Карточки
Тесты
Зави
Вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобки
В уроке «Умножение одночлена на многочлен» вы находили площадь прямоугольника по его сторонам: умножали одночлен на многочлен. Теперь решим обратную задачу: по многочлену найдем общую сторону и запишем многочлен в виде произведения. Научимся находить общий множитель членов, выносить его за скобки, проверять ответ и применять этот прием в вычислениях.
Обратная задача: по частям найти сторону
Начнем с вопроса, на который ответим в конце урока: как вычислить $37\cdot 63+37\cdot 37$ в уме, не умножая столбиком?
Вспомним прямоугольник из прошлого урока. Пусть одна его сторона равна $6$, а другая составлена из отрезков $7$ и $3$. Площадь можно найти двумя способами: $6\cdot(7+3)=6\cdot 7+6\cdot 3=60$. Слева — произведение сторон, справа — сумма площадей частей. Равенство можно читать и справа налево: по частям найти общую сторону.
Теперь части записаны многочленом. Многочлен $4x+10$ — это набор плиток: четыре полоски размером $1\times x$ и десять квадратиков $1\times 1$. Сложим из них один прямоугольник в несколько одинаковых рядов: в каждом ряду должно оказаться поровну полосок и поровну квадратиков.
В два ряда плитки делятся: в каждом ряду две полоски и пять квадратиков. Получился прямоугольник со сторонами $2$ и $2x+5$. В три ряда не делятся четыре полоски, в четыре ряда — десять квадратиков. Значит, число рядов должно быть делителем и числа $4$, и числа $10$. Самая длинная общая сторона — наибольший общий делитель: НОД$(4;\,10)=2$ (о НОД — в уроке «Делимость, простые множители, НОД и НОК»).
Запишем то, что получилось на рисунке:
$$4x+10=2\cdot 2x+2\cdot 5=2(2x+5)$$
Определение
Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения нескольких множителей. Если у всех членов многочлена есть общий множитель, его можно вынести за скобки: перед скобками пишут общий множитель, а в скобках — частные от деления каждого члена на него.
Распределительный закон справа налево
Сумма произведений с общим множителем равна произведению этого множителя на сумму:
$$ma+mb=m(a+b)$$
Это тот же закон $m(a+b)=ma+mb$, что и в прошлом уроке, прочитанный в обратную сторону. Поэтому разложение всегда можно проверить умножением.
Пример
Разложите на множители $12a+18$.
Общие делители чисел $12$ и $18$: $1$, $2$, $3$, $6$. Наибольший — $6$. Делим каждый член на $6$: $12a:6=2a$, $18:6=3$.
$$12a+18=6(2a+3)$$
Запись $2(6a+9)$ тоже верна, но в скобке остался общий множитель $3$: вынесено не все общее. Обычно выносят наибольший общий множитель.
Ответ: $6(2a+3)$.
Что общего у всех членов
Когда в членах есть буквы, в общую сторону могут войти и они. Возьмем многочлен $14x^3y^2+21x^2y^3$ и разложим каждый член на множители:
$$14x^3y^2=7\cdot 2\cdot x^2\cdot x\cdot y^2,\qquad 21x^2y^3=7\cdot 3\cdot x^2\cdot y^2\cdot y$$
В обоих членах есть $7$, $x^2$ и $y^2$. Соберем общее в таблицу.
| Множитель | В члене $14x^3y^2$ | В члене $21x^2y^3$ | Общее |
|---|---|---|---|
| Число | $14$ | $21$ | НОД — $7$ |
| Буква $x$ | $x^3$ | $x^2$ | $x^2$ |
| Буква $y$ | $y^2$ | $y^3$ | $y^2$ |
Общая буква берется с наименьшим показателем. Множитель $x^2$ есть в обоих членах: $x^3=x^2\cdot x$. А $x^3$ во втором члене не помещается: там только $x^2$. Буква, которой нет хотя бы в одном члене, в общий множитель не входит.
Наибольший общий множитель
Числовая часть — НОД коэффициентов. Буквенная часть — буквы, которые есть в каждом члене, каждая с наименьшим показателем. Каждый член делят на общий множитель, частные записывают в скобках:
$$14x^3y^2+21x^2y^3=7x^2y^2(2x+3y)$$
Проверим умножением: $7x^2y^2\cdot 2x=14x^3y^2$ и $7x^2y^2\cdot 3y=21x^2y^3$. Получились оба исходных члена.
Особенно внимательно нужно действовать, когда один из членов сам равен общему множителю. Его частное — единица, и ее часто теряют.
Ошибка
Решавр разложил многочлен так: $10y^2+5y=5y\cdot 2y$. Член $5y$ он вынес целиком и ничего не оставил на его месте.
Проверим при $y=1$: слева $10+5=15$, справа $5\cdot 2=10$. Раскроем скобки: $5y\cdot 2y=10y^2$ — слагаемого $5y$ нет.
Где ломается рассуждение: $5y:5y=1$, а не $0$. На месте вынесенного члена в скобке остается единица:
$$10y^2+5y=5y(2y+1)$$
Пример
Вынесите за скобки наибольший общий множитель: $9a^4-6a^3+3a^2$.
НОД коэффициентов $9$, $6$, $3$ равен $3$. Буква $a$ есть во всех членах, наименьший показатель — $2$. Общий множитель — $3a^2$.
Делим каждый член: $9a^4:3a^2=3a^2$; $-6a^3:3a^2=-2a$; $3a^2:3a^2=1$.
$$9a^4-6a^3+3a^2=3a^2(3a^2-2a+1)$$
В скобке столько же членов, сколько в исходном многочлене, — три. Это быстрая проверка, что ни один член не потерян.
Ответ: $3a^2(3a^2-2a+1)$.
Проверка раскрытием скобок и знак минус
Любое разложение можно проверить: раскройте скобки, как в прошлом уроке. Должен получиться исходный многочлен — член за членом, с теми же знаками. Это все равно что собрать площадь прямоугольника обратно из частей. Еще можно подставить число вместо буквы: если значения двух записей различаются, в разложении есть ошибка.
Отрицательных длин у прямоугольника не бывает, поэтому со знаками работает правило знаков из прошлого урока. Если первый член многочлена отрицательный, за скобки обычно выносят множитель с минусом. Тогда знак каждого члена в скобках меняется: при делении на отрицательный множитель знак частного противоположен знаку члена.
Пример
Вынесите за скобки общий множитель с минусом: $-4a^2-8a$.
Общий множитель — $-4a$. Делим: $-4a^2:(-4a)=a$; $-8a:(-4a)=2$.
$$-4a^2-8a=-4a(a+2)$$
Проверка: $-4a\cdot a+(-4a)\cdot 2=-4a^2-8a$. Получился исходный многочлен.
Ответ: $-4a(a+2)$.
Ошибка
Решавр записал $-5x^2+10x=-5x(x+2)$: минус вынес, а знак второго члена не изменил.
Раскроем скобки: $-5x\cdot x+(-5x)\cdot 2=-5x^2-10x$. В исходном многочлене $+10x$, а получилось $-10x$. При $x=1$: слева $-5+10=5$, справа $-5\cdot 1\cdot 3=-15$.
Где ломается рассуждение: $10x:(-5x)=-2$ — знак меняется у каждого члена, а не только у первого. Верно: $-5x^2+10x=-5x(x-2)$.
Алгоритм
- Найти общий множитель: НОД коэффициентов и буквы, которые есть в каждом члене, с наименьшим показателем. Если первый член отрицательный, взять множитель с минусом.
- Разделить на этот множитель каждый член многочлена.
- Записать произведение: общий множитель, а в скобках — полученные частные.
- Раскрыть скобки и сравнить результат с исходным многочленом.
В интерактиве выберите общий множитель для каждого многочлена и посмотрите разбор: делит ли он каждый член и наибольший ли он. В последнем задании разложение с минусом проверяется раскрытием скобок.
Общим множителем бывает скобка
Общий множитель не обязательно одночлен. В выражении $m(n-1)+4(n-1)$ оба слагаемых содержат одну и ту же скобку $(n-1)$. Будем считать ее одной величиной — общей стороной двух прямоугольников. Другие их стороны — $m$ и $4$. Приставим прямоугольники друг к другу по общей стороне: получится прямоугольник со сторонами $n-1$ и $m+4$.
$$m(n-1)+4(n-1)=(n-1)(m+4)$$
Проверка та же — раскрыть скобки: $(n-1)\cdot m+(n-1)\cdot 4=m(n-1)+4(n-1)$. Выносить можно только одинаковые скобки: $(n-1)$ в обоих слагаемых должна быть записана одинаково.
Пример
Разложите на множители $x(a-b)+(a-b)$.
Второе слагаемое — это $1\cdot(a-b)$. Общий множитель — скобка $(a-b)$. После вынесения в скобках остаются $x$ и $1$:
$$x(a-b)+(a-b)=(a-b)(x+1)$$
Здесь легко повторить ошибку из раздела 2 и записать $(a-b)\cdot x$. Проверим при $x=2$, $a=3$, $b=1$: исходное выражение равно $2\cdot 2+2=6$, верное разложение — $2\cdot 3=6$, а неверное — $2\cdot 2=4$.
Ответ: $(a-b)(x+1)$.
Разложить — не то же, что упростить
В заданиях встречаются два разных слова. «Упростите» — значит раскрыть скобки, привести подобные и записать многочлен в стандартном виде: получится сумма. «Разложите на множители» — значит записать выражение в виде произведения. Оба ответа равны исходному выражению при любых значениях букв, но выглядят по-разному. На языке плиток упрощение — разложить плитки по кучкам одного вида, а разложение на множители — сложить их в прямоугольник.
| Упростите | Разложите на множители | |
|---|---|---|
| Выражение | $2(x+3)+4x$ | $6x+6$ |
| Ответ | $6x+6$ | $6(x+1)$ |
| Последнее действие в ответе | сложение | умножение |
| Значение при $x=2$ | $2\cdot 5+8=18$ и $6\cdot 2+6=18$ | $6\cdot 2+6=18$ и $6\cdot 3=18$ |
Обратите внимание
Запись $4x+6y+3=2(2x+3y)+3$ — еще не разложение на множители. Скобка в ней есть, но последнее действие — сложение с числом $3$. Разложение закончено, когда все выражение — одно произведение.
Зачем раскладывать на множители? Произведение удобно, когда один из множителей простой. Вернемся к вопросу из начала урока. У слагаемых $37\cdot 63$ и $37\cdot 37$ общий множитель $37$:
$$37\cdot 63+37\cdot 37=37\cdot(63+37)=37\cdot 100=3700$$
Пример
1) Вычислите $0{,}7\cdot 13{,}5+0{,}7\cdot 6{,}5$.
Общий множитель $0{,}7$: $0{,}7\cdot(13{,}5+6{,}5)=0{,}7\cdot 20=14$.
2) Докажите, что $2^{10}+2^9$ делится на $3$.
$2^{10}=2^9\cdot 2$, поэтому общий множитель — $2^9$: $2^{10}+2^9=2^9(2+1)=3\cdot 2^9$. Один из множителей равен $3$, значит, все произведение делится на $3$. Проверка: $1024+512=1536=3\cdot 512$.
Вывод
Вынесение общего множителя за скобки — первый способ разложить многочлен на множители. Он помогает считать в уме, доказывать делимость, а дальше — решать уравнения и раскладывать многочлены другими способами. Чтобы быстро вспомнить правило, представьте, что из плиток-членов нужно сложить один прямоугольник.
Часто задаваемые вопросы
Равенство $12a+18=2(6a+9)$ верное, но разложение не закончено: в скобке остался общий множитель $3$. Если в задании сказано «разложите на множители» или «вынесите наибольший общий множитель», выносите все общее. Проверка простая: у членов в скобке не должно остаться общего множителя, кроме $1$.
Обычно — когда первый член отрицательный: так первый член в скобке становится положительным. Записи $-4a(a+2)$ и $4a(-a-2)$ обе верны, но первую удобнее читать и проверять.
Нет. Общий множитель должен быть в каждом члене. В многочлене $8x+12$ во втором члене буквы $x$ нет, поэтому общий множитель только числовой: $8x+12=4(2x+3)$.
Раскройте скобки: должен получиться исходный многочлен с теми же знаками. Можно также подставить простое число, например $1$ или $2$. Если значения различаются, ошибка есть точно. Если совпали при одном числе, это еще не доказательство — надежнее раскрыть скобки.
Произведение показывает то, чего не видно в сумме: на что делится выражение и когда оно равно нулю. Например, $2^{10}+2^9=3\cdot 2^9$ — сразу видно, что число делится на $3$.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий