdot 3b$ (произведение числа и переменных), $\\frac{2}{5}x^2y$ (числовой множитель-дробь и степени переменных). Не одночлены: $a + b$ и $2x-3$ (сумма и разность), $\\frac{5}{x}$ (переменная в знаменателе).","step":1},{"id":"1","content":"Какие из выражений являются одночленами?[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Одночлен","Не одночлен"],"items":[["$m^3$","$5p \\cdot q^2$","$-\\frac{3}{4}ab^2$"],["$x-y$","$\\frac{3}{n}$","$5a + 1$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Одночлен — число, переменная, степень переменной с натуральным показателем или произведение таких множителей.","Сумма, разность и переменная в знаменателе дроби — признаки выражения, которое одночленом не является. Число $\\frac{3}{4}$ — обычный числовой множитель."],"explanation":"Одночлены: $m^3$ (степень переменной), $5p \\cdot q^2$ (произведение), $-\\frac{3}{4}ab^2$ (числовой множитель-дробь и степени переменных). Не одночлены: $x-y$ и $5a + 1$ (разность и сумма), $\\frac{3}{n}$ (переменная в знаменателе).","step":1},{"id":"2","content":"Какой из одночленов записан в стандартном виде?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a^2b \\cdot (-3)$","$-3a^2b$","$5a \\cdot 2ab$","$4a^2ba$"],"explanations":["Числовой множитель стоит не первым: в стандартном виде коэффициент записывают в начале.","","Числовые множители $5$ и $2$ не перемножены, а буква $a$ встречается дважды. В стандартном виде один числовой множитель, у каждой буквы одна степень.","Буква $a$ встречается дважды: $a^2 \\cdot a$ нужно заменить на $a^3$. В стандартном виде каждая буква записана один раз: $4a^3b$."],"answer":[1]}},"hints":["Стандартный вид: сначала один числовой множитель (коэффициент), затем каждая буква один раз со своей степенью.","Проверьте каждый вариант: перемножены ли числовые множители, стоит ли число первым, не повторяется ли буква."],"explanation":"Только $-3a^2b$ удовлетворяет всем условиям: коэффициент $-3$ записан первым, буквы $a$ и $b$ встречаются по одному разу.","step":1},{"id":"2","content":"Какой из одночленов записан в стандартном виде?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$y^3x \\cdot 7$","$3x \\cdot 4y^3$","$7xy^3$","$2xy^3x$"],"explanations":["Числовой множитель стоит не первым: в стандартном виде коэффициент записывают в начале.","Числовые множители $3$ и $4$ не перемножены. В стандартном виде один числовой множитель: $12xy^3$.","","Буква $x$ встречается дважды: $x \\cdot x$ нужно заменить на $x^2$. В стандартном виде каждая буква записана один раз: $2x^2y^3$."],"answer":[2]}},"hints":["Стандартный вид: сначала один числовой множитель (коэффициент), затем каждая буква один раз со своей степенью.","Проверьте каждый вариант: перемножены ли числовые множители, стоит ли число первым, не повторяется ли буква."],"explanation":"Только $7xy^3$ удовлетворяет всем условиям: коэффициент $7$ записан первым, буквы $x$ и $y$ встречаются по одному разу.","step":1},{"id":"3","content":"Одночлен $0{,}5xy^2 \\cdot 4x^3$ приведите к стандартному виду и найдите его коэффициент и степень. <br>Коэффициент: [[input-1]] <br>Степень: [[input-2]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2","inline":1},"input-2":{"type":"input","answer":"6","inline":1}},"hints":["Сначала перемножьте числовые множители, затем степени каждой буквы. У буквы без показателя показатель равен $1$.","$0{,}5 \\cdot 4 = 2$, $x \\cdot x^3 = x^4$. Стандартный вид: $2x^4y^2$.","Коэффициент — числовой множитель $2$. Степень — сумма показателей всех букв: $4 + 2 = 6$."],"explanation":"$0{,}5xy^2 \\cdot 4x^3 = 2x^4y^2$. Коэффициент равен $2$, степень равна $4 + 2 = 6$. Показатели одной буквы из разных множителей складываются: $x \\cdot x^3 = x^4$, поэтому у $x$ показатель $4$, а не $3$.","step":1},{"id":"3","content":"Одночлен $\\frac{1}{3}a^2b \\cdot 9ab^3$ приведите к стандартному виду и найдите его коэффициент и степень. <br>Коэффициент: [[input-3]] <br>Степень: [[input-4]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"3","inline":1},"input-4":{"type":"input","answer":"7","inline":1}},"hints":["Сначала перемножьте числовые множители, затем степени каждой буквы. У буквы без показателя показатель равен $1$.","$\\frac{1}{3} \\cdot 9 = 3$, $a^2 \\cdot a = a^3$, $b \\cdot b^3 = b^4$. Стандартный вид: $3a^3b^4$.","Коэффициент — числовой множитель $3$. Степень — сумма показателей всех букв: $3 + 4 = 7$."],"explanation":"$\\frac{1}{3}a^2b \\cdot 9ab^3 = 3a^3b^4$. Коэффициент равен $3$, степень равна $3 + 4 = 7$. Показатели одной буквы из разных множителей складываются: $a^2 \\cdot a = a^3$ и $b \\cdot b^3 = b^4$.","step":1},{"id":"4","content":"Отметьте все одночлены, подобные $-4a^2b$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$7ba^2$","$4ab^2$","$a^2b \\cdot 3$","$-4a^2$","$-4a^2b^2$"],"explanations":["","Буквы те же, но показатели другие: в $-4a^2b$ квадрат у $a$, а в $4ab^2$ — у $b$. Подобными такие одночлены не будут.","","В $-4a^2$ нет буквы $b$: буквенные части разные. Одинаковый коэффициент подобие не создает.","У $b$ показатель $2$, а в $-4a^2b$ — показатель $1$. Буквенные части разные."],"answer":[0,2]}},"hints":["Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть: те же буквы с теми же показателями. Коэффициенты могут быть любыми, порядок букв не важен.","При необходимости приведите одночлен к стандартному виду: например, $b \\cdot 6a^2 = 6a^2b$. Затем сравните буквенные части с $a^2b$.","Буквенную часть $a^2b$ имеют только $7ba^2$ и $a^2b \\cdot 3$."],"step":1},{"id":"4","content":"Отметьте все одночлены, подобные $5mn^3$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$5m^3n$","$-2n^3m$","$5n^3$","$m \\cdot 0{,}5n^3$","$5m^2n^3$"],"explanations":["Буквы те же, но показатели другие: в $5mn^3$ куб у $n$, а в $5m^3n$ — у $m$. Подобными такие одночлены не будут.","","В $5n^3$ нет буквы $m$: буквенные части разные. Одинаковый коэффициент подобие не создает.","","У $m$ показатель $2$, а в $5mn^3$ — показатель $1$. Буквенные части разные."],"answer":[1,3]}},"hints":["Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть: те же буквы с теми же показателями. Коэффициенты могут быть любыми, порядок букв не важен.","При необходимости приведите одночлен к стандартному виду: например, $n^3 \\cdot 8m = 8mn^3$. Затем сравните буквенные части с $mn^3$.","Буквенную часть $mn^3$ имеют только $-2n^3m$ и $m \\cdot 0{,}5n^3$."],"step":1},{"id":"5","content":"Выполните вычитание: $9x^3y-4yx^3 =$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$5x^3y$","$13x^3y$","$5x^3$","$5x^6y^2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Одночлены подобны: буквенная часть у обоих $x^3y$ (порядок букв не важен).","Вычитают только коэффициенты: $9-4 = 5$. Буквенная часть остается прежней."],"explanation":"$9x^3y-4yx^3 = (9-4)x^3y = 5x^3y$. Вариант $13x^3y$ получается, если вычитание заменить сложением. Вариант $5x^3$ — потеряна буква $y$: буквенная часть $x^3y$ остается целиком. Вариант $5x^6y^2$ — если показатели сложить: при сложении и вычитании одночленов показатели не меняются.","step":1},{"id":"5","content":"Выполните вычитание: $12ab^2-5b^2a =$[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$7ab^2$","$17ab^2$","$7b^2$","$7a^2b^4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Одночлены подобны: буквенная часть у обоих $ab^2$ (порядок букв не важен).","Вычитают только коэффициенты: $12-5 = 7$. Буквенная часть остается прежней."],"explanation":"$12ab^2-5b^2a = (12-5)ab^2 = 7ab^2$. Вариант $17ab^2$ получается, если вычитание заменить сложением. Вариант $7b^2$ — потеряна буква $a$: буквенная часть $ab^2$ остается целиком. Вариант $7a^2b^4$ — если показатели сложить: при сложении и вычитании одночленов показатели не меняются.","step":1},{"id":"6","content":"Найдите произведение $-2x^3y \\cdot 5xy^2$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$-10x^3y^2$","$3x^4y^3$","$-10x^4y^3$","$10x^4y^3$"],"explanations":["Показатели перемножили: $3 \\cdot 1$ и $1 \\cdot 2$. Показатели одинаковых букв при умножении складывают: $x^3 \\cdot x = x^4$, $y \\cdot y^2 = y^3$.","Коэффициенты сложили: $-2 + 5 = 3$. При умножении одночленов коэффициенты перемножают.","","Потерян знак: произведение отрицательного и положительного коэффициентов отрицательно, $-2 \\cdot 5 = -10$."],"answer":[2]}},"hints":["Сначала перемножьте коэффициенты: $-2 \\cdot 5$. Затем отдельно каждую букву: показатели складывают.","$-2 \\cdot 5 = -10$, $x^3 \\cdot x = x^4$ (у $x$ без показателя показатель $1$), $y \\cdot y^2 = y^3$.","Произведение: $-10x^4y^3$."],"step":1},{"id":"6","content":"Найдите произведение $3a^2b \\cdot (-4a^3b^2)$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$-12a^5b^3$","$-a^5b^3$","$-12a^6b^2$","$12a^5b^3$"],"explanations":["","Коэффициенты сложили: $3 + (-4) = -1$. При умножении одночленов коэффициенты перемножают.","Показатели перемножили: $2 \\cdot 3$ и $1 \\cdot 2$. Показатели одинаковых букв при умножении складывают: $a^2 \\cdot a^3 = a^5$, $b \\cdot b^2 = b^3$.","Потерян знак: произведение положительного и отрицательного коэффициентов отрицательно, $3 \\cdot (-4) = -12$."],"answer":[0]}},"hints":["Сначала перемножьте коэффициенты: $3 \\cdot (-4)$. Затем отдельно каждую букву: показатели складывают.","$3 \\cdot (-4) = -12$, $a^2 \\cdot a^3 = a^5$, $b \\cdot b^2 = b^3$ (у $b$ без показателя показатель $1$).","Произведение: $-12a^5b^3$."],"step":1},{"id":"7","content":"Стороны прямоугольника равны $3a$ и $2ab$ (в сантиметрах). Чему равна его площадь?[[image-1]][[choice-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/crt0ec7wavti.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$5a^2b$","$6a^2b$","$6ab$","$6a + 4ab$"],"explanations":["Коэффициенты $3$ и $2$ сложили, а нужно перемножить: площадь прямоугольника — произведение сторон.","","Букву $a$ из двух сторон учли один раз. Показатели одинаковых букв складывают: $a \\cdot a = a^2$.","Это периметр: $2(3a + 2ab) = 6a + 4ab$. Площадь равна произведению сторон, а не их сумме."],"answer":[1]}},"hints":["Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S = 3a \\cdot 2ab$.","Перемножьте коэффициенты: $3 \\cdot 2 = 6$. Затем буквы: $a \\cdot a = a^2$, буква $b$ одна.","Площадь: $6a^2b$ квадратных сантиметров."],"step":1},{"id":"7","content":"Стороны прямоугольника равны $4x$ и $x^2y$ (в сантиметрах). Чему равна его площадь?[[image-2]][[choice-8]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vwxyo6cq79km.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$4x^2y$","$5x^3y$","$8x + 2x^2y$","$4x^3y$"],"explanations":["Показатели у $x$ не сложили: $x \\cdot x^2 = x^3$, а не $x^2$.","Коэффициенты $4$ и $1$ сложили, а нужно перемножить: площадь прямоугольника — произведение сторон.","Это периметр: $2(4x + x^2y) = 8x + 2x^2y$. Площадь равна произведению сторон, а не их сумме.",""],"answer":[3]}},"hints":["Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S = 4x \\cdot x^2y$.","Перемножьте коэффициенты: $4 \\cdot 1 = 4$. Затем буквы: $x \\cdot x^2 = x^3$, буква $y$ одна.","Площадь: $4x^3y$ квадратных сантиметров."],"step":1},{"id":"8","content":"Ребро куба равно $2x^2y$ (в сантиметрах). Чему равен объем куба?[[image-3]][[choice-9]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/8qwvvsek1os5.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":["$2x^6y^3$","$6x^6y^3$","$8x^6y^3$","$8x^5y^4$"],"explanations":["Число $2$ тоже стоит в скобках: его нужно возвести в куб, получится $8$.","Коэффициент $2$ умножили на показатель $3$. Коэффициент возводят в степень: $2^3 = 8$.","","Показатели сложили: $2 + 3$ и $1 + 3$. При возведении степени в степень показатели перемножают: $2 \\cdot 3 = 6$."],"answer":[2]}},"hints":["Объем куба равен кубу ребра: $V = (2x^2y)^3$.","Правило возведения произведения в степень (урок «Возведение произведения в степень»): $(pqr)^n = p^n q^n r^n$. В куб возводят каждый множитель, в том числе число $2$.","Правило возведения степени в степень (урок «Возведение степени в степень»): $(p^m)^n = p^{mn}$, показатели перемножают.","$(2x^2y)^3 = 2^3 \\cdot (x^2)^3 \\cdot y^3 = 8x^6y^3$."],"step":1},{"id":"8","content":"Ребро куба равно $3xy^2$ (в сантиметрах). Чему равен объем куба?[[image-4]][[choice-10]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/3lrl0ghxauxg.svg"},"choice-10":{"type":"choice","options":["$27x^3y^6$","$3x^3y^6$","$9x^3y^6$","$27x^4y^5$"],"explanations":["","Число $3$ тоже стоит в скобках: его нужно возвести в куб, получится $27$.","Коэффициент $3$ умножили на показатель $3$. Коэффициент возводят в степень: $3^3 = 27$.","Показатели сложили: $1 + 3$ и $2 + 3$. При возведении степени в степень показатели перемножают: $1 \\cdot 3 = 3$, $2 \\cdot 3 = 6$."],"answer":[0]}},"hints":["Объем куба равен кубу ребра: $V = (3xy^2)^3$.","Правило возведения произведения в степень (урок «Возведение произведения в степень»): $(pqr)^n = p^n q^n r^n$. В куб возводят каждый множитель, в том числе число $3$.","Правило возведения степени в степень (урок «Возведение степени в степень»): $(p^m)^n = p^{mn}$, показатели перемножают. У $x$ без показателя показатель $1$.","$(3xy^2)^3 = 3^3 \\cdot x^3 \\cdot (y^2)^3 = 27x^3y^6$."],"step":1},{"id":"9","content":"Ученик упрощал выражение $2a^2b \\cdot 3ab^3 + 4a^3b^4$: <br>шаг 1: $2a^2b \\cdot 3ab^3 = 6a^3b^4$; <br>шаг 2: $6a^3b^4 + 4a^3b^4 = 10a^6b^8$; <br>шаг 3: ответ $10a^6b^8$. <br>Где он ошибся?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["В шаге 1","В шаге 2","В шаге 3","Ошибки нет"],"explanations":["Произведение найдено без ошибок: $2 \\cdot 3 = 6$, $a^2 \\cdot a = a^3$, $b \\cdot b^3 = b^4$.","","Ответ совпадает с результатом шага 2 — ошибка сделана раньше.","Одночлены $6a^3b^4$ и $4a^3b^4$ подобны. При сложении подобных одночленов складывают только коэффициенты, а буквенная часть не меняется: получится $10a^3b^4$."],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте каждый шаг отдельно. Умножение: коэффициенты перемножают, показатели одинаковых букв складывают.","Сложение подобных одночленов: складывают коэффициенты, а буквенная часть остается прежней. Сравните это правило с каждым шагом.","Шаг 1 выполнен верно. В шаге 2 должно получиться $6a^3b^4 + 4a^3b^4 = 10a^3b^4$, а ученик записал $10a^6b^8$."],"step":1},{"id":"9","content":"Ученик упрощал выражение $-3x^2y \\cdot 2xy^2 + 4x^3y^3$: <br>шаг 1: $-3x^2y \\cdot 2xy^2 = -6x^3y^3$; <br>шаг 2: $-6x^3y^3 + 4x^3y^3 = -2x^6y^6$; <br>шаг 3: ответ $-2x^6y^6$. <br>Где он ошибся?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["В шаге 3","В шаге 1","В шаге 2","Ошибки нет"],"explanations":["Ответ совпадает с результатом шага 2 — ошибка сделана раньше.","Произведение найдено без ошибок: $-3 \\cdot 2 = -6$, $x^2 \\cdot x = x^3$, $y \\cdot y^2 = y^3$.","","Одночлены $-6x^3y^3$ и $4x^3y^3$ подобны. При сложении подобных одночленов складывают только коэффициенты, а буквенная часть не меняется: получится $-2x^3y^3$."],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте каждый шаг отдельно. Умножение: коэффициенты перемножают, показатели одинаковых букв складывают.","Сложение подобных одночленов: складывают коэффициенты, а буквенная часть остается прежней. Сравните это правило с каждым шагом.","Шаг 1 выполнен верно. В шаге 2 должно получиться $-6x^3y^3 + 4x^3y^3 = -2x^3y^3$, а ученик записал $-2x^6y^6$."],"step":1},{"id":"10","content":"Найдите одночлен $A$, для которого $A \\cdot (-3a^2b) = 12a^5b^3$. <br>$A =$ [[fill_choice_big-3]]","widgets":{"fill_choice_big-3":{"type":"fill_choice_big","options":["$-4a^3b^2$","$4a^3b^2$","$-4a^7b^4$","$-4a^3b^3$","$-36a^3b^2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Подберите части одночлена $A$ по очереди: коэффициент ($? \\cdot (-3) = 12$), показатель у $a$ ($? + 2 = 5$) и показатель у $b$ ($? + 1 = 3$).","Коэффициент $-4$, потому что $-4 \\cdot (-3) = 12$. У $a$ показатель $3$, потому что $3 + 2 = 5$. У $b$ показатель $2$, потому что $2 + 1 = 3$.","$A = -4a^3b^2$. Проверка: $-4a^3b^2 \\cdot (-3a^2b) = 12a^5b^3$."],"explanation":"$A = -4a^3b^2$: проверка $-4a^3b^2 \\cdot (-3a^2b) = 12a^5b^3$. Вариант $4a^3b^2$ — потерян знак: произведение $4 \\cdot (-3)$ отрицательно. Вариант $-4a^7b^4$ — показатели $5$ и $2$, $3$ и $1$ сложили, а нужно было найти слагаемое: $? + 2 = 5$, $? + 1 = 3$. Вариант $-4a^3b^3$ — не учли показатель $1$ у $b$ в множителе $-3a^2b$. Вариант $-36a^3b^2$ — коэффициенты перемножили, а нужно было найти множитель, который дает $12$ при умножении на $-3$.","step":1},{"id":"10","content":"Найдите одночлен $A$, для которого $A \\cdot (-2x^3y) = -14x^5y^5$. <br>$A =$ [[fill_choice_big-4]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$7x^2y^4$","$-7x^2y^4$","$7x^8y^6$","$7x^2y^5$","$28x^2y^4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Подберите части одночлена $A$ по очереди: коэффициент ($? \\cdot (-2) = -14$), показатель у $x$ ($? + 3 = 5$) и показатель у $y$ ($? + 1 = 5$).","Коэффициент $7$, потому что $7 \\cdot (-2) = -14$. У $x$ показатель $2$, потому что $2 + 3 = 5$. У $y$ показатель $4$, потому что $4 + 1 = 5$.","$A = 7x^2y^4$. Проверка: $7x^2y^4 \\cdot (-2x^3y) = -14x^5y^5$."],"explanation":"$A = 7x^2y^4$: проверка $7x^2y^4 \\cdot (-2x^3y) = -14x^5y^5$. Вариант $-7x^2y^4$ — знак: $-7 \\cdot (-2) = 14$, а в условии $-14$. Вариант $7x^8y^6$ — показатели $5$ и $3$, $5$ и $1$ сложили, а нужно было найти слагаемое: $? + 3 = 5$, $? + 1 = 5$. Вариант $7x^2y^5$ — не учли показатель $1$ у $y$ в множителе $-2x^3y$. Вариант $28x^2y^4$ — коэффициенты перемножили, а нужно было найти множитель, который дает $-14$ при умножении на $-2$.","step":1}]}</textarea></pre></div>