7 класс Алгебра Одночлены и многочлены Одночлены

Умножение одночленов

Содержание

Вы уже умеете приводить одночлен к стандартному виду («Одночлен и его стандартный вид») и умножать степени с одинаковым основанием («Умножение и деление степеней. Нулевая степень»). В этом уроке научимся умножать одночлены: перемножать коэффициенты, собирать одинаковые буквы, определять знак и проверять ответ подстановкой. В конце найдем площадь и объем фигур, размеры которых записаны одночленами.

Копии умножаем на копии

Представим одночлен как набор одинаковых брусков. Коэффициент показывает, сколько брусков, а буквенная часть — размеры одного бруска. Например, $3a$ — три одинаковые планки длиной $a$, а $2a$ — две такие планки.

Что значит $3a\cdot 2a$? Положим три планки вдоль одной стороны прямоугольника, а две — вдоль другой. Получится прямоугольник со сторонами $3a$ и $2a$. Каждая планка первого множителя встречается с каждой планкой второго, и на каждой встрече получается квадрат со стороной $a$, то есть $a\cdot a=a^2$. Таких встреч $3\cdot 2=6$.

Три планки a и две планки a дают прямоугольник из 3·2=6 квадратов a·a: 3a·2a=6a² — Три копии на две копии — шесть квадратов $a\cdot a$: $3a\cdot 2a=6a^2$

Значит, $3a\cdot 2a=6a^2$: шесть одинаковых квадратов $a^2$. Число копий перемножилось, а одинаковые размеры собрались в степень. Проверим на числах: при $a=10$ получаем $30\cdot 20=600$ и $6\cdot 10^2=600$.

Так же с объемными брусками. В произведении $0{,}5x\cdot 6xy$ числа дают $0{,}5\cdot 6=3$, а размеры складываются в брусок $x\cdot x\cdot y=x^2y$. Получаем $3x^2y$ — три бруска с ребрами $x$, $x$ и $y$. Коэффициент может быть и дробным: $0{,}5x$ — половина планки. Правило «числа перемножаем» от этого не меняется.

Вопрос урока

Коробка имеет ребра $4a$, $3b$ и $2b$. Сколько брусков с ребрами $a$, $b$ и $b$ поместится в нее без зазоров? Ответим в последнем разделе.

{"questions":[{"content":"Прямоугольник со сторонами $4b$ и $2b$ разрезали на квадраты со стороной $b$. Сколько получилось квадратов? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Вдоль стороны $4b$ укладываются 4 квадрата, вдоль стороны $2b$ — 2 ряда.","$4\\cdot 2=8$ квадратов, площадь $4b\\cdot 2b=8b^2$. Ответ: 8."],"step":1},{"content":"Выполните умножение: $0{,}2p\\cdot 15pq$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$15{,}2p^2q$","$3pq$","$3p^2q$","$p^2q$"],"explanations":["Коэффициенты сложили: $0,2+15=15,2$, а их перемножают","Показатели потеряны: одинаковые буквы при умножении дают степень","","Числовые множители потеряны: их тоже перемножают"],"answer":[2]}},"hints":["Сначала перемножим числовые множители, затем для каждой буквы сложим показатели.","$0{,}2p\\cdot 15pq=3p^2q$."],"step":1}],"mix":1}

Сначала числа, потом каждая буква

Когда букв несколько, удобно развернуть одночлены в ленту множителей. Умножим $2a^2b$ на $5ab^2$. По определению степени $2a^2b=2\cdot a\cdot a\cdot b$ и $5ab^2=5\cdot a\cdot b\cdot b$. Произведение — одна длинная лента: $2\cdot a\cdot a\cdot b\cdot 5\cdot a\cdot b\cdot b$.

Множители можно переставлять и группировать (переместительный и сочетательный законы умножения). Соберем числа вместе, буквы $a$ вместе и буквы $b$ вместе: $(2\cdot 5)\cdot(a\cdot a\cdot a)\cdot(b\cdot b\cdot b)=10a^3b^3$.

Лента множителей 2a²b·5ab²: числа к числам, буквы к буквам; 2·5=10, a²·a=a³, b·b²=b³ — Лента множителей: числа к числам, $a$ к $a$, $b$ к $b$ — получаем $10a^3b^3$

Пересчитывать каждую букву не нужно: число множителей $a$ — это сумма показателей $2+1=3$, как в правиле $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ из урока «Умножение и деление степеней. Нулевая степень».

Правило

Чтобы умножить одночлены:

перемножьте коэффициенты;
для каждой буквы сложите ее показатели во всех множителях (буква без показателя имеет показатель 1, буква из одного множителя переходит без изменений);
запишите результат в стандартном виде: число, затем буквы по алфавиту.

$$2a^2b\cdot 5ab^2=(2\cdot 5)\cdot a^{2+1}\cdot b^{1+2}=10a^3b^3$$

Пример

Выполним умножение $3m^2n\cdot 4mn^3$ и проверим ответ подстановкой.

Коэффициенты: $3\cdot 4=12$. Буква $m$: $2+1=3$. Буква $n$: $1+3=4$. Результат: $12m^3n^4$.

Проверка при $m=2$, $n=3$. Левая часть: $3m^2n=3\cdot 4\cdot 3=36$, $4mn^3=4\cdot 2\cdot 27=216$, $36\cdot 216=7776$. Правая часть: $12\cdot 8\cdot 81=7776$. Значения совпали.

Ответ: $12m^3n^4$.

Для проверки берите значения, отличные от $0$ и $1$. При $a=1$ и $b=1$ любая степень равна 1, и ошибка в показателе останется незамеченной.

Ошибка

Как ошибаются. Пишут $3x\cdot 2x=6x$ (числа перемножили, а букву оставили одну) или $5x^2$ (числа сложили). Для степеней пишут $x^2\cdot x^3=x^6$ — показатели перемножили.

Проверка на числах. При $x=10$: $3x\cdot 2x=30\cdot 20=600$, а $6x=60$ и $5x^2=500$. Для степеней: $x^2\cdot x^3=100\cdot 1000=100\,000=10^5$, а не $10^6$.

Где ломается рассуждение. В произведении $3x\cdot 2x$ буква $x$ встречается два раза, это два множителя: $x\cdot x=x^2$. В модели это шесть квадратов, а не шесть планок. Коэффициенты перемножают, потому что каждая копия встречается с каждой. Показатели складывают, потому что в $x^2\cdot x^3$ всего $2+3=5$ множителей $x$.

3x·2x=6x² — шесть квадратов (площадь), а не 6x — шесть планок в ряд (длина); при x=10: 600 и 60 — $6x$ — шесть планок, а $3x\cdot 2x$ — шесть квадратов: при $x=10$ это 60 и 600

umnozhenie-odnochlenov-proverka

{"questions":[{"content":"Соотнесите произведение и результат. Два результата лишние.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$2c\\cdot 4c$","$c^2\\cdot c^4$","$2c^2\\cdot 4c$"],"items":["$8c^2$","$c^6$","$8c^3$","$8c$","$c^8$"]}},"instruction":"Соотнесите произведение и результат","hints":["Числа перемножаем, показатели одинаковых букв складываем; буква без показателя имеет показатель 1.","$2c\\cdot 4c=8c^2$, $c^2\\cdot c^4=c^6$, $2c^2\\cdot 4c=8c^3$. Лишние: $8c$ (потерян показатель) и $c^8$ (показатели перемножили)."],"step":1},{"content":"Решавр выполнил четыре умножения. В какой строке он ошибся?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4a\\cdot 2a^3=8a^3$","$3b\\cdot b^2=3b^3$","$p^2\\cdot 6p=6p^3$","$5c^2\\cdot 2c^2=10c^4$"],"explanations":["","Эта строка верна: $3\\cdot 1=3$, $b^1\\cdot b^2=b^3$","Эта строка верна: $1\\cdot 6=6$, $p^2\\cdot p^1=p^3$","Эта строка верна: $5\\cdot 2=10$, $c^2\\cdot c^2=c^4$"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте в каждой строке коэффициент, затем показатель каждой буквы; буква без показателя имеет показатель 1.","В строке $4a\\cdot 2a^3=8a^3$ показатель $a$ не сложен: $a^1\\cdot a^3=a^4$.","Верно: $4a\\cdot 2a^3=8a^4$."],"step":1},{"content":"Чему равно значение произведения $4x\\cdot 5x$ при $x=3$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"180"}},"hints":["Подставим $x=3$ в каждый множитель: $4\\cdot 3=12$ и $5\\cdot 3=15$.","$12\\cdot 15=180$. Ответ: 180."],"step":1}],"mix":1}

Знак считаем отдельно от брусков

Брусок не бывает отрицательным, поэтому знак произведения модель не показывает. Его определяют так же, как в произведении рациональных чисел: каждая пара минусов дает плюс.

Правило

Если отрицательных множителей четное число, произведение положительно, если нечетное — отрицательно.

$$(-2)\cdot 3\cdot(-1)=6,\quad (-1)\cdot(-2)\cdot(-5)=-10$$

Остальное делается по тем же трем шагам, сколько бы ни было множителей. Умножим $-2xy\cdot 3x^2\cdot(-y)$. Множитель $-y$ — это $-1\cdot y$, его коэффициент $-1$.

Знак одночлена: пары минусов дают плюс; три минуса — один остается без пары — Два минуса образуют пару и дают плюс; при трех минусах один остается без пары

Пример

Выполним умножение $-2xy\cdot 3x^2\cdot(-y)$.

Знак: отрицательных множителей два ($-2xy$ и $-y$), это четное число, результат положительный.

Коэффициенты: $(-2)\cdot 3\cdot(-1)=6$. Буква $x$: $1+2=3$. Буква $y$: $1+1=2$.

Ответ: $6x^3y^2$.

Еще один пример: $-a\cdot(-2b)\cdot(-5ab)$. Отрицательных множителей три — нечетное число, результат отрицательный. Коэффициент: $(-1)\cdot(-2)\cdot(-5)=-10$, буквы: $a^2$ и $b^2$. Получаем $-10a^2b^2$.

{"questions":[{"content":"Не выполняя умножения, определите знак коэффициента результата.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Коэффициент положительный","Коэффициент отрицательный"],"items":[["$-a\\cdot (-4b)$","$-2a\\cdot 3a\\cdot (-b)$","$-a\\cdot (-a)\\cdot (-a)\\cdot (-b)$"],["$-a^2\\cdot (-2b)\\cdot (-3a)$","$5a\\cdot (-b)$"]]}},"instruction":"Распределите произведения по группам","hints":["Посчитайте отрицательные множители в каждом произведении.","Каждая пара минусов дает плюс: четное число минусов — плюс, нечетное — минус.","Плюс: $-a\\cdot(-4b)$ (два минуса), $-2a\\cdot 3a\\cdot(-b)$ (два), $(-a)\\cdot(-a)\\cdot(-a)\\cdot(-b)$ (четыре). Минус: $-a^2\\cdot(-2b)\\cdot(-3a)$ (три), $5a\\cdot(-b)$ (один)."],"step":1},{"content":"Найдите коэффициент произведения $-2a\\cdot (-3b)\\cdot (-c)\\cdot 4d$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-24"}},"hints":["Перемножим числа, учитывая знаки: сначала $(-2)\\cdot(-3)=6$.","Затем $6\\cdot(-1)=-6$ и $-6\\cdot 4=-24$.","Три отрицательных множителя дают минус. Ответ: $-24$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Если в выражении есть степень одночлена

В выражении $(2ab)^2\cdot 3a$ сначала выполняют возведение в степень, а затем умножение — это обычный порядок действий. Как возвести одночлен в степень, разобрано в уроке «Возведение в степень произведения и степени»: в степень возводят каждый множитель, а показатели букв умножают на показатель степени. В модели $(2ab)^2=2ab\cdot 2ab$ — две одинаковые ленты, поставленные подряд.

Сначала степень: (2ab)²=4a²b², затем умножение: 4a²b²·3a=12a³b². В куб возводят и число: (−2a)³=−8a³ — Шаг 1 — скобка: $(2ab)^2=4a^2b^2$; шаг 2 — умножение: $4a^2b^2\cdot 3a=12a^3b^2$

Пример

Упростим $(2ab)^2\cdot 3a$.

Шаг 1. Скобка: $(2ab)^2=2^2a^2b^2=4a^2b^2$.

Шаг 2. Умножение: $4\cdot 3=12$, буква $a$: $2+1=3$, буква $b$ остается во второй степени.

Ответ: $12a^3b^2$. Проверка при $a=2$, $b=3$: $(2\cdot 2\cdot 3)^2\cdot 3\cdot 2=144\cdot 6=864$ и $12\cdot 8\cdot 9=864$.

Ошибка

Как ошибаются. Пишут $(-2a)^3=-2a^3$: в степень возвели только букву.

Проверка на числах. При $a=2$: $(-2\cdot 2)^3=(-4)^3=-64$, а $-2\cdot 2^3=-16$.

Где ломается рассуждение. В скобке два множителя, $-2$ и $a$, и в куб возводят оба: $(-2a)^3=(-2)^3\cdot a^3=-8a^3$. Минус сохраняется, потому что показатель нечетный. Тогда $(-2a)^3\cdot 5ab=-8a^3\cdot 5ab=-40a^4b$.

{"questions":[{"content":"$(3x^2)^3\\cdot x=$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$27x^6$","$9x^7$","$27x^7$","$3x^7$"],"answer":2}},"instruction":"Выберите результат","hints":["Сначала скобка (правило из урока о возведении в степень произведения): $(3x^2)^3=3^3\\cdot x^{2\\cdot 3}=27x^6$.","Затем умножение: $27x^6\\cdot x=27x^7$. Ответ: $27x^7$."],"step":1},{"content":"Выполните действия: $(-3c)^3\\cdot 2c$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-54c^4$","$-18c^4$","$-54c^3$","$54c^4$"],"explanations":["","В куб возвели не весь коэффициент: $(-3)^3=-27$, а не $-9$","Не сложили показатели: $c^3\\cdot c=c^4$","Знак потерян: в нечетной степени минус сохраняется"],"answer":[0]}},"hints":["Нечетная степень отрицательного числа дает минус: $(-3c)^3=-27c^3$.","Умножим на $2c$: $-27\\cdot 2=-54$, $c^3\\cdot c=c^4$.","Ответ: $-54c^4$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Размеры фигур тоже бывают одночленами

Площадь прямоугольника — произведение длины и ширины, объем прямоугольного бруска — произведение трех ребер. Если размеры записаны одночленами, площадь и объем — это произведения одночленов, а модель становится буквальной.

Прямоугольник со сторонами $4a$ и $3b$ разбивается на $4\cdot 3=12$ прямоугольников со сторонами $a$ и $b$. Его площадь $4a\cdot 3b=12ab$.

Прямоугольник со сторонами 4a и 3b из 4·3=12 плиток a·b: площадь S=4a·3b=12ab — Прямоугольник $4a$ на $3b$ — двенадцать плиток $a\cdot b$: площадь $12ab$

Вернемся к вопросу урока. Объем коробки $V=4a\cdot 3b\cdot 2b=24ab^2$. Коэффициент 24 — это число брусков, а $ab^2$ — объем одного бруска с ребрами $a$, $b$ и $b$. Вдоль ребра $4a$ помещаются 4 бруска, вдоль $3b$ — 3 ряда, по высоте $2b$ — 2 слоя: $4\cdot 3\cdot 2=24$.

Коробка 4a·3b·2b из 4·3·2=24 брусков a·b·b: объем 24ab² — Коробка с ребрами $4a$, $3b$, $2b$ вмещает 24 бруска с ребрами $a$, $b$, $b$: $V=24ab^2$

Бывает и обратная задача: произведение известно, а один множитель нужно найти. Ищем одночлен, который дополняет известный множитель до произведения: число подбираем делением, а у каждой буквы берем недостающий показатель.

Пример

Объем аквариума $30x^2y$ дм³, дно — прямоугольник $5x$ дм на $2x$ дм. Найдем высоту аквариума и его объем при $x=1$, $y=2$.

Площадь дна: $5x\cdot 2x=10x^2$. Высота $h$ такая, что $10x^2\cdot h=30x^2y$.

Число: $30:10=3$. Буква $x$: в $10x^2$ уже есть $x^2$, больше $x$ не нужно. Буква $y$: ее нет в $10x^2$, нужна $y$. Значит, $h=3y$ дм. Проверка: $10x^2\cdot 3y=30x^2y$.

При $x=1$, $y=2$: дно 5 дм на 2 дм, высота 6 дм, объем $5\cdot 2\cdot 6=60$ дм³, то есть 60 литров.

Ответ: высота $3y$ дм; 60 литров.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Стороны прямоугольника равны $3x$ м и $5xy$ м. Найдите площадь прямоугольника при $x=2$, $y=3$ в квадратных метрах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/9ws7vp3yku5y.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"180"}},"hints":["Площадь — произведение сторон: $S=3x\\cdot 5xy=15x^2y$.","Подставим: $15\\cdot 2^2\\cdot 3=15\\cdot 4\\cdot 3$.","$S=180$ м². Ответ: 180."],"step":1},{"content":"Какой одночлен надо поставить вместо $\\square$, чтобы получилось верное равенство: $\\square\\cdot 3ab=12a^3b^2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4a^3b^2$","$9a^2b$","$4a^2b$","$36a^4b^3$"],"explanations":["Буквы остались без изменений: у $3ab$ тоже есть $a$ и $b$","Вычли числа, а надо делить: $12:3=4$","","Перемножили вместо деления: искомый множитель находят делением произведения на известный множитель"],"answer":[2]}},"hints":["Неизвестный множитель — результат деления: $12a^3b^2:(3ab)$.","Числа: $12:3=4$. Показатели вычитаем: $a^3:a=a^2$, $b^2:b=b$.","Ответ: $4a^2b$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Умножение одночленов встречается почти в каждом преобразовании: дальше вы будете умножать одночлен на многочлен и многочлены друг на друга, и каждый шаг там — это умножение одночленов. Чтобы быстро вспомнить правило, представьте бруски: копии перемножаются, одинаковые размеры собираются в степень.

Случай	Что делаем	Как это видно в модели
$3a\cdot 2a=6a^2$	Коэффициенты перемножаем	Каждая из трех копий встречается с каждой из двух: 6 квадратов
$a^2\cdot a^3=a^5$	Показатели складываем	В ленте $2+3=5$ множителей $a$
$-2x\cdot(-3y)=6xy$	Знак — по числу минусов	Модель знака не показывает: пара минусов дает плюс
$(2ab)^2\cdot 3a=12a^3b^2$	Сначала скобка, потом умножение	Две одинаковые ленты, затем еще один множитель
$4a\cdot 3b\cdot 2b=24ab^2$	Объем — произведение ребер	24 бруска с ребрами $a$, $b$, $b$ в коробке

Часто задаваемые вопросы

Почему при умножении показатели складывают, а не перемножают?

Показатель — это число одинаковых множителей. В $x^2\cdot x^3$ два множителя $x$ стоят рядом с тремя, всего их $2+3=5$. Перемножают показатели при возведении степени в степень: $(x^2)^3$ — это три раза по два множителя.

Чем умножение одночленов отличается от сложения?

Сложить можно только подобные одночлены, и буквенная часть при этом не меняется: $5x+3x=8x$ («Одночлены: сложение и вычитание»). Умножать можно любые одночлены, и буквенная часть меняется: $5x\cdot 3x=15x^2$, $5x\cdot 3y=15xy$.

Что делать, если буква есть только в одном множителе?

Перенести ее в ответ без изменений. Например, $2a\cdot 7b^3=14ab^3$: у $a$ показатель 1, у $b$ показатель 3, складывать не с чем.

Как быстро проверить ответ?

Подставьте одно и то же значение буквы в исходное выражение и в ответ. Берите числа, отличные от 0 и 1, например 2 или 3. Если значения различаются — в ответе ошибка; если совпали — ответ, скорее всего, верен, но доказывает его только правило.

Награды за урок