7 класс Алгебра Одночлены и многочлены Многочлены

Умножение одночлена на многочлен

Содержание

Вы уже умеете умножать одночлены («Умножение одночленов») и раскрывать скобки вида $3(x+2)$ («Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых»). В этом уроке научимся умножать одночлен на многочлен: увидим правило на площади прямоугольника, разберем знаки, упростим выражения и решим уравнения, в которых после раскрытия скобок исчезает квадрат.

Площадь целого равна сумме площадей частей

Возьмем прямоугольник из клеток: $3$ клетки в высоту и $6$ в длину. Его площадь $3\cdot 6=18$ клеток. Разрежем его поперек на две части: длина $6$ распадется на $4$ и $2$. Получатся прямоугольники $3\times 4$ и $3\times 2$ с площадями $12$ и $6$. Вместе снова $18$ клеток: $3\cdot(4+2)=3\cdot 4+3\cdot 2$.

Теперь заменим длину $4$ буквой. Прямоугольник высотой $3$ и длиной $x+2$ состоит из полосы $3\times x$ и куска $3\times 2$. Из плиток это три полоски $x$ и шесть единичных квадратиков: $3(x+2)=3x+6$. Высота $3$ досталась обеим частям — и длинной, и короткой.

Разрез прямоугольника не меняет площадь: 3·(4+2)=12+6=18 и 3(x+2)=3x+6 — Разрез не меняет площадь: $3\cdot(4+2)=12+6$ и $3(x+2)=3x+6$

Буквой может быть и высота. Пол комнаты — прямоугольник со сторонами $x$ м и $(x+5)$ м. Площадь можно найти сразу: $x(x+5)$. А можно по частям: квадрат $x\times x$ дает $x^2$, полоса $x\times 5$ дает $5x$, всего $x^2+5x$. При каком $x$ ответы совпадут? При любом: это одна и та же площадь пола, просто посчитанная двумя способами.

Пол комнаты со сторонами x и x+5 двумя способами: x(x+5)=x²+5x — Пол $x\times(x+5)$ — одна плитка $x^2$ и пять полосок $x$: $x(x+5)=x^2+5x$

Распределительный закон

Чтобы умножить число на сумму, можно умножить его на каждое слагаемое и сложить результаты. На площади: площадь целого прямоугольника равна сумме площадей его частей.

$$\begin{aligned}m(a+b)&=ma+mb\\m(a+b+c)&=ma+mb+mc\end{aligned}$$

ploshchad-odnochlen

Вопрос урока

Два участка имеют форму прямоугольников. Первый — $2x$ м на $(x+3)$ м, второй — $x$ м на $(2x+1)$ м. Площадь первого на $40$ м² больше. Найдите $x$. Кажется, что здесь нужен квадрат неизвестного. Ответим в последнем разделе.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Прямоугольник со сторонами $m$ и $a+b$ разделен на два прямоугольника. Какое выражение дает его площадь?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/hletkygji8fn.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$m+a+b$","$ma+mb$","$ma\\cdot mb$","$ma+b$"],"explanations":["Сложили стороны, а не площади: площадь находят умножением","","Площади частей складывают, а не перемножают","На сторону $m$ умножили только первое слагаемое: вторая часть тоже имеет высоту $m$"],"answer":[1]}},"hints":["Площадь целого равна сумме площадей частей.","Части: $m\\cdot a$ и $m\\cdot b$.","Ответ: $ma+mb$."],"step":1},{"content":"Грядка — прямоугольник со сторонами $2y$ м и $(y+6)$ м. Ее разделили на участок $2y\\times y$ и полосу. Площадь грядки равна $2y^2+$[[fill_choice-1]] м².","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$6y$","$2y+6$","$6$","$12y$"],"answer":3}},"hints":["Полоса имеет стороны $2y$ и $6$, ее площадь $12y$.","$2y(y+6)=2y^2+12y$.","Ответ: $12y$."],"step":1}],"mix":1}

Множитель достается каждому члену скобки

Пусть теперь множитель — одночлен, а в скобке многочлен из нескольких членов. Например, $3x(2x^2-x+4)$. Распределительный закон работает так же: одночлен $3x$ умножаем на каждый член скобки. Член берем вместе с его знаком: второй член здесь $-x$.

Каждое произведение — это умножение одночленов, как в уроке «Умножение одночленов»: коэффициенты перемножаем, показатели одинаковых букв складываем. Например, $3x\cdot 2x^2=6x^{1+2}=6x^3$.

Правило

Чтобы умножить одночлен на многочлен:

умножьте одночлен на каждый член многочлена, взяв член с его знаком;
сложите полученные произведения;
если появились подобные члены, приведите их.

$$m(a+b+c)=ma+mb+mc$$

Пример

Умножим $3x(2x^2-x+4)$ и проверим ответ подстановкой.

$3x\cdot 2x^2=6x^3$; $\;3x\cdot(-x)=-3x^2$; $\;3x\cdot 4=12x$.

Складываем: $6x^3-3x^2+12x$. Подобных членов нет.

Проверка при $x=2$. Исходное выражение: $\begin{aligned}3\cdot 2\cdot(8-2+4)&=6\cdot 10=60\end{aligned}$ Результат: $\begin{aligned}&6\cdot 8-3\cdot 4+12\cdot 2\\&=48-12+24=60\end{aligned}$ Значения совпали.

Ответ: $6x^3-3x^2+12x$.

Ошибка

Как ошибаются. Одночлен умножают только на первый член скобки: $4a(2a+3)=8a^2+3$.

Проверка на числах. При $a=1$: $4a(2a+3)=4\cdot 5=20$, а $8a^2+3=8+3=11$. Значения разные, значит, равенство неверно. Верный ответ $8a^2+12a$ дает $8+12=20$.

Где ломается рассуждение. Скобка $(2a+3)$ — это одна длина, а $4a$ — высота всего прямоугольника. Вторая часть длины, $3$, тоже лежит на высоте $4a$, и ее площадь $4a\cdot 3=12a$, а не $3$. Ошибка оставляет от второй части только $3$ клетки вместо $12a$.

Ошибка 4a(2a+3)=8a²+3: вторая часть прямоугольника тоже высотой 4a, её площадь 12a, а в ошибке остаются 3 клетки — Вторая часть тоже высотой $4a$: ее площадь $12a$, а не $3$

{"questions":[{"content":"Раскройте скобки: $4b(2b^2-b+3)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$8b^3-4b^2+12b$","$8b^3-b+3$","$8b^2+8b$","$8b^3-4b^2+12$"],"explanations":["","Одночлен умножили только на первый член скобки, а надо на каждый","Степени при умножении не меняют: $4b\\cdot2b^2=8b^3$, показатели складывают","Последний член $3$ умножили на $4$, а множитель $b$ потеряли: $4b\\cdot3=12b$"],"answer":[0]}},"hints":["Скобка — это длина из нескольких частей, а $4b$ — общая сторона: каждая часть дает свою площадь.","Первый член: $4b\\cdot 2b^2=8b^3$; так же умножаем на каждый из остальных членов.","Ответ: $8b^3-4b^2+12b$."],"step":1},{"content":"Раскройте скобки: $x^2y(3x-y)$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$3x^3y-x^2y$","$3x^3y-x^2y^2$","$3x^3y+x^2y^2$","$-x^2y^2+3x^2y$"],"explanations":["Во втором члене $y\\cdot y$ записали как $y$: показатели складывают, $y\\cdot y=y^2$","","Знак минус перед $y$ потерян: $x^2y\\cdot(-y)=-x^2y^2$","В первом члене $x^2\\cdot x$ записали как $x^2$: показатели складывают, получается $x^3$"],"answer":[1]}},"hints":["Скобка — это длина из нескольких частей, а $x^2y$ — общая сторона: каждая часть дает свою площадь.","Первый член: $x^2y\\cdot 3x=3x^3y$; так же умножаем на каждый из остальных членов.","Ответ: $3x^3y-x^2y^2$."],"step":1},{"content":"Решавр записал: $2a(3a-4)=6a^2-4$. Что верно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибка: знак второго члена, верно $6a^2+8a$","Ошибка: коэффициенты сложены, верно $5a-4$","Ошибка: второй член не умножили, верно $6a^2-8a$","Ошибки нет"],"explanations":["Знак второго члена: $2a\\cdot(-4)=-8a$, минус сохраняется","Коэффициенты и показатели не складывают: $2a\\cdot3a=6a^2$","","При $a=1$ значения не совпадают: $-2$ и $2$, значит, равенство неверно"],"answer":[2]}},"hints":["Одночлен умножают на каждый член скобки: $2a\\cdot3a=6a^2$ и $2a\\cdot(-4)=-8a$.","Проверка при $a=1$: левая часть $2\\cdot(-1)=-2$, правая $6-4=2$ — значения разные.","Ответ: верно $6a^2-8a$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Знак множителя действует на каждый член

Прямоугольник помогает понять, почему множитель достается каждому члену. Но отрицательной длины не бывает, поэтому знаки площадь не покажет. Для знаков есть правило умножения чисел: при одинаковых знаках множителей произведение положительно, при разных — отрицательно.

Вы уже встречали частный случай. Минус перед скобкой — это умножение на $-1$, и он меняет знак у каждого члена: $-(x^2-3x+2)=-x^2+3x-2$. Отрицательный одночлен делает то же самое и еще умножает на свою величину.

Знаки при умножении: минус учитывается у каждого члена, −4a(3a²−2ab)=−12a³+8a²b — Минус множителя доходит до каждого члена: $-4a\cdot(-2ab)=+8a^2b$

Пример

Выполним умножение $-4a\cdot(3a^2-2ab)$.

Первый член: $-4a\cdot 3a^2=-12a^3$ (знаки разные, результат отрицательный).

Второй член: $-4a\cdot(-2ab)=8a^2b$ (знаки одинаковые, результат положительный).

Проверка при $a=2$, $b=1$. Исходное выражение: $-8\cdot(12-4)=-64$. Результат: $-12\cdot 8+8\cdot 4=-96+32=-64$.

Ответ: $-12a^3+8a^2b$.

Ошибка

Как ошибаются. Минус учитывают только в первом члене: $\begin{aligned}&-4a\cdot(3a^2-2ab)\\&=-12a^3-8a^2b\end{aligned}$.

Проверка на числах. При $a=1$, $b=1$: исходное выражение $-4\cdot(3-2)=-4$, а $-12-8=-20$.

Где ломается рассуждение. Второй член скобки — $-2ab$, у него свой минус. Минус множителя встречается с ним, и два минуса дают плюс. Знак каждого произведения определяют отдельно.

{"questions":[{"content":"Раскройте скобки: $-4a\\cdot(3a-2)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-12a^2+8a$","$-12a^2-8a$","$12a^2-8a$","$-12a^2+2$"],"explanations":["","Знак у второго члена не изменили: $-4a\\cdot(-2)=+8a$","Минус множителя потерян в первом члене: $-4a\\cdot3a=-12a^2$","На втором члене потеряли множитель $4a$: $-4a\\cdot(-2)=8a$"],"answer":[0]}},"hints":["Скобка — это длина из нескольких частей, а $-4a$ — общая сторона: каждая часть дает свою площадь.","Первый член: $(-4a)\\cdot 3a=-12a^2$; так же умножаем на каждый из остальных членов.","Ответ: $-12a^2+8a$."],"step":1},{"content":"Сопоставьте произведения и их многочлены. Один многочлен лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$3m(m-2)$","$-3m\\cdot(m+2)$","$-3m\\cdot(m-2)$"],"items":["$3m^2-6m$","$-3m^2-6m$","$-3m^2+6m$","$-3m^2-2$"]}},"hints":["Одночлен умножаем на каждый член скобки, член берем со своим знаком.","$3m\\cdot(-2)=-6m$; $-3m\\cdot2=-6m$; $-3m\\cdot(-2)=+6m$.","Ответ: $3m(m-2)=3m^2-6m$, $-3m\\cdot(m+2)=-3m^2-6m$, $-3m\\cdot(m-2)=-3m^2+6m$; лишний $-3m^2-2$ — в нем на $-2$ не умножили $-3m$."],"step":1}],"mix":1}

Сначала раскрываем скобки, потом приводим подобные

В выражении может быть несколько произведений. Тогда раскрываем каждую скобку по правилу, а потом приводим подобные члены, как в уроке «Сложение и вычитание многочленов». Если перед произведением стоит минус, его результат сначала пишем в скобках, а затем меняем знак у каждого члена.

Порядок упрощения

Раскройте каждое произведение одночлена на многочлен.
Если произведение вычитается, возьмите его результат в скобки и раскройте их с минусом.
Приведите подобные члены.

Пример

Упростим выражение $3a(a+2)-a(2a-5)$ и найдем его значение при $a=-3$.

Раскрываем скобки: $3a(a+2)=3a^2+6a$, $a(2a-5)=2a^2-5a$.

Вычитаем второе произведение целиком: $\begin{aligned}&3a^2+6a-(2a^2-5a)\\&=3a^2+6a-2a^2+5a\end{aligned}$.

Приводим подобные: $a^2+11a$.

Подставляем $a=-3$: $(-3)^2+11\cdot(-3)=9-33=-24$.

Проверка по исходному выражению: $\begin{aligned}&3\cdot(-3)\cdot(-1)-(-3)\cdot(-11)\\&=9-33=-24\end{aligned}$. Совпало.

Ответ: $a^2+11a$; $-24$.

Цепочка упрощения 3a(a+2)−a(2a−5): раскрываем скобки, вычитаем целиком, приводим подобные, получаем a²+11a — Плитки одного вида складываются: $3a^2-2a^2=a^2$, $6a+5a=11a$

Подставить число можно и сразу в исходное выражение — ответ будет тем же. Но после упрощения вычислений меньше, и меньше мест, где можно потерять знак.

{"questions":[{"content":"Упростите выражение $2x(x+3)-x(x-1)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2x^2+7x$","$x^2+7x$","$3x^2+5x$","$x^2+5x$"],"explanations":["Член $-x^2$ из второго произведения потерян: $x(x-1)=x^2-x$, и $x^2$ надо вычесть","","Второе произведение прибавили вместо вычитания: $x^2-x$ взяли со знаком плюс","Знак у $-x$ в скобке не изменили: $-x\\cdot(-1)=+x$"],"answer":[1]}},"hints":["Раскрываем скобки: $2x^2+6x-(x^2-x)$. Минус перед скобкой меняет знак у каждого члена.","$2x^2+6x-x^2+x$. Приводим подобные: $x^2+7x$.","Ответ: $x^2+7x$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $2x(x+3)-x(x-1)$ при $x=-2$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-10"}},"hints":["Упрощаем: $2x(x+3)-x(x-1)=x^2+7x$.","Подставляем: $(-2)^2+7\\cdot(-2)=4-14=-10$.","Ответ: $-10$."],"step":1},{"content":"Расставьте шаги нахождения значения выражения $4b(b-2)-b(3b+1)$ при $b=-1$ по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Раскрываем скобки: $4b^2-8b-3b^2-b$","Приводим подобные в этой сумме и получаем $b^2-9b$","Подставляем $b=-1$ в $b^2-9b$: $(-1)^2-9\\cdot(-1)$","Значит, значение выражения равно $10$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сначала раскрывают скобки, второе произведение вычитают целиком.","Затем приводят подобные и только после этого подставляют число.","Ответ: $4b^2-8b-3b^2-b$ → $b^2-9b$ → $(-1)^2-9\\cdot(-1)$ → $10$."],"step":1}],"mix":1}

Квадрат может исчезнуть, и уравнение станет линейным

Решим уравнение $5x(x+2)-x(5x-4)=28$. В нем есть произведения $x$ на $x$, то есть $x^2$. Но не спешите считать его сложным: раскроем скобки и посмотрим, что останется.

Пример

Раскрываем скобки: $5x^2+10x-(5x^2-4x)=28$, то есть $5x^2+10x-5x^2+4x=28$.

Члены $5x^2$ и $-5x^2$ противоположны, их сумма $0$. Остается $14x=28$, откуда $x=2$.

Проверка: $5\cdot 2\cdot 4-2\cdot(10-4)=40-12=28$. Верно.

Ответ: $x=2$.

Квадрат исчез, потому что в обоих произведениях получилось одинаковое число плиток $x^2$: $5x\cdot x=5x^2$ и $x\cdot 5x=5x^2$. При вычитании они уничтожились, и осталось линейное уравнение — такие вы уже умеете решать.

Теперь ответим на вопрос урока. Площадь первого участка $2x(x+3)=2x^2+6x$, второго $x(2x+1)=2x^2+x$. В каждом по две плитки $x^2$, и разница площадей — только полоски $x$.

Два участка: у обоих по 2 плитки x², лишние пять полосок x дают разницу 5x, откуда x=8 — Две плитки $x^2$ есть в обоих участках, разница — пять полосок: $5x$

Задача

Первый участок больше на $40$ м², поэтому $2x(x+3)-x(2x+1)=40$.

Раскрываем скобки: $2x^2+6x-2x^2-x=40$, то есть $5x=40$, $x=8$.

Проверка: первый участок $16$ м на $11$ м, площадь $176$ м²; второй $8$ м на $17$ м, площадь $136$ м². Разница $176-136=40$ м².

Ответ: $x=8$.

{"questions":[{"content":"Найдите корень уравнения $3x(x-2)-x(3x+1)=14$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Раскрываем скобки: $3x^2-6x-3x^2-x=14$.","Члены $3x^2$ и $-3x^2$ уничтожаются: $-7x=14$.","Ответ: $x=-2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Участок прямоугольной формы со сторонами $2a$ м и $(a+4)$ м. На нем построили квадратный дом со стороной $a$ м. Какой многочлен выражает площадь свободной части участка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2a^2+7a$","$a^2+8a$","$4a$","$3a^2+8a$"],"explanations":["Из площади вычли сторону квадрата $a$, а надо его площадь $a^2$","","Площадь большого прямоугольника посчитали как $a\\cdot(a+4)$, потеряв множитель 2: $a^2+4a-a^2=4a$","Площадь квадрата прибавили, а вырезанную часть надо вычесть"],"answer":[1]}},"hints":["Площадь прямоугольника: $2a(a+4)=2a^2+8a$. Площадь квадрата: $a\\cdot a=a^2$.","Остаток: $2a^2+8a-a^2=a^2+8a$.","Ответ: $a^2+8a$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Случай	Что делаем	Как вспомнить по модели
$m(a+b+c)$	умножаем одночлен на каждый член	площадь целого — сумма площадей частей
в скобке член с минусом	берем член со своим знаком	отрицательной длины нет — работает правило знаков
отрицательный одночлен	определяем знак каждого произведения	минус множителя доходит до каждой части
разность произведений	раскрываем, вычитаем целиком, приводим подобные	плитки одного вида складываются
уравнение с произведениями	раскрываем скобки и смотрим, не уничтожились ли квадраты	одинаковые плитки $x^2$ уходят при вычитании

Вывод

Умножение одночлена на многочлен нужно почти в каждом преобразовании: чтобы упростить выражение, найти его значение, решить уравнение или записать площадь фигуры. Главное — помнить прямоугольник: одночлен — его высота, и эта высота достается каждой части длины.

Дальше этот же прямоугольник прочитаем в обратную сторону: по площади найдем общую сторону («Вынесение общего множителя за скобки»), а потом разобьем на клетки обе стороны («Умножение многочлена на многочлен»).

Часто задаваемые вопросы

Почему одночлен умножают на каждый член скобки, а не только на первый?

Скобка — это одна длина, сложенная из нескольких отрезков. Одночлен — высота всего прямоугольника, и на каждом отрезке лежит своя часть площади. Если умножить только на первый член, остальные части прямоугольника потеряются.

Как быстро проверить, что скобки раскрыты верно?

Подставьте одно и то же число в исходное выражение и в результат: значения должны совпасть. Лучше брать $2$ или $3$. При $x=0$ многие ошибки не видны: например, неверное $3x^2+2x$ вместо $3x(x+2)=3x^2+6x$ при $x=0$ тоже дает $0$. При $x=1$ не видна ошибка в показателях: $x^2$ и $x^3$ оба равны $1$.

Что делать, если одночлен стоит после скобки, например $(x-3)\cdot 2x$?

Порядок множителей не важен: $(x-3)\cdot 2x=2x(x-3)$. Умножаем $2x$ на каждый член скобки и получаем $2x^2-6x$.

Можно ли подставить число сразу, не упрощая выражение?

Можно, ответ будет тем же. Но в упрощенном выражении меньше действий, а значит, меньше мест для ошибки в знаке. Кроме того, после упрощения иногда видно, что значение вообще не зависит от переменной.

Чем умножение одночлена на многочлен отличается от умножения двух многочленов?

Здесь одна сторона прямоугольника цельная, поэтому частей столько, сколько членов в скобке. Когда обе стороны — многочлены, прямоугольник делится на клетки по обеим сторонам, и каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго. Это тема урока «Умножение многочлена на многочлен».

Награды за урок