7 класс Алгебра Одночлены и многочлены Одночлены

Одночлен. Стандартный вид, коэффициент и степень одночлена

Содержание

В уроке «Возведение в степень произведения и степени» вы возводили в степень произведения чисел и букв и впервые встретили слово «одночлен». Теперь разберем это понятие полностью: какие выражения называют одночленами, как записать одночлен в стандартном виде, что такое его коэффициент и степень.

Начнем с вопроса. Коробка имеет размеры $2a$, $3a$ и $b$, ее объем равен $2a\cdot 3a\cdot b$. Как записать этот объем короче и что такая запись расскажет о коробке? Ответим по ходу урока.

Одночлен — одно произведение, а не сумма

Возьмем брусок с размерами $a$, $a$ и $b$: в основании квадрат со стороной $a$, высота $b$. Его объем — произведение размеров: $a\cdot a\cdot b=a^2b$. Пять таких брусков имеют объем $5\cdot a\cdot a\cdot b=5a^2b$. В обеих записях числа и буквы связаны только умножением.

Другое дело — два отдельных куска длиной $a$ и $b$, положенные в ряд. Их общая длина $a+b$ — это сумма, а не одно произведение.

Брусок со сторонами a, a, b: объем a·a·b=a²b — одночлен, а два куска в ряд дают сумму a+b — Объем бруска — одно произведение $a\cdot a\cdot b=a^2b$, а длина двух кусков в ряд — сумма $a+b$

Определение

Одночлен — произведение чисел, переменных и их степеней с натуральным показателем. Отдельное число и отдельная переменная тоже считаются одночленами.

Выражение	Одночлен?	Почему
$\frac25x^2y$	Да	Произведение числа $\frac25$ и степеней букв
$\frac{x}{3}$	Да	Делить на число — то же, что умножать на дробь: $\frac{x}{3}=\frac13\cdot x$
$-7$	Да	Отдельное число
$a+b$	Нет	Сумма двух одночленов, а не одно произведение
$\frac{3}{x}$	Нет	Деление на переменную: такое выражение не записать произведением степеней $x$ с натуральным показателем

Обратите внимание

Суммы одночленов называют многочленами — их вы изучите в следующих темах. Сам одночлен тоже считают многочленом: это многочлен из одного члена.

{"questions":[{"content":"Какое из выражений является одночленом?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{5}{n}$","$m+n^2$","$\\frac{4}{7}mn^2$","$2m-3n$"],"explanations":["Переменная стоит в знаменателе: это деление на переменную, не произведение","Это сумма двух одночленов, а не одно произведение","","Разность — не одно произведение, а два члена"],"answer":[2]}},"hints":["Одночлен — произведение чисел, переменных и их степеней.","Сумма, разность и деление на переменную одночленом не являются.","Одночлен здесь только $\\frac{4}{7}mn^2$: это одно произведение."],"step":1},{"content":"Распределите выражения по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Одночлен","Не одночлен"],"items":[["$-9$","$y$","$\\frac{b}{4}c^3$"],["$x+5$","$\\frac{2}{k}$","$a^2-b$"]]}},"hints":["Одночлен — одно произведение чисел и переменных в степенях с натуральным показателем.","Число и одна переменная — тоже одночлены (произведение из одного множителя).","Одночлены: $-9$, $y$, $\\frac{b}{4}c^3$. Не одночлены: $x+5$, $\\frac{2}{k}$, $a^2-b$."],"step":1}],"mix":1}

Стандартный вид: копии вместе, одинаковые стороны вместе

Вернемся к коробке. Сторона $2a$ состоит из двух отрезков длины $a$, сторона $3a$ — из трех. Разрежем коробку по этим отметкам: получится $2\cdot 3=6$ одинаковых брусков с размерами $a$, $a$ и $b$. Значит, объем коробки равен $6a^2b$.

Коробка 2a·3a·b из шести брусков a·a·b: объем 2a·3a·b=6a²b — Коробка $2a\cdot 3a\cdot b$ складывается из шести брусков $a\cdot a\cdot b$, поэтому ее объем равен $6a^2b$

Тот же ответ получается без картинки. Выпишем все множители в ленту: $2$, $a$, $3$, $a$, $b$. Множители можно переставлять и группировать как угодно — это переместительный и сочетательный законы умножения. Соберем числа вместе, а одинаковые буквы — вместе:

$$2a\cdot 3a\cdot b=(2\cdot 3)\cdot(a\cdot a)\cdot b=6a^2b$$

Числа дали одно число — сколько брусков. Буквы дали размеры одного бруска.

Лента множителей 2·a·3·a·b: числа к числам, буквы к буквам, итог 6a²b — Лента множителей: числа перемножаем в одно число, одинаковые буквы собираем в степень

Определение

Одночлен записан в стандартном виде, если в нем один числовой множитель и он стоит первым, а каждая буква встречается один раз — в виде степени. Буквы принято записывать по алфавиту.

Правило

Чтобы привести одночлен к стандартному виду:

перемножьте все числовые множители;
для каждой буквы сложите показатели всех ее множителей (буква без показателя — это первая степень, $a=a^1$);
запишите число, затем буквы по алфавиту.

$$2a\cdot 3a\cdot b=6a^2b$$

Почему показатели складываются: $a\cdot a^2=a\cdot(a\cdot a)=a^3$ — это правило умножения степеней с одинаковым основанием из урока «Умножение и деление степеней. Нулевая степень».

Пример

Приведем к стандартному виду одночлен $2a\cdot 7\cdot a^2\cdot b$.

Числа: $2\cdot 7=14$. Буква $a$ встречается дважды: $a\cdot a^2=a^{1+2}=a^3$. Буква $b$ одна. Буквы по алфавиту: сначала $a$, потом $b$.

Ответ: $14a^3b$.

Пример

Приведем к стандартному виду одночлен $\frac12m\cdot 6n\cdot m$.

Числа: $\frac12\cdot 6=3$. Буква $m$: $m\cdot m=m^2$. Буква $n$ одна.

Ответ: $3m^2n$.

Ошибка

«$2a\cdot 7\cdot a^2\cdot b=9a^2b$» — коэффициенты сложили, а показатель общей буквы не сложили.

Проверим числами. При $a=b=1$: слева $2\cdot 7=14$, справа $9$. При $a=2$, $b=1$: слева $4\cdot 7\cdot 4=112$, справа $9\cdot 4=36$. Равенство неверно.

Где сломалось рассуждение: числа перемножают, $2\cdot 7=14$, а не складывают. Буква $a$ стоит в трех множителях: $a\cdot a^2=a^3$ — три множителя $a$ на ленте, а не два.

Приведение 2a·7·a²·b: коэффициенты перемножают, показатели a складывают: 14a³b, а не 9a²b — В $2a\cdot 7\cdot a^2\cdot b$ числа перемножают, а показатели буквы $a$ складывают: получается $14a^3b$, а не $9a^2b$

{"questions":[{"content":"Стандартный вид одночлена $c\\cdot 5a^2\\cdot 2c$ — это [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$7a^2c^2$","$10a^2c^2$","$5a^2c^2$","$10a^2c$"],"answer":1}},"hints":["Перемножим числа: $5\\cdot 2=10$.","Соберем одинаковые буквы: $c\\cdot c=c^2$, буква $a^2$ одна. Буквы пишем по алфавиту: сначала $a$, потом $c$.","Ответ: $10a^2c^2$."],"step":1},{"content":"Приведите одночлен $\\frac{1}{4}p\\cdot 8q\\cdot p^2$ к стандартному виду.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2p^2q$","$\\frac{33}{4}p^3q$","$2pq$","$2p^3q$"],"explanations":["Показатель общей буквы не сложили: $p \\cdot p^2=p^{3}$, а не $p^2$","Коэффициенты сложили, а в стандартном виде их перемножают","Показатели потеряны: одинаковые буквы, умноженные друг на друга, дают степень",""],"answer":[3]}},"hints":["Сначала перемножим все числовые множители, затем соберем одинаковые буквы.","Для каждой буквы сложим показатели всех ее множителей: буква без показателя имеет показатель 1.","$\\frac{1}{4}p\\cdot 8q\\cdot p^2 = 2p^3q$."],"step":1}],"mix":1}

Коэффициент показывает, сколько брусков

В записи $6a^2b$ число 6 говорит, сколько одинаковых брусков, а $a^2b$ — каким получился один брусок. У этих частей одночлена есть названия.

Определение

Коэффициент одночлена — его числовой множитель в стандартном виде. Буквенная часть — все буквы одночлена со своими степенями.

Коэффициент находят после приведения к стандартному виду: у $2a\cdot 3a\cdot b$ коэффициент 6, а не 2. Если число не написано, брусок один, и коэффициент равен 1. Дробный коэффициент означает часть бруска. Знак минус перед буквами — это множитель $-1$: здесь модель брусков уже не помогает, коэффициент просто отрицательный.

Одночлен	Как прочитать	Коэффициент
$6a^2b$	$6\cdot a^2b$ — шесть брусков	$6$
$a^2b$	$1\cdot a^2b$ — один брусок	$1$
$-ab$	$(-1)\cdot ab$	$-1$
$\frac25x^2y$	$\frac25\cdot x^2y$	$\frac25$
$\frac{x}{3}$	$\frac13\cdot x$	$\frac13$
$0{,}25xy$	$0{,}25\cdot xy$	$0{,}25$

Ошибка

«У одночлена $-ab$ коэффициента нет» или «коэффициент равен 1».

Проверим при $a=2$, $b=3$: $-ab=-6$. Если коэффициент 1, то $1\cdot ab=6$, а не $-6$. С коэффициентом $-1$ все сходится: $(-1)\cdot 2\cdot 3=-6$.

Где сломалось рассуждение: минус перед буквами — тоже числовой множитель, его нельзя потерять.

Пример

Найдем коэффициент одночлена $-0{,}2x\cdot 5y\cdot x$.

Сначала стандартный вид. Числа: $-0{,}2\cdot 5=-1$. Буква $x$: $x\cdot x=x^2$. Получаем $-1\cdot x^2y=-x^2y$.

Ответ: коэффициент равен $-1$, хотя в записи $-x^2y$ числа не видно.

{"questions":[{"content":"Соотнесите одночлен и его коэффициент.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$-y^3$","$\\frac{z}{5}$","$yz^2$","$0{,}3y\\cdot 10z$"],"items":["$-1$","$\\frac15$","$1$","$3$","$5$"]}},"instruction":"Соотнесите одночлен и коэффициент","hints":["Коэффициент — числовой множитель одночлена в стандартном виде. Если число не написано, коэффициент равен 1, а минус перед буквами — это множитель $-1$.","$\\frac{z}{5}=\\frac15\\cdot z$, а $0{,}3y\\cdot 10z=3yz$.","Ответ: $-y^3$ — $-1$; $\\frac{z}{5}$ — $\\frac15$; $yz^2$ — $1$; $0{,}3y\\cdot 10z$ — $3$."],"step":1},{"content":"Найдите коэффициент одночлена $-3p\\cdot 0{,}5p^2q$ после приведения к стандартному виду. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-1,5","-1.5"]}},"hints":["Сначала перемножим числовые множители.","$-3\\cdot 0{,}5 = -1{,}5$.","Стандартный вид: $-1{,}5p^3q$. Ответ: $-1{,}5$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Степень показывает, во сколько раз вырастет брусок

Увеличим все размеры бруска $a\cdot a\cdot b$ в 2 раза. Получим брусок $2a\cdot 2a\cdot 2b$. В нем помещается $2\cdot 2\cdot 2=8$ прежних брусков: каждый из трех буквенных множителей добавил свой множитель 2.

Все размеры бруска вдвое больше — объем в 2·2·2=2³=8 раз больше — Все размеры выросли в 2 раза, а объем — в $2\cdot 2\cdot 2=2^3=8$ раз: в бруске три буквенных множителя

Буквенных множителей в $a^2b=a\cdot a\cdot b$ ровно $2+1=3$ — это сумма показателей букв. Если каждую букву увеличить в $k$ раз, значение умножится на $k^3$. Коэффициент при этом не растет: число брусков остается прежним.

Определение

Степень одночлена — сумма показателей всех его букв (в стандартном виде). Коэффициент в степень не входит. Число, не равное нулю, — одночлен нулевой степени. Число $0$ называют нуль-одночленом, его степень не определена.

Правило

Если каждую букву одночлена степени $n$ увеличить в $k$ раз, его значение умножится на $k^n$. Например, для $6a^2b$:

$$6\cdot(ka)^2\cdot kb=6\cdot k^2a^2\cdot kb=k^3\cdot 6a^2b$$

Почему верно: при замене $a$ на $ka$ каждый множитель $a$ дает множитель $k$ (это возведение в степень произведения из урока «Возведение в степень произведения и степени»). Множителей $k$ столько, сколько буквенных множителей, — степень одночлена. У числа, например $12$, букв нет: увеличивать нечего, значение умножается на $k^0=1$, то есть не меняется. А нуль можно записать с любыми буквами: $0=0\cdot x=0\cdot x^5y$, поэтому степень нуль-одночлена не определяют.

Пример

Найдем степени одночленов $-x^5y$, $2a\cdot 3a\cdot b$ и $\frac49$.

$-x^5y$: у $y$ показатель 1, степень $5+1=6$. Коэффициент $-1$ на степень не влияет.

$2a\cdot 3a\cdot b$: сначала стандартный вид $6a^2b$, степень $2+1=3$.

$\frac49$: букв нет, число не равно нулю — степень 0.

Ответ: 6; 3; 0.

Ошибка

«Степень одночлена $3a^2b^3$ равна 3 — это наибольший показатель». Или «степень равна $3+2+3=8$» — к показателям прибавили коэффициент.

Проверим масштабом. При $a=b=2$: $3\cdot 2^2\cdot 2^3=3\cdot 4\cdot 8=96$. При $a=b=4$ (каждая буква в 2 раза больше): $3\cdot 4^2\cdot 4^3=3\cdot 16\cdot 64=3072$. Рост: $3072:96=32=2^5$. Будь степень равна 3, значение выросло бы в $2^3=8$ раз, до 768; будь она 8 — в $2^8=256$ раз.

Где сломалось рассуждение: $3a^2b^3=3\cdot a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot b$ — пять буквенных множителей, и растет каждый. Коэффициент 3 — число копий, он не растет и в степень не входит. Степень равна $2+3=5$.

Одночлен 3a²b³: растут все пять буквенных множителей, коэффициент не растет; степень 5, рост 2⁵=32 — В $3a^2b^3$ пять буквенных множителей: при удвоении букв значение растет в $2^5=32$ раза, а не в $2^3=8$

Пять множителей бруском уже не нарисовать — считаем их в ряд, как на ленте.

odnochlen-standartnyj-vid-masshtab

{"questions":[{"content":"Найдите степень одночлена $-5x^4yz^2$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Степень одночлена — сумма показателей всех букв. Коэффициент в нее не входит.","Буква $y$ без показателя имеет показатель 1.","$4+1+2=7$. Ответ: 7."],"step":1},{"content":"Чему равна степень одночлена $25$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Не определена","0","25","1"],"explanations":["Степень не определена только у нуль-одночлена $0$, а $25$ не равно нулю","","Это коэффициент, а в степень он не входит","Единица — показатель буквы без записи; букв здесь нет"],"answer":[1]}},"hints":["В одночлене $25$ нет букв, сумма показателей пустая.","Ненулевое число считают одночленом нулевой степени."],"step":1},{"content":"Решавр увеличил каждую букву одночлена $4m^3n^2$ в 2 раза. Он считает, что значение умножится на $2^3=8$, потому что наибольший показатель равен 3. На какое число на самом деле умножится значение одночлена?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["На $2^3=8$","На $2^5=32$","На $2\\cdot 5=10$","На $2$"],"explanations":["Это ошибка Решавра: он взял наибольший показатель, а растет каждый из пяти буквенных множителей","","Множители 2 перемножаются, а не складываются: $2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 2=2^5$","Каждая буква выросла в 2 раза, но букв-множителей пять, и множитель 2 появляется пять раз"],"answer":[1]}},"hints":["Одночлен $4m^3n^2$ — это $4\\cdot m\\cdot m\\cdot m\\cdot n\\cdot n$: в нем пять букв-множителей, то есть его степень равна $3+2=5$.","Каждый из пяти буквенных множителей стал в 2 раза больше, а коэффициент 4 не изменился.","Значение умножится на $2^5=32$. Проверка: при $m=n=1$ значение 4, при $m=n=2$ значение $4\\cdot 8\\cdot 4=128$, $128:4=32$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Паспорт одночлена описывает его полностью

Коэффициент, буквенная часть и степень вместе — как паспорт одночлена: по ним сразу видно, сколько брусков, какой формы один брусок и как быстро растет значение.

Паспорт	В модели	$6a^2b$	$-x^5y$	$\frac25x^2y$	$12$
Коэффициент	Сколько брусков	$6$	$-1$	$\frac25$	$12$
Буквенная часть	Размеры одного бруска	$a^2b$	$x^5y$	$x^2y$	Нет
Степень	Значение умножится на $k^n$, если все буквы увеличить в $k$ раз	$3$	$6$	$3$	$0$

Теперь ответим на вопрос о коробке с размерами $2a$, $3a$ и $b$. Ее объем $6a^2b$: шесть брусков формы $a^2b$, степень 3. Если увеличить все размеры коробки в 2 раза, объем вырастет в $2^3=8$ раз. При $a=2$ см, $b=5$ см объем равен $6\cdot 2^2\cdot 5=120$ см³.

Пример

Аквариум имеет длину $5c$, ширину $2c$ и высоту $3c$. Запишем объем одночленом, составим паспорт и найдем объем при $c=10$ см.

Объем: $5c\cdot 2c\cdot 3c=(5\cdot 2\cdot 3)\cdot(c\cdot c\cdot c)=30c^3$. Паспорт: коэффициент 30, буквенная часть $c^3$, степень 3.

Значение удобно считать по стандартному виду: $30\cdot 10^3=30\,000$ см³, то есть 30 л. Проверка по размерам: $50\cdot 20\cdot 30=30\,000$ — совпадает.

Если аквариум вдвое больше по каждому размеру, его объем больше в $2^3=8$ раз: 240 л.

{"questions":[{"content":"Решавр привел одночлен $5a\\cdot 2b\\cdot a^3$ к стандартному виду и получил $10a^3b$. Где в решении ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Показатель буквы $a$: должно быть $a\\cdot a^3=a^4$","Порядок букв: $b$ должна стоять раньше $a$","Ошибки нет, ответ верный","Коэффициент: должно быть $5+2=7$"],"explanations":["","Буквы пишут по алфавиту, $a$ раньше $b$: порядок верный","У $a$ не учтен множитель $a$ без показателя: он дает еще 1 к показателю","Числовые множители перемножают, а не складывают"],"answer":[0]}},"hints":["Числа: $5\\cdot 2=10$ — верно.","Буква $a$ встречается дважды: $a\\cdot a^3$ — сложим показатели $1+3=4$.","Верный ответ: $10a^4b$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите значение одночлена $-2a^2b$ при $a=3$, $b=-1$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Подставим значения: $-2\\cdot 3^2\\cdot(-1)$.","$3^2=9$, затем $-2\\cdot 9=-18$.","$-18\\cdot(-1)=18$. Ответ: 18."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Одночлены встречаются везде, где величину находят умножением: площадь, объем, стоимость. Стандартный вид делает такую запись короткой, а паспорт одночлена сразу говорит, как изменится величина при изменении масштаба: площадь растет в $k^2$ раз, объем — в $k^3$ раз. Стандартный вид понадобится в следующих уроках: «Одночлены: сложение и вычитание. Подобные одночлены» и «Умножение одночленов».

Чтобы быстро вспомнить главное, представьте брусок:

Часто задаваемые вопросы

Почему $\frac{x}{3}$ — одночлен, а $\frac{3}{x}$ — нет?

Деление на число 3 — то же, что умножение на $\frac13$, поэтому $\frac{x}{3}=\frac13\cdot x$ — произведение числа и буквы. В $\frac{3}{x}$ переменная стоит в знаменателе: это деление на переменную, его нельзя записать произведением степеней $x$ с натуральным показателем. К тому же при $x=0$ это выражение не имеет смысла.

Зачем приводить одночлен к стандартному виду, если значение не меняется?

Запись становится короче, а значение считать легче. В стандартном виде сразу видны коэффициент и степень. И главное — одинаковые одночлены, записанные по-разному, например $2a\cdot 3a\cdot b$ и $b\cdot 6a^2$, в стандартном виде совпадают буквально: $6a^2b$.

Почему степень числа 7 равна нулю, а не 7?

Степень считает буквенные множители, а в числе 7 букв нет. Само число 7 — коэффициент, он в степень не входит. Это согласуется с масштабом: увеличивать в числе нечего, значение умножается на $k^0=1$.

Какая степень у одночлена 0?

Не определена. Нуль можно записать с любыми буквами: $0=0\cdot x=0\cdot a^2b^3$, и у этих записей разные суммы показателей. Поэтому степень нуль-одночлену не приписывают.

Можно ли сказать, что одночлен — это многочлен?

Да. Многочлен — сумма одночленов, а одночлен — многочлен из одного члена. Подробнее об этом — в теме о многочленах.

Награды за урок