7 класс Алгебра Одночлены и многочлены Многочлены

Сумма и разность многочленов, противоположный многочлен

Содержание

В уроке «Многочлен, стандартный вид, степень» многочлен был коробкой плиток трех видов: квадратов $x^2$, полосок $x$ и единичных квадратиков $1$. Теперь научимся складывать и вычитать многочлены и записывать результат в стандартном виде. Главное в уроке — вычитание: почему минус перед скобкой меняет знак у каждого члена, что такое противоположный многочлен и как найти неизвестный многочлен.

Задача на старт, к которой вернемся в последнем разделе: чему равно значение выражения $(2x^2+7x-4)-(2x^2+4x-5)$ при $x=-2{,}5$? Можно сразу подставить число, но придется возводить в квадрат десятичную дробь и следить за знаками. Попробуйте решить ее двумя способами и сравнить ответы: какой надежнее?

Сложить многочлены — ссыпать две коробки в одну

В уроке «Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых» отрицательные плитки были красными. Теперь у каждого вида свой цвет, поэтому отрицательную плитку рисуем того же цвета, но со штриховкой и знаком «−». Как и раньше, плитка и такая же отрицательная плитка вместе дают нуль — это нулевая пара, ее можно убрать.

Возьмем две коробки. В первой многочлен $2x^2+x-3$: два квадрата, одна полоска и три отрицательных квадратика. Во второй $x^2-4x+5$: один квадрат, четыре отрицательные полоски и пять квадратиков. Ссыплем обе коробки в одну и разложим плитки по кучкам.

Сумма многочленов: две коробки плиток ссыпаем в одну, нулевые пары убираем, получается 3x²−3x+2 — Две коробки ссыпали в одну: плитки одного вида собрались в кучки, нулевые пары ушли. $(2x^2+x-3)+(x^2-4x+5)=3x^2-3x+2$

Квадратов стало $2+1=3$. Полосок: одна обычная и четыре отрицательные, одна нулевая пара уходит, остаются три отрицательные полоски: $1+(-4)=-3$. Квадратиков: три отрицательных и пять обычных, после трех нулевых пар остаются два: $-3+5=2$. Получили $3x^2-3x+2$.

Ссыпать коробки — значит раскрыть скобки, перед которыми стоит плюс: плитки при этом не меняются. Разложить по кучкам — значит привести подобные члены. Сумма двух многочленов снова оказалась многочленом, и записать ее удобно в стандартном виде.

Правило

Чтобы сложить многочлены, каждый записывают в скобках и ставят между ними знак «+». Затем раскрывают скобки, не меняя знаков членов, и приводят подобные члены:

$$\begin{aligned}&(2x^2+x-3)+(x^2-4x+5)\\&=2x^2+x-3+x^2-4x+5\\&=3x^2-3x+2\end{aligned}$$

Так же складывают три многочлена и больше.

Пример

Найдите сумму многочленов $4a^2-3ab+b^2$ и $-a^2+5ab-2b^2$.

Записываем сумму и раскрываем скобки: $$\begin{aligned}&(4a^2-3ab+b^2)+(-a^2+5ab-2b^2)\\&=4a^2-3ab+b^2\\&\quad-a^2+5ab-2b^2\end{aligned}$$.

Кучки подобных членов: $4a^2-a^2=3a^2$; $-3ab+5ab=2ab$; $b^2-2b^2=-b^2$. Здесь три вида членов: $a^2$, $ab$ и $b^2$ — как три вида плиток; подобные складываются только со своими.

Ответ: $3a^2+2ab-b^2$.

{"questions":[{"content":"Найдите сумму многочленов $3x^2-x$ и $x^2+4x-5$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4x^4+3x-5$","$4x^2+5x-5$","$4x^2+3x+5$","$4x^2+3x-5$"],"explanations":["При сложении подобных членов степени не складывают, меняется только коэффициент","Члены $-x$ и $4x$ складывают как $1+4$: знак минус у $x$ потерян, надо $-1+4=3$","Свободный член $-5$ переписан без знака",""],"answer":[3]}},"hints":["Записываем сумму: $(3x^2-x)+(x^2+4x-5)$. Скобки со знаком плюс просто убираем.","Приводим подобные: $3x^2+x^2=4x^2$; $-x+4x=3x$.","Ответ: $4x^2+3x-5$."],"step":1},{"content":"Найдите сумму трех многочленов: $a^2-2a$, $3a-1$ и $2a^2+a+4$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$3a^2+2a+3$","$3a^2+2a+5$","$3a^2+6a+3$","$3a^3+2a+3$"],"explanations":["","Свободные члены $-1$ и $4$ сложили как $1+4$ — знак потерян, надо $-1+4=3$","Члены с $a$ сложили как $2+3+1$: у $-2a$ знак минус потерян, надо $-2+3+1=2$","Степени при сложении не складывают: $a^2+2a^2=3a^2$"],"answer":[0]}},"hints":["Складываем: $a^2-2a+3a-1+2a^2+a+4$.","$a^2+2a^2=3a^2$; $-2a+3a+a=2a$; $-1+4=3$.","Ответ: $3a^2+2a+3$."],"step":1}],"mix":1}

Вычесть многочлен — убрать всю коробку

Вспомним, как раскрывают скобки с минусом, на примере $10-(3-1)$. В коробке три квадратика и один отрицательный. Убрать коробку — значит убрать и три квадратика, и отрицательный квадратик. А убрать отрицательный квадратик — все равно что добавить обычный. Поэтому $10-(3-1)=10-3+1=8$.

С многочленами то же самое. Найдем $(3x^2+2x-1)-(x^2-3x+4)$. В вычитаемой коробке один квадрат, три отрицательные полоски и четыре квадратика. Убрать ее — то же самое, что ссыпать к первому многочлену коробку, в которой каждая плитка заменена на противоположную: один отрицательный квадрат, три обычные полоски, четыре отрицательных квадратика.

Вычитание многочлена: каждую плитку вычитаемой коробки переворачиваем и ссыпаем; получается 2x²+5x−5 — Убрать коробку $x^2-3x+4$ — значит ссыпать коробку с перевернутыми плитками $-x^2+3x-4$. Знак меняется у каждой плитки

Ссыпаем и раскладываем по кучкам: $3x^2+2x-1-x^2+3x-4=2x^2+5x-5$. Квадратов $3-1=2$, полосок $2+3=5$, квадратиков $-1-4=-5$.

Правило

Чтобы вычесть многочлен, его записывают в скобках после знака «−». Затем раскрывают скобки, меняя знак у каждого члена вычитаемого, и приводят подобные члены:

$$-(a-b+c)=-a+b-c$$

Если скобки вложены, раскрывайте их по одной, начиная с внутренних: $$\begin{aligned}&7-(5-(2-x))\\&=7-(5-2+x)\\&=7-3-x=4-x\end{aligned}$$.

mnogochlen-minus-skobka

Ошибка

Меняют знак только у первого члена скобки: $$\begin{aligned}&(3x^2+2x-1)-(x^2-3x+4)\\&=3x^2+2x-1-x^2-3x+4\\&=2x^2-x+3\end{aligned}$$.

Проверьте на числах. Верно $10-(3-1)=8$, а по ошибочному правилу получилось бы $10-3-1=6$. Для многочленов подставим $x=1$: исходное выражение равно $4-2=2$, верный ответ $2x^2+5x-5$ тоже дает $2$, а ошибочный $2x^2-x+3$ дает $4$.

Где ломается рассуждение: минус относится ко всей коробке. Если перевернуть только первую плитку, остальные плитки вычитаемого не убраны, а добавлены.

Ошибка при вычитании: перевернута только одна плитка — проверка числом не сходится, верно перевернуты все — Так неверно: перевернута только плитка $x^2$, полоски и квадратики вычитаемого остались прежними. При $x=1$ получается $4$ вместо $2$

Пример

Упростите выражение $(2y^2-y)-(y^2+3y-2)+(4y-1)$.

Перед второй скобкой минус — меняем знак у каждого ее члена. Перед третьей плюс — знаки сохраняем: $2y^2-y-y^2-3y+2+4y-1$.

Кучки: $2y^2-y^2=y^2$; $-y-3y+4y=0$ — все полоски ушли в нулевые пары; $2-1=1$.

Ответ: $y^2+1$.

{"questions":[{"content":"Найдите разность многочленов $5x^2-3x$ и $2x^2-7x+1$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3x^2-10x+1$","$7x^2-10x+1$","$3x^2+4x+1$","$3x^2+4x-1$"],"explanations":["Знак изменили только у первого члена скобки: $-7x$ и $+1$ остались прежними, а минус действует на все члены","Вместо вычитания многочлены сложили","Знак у последнего члена не изменили: $-(+1)=-1$",""],"answer":[3]}},"hints":["Записываем разность: $(5x^2-3x)-(2x^2-7x+1)$. Минус перед скобкой меняет знак у каждого члена скобки.","$5x^2-3x-2x^2+7x-1$.","Приводим подобные: $3x^2+4x-1$. Ответ: $3x^2+4x-1$."],"step":1},{"content":"Решавр нашел разность: $(4x^2-x+3)-(x^2+2x-5)=4x^2-x+3-x^2+2x-5=3x^2+x-2$. Есть ли ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, верно $3x^2+x-2$","Знак не изменен у $-5$, верно $3x^2-3x-2$","Знак изменен только у $x^2$, верно $3x^2-3x+8$","Вычитание надо заменить сложением, верно $5x^2+x-2$"],"explanations":["Проверьте при $x=1$: исходное выражение равно $6-(-2)=8$, а $3x^2+x-2$ равно $2$","Решавр не изменил знак ни у $2x$, ни у $-5$. Ответ $3x^2-3x-2$ тоже неверен: в нем у $-5$ знак снова не изменен, должно быть $+5$, итог $3x^2-3x+8$","","Это сумма многочленов. При вычитании прибавляют противоположный многочлен, а не сам вычитаемый"],"answer":[2]}},"hints":["Посмотрите на плитки вычитаемого: минус перед скобкой убирает всю коробку, поэтому знак меняется у каждого члена — у $x^2$, у $2x$ и у $-5$.","Верно: $4x^2-x+3-x^2-2x+5$. Приводим подобные: $3x^2-3x+8$.","Ответ: Решавр изменил знак только у первого члена скобки, верно $3x^2-3x+8$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Упростите выражение $(7a-2)-(3a-5)+(a-1)$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$11a-8$","$5a+2$","$5a-8$","$5a+4$"],"explanations":["Минус перед скобкой заменили плюсом: вычитание превратилось в сложение","","Знаки в скобке $(3a-5)$ не изменили: минус перед скобкой меняет знак у $-5$ на $+5$","Скобку со знаком плюс раскрыли с изменением знака: $+(a-1)=+a-1$"],"answer":[1]}},"hints":["Скобку после минуса раскрываем с переменой знаков, после плюса — без изменения: $7a-2-3a+5+a-1$.","$7a-3a+a=5a$; $-2+5-1=2$.","Ответ: $5a+2$."],"step":1}],"mix":1}

Противоположный многочлен в сумме с исходным дает нуль

Вообразавр спрашивает: а что будет, если ссыпать коробку $x^2-3x+4$ с коробкой, где все ее плитки перевернуты, то есть с $-x^2+3x-4$? Каждая плитка найдет себе пару: квадрат — отрицательный квадрат, отрицательная полоска — обычную полоску, квадратик — отрицательный квадратик. Все плитки уйдут в нулевые пары, коробка окажется пустой.

Многочлен и противоположный: каждой плитке находится пара, вместе они дают пустую коробку 0 — Многочлен и противоположный ему: все плитки разбились на нулевые пары. $(x^2-3x+4)+(-x^2+3x-4)=0$

Определение

Противоположный многочлен к многочлену $A$ — многочлен, который получается из $A$ заменой знака у каждого члена. Его обозначают $-A$. Сумма многочлена и противоположного ему равна нулю: $A+(-A)=0$.

Во втором разделе мы убирали коробку и вместо этого ссыпали коробку с перевернутыми плитками, то есть прибавляли противоположный многочлен. Значит, любое вычитание многочленов можно заменить сложением.

Правило

Вычесть многочлен — значит прибавить противоположный ему многочлен:

$$A-B=A+(-B)$$

Например, $a-b$ и $b-a$ противоположны, поэтому $(a-b)+(b-a)=0$ и $b-a=-(a-b)$ при любых $a$ и $b$.

Порядок членов при этом не важен: $4-x^2$ — то же самое, что $-x^2+4$, это противоположный многочлен к $x^2-4$. Чтобы проверить, противоположны ли два многочлена, сложите их: должен получиться $0$.

Пример

Верно ли, что $(x-y)-(y-x)=2(x-y)$ при любых $x$ и $y$?

Многочлены $x-y$ и $y-x$ противоположны, поэтому вычесть $y-x$ — значит прибавить $x-y$: $(x-y)-(y-x)=(x-y)+(x-y)=2x-2y$.

Справа $2(x-y)=2x-2y$: число перед скобками умножается на каждый член. Левая и правая части записываются одним и тем же многочленом.

Ответ: верно при любых $x$ и $y$.

{"questions":[{"content":"Какой многочлен противоположен многочлену $2x^2-5x+3$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-2x^2+5x+3$","$-2x^2-5x+3$","$2x^2+5x-3$","$-2x^2+5x-3$"],"explanations":["Забыли изменить знак у свободного члена: $-(+3)=-3$","Знак изменили только у первого члена, а надо у каждого","Знак у первого члена оставили, у остальных изменили: первый член тоже надо менять",""],"answer":[3]}},"hints":["Противоположный многочлен получается заменой знака у каждого члена.","$-(2x^2-5x+3)=-2x^2+5x-3$.","Ответ: $-2x^2+5x-3$."],"step":1},{"content":"Какие пары многочленов противоположны?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Противоположные","Не противоположные"],"items":[["$x^2-3x+1$ и $-x^2+3x-1$","$m^2-4$ и $4-m^2$","$x-2y$ и $2y-x$"],["$2x-5$ и $-2x-5$","$x+y$ и $x-y$","$3c-1$ и $1+3c$"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Многочлены противоположны, если их сумма равна $0$: каждая плитка одного находит пару с другим знаком в другом.","Порядок членов не важен: $4-m^2=-m^2+4$, это противоположный к $m^2-4$. А у $-2x-5$ и $2x-5$ знак изменен только у первого члена.","Ответ: противоположные — $x^2-3x+1$ и $-x^2+3x-1$; $m^2-4$ и $4-m^2$; $x-2y$ и $2y-x$. Не противоположные — остальные три пары."],"step":1},{"content":"Верно ли, что $(x-3)-(3-x)=0$ при любых значениях $x$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Верно только при $x=3$","Верно при любых $x$","Неверно: получится $-6$","Неверно: получится $2x-6$"],"explanations":["При $x=3$ выражение действительно равно $0$, но это одно значение, а не тождество: при $x=0$ получается $-6$","Спутали разность с суммой: сумма противоположных многочленов $(x-3)+(3-x)$ равна $0$, а разность равна $2x-6$","Знак у $-x$ во второй скобке не изменили: $x-3-3-x=-6$, а минус действует на все члены",""],"answer":[3]}},"hints":["Раскрываем скобки: минус перед второй скобкой меняет знак у каждого ее члена: $x-3-3+x$.","$x+x=2x$ и $-3-3=-6$, получается $2x-6$. Нуль получился бы у суммы $(x-3)+(3-x)$, а не у разности.","Ответ: неверно, получится $2x-6$."],"step":1}],"mix":1}

Как найти неизвестный многочлен

Начнем с чисел. Если $A+7=12$, то $A=12-7=5$: неизвестное слагаемое равно сумме без известного слагаемого. Если $A-7=5$, то $A=5+7=12$: уменьшаемое равно разности плюс вычитаемое. Если $7-A=5$, то $A=7-5=2$: вычитаемое равно уменьшаемому минус разность.

В модели с плитками это видно сразу. Если к коробке $A$ ссыпали коробку $B$ и получили $C$, то коробка $A$ — это $C$, из которой убрали $B$. Правила те же, что для чисел, только действия выполняются с многочленами.

Неизвестное слагаемое: A+B=C, значит A=C−B; в коробках получается 2x²+3x−1 — Коробку $A$ дополнили коробкой $B$ и получили $C$. Значит, $A$ — это $C$ без $B$: $A=C-B$

Равенство	Что такое A	Как найти A
$A+B=C$	слагаемое	$A=C-B$
$A-B=C$	уменьшаемое	$A=C+B$
$B-A=C$	вычитаемое	$A=B-C$

Пример

Найдите многочлен $A$, если $A+(3x^2-2x+1)=5x^2+x$.

$A$ — слагаемое: $$\begin{aligned}A&=(5x^2+x)-(3x^2-2x+1)\\&=5x^2+x-3x^2+2x-1\\&=2x^2+3x-1\end{aligned}$$.

Проверка: $(2x^2+3x-1)+(3x^2-2x+1)=5x^2+x$. Верно.

Ответ: $2x^2+3x-1$.

Пример

Найдите многочлен $A$, если $(4x^2-x)-A=x^2+2x-3$.

$A$ — вычитаемое: $$\begin{aligned}A&=(4x^2-x)-(x^2+2x-3)\\&=4x^2-x-x^2-2x+3\\&=3x^2-3x+3\end{aligned}$$.

Проверка: $$\begin{aligned}&(4x^2-x)-(3x^2-3x+3)\\&=4x^2-x-3x^2+3x-3\\&=x^2+2x-3\end{aligned}$$. Верно.

Ответ: $3x^2-3x+3$.

{"questions":[{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$A+(x-2)=3x$","$A-(x-2)=3x$","$(x-2)-A=3x$"],"items":["$A=2x+2$","$A=4x-2$","$A=-2x-2$","$A=2x-2$"]}},"instruction":"Соотнесите равенство и многочлен A","hints":["Неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое; уменьшаемое = разность + вычитаемое; вычитаемое = уменьшаемое − разность.","$A=3x-(x-2)=2x+2$; $A=3x+(x-2)=4x-2$; $A=(x-2)-3x=-2x-2$.","Ответ: $2x+2$; $4x-2$; $-2x-2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите многочлен $A$, если $A-(2x^2-3x)=x+1$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2x^2-2x+1$","$-2x^2+4x+1$","$2x^2-2x-1$","$2x^2+4x+1$"],"explanations":["","Из разности вычли вычитаемое, а надо прибавить: $A$ — уменьшаемое","У свободного члена потерян знак: $A=(x+1)+(2x^2-3x)$ записали как $x-1+2x^2-3x$","При раскрытии скобки $+(2x^2-3x)$ изменили знак у $-3x$: перед скобкой плюс, знаки не меняются"],"answer":[0]}},"hints":["Уменьшаемое равно разности плюс вычитаемое: $A=(x+1)+(2x^2-3x)$.","$A=x+1+2x^2-3x=2x^2-2x+1$.","Ответ: $2x^2-2x+1$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Сначала упростить, потом подставить число

Вернемся к вопросу из начала урока: значение $(2x^2+7x-4)-(2x^2+4x-5)$ при $x=-2{,}5$. Иксератопс подставил число сразу в исходное выражение: $2\cdot6{,}25+7\cdot(-2{,}5)-4=-9$ и $2\cdot6{,}25+4\cdot(-2{,}5)-5=-2{,}5$, затем $-9-(-2{,}5)=-6{,}5$. Много действий с десятичными дробями и несколько мест, где легко потерять минус.

Теперь сначала упростим. Перевернем плитки вычитаемого и ссыплем коробки: два квадрата и два отрицательных квадрата образуют нулевые пары и уходят. Полосок остается $7-4=3$, квадратиков $-4+5=1$:

$$\begin{aligned}&(2x^2+7x-4)-(2x^2+4x-5)\\&=2x^2+7x-4-2x^2-4x+5\\&=3x+1\end{aligned}$$

Упростить сначала: старшие плитки и часть остальных сокращаются, остается 3x+1; при x=−2,5 значение −6,5 — Квадраты ушли в нулевые пары, остались три полоски и квадратик: разность равна $3x+1$

При $x=-2{,}5$ получаем $3\cdot(-2{,}5)+1=-7{,}5+1=-6{,}5$ — тот же ответ за одно действие. Так и должно быть: упрощение не меняет значения выражения ни при каком $x$, поэтому подставлять число можно в любую из записей. Короче — в упрощенную.

Обратите внимание

Чтобы найти значение суммы или разности многочленов, сначала раскройте скобки и приведите подобные члены, а потом подставляйте число. Если нужна проверка, подставьте простое число, например $x=1$, в исходное и в упрощенное выражения: значения должны совпасть.

Задача

Клеозавр огораживает прямоугольный участок со сторонами $(2a+3)$ м и $(a-1)$ м. Сколько метров сетки нужно при $a=12{,}5$?

Периметр — сумма длин четырех сторон: $$\begin{aligned}&(2a+3)+(a-1)+(2a+3)+(a-1)\\&=2a+3+a-1+2a+3+a-1\\&=6a+4\end{aligned}$$.

При $a=12{,}5$: $6\cdot12{,}5+4=75+4=79$.

Ответ: $79$ м.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $(4a^2-3a)-(4a^2-5a+1)$ при $a=-1{,}5$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-4"}},"hints":["Упрощаем: $4a^2-3a-4a^2+5a-1=2a-1$.","Подставляем: $2\\cdot(-1{,}5)-1=-3-1=-4$.","Ответ: $-4$."],"step":1},{"content":"Упростите выражение $(5a-(3a-2))-(a-(1-a))$. В ответе запишите число. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Внутри первой скобки: $5a-(3a-2)=5a-3a+2=2a+2$.","Внутри второй: $a-(1-a)=a-1+a=2a-1$.","$(2a+2)-(2a-1)=2a+2-2a+1=3$. Ответ: 3."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Сложение и вычитание многочленов встречаются почти в каждом преобразовании: при решении уравнений, при проверке тождеств, в задачах на периметр и стоимость, в заданиях проверочных работ и экзаменов на значение выражения. Все действия держатся на одной модели — коробке плиток.

Больше упражнений на сложение и вычитание — в уроке «Сложение и вычитание многочленов». Следующая тема — урок «Умножение одночлена на многочлен»: там коробки начнут умножаться, и модель станет площадью прямоугольника.

Часто задаваемые вопросы

Зачем при сложении и вычитании записывать многочлены в скобках?

Скобки показывают, к какой коробке относится знак. При сложении их можно сразу убрать, а при вычитании скобки напоминают: минус действует на все члены вычитаемого. Запись $3x^2+2x-1-x^2-3x+4$ без скобок означает совсем другое выражение, чем $(3x^2+2x-1)-(x^2-3x+4)$.

Можно ли складывать и вычитать многочлены столбиком?

Можно. Подобные члены записывают друг под другом, у вычитаемого заранее меняют все знаки и складывают по столбцам. Это та же раскладка плиток по кучкам, только записанная в таблицу.

Какой степени получится сумма двух многочленов?

Не больше наибольшей из степеней слагаемых. Степень может уменьшиться, если старшие члены образуют нулевые пары: разность $(2x^2+7x-4)-(2x^2+4x-5)$ двух многочленов второй степени равна $3x+1$ — многочлену первой степени.

Чем $-(x-2)$ отличается от $-x-2$?

$-(x-2)$ — противоположный многочлен к $x-2$, он равен $-x+2$. А $-x-2$ — многочлен, у которого перевернута только первая плитка. При $x=0$ первое выражение равно $2$, второе равно $-2$.

Как быстро проверить ответ?

Подставьте простое число, например $x=1$, в исходное выражение и в ответ. Если значения разные, ошибка точно есть. Чаще всего она в знаке: проверьте, у всех ли членов вычитаемого поменяли знак.

Награды за урок