7 класс Алгебра Одночлены и многочлены Многочлены

Многочлен. Стандартный вид и степень многочлена

Содержание

В уроке «Одночлен. Стандартный вид, коэффициент и степень одночлена» вы разобрали одночлен — одно произведение чисел и букв, а в уроке «Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых» складывали подобные слагаемые. Теперь соберем одночлены в сумму — получится многочлен. Разберем, из каких членов он состоит, что такое его стандартный вид и степень и как найти его значение.

Начнем с вопроса. Посмотрите на две записи: $x^2+4x-x^2+3$ и $4x+3$. В первой есть $x^2$, во второй его нет. Это два разных многочлена или один и тот же? И какая у него степень — вторая или первая? Ответим по ходу урока, а в конце проверим ответ числами.

Многочлен — коробка с плитками разных видов

В уроке про подобные слагаемые буква $x$ была палкой длины $x$, а число $1$ — маленьким квадратиком. Добавим третий вид плитки: квадрат со стороной $x$. Его площадь равна $x\cdot x=x^2$. Каждая плитка — одночлен: ее площадь — произведение размеров. Несколько одинаковых плиток — тоже одночлен: три палки дают $3x$, число $3$ — коэффициент.

Положим в коробку две плитки $x^2$, три палки $x$ и четыре квадратика $1$. Площадь всех плиток в коробке равна $2x^2+3x+4$. Это сумма трех одночленов: $2x^2$, $3x$ и $4$.

Коробка плиток: две плитки x², три плитки x и четыре плитки 1 — многочлен 2x²+3x+4 — Коробка плиток трех видов — это многочлен $2x^2+3x+4$: сумма одночленов $2x^2$, $3x$ и $4$

Определение

Многочлен — сумма одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Одночлен тоже считают многочленом — многочленом из одного члена.

Проверим определение на разных выражениях. В многочлене могут быть дробные коэффициенты и несколько букв. Нельзя только делить на переменную: такое выражение не записать произведением чисел и степеней букв, поэтому оно не одночлен. В коробке нет плитки «$\frac{6}{m}$».

Выражение	Многочлен?	Почему
$x^3-2x+6$	Да	Сумма одночленов $x^3$, $-2x$ и $6$
$\frac12m^2-mn$	Да	Дробный коэффициент не мешает: $\frac12m^2$ — одночлен
$\frac{y}{3}+y^2$	Да	Деление на число — умножение на дробь: $\frac{y}{3}=\frac13y$
$-4ab^2$	Да, из одного члена	Одночлен — многочлен из одного члена
$9$	Да, из одного члена	Число — тоже одночлен
$\frac{6}{m}-m^2$	Нет	$\frac{6}{m}$ — деление на переменную, это не одночлен

Обратите внимание

Одночлен — частный случай многочлена. На вопрос «$-4ab^2$ — многочлен?» ответ «да». Слово «одночлен» подчеркивает, что член один. Многочлен из двух членов называют двучленом, из трех — трехчленом.

{"questions":[{"content":"Распределите выражения по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Одночлен","Многочлен, не одночлен","Не многочлен"],"items":[["$-5ab$","$x^2$"],["$a+3$","$x^2-4x$"],["$\\frac{2}{x}$","$\\frac{a}{b}+1$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Одночлен — одна плитка: произведение числа и букв в степенях. В коробке нет плитки с буквой в знаменателе.","$x^2$ и $-5ab$ — по одной плитке; $a+3$ — две плитки разных видов; в $\\frac{2}{x}$ и $\\frac{a}{b}+1$ делят на переменную.","Ответ: одночлены $-5ab$, $x^2$; многочлены, не одночлены, — $a+3$, $x^2-4x$; не многочлены — $\\frac{2}{x}$, $\\frac{a}{b}+1$."],"step":1},{"content":"Какое из выражений является многочленом?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{2}{a}+a$","$\\frac{a+1}{a}$","$\\frac{a}{5}-a^2$","$x^2+\\frac{3}{x-1}$"],"explanations":["Член $\\frac{2}{a}$ — деление на переменную, одночленом он не является","Похоже на дробный коэффициент, но делят на $a$ — на переменную, это не многочлен","","Дробь с переменной в знаменателе — не одночлен, значит, и сумма не многочлен"],"answer":[2]}},"hints":["Многочлен — сумма одночленов; переменной в знаменателе быть не может. Деление на число допустимо: это дробный коэффициент.","Выражения $\\frac{2}{a}+a$, $\\frac{a+1}{a}$ и $x^2+\\frac{3}{x-1}$ содержат деление на переменную — это не одночлены.","Ответ: $\\frac{a}{5}-a^2$: делят на число $5$, это член $\\frac{1}{5}a$."],"step":1}],"mix":1}

Каждый член вместе со своим знаком

Положим в коробку плитки со знаком «минус». Как и в уроке про подобные слагаемые, такая плитка вычитает свою площадь. Здесь будем рисовать ее тем же цветом, что и обычную плитку, но с белой штриховкой. Возьмем три квадрата $x^2$, пять заштрихованных палок и два заштрихованных квадратика. Получим многочлен $3x^2-5x-2$.

Запись $3x^2-5x-2$ означает сумму $3x^2+(-5x)+(-2)$. Поэтому члены этого многочлена — $3x^2$, $-5x$ и $-2$. Минус перед одночленом — часть члена, как штриховка — часть плитки.

Многочлен 3x²−5x−2: три плитки x², пять заштрихованных плиток x и две заштрихованные единицы; коэффициенты 3 и −5, свободный член −2 — У многочлена $3x^2-5x-2$ три члена: $3x^2$, $-5x$ и $-2$. Коэффициенты берут со знаком: $3$ и $-5$, свободный член $-2$

Уточним определение члена: член берут вместе со знаком перед ним.

Определение

Член многочлена — каждый его одночлен вместе со знаком перед ним. Коэффициент члена — числовой множитель этого члена вместе со знаком. Свободный член — член без переменных, где бы он ни стоял в записи.

Если число перед буквами не написано, коэффициент равен $1$ или $-1$: у члена $x^2$ коэффициент $1$, у члена $-x$ — коэффициент $-1$, ведь $-x=(-1)\cdot x$.

Ошибка

Коэффициент теряет знак. В многочлене $7y^2-12y$ коэффициентом при $y$ называют $12$.

Проверим на числах. При $y=1$ многочлен равен $7\cdot 1^2-12\cdot 1=-5$. Если бы член был $12y$, получилось бы $7+12=19$. Значения разные, значит, член — $-12y$, а его коэффициент равен $-12$.

Где сломалось рассуждение. Минус приняли за знак действия между членами и «оторвали» от члена. Но запись $7y^2-12y$ — это сумма $7y^2+(-12y)$: минус принадлежит члену, как штриховка — плитке.

Пример

Назовите члены многочлена $4-a^3+\frac23a$, коэффициенты при $a^3$ и при $a$ и свободный член.

Решение. Запишем многочлен суммой: $4+(-a^3)+\frac23a$. Члены: $4$, $-a^3$ и $\frac23a$. Член $-a^3$ — это $(-1)\cdot a^3$, поэтому коэффициент при $a^3$ равен $-1$. Коэффициент при $a$ равен $\frac23$. Свободный член — $4$, хотя он стоит первым.

Ответ: члены $4$, $-a^3$, $\frac23a$; коэффициенты $-1$ и $\frac23$; свободный член $4$.

{"questions":[{"content":"Найдите коэффициент при $y$ в многочлене $2x-18y+5$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-18"}},"hints":["Член с $y$ — это $-18y$, то есть $(-18)\\cdot y$.","Коэффициент берут вместе со знаком. Ответ: $-18$."],"step":1},{"content":"Многочлен $6-a^2+3a^3-4a$. Соотнесите описание и число. Два числа лишние.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Коэффициент при $a^3$","Коэффициент при $a^2$","Коэффициент при $a$","Свободный член"],"items":["$3$","$-1$","$-4$","$6$","$1$","$4$"]}},"instruction":"Соотнесите описание и число","hints":["Запишем многочлен суммой: $6+(-a^2)+3a^3+(-4a)$. Каждый член берем вместе со знаком перед ним.","$-a^2=(-1)\\cdot a^2$, поэтому коэффициент при $a^2$ равен $-1$; при $a^3$ — $3$, при $a$ — $-4$. Свободный член — $6$, хотя он стоит первым.","Ответ: при $a^3$ — $3$; при $a^2$ — $-1$; при $a$ — $-4$; свободный член — $6$. Числа $1$ и $4$ лишние."],"step":1},{"content":"Найдите свободный член многочлена $7-2x+x^2$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Свободный член — член без переменной, место в записи не важно.","В записи $7-2x+x^2$ это $7$. Ответ: 7."],"step":1}],"mix":1}

Стандартный вид: плитки одного вида — в одну кучку

Высыплем в коробку плитки вперемешку: $2x^2+3x-1+x^2-5x+4$. Плитки одного вида — это подобные члены: у них одинаковая буквенная часть. Соберем каждый вид в отдельную кучку.

Квадратов $x^2$ два и еще один — всего $3x^2$. Палок три обычных и пять заштрихованных: три пары «палка и заштрихованная палка» дают нуль, остаются две заштрихованные палки, то есть $-2x$. Квадратиков один заштрихованный и четыре обычных: остается три, то есть $3$. Получили $3x^2-2x+3$ — три кучки, по одной на каждый вид.

Приведение подобных: плитки собираем по видам, нулевые пары исчезают, получается 3x²−2x+3 — Подобные члены — плитки одного вида — собираем в одну кучку, нулевые пары убираем: $2x^2+3x-1+x^2-5x+4=3x^2-2x+3$

Обратите внимание: два квадрата и еще один квадрат — это три квадрата того же размера. Складываются коэффициенты, а буквенная часть не меняется: $2x^2+x^2=3x^2$, а не $3x^4$.

Определение

Многочлен записан в стандартном виде, если каждый его член — одночлен стандартного вида и среди членов нет подобных.

Правило

Чтобы привести многочлен к стандартному виду:

запишите каждый член в стандартном виде;
приведите подобные члены: сложите их коэффициенты, а буквенную часть оставьте без изменений.

$$2x^2+3x-1+x^2-5x+4=3x^2-2x+3$$

Пример

Приведите к стандартному виду многочлен $3a\cdot 2b-a^2+4ab-5ab+a\cdot a$.

Решение. Шаг 1: члены $3a\cdot 2b$ и $a\cdot a$ записаны не в стандартном виде. Перемножим: $3a\cdot 2b=6ab$, $a\cdot a=a^2$. Получим $6ab-a^2+4ab-5ab+a^2$.

Шаг 2: подобные члены с $ab$: $6+4-5=5$, это $5ab$. Члены $-a^2$ и $a^2$ — нулевая пара. Остается один член.

Ответ: $5ab$. Многочлен из пяти членов оказался одночленом.

Теперь ответим на первую часть вопроса из начала урока. В записи $x^2+4x-x^2+3$ квадрат $x^2$ и заштрихованный квадрат образуют нулевую пару. Остается $4x+3$. Значит, это один и тот же многочлен: $4x+3$ — его стандартный вид, а $x^2+4x-x^2+3$ — та же коробка, в которой лежат лишние пары.

{"questions":[{"content":"Приведите подобные члены: $5a^2b-3a+2a^2b-a+7$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$7a^2b-2a+7$","$7a^4b^2-4a+7$","$7a^2b-4a+7$","$3a^2b-4a+7$"],"explanations":["Члены $-3a$ и $-a$ оба отрицательные: коэффициент $-3-1=-4$, а не $-2$","При сложении подобных членов степени не складывают: меняется только коэффициент","","Коэффициенты $5$ и $2$ вычли, а надо сложить: подобные члены прибавляются"],"answer":[2]}},"hints":["Подобные члены — с одной и той же буквенной частью: $5a^2b$ и $2a^2b$; $-3a$ и $-a$.","$5a^2b+2a^2b=7a^2b$; $-3a-a=-4a$.","Ответ: $7a^2b-4a+7$."],"step":1},{"content":"Сколько членов будет в стандартном виде у многочлена $2xy+3x-xy+5y-3x$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Приводим подобные: $2xy-xy=xy$; $3x-3x=0$.","Остается $xy+5y$ — два члена. Ответ: 2."],"step":1}],"mix":1}

Степень многочлена — верхняя непустая полка

Плитки различаются тем, сколько у них размеров длины $x$. У квадратика $1$ таких размеров нет, у палки $x$ — один, у квадрата $x^2$ — два. Кубик с ребром $x$ — это $x\cdot x\cdot x=x^3$, у него три размера $x$. Это число и есть степень члена: число буквенных множителей, то есть сумма показателей, как у одночлена в прошлом модуле.

Поставим шкаф с полками и разложим кучки по полкам: на полку $0$ — числа, на полку $1$ — палки, на полку $2$ — квадраты, на полку $3$ — кубики. Плитку $x^4$ уже не нарисовать, но полку $4$ подписать можно: у $x^4$ четыре буквенных множителя.

Шкаф с полками 0–3: степень члена — номер полки, то есть число буквенных множителей — Номер полки — степень члена: число $0$, палка $x$ — $1$, квадрат $x^2$ — $2$, кубик $x^3$ и брусок $xy^2$ — $3$

С несколькими буквами то же самое. Брусок $x\cdot y\cdot y=xy^2$ имеет три буквенных размера, его место — на полке $3$. У члена $x^2y^3$ пять буквенных множителей: $2+3=5$.

Определение

Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из степеней его членов. Чтобы найти степень многочлена, сначала приведите его к стандартному виду.

$$3x^2-2x+3:\ \text{степени членов } 2,\ 1,\ 0\ \Rightarrow\ \text{степень } 2$$

На модели степень — номер верхней полки, на которой осталась хотя бы одна плитка после того, как убраны нулевые пары. У многочлена $x^2y^3-4xy+2$ степени членов $5$, $2$ и $0$, поэтому его степень равна $5$.

Вернемся к вопросу из начала. У $x^2+4x-x^2+3$ на полке $2$ лежала нулевая пара, после приведения полка пуста. Верхняя непустая полка — первая. Степень этого многочлена равна $1$, а не $2$.

Ошибка

Степень берут по первому члену или до приведения подобных. У многочлена $x^3+3x^2-x^3-2x$ называют степень $3$: «первый член — $x^3$».

Проверим. Приведем подобные: $x^3-x^3=0$, остается $3x^2-2x$. Кубик и заштрихованный кубик — нулевая пара, полка $3$ пуста. Проверим и числами: при $x=10$ исходная запись дает $1000+300-1000-20=280$, а $3x^2-2x$ — тоже $300-20=280$. Член $x^3$ в значение ничего не добавил: его в многочлене нет. При $x=10$ член третьей степени дал бы тысячи, а значение $280$ — сотни, как у $3x^2$: это и есть степень 2.

Где сломалось рассуждение. Степень определена для стандартного вида. Пока подобные не приведены, в записи могут быть члены, которые взаимно уничтожаются. Вторая форма той же ошибки — смотреть на первый член, когда подобных нет: у $6+x^2-2x^3$ первый член — число, а степень равна $3$. Старший член может стоять где угодно.

Главная ошибка: степень нельзя брать по первому члену до приведения; после приведения x³ исчезает, степень равна 2 — Кубики $x^3$ и $-x^3$ — нулевая пара, полка $3$ пустеет: степень $x^3+3x^2-x^3-2x$ равна $2$, а не $3$

Если после приведения все плитки сократились, коробка пуста: многочлен равен нулю. Так, $2x-2x=0$. Такой многочлен называют нуль-многочленом, степени у него нет. Не путайте его с числом $5$: пять квадратиков лежат на полке $0$, поэтому степень многочлена $5$ равна $0$.

Нуль-многочлен и число: 2x−2x дает пустую коробку без степени, а число 5 — пять плиток 1 на полке 0, степень 0 — Многочлен $2x-2x$ — пустая коробка, степени нет; многочлен $5$ — кучка на полке $0$, его степень $0$

Проверьте себя: сначала предскажите ответ по записи многочлена, затем сравните с раскладкой по полкам: нулевые пары убираются, степень — верхняя непустая полка.

mnogochlen-standart

{"questions":[{"content":"Решавр смотрит на многочлен $5m^2-m^3+2-m$ и говорит: «Его степень 2 — так написано в первом члене». Какой ответ верен и почему?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["4: в многочлене четыре члена","6: сложили степени всех членов","3: старший член $-m^3$ стоит вторым","2: степень берут по первому члену"],"explanations":["4 — это число членов, а степень — наибольшая из степеней членов","Степени членов не складывают: $2+3+0+1=6$ — это не степень многочлена","","Первый член записи не обязательно старший: у члена $-m^3$ степень 3, она больше"],"answer":[2]}},"hints":["Степень многочлена — наибольшая из степеней его членов, где бы член ни стоял.","Подобных членов нет. Степени членов: $5m^2$ — 2, $-m^3$ — 3, $2$ — 0, $-m$ — 1.","Наибольшая — 3. Ответ: 3, Решавр ошибся."],"step":1},{"content":"Найдите степень многочлена $xy^2+x^2-3$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Степень члена — сумма показателей всех переменных: у $xy^2$ это $1+2=3$.","У $x^2$ степень 2, у $-3$ — нуль. Наибольшая — 3. Ответ: 3."],"step":1},{"content":"Что можно сказать о степени многочлена $4x^2-x-4x^2+x$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Это нуль, степени у него нет","Степень 2","Степень 1","Степень 0"],"explanations":["","Степень взяли по первому члену, не приведя подобные","Взяли степень последнего члена; после приведения членов не осталось","Степень 0 имеют ненулевые числа ($5$, $-3$). У нуля степень не определена"],"answer":[0]}},"hints":["Приводим подобные: $4x^2-4x^2=0$ и $-x+x=0$.","Многочлен равен нулю. У нуля степень не определена. Ответ: степени нет."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Порядок членов — договоренность, значение — проверка

Многочлен $3x^2-2x+3$ можно записать и как $3-2x+3x^2$: от перестановки слагаемых сумма не меняется. Обе записи — стандартный вид, ведь подобных членов нет. Обычно члены пишут в порядке убывания степеней — как будто читают полки сверху вниз. Так степень видна сразу по первому члену. Это удобная договоренность, а не часть определения.

При перестановке член переносят вместе со своим знаком: $4x-x^3+7+2x^2=-x^3+2x^2+4x+7$.

Чтобы найти значение многочлена, подставьте число вместо переменной и выполните действия. Удобно сначала привести многочлен к стандартному виду: вычислений станет меньше. Отрицательное число подставляйте в скобках: $(-3)^2=9$, а $-3^2=-9$.

Пример

Найдите значение многочлена $2a^2-5a+a^2+3a-4$ при $a=-3$.

Решение. Приведем подобные: $2a^2+a^2=3a^2$, $-5a+3a=-2a$. Получим $3a^2-2a-4$. Подставим: $3\cdot(-3)^2-2\cdot(-3)-4=27+6-4=29$.

Проверка подстановкой в исходную запись: $2\cdot 9+15+9-9-4=29$.

Ответ: $29$.

Теперь проверим числами ответ на вопрос из начала урока. Если $x^2+4x-x^2+3$ и $4x+3$ — один многочлен, их значения совпадают при любом $x$:

$x$	$x^2+4x-x^2+3$	$4x+3$
$-2$	$4-8-4+3=-5$	$-8+3=-5$
$0$	$0+0-0+3=3$	$0+3=3$
$1$	$1+4-1+3=7$	$4+3=7$
$3$	$9+12-9+3=15$	$12+3=15$

Значения совпадают при всех проверенных $x$ — так и должно быть: в разделе 3 мы доказали приведением подобных, что это один многочлен, его стандартный вид $4x+3$, степень $1$. Таблица доказательством не является, а только проверяет. А в стандартном виде считать проще — одно умножение и одно сложение.

{"questions":[{"content":"Многочлен $4x-x^3+7+2x^2$ в порядке убывания степеней записывают так: [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$-x^3+4x+2x^2+7$","$7+4x+2x^2-x^3$","$x^3+2x^2+4x+7$","$-x^3+2x^2+4x+7$"],"answer":3}},"hints":["Степени членов: $4x$ — 1, $-x^3$ — 3, $7$ — 0, $2x^2$ — 2.","Ставим члены от степени 3 к степени 0. Каждый член переносим вместе со своим знаком: $-x^3$ остается с минусом.","Ответ: $-x^3+2x^2+4x+7$."],"step":1},{"content":"Найдите значение многочлена $x^2-3x+1$ при $x=-2$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Подставляем: $(-2)^2-3\\cdot(-2)+1$.","$4+6+1=11$. Ответ: 11."],"step":1},{"content":"Какой из многочленов после приведения подобных имеет степень 4 и ровно три члена?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x^4+x^3+x^2+x$","$2x^4-x^2+x^2+3x-1$","$x^4+2x+x^4-2x$","$x^4-x^4+x^3+x^2+1$"],"explanations":["Здесь четыре члена, подобных нет — привести нечего","","После приведения остается один член $2x^4$, а не три","Члены $x^4$ и $-x^4$ уничтожаются, степень становится 3, а не 4"],"answer":[1]}},"hints":["Приводим подобные в каждом: у $2x^4-x^2+x^2+3x-1$ получаем $2x^4+3x-1$.","Это степень 4 и три члена. У $x^4+2x+x^4-2x$ остается один член $2x^4$; у $x^4+x^3+x^2+x$ — четыре члена; в $x^4-x^4+x^3+x^2+1$ старший член исчезает.","Ответ: $2x^4-x^2+x^2+3x-1$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Многочлены — язык, на котором записывают площади, стоимости и любые величины, собранные из нескольких частей. Стандартный вид — короткая и однозначная запись: по ней сразу видно, сколько в многочлене членов и какая у него степень. Дальше многочлены будем складывать, вычитать и умножать, и каждый ответ будем записывать в стандартном виде — начнем в уроке «Сложение и вычитание многочленов».

Чтобы быстро вспомнить главное, представьте коробку плиток:

Часто задаваемые вопросы

Почему одночлен тоже считается многочленом?

Многочлен — сумма одночленов, а сумма может состоять и из одного слагаемого. Так удобнее: правила для многочленов не нужно отдельно повторять для одночленов. Например, $-4ab^2$ — многочлен из одного члена степени $3$.

Обязательно ли записывать члены по убыванию степеней?

Нет, это договоренность. Многочлен $3-2x+3x^2$ тоже записан в стандартном виде. Порядок убывания удобен: старший член стоит первым, и степень видна сразу.

Какая степень у числа 7 и у нуля?

Число $7$ — многочлен степени $0$: в нем нет буквенных множителей, кучка лежит на полке $0$. У нуля степени нет: в пустой коробке нет ни одной плитки, поэтому нет и верхней полки.

Можно ли найти степень, не приводя подобные члены?

Только если подобных членов нет. Если они есть, старшие члены могут взаимно уничтожиться: у $x^3+3x^2-x^3-2x$ степень $2$, а не $3$. Поэтому сначала приводите многочлен к стандартному виду.

Как найти степень члена с несколькими буквами?

Сложите показатели всех букв. У $xy^2$ степень $1+2=3$, у $x^2y^3$ — $2+3=5$. Коэффициент на степень не влияет: у $10xy$ степень $2$.

Награды за урок