7 класс Алгебра Одночлены и многочлены Многочлены

Применение разложения на множители

Содержание

В уроках «Вынесение общего множителя за скобки» и «Способ группировки» вы записывали многочлен в виде произведения. Теперь посмотрим, зачем это нужно. Разложение на множители помогает решать уравнения, в которых произведение равно нулю, удобно вычислять и доказывать, что значение выражения делится на число.

Когда произведение равно нулю

Начнем с вопроса, на который ответим в разделе 4. Возьмите любое трехзначное число и запишите его два раза подряд: из $375$ получится $375375$, из $802$ — $802802$. Любое такое шестизначное число делится на $7$, на $11$ и на $13$. Почему так происходит, станет видно после разложения на множители.

Вспомним модель модуля: произведение двух чисел — площадь прямоугольника, а множители — его стороны. Прямоугольник со сторонами $4$ и $3$ имеет площадь $12$. Будем уменьшать сторону $3$: при $2$ площадь равна $8$, при $1$ — $4$. При $0$ прямоугольник сплющивается в отрезок, и площадь становится равной $0$. Пока обе стороны не равны нулю, площадь не равна нулю.

Площадь прямоугольника со стороной 4: при второй стороне 3, 1, 0 площадь 12, 4, 0 — равна нулю, когда сторона нулевая — Площадь прямоугольника равна нулю только тогда, когда одна из его сторон равна нулю

У отрицательных чисел длины нет, поэтому для них модель — только подсказка. Но правило знаков при умножении меняет лишь знак произведения, а не делает его нулем. Проверим на числах:

$a$	$b$	$ab$
$4$	$3$	$12$
$4$	$0$	$0$
$0$	$-5$	$0$
$-2$	$-3$	$6$
$0$	$0$	$0$

Произведение равно нулю ровно в тех строках, где нулю равен хотя бы один множитель.

Правило

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\begin{aligned}ab&=0\ \text{ — значит,}\\ a&=0\ \text{ или }\ b=0\end{aligned}$$

Слово «или» здесь означает «хотя бы один»: нулю могут равняться и оба множителя. Правило верно для любого числа множителей.

Почему это верно. Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю: при умножении на нуль получается нуль. Обратно: если оба множителя не равны нулю, то их произведение тоже не равно нулю — у прямоугольника с ненулевыми сторонами площадь не нулевая, а знак минус ее нулем не сделает.

Отсюда способ решать уравнения, в которых одна часть — произведение, а другая — нуль: каждый множитель с переменной приравнивают к нулю и решают получившиеся линейные уравнения. Корни всех этих уравнений и есть корни исходного.

Пример 1

а) Решите уравнение $(x+5)(2x-7)=0$.

Произведение равно нулю, если $x+5=0$ или $2x-7=0$. Из первого уравнения $x=-5$. Из второго $2x=7$, $x=3{,}5$.

Проверка: при $x=-5$ первый множитель равен $0$, и произведение $0\cdot(-17)=0$; при $x=3{,}5$ второй множитель равен $0$, и произведение $8{,}5\cdot0=0$.

Ответ: $-5$; $3{,}5$.

б) Решите уравнение $3x(x+4)(x-6)=0$.

Числовой множитель $3$ нулем не бывает. Приравниваем к нулю множители с переменной: $x=0$, $x+4=0$ или $x-6=0$.

Ответ: $0$; $-4$; $6$.

{"questions":[{"content":"Произведение $(x-4)(x+7)$ равно нулю. Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Хотя бы один из множителей равен нулю","Оба множителя равны нулю","Множители равны между собой","Сумма множителей равна нулю"],"explanations":["","Достаточно одного нулевого множителя: при $x=4$ второй множитель равен $11$, а произведение $0$","Равенство множителей не делает произведение нулем: $5\\cdot5=25$","Для произведения важен нулевой множитель, а не сумма: при $x=4$ сумма $11+0$, а произведение $0$"],"answer":[0]}},"hints":["Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.","Значит, $x-4=0$ или $x+7=0$.","Ответ: хотя бы один множитель равен нулю."],"step":1},{"content":"Сопоставьте уравнения и их корни. Один ответ лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$(x-4)(x+9)=0$","$(x+4)(x-9)=0$","$x(x+9)=0$"],"items":["$4$ и $-9$","$-4$ и $9$","$0$ и $-9$","$-4$ и $-9$"]}},"instruction":"Сопоставьте уравнения и корни","hints":["Каждый множитель приравнивают к нулю: корень скобки $x-c$ равен $c$, скобки $x+c$ — числу $-c$.","$x-4=0$ при $x=4$, $x+9=0$ при $x=-9$; $x+4=0$ при $x=-4$, $x-9=0$ при $x=9$; множитель $x$ дает корень $0$.","Ответ: $(x-4)(x+9)=0$ — $4$ и $-9$; $(x+4)(x-9)=0$ — $-4$ и $9$; $x(x+9)=0$ — $0$ и $-9$. Лишний ответ: $-4$ и $-9$."],"step":1},{"content":"Сколько различных корней у уравнения $x(x-1)(x+2)=0$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Произведение трех множителей равно нулю, если один из них равен нулю.","$x=0$, $x=1$, $x=-2$ — три различных корня.","Ответ: 3."],"step":1}],"mix":1}

Сначала разложить, потом приравнять к нулю

Уравнение $x^2=4x$ не похоже на «произведение равно нулю». Но его можно привести к такому виду. Перенесем $4x$ в левую часть и вынесем общий множитель $x$ за скобки, как в уроке «Вынесение общего множителя за скобки»:

$$\begin{aligned}x^2-4x&=0,\\ x(x-4)&=0\end{aligned}$$

Теперь $x=0$ или $x-4=0$. Уравнение имеет два корня: $0$ и $4$. Проверка: $0^2=4\cdot0$ и $4^2=4\cdot4$ — оба равенства верные.

Ошибка

Решавр решает то же уравнение $x^2=4x$ короче: «Разделим обе части на $x$, получим $x=4$». В ответе у него один корень.

Проверка на числах. Подставим $x=0$: слева $0^2=0$, справа $4\cdot0=0$. Равенство верное, значит, $0$ — корень уравнения, а в ответе Решавра его нет.

Где ломается рассуждение. Обе части уравнения можно делить только на число, не равное нулю. Выражение $x$ может оказаться нулем — и как раз при $x=0$ уравнение верно. Деление на $x$ молча отбрасывает этот случай. Поэтому выражение с переменной не делят, а выносят за скобки.

Уравнение x²=4x: деление на x теряет корень 0 и дает один корень, а разложение x(x−4)=0 сохраняет оба корня 0 и 4 — Деление на $x$ теряет случай $x=0$, а разложение $x(x-4)=0$ сохраняет оба корня

Как решить уравнение разложением

Перенесите все члены в левую часть, чтобы справа остался $0$.
Разложите левую часть на множители.
Приравняйте к нулю каждый множитель с переменной.
Решите получившиеся уравнения и запишите все корни.

Пример 2

а) Решите уравнение $5x^2+15x=0$.

Общий множитель $5x$: $5x(x+3)=0$. Тогда $5x=0$, то есть $x=0$, или $x+3=0$, то есть $x=-3$.

Ответ: $0$; $-3$.

б) Решите уравнение $x^3+2x^2=0$.

Общий множитель $x^2$: $x^2(x+2)=0$. Множитель $x^2$ равен нулю только при $x=0$, множитель $x+2$ — при $x=-2$.

Ответ: $0$; $-2$.

Ошибка

Правило работает только для нуля. Уравнение $(x-2)(x-6)=12$ иногда решают «по образцу»: $x-2=12$ или $x-6=12$, то есть $x=14$ или $x=18$.

Проверка на числах. При $x=14$ получаем $(14-2)(14-6)=12\cdot8=96$, а не $12$.

Где ломается рассуждение. Площадь $12$ бывает у прямоугольников $2\times6$, $3\times4$, $1\times12$ — по площади нельзя сказать, чему равна сторона. Площадь $0$ бывает только у сплющенного прямоугольника. Поэтому сначала раскроем скобки, как в уроке «Умножение многочлена на многочлен», и приведем подобные (урок «Раскрытие скобок и приведение подобных»):

$$\begin{aligned}x^2-8x+12&=12,\\ x^2-8x&=0,\\ x(x-8)&=0\end{aligned}$$

Корни: $0$ и $8$. Проверка: $(0-2)(0-6)=12$ и $(8-2)(8-6)=12$.

Посмотрите, как ведет себя произведение $(x-2)(x+a)$. Двигайте $x$ и $a$: на экране видны значения обоих множителей, их произведение, точки-корни на числовой прямой и прямоугольник, стороны которого — множители без знака. Когда один из множителей становится нулем, прямоугольник превращается в отрезок. Попробуйте найти, при каких $x$ произведение равно $12$, если $a=-6$, — и посмотрите, чему при этом равны множители.

ab-nol

{"questions":[{"content":"Распределите уравнения: в каких можно сразу приравнять к нулю каждый множитель, а какие сначала нужно преобразовать.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Сразу приравнять множители к нулю","Сначала преобразовать"],"items":[["$(x-3)(x+1)=0$","$5x(2x-1)=0$","$(x+2)(x-6)(x-1)=0$"],["$x^2=10x$","$x^2-6x=0$","$(x+1)(x-2)=-2$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Правило «произведение равно нулю» работает, когда одна часть уравнения — произведение, а другая — нуль.","В $x^2=10x$ и $x^2-6x=0$ левая часть еще не произведение: сначала перенести все влево и вынести $x$. В $(x+1)(x-2)=-2$ справа не нуль: сначала раскрыть скобки и перенести $-2$ влево.","Ответ: сразу — $(x-3)(x+1)=0$, $5x(2x-1)=0$, $(x+2)(x-6)(x-1)=0$; сначала преобразовать — $x^2=10x$, $x^2-6x=0$, $(x+1)(x-2)=-2$."],"step":1},{"content":"В тетради Решавра записано решение уравнения $x(x-5)=0$: «Делим обе части на $x$, получаем $x-5=0$, значит, $x=5$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Корней нет, делить на $x$ нельзя","Верно только $x=0$","Корень $x=0$ потерян, верно: $0$ и $5$","Ошибки нет: корень один, $x=5$"],"explanations":["Решение существует: произведение равно нулю при $x=0$ и при $x=5$","Подстановка $x=5$ дает $5\\cdot0=0$ — верное равенство, значит, $5$ тоже корень","","Подстановка $x=0$ дает $0\\cdot(-5)=0$ — верное равенство, значит, $0$ тоже корень"],"answer":[2]}},"hints":["Делить на $x$ можно только если $x\\ne0$, а $x=0$ может быть корнем.","Проверка: при $x=0$ получаем $0\\cdot(-5)=0$ — верно.","Ответ: корней два: $0$ и $5$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр решает уравнение $(x-2)(x-3)=6$: «Произведение равно $6$, значит, $x-2=6$ или $x-3=6$, то есть $x=8$ или $x=9$». Каковы корни уравнения на самом деле?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Корни $8$ и $9$","Корни $-2$ и $-3$","Корни $0$ и $5$","Корни $2$ и $3$"],"explanations":["Проверка: при $x=8$ получаем $6\\cdot5=30$, а не $6$; вывод «множитель равен числу» верен только для нуля","Знаки перепутаны: числа $2$ и $3$ обращают в нуль множители, а в условии справа $6$, не нуль","","Это корни уравнения $(x-2)(x-3)=0$, а не $=6$: при $x=2$ произведение $0$"],"answer":[2]}},"hints":["Вывод «один из множителей равен числу» верен только для нуля. Проверка: $(8-2)(8-3)=6\\cdot5=30\\ne6$.","Раскрываем скобки: $x^2-5x+6=6$, то есть $x^2-5x=0$, $x(x-5)=0$.","Ответ: $x=0$ или $x=5$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Общий множитель упрощает вычисления

В уроке «Вынесение общего множителя за скобки» вы вычисляли сумму двух произведений с общим множителем. Иногда общий множитель спрятан. Например, в квадрате: $a^2=a\cdot a$, поэтому у слагаемых $1{,}7\cdot4{,}3$ и $1{,}7^2$ общий множитель $1{,}7$. Иногда общего множителя у всех слагаемых нет, но слагаемые можно сгруппировать, как в уроке «Способ группировки».

Вычислим $27\cdot46+27\cdot54+73\cdot46+73\cdot54$. В первых двух слагаемых общий множитель $27$, в двух последних — $73$:

$$\begin{aligned}27\cdot(46+54)&{}+73\cdot(46+54)=\\ &=(46+54)(27+73)=\\ &=100\cdot100=10\,000\end{aligned}$$

На языке модели четыре прямоугольника складываются в один квадрат со сторонами $27+73$ и $46+54$.

Квадрат 100×100 из четырех частей: 27·46+73·46+27·54+73·54=(27+73)(46+54)=100·100=10 000 — Четыре произведения — части одного квадрата со сторонами $27+73=100$ и $46+54=100$

Удобное вычисление

Ищите общий множитель слагаемых — в том числе спрятанный в квадрате, $a^2=a\cdot a$. Выносите его за скобки или группируйте слагаемые так, чтобы в скобках получились удобные числа. Если известны значения нескольких выражений, разложите искомое выражение на множители из этих выражений.

Пример 3

а) Вычислите $1{,}7\cdot4{,}3+1{,}7^2$.

$1{,}7^2=1{,}7\cdot1{,}7$, общий множитель $1{,}7$: $1{,}7\cdot(4{,}3+1{,}7)=1{,}7\cdot6=10{,}2$.

Ответ: $10{,}2$.

б) Известно, что $x+y=8$ и $xy=-3$. Найдите значение выражения $x^2y+xy^2$.

Сами числа $x$ и $y$ искать не нужно. Общий множитель $xy$: $x^2y+xy^2=xy(x+y)=-3\cdot8=-24$.

Ответ: $-24$.

{"questions":[{"content":"Вычислите удобным способом: $85^2-85\\cdot75$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"850"}},"hints":["$85^2=85\\cdot85$. Общий множитель $85$: $85\\cdot(85-75)$.","$85\\cdot10=850$. Ответ: 850."],"step":1},{"content":"Вычислите удобным способом: $36\\cdot17+36\\cdot13+64\\cdot17+64\\cdot13$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"3000"}},"hints":["Сгруппируйте слагаемые с множителем $36$ и с множителем $64$.","$36\\cdot(17+13)+64\\cdot(17+13)=(17+13)(36+64)=30\\cdot100$.","Ответ: 3000."],"step":1},{"content":"Известно, что $a-b=6$ и $ab=5$. Чтобы найти значение выражения $a^2b-ab^2$, разложите его на множители: $a^2b-ab^2=ab\\cdot$[[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$(a-b)$","$(b-a)$","$(a+b)$","$(ab)$"],"answer":0}},"hints":["Найти сами числа $a$ и $b$ не нужно: общий множитель $ab$ выносим за скобки.","$a^2b-ab^2=ab(a-b)$. Подставляем: $5\\cdot6=30$.","Ответ: в скобке $(a-b)$; значение выражения равно $30$."],"step":1}],"mix":1}

Делимость видна в произведении

Вернемся к вопросу из начала урока. Число $375375$ — это $375$ тысяч и еще $375$:

$$\begin{aligned}375375&=375\cdot1000+375=\\ &=375\cdot(1000+1)=375\cdot1001\end{aligned}$$

А $1001=7\cdot11\cdot13$: проверьте умножением, $7\cdot11=77$, $77\cdot13=1001$. Значит, $375375=375\cdot7\cdot11\cdot13$, и число делится на $7$, на $11$ и на $13$. Для любого трехзначного числа $n$ рассуждение то же: число, записанное дважды, равно $1000n+n=1001n$.

Число 375375: прямоугольник высотой 375 и длиной 1000+1=1001, значит 375375=375·1001=375·7·11·13 — Общая сторона $1001=7\cdot11\cdot13$, поэтому площадь $375375$ делится на $7$, $11$ и $13$

По сумме делимость видна не всегда: $7+8=15$ делится на $5$, хотя ни $7$, ни $8$ на $5$ не делятся. А по произведению видна сразу. Если у прямоугольника из целых клеток одна сторона равна $k$, то он складывается из полосок по $k$ клеток, и его площадь делится на $k$. О признаках делимости и простых множителях — в уроке «Делимость, простые множители, НОД и НОК».

Делимость через разложение

Если выражение с целыми значениями разложено на множители и один из множителей делится на число $k$, то значение всего выражения делится на $k$:

$$\begin{aligned}A&=k\cdot m,\ m\ \text{— целое}\ \Rightarrow\\ &\Rightarrow\ A\ \text{делится на}\ k\end{aligned}$$

Пример 4

а) Докажите, что $3^{12}-3^{10}$ делится на $8$.

$3^{12}=3^{10}\cdot3^2=3^{10}\cdot9$, поэтому общий множитель $3^{10}$: $3^{12}-3^{10}=3^{10}\cdot(9-1)=3^{10}\cdot8$. Один из множителей равен $8$, значит, число делится на $8$.

б) Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(n+5)(n+2)-n(n+2)$ кратно $5$.

Общий множитель — скобка $(n+2)$: $(n+2)(n+5-n)=5(n+2)$. Один из множителей равен $5$, а $n+2$ — целое число, значит, значение кратно $5$. Проверка при $n=1$: $6\cdot3-1\cdot3=15$.

{"questions":[{"content":"Вставьте пропущенный множитель: $3^8+3^7=3^7\\cdot$[[fill_choice-1]]. На этот множитель делится значение выражения.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$3$","$4$","$2$","$6$"],"answer":1}},"hints":["$3^8=3^7\\cdot3$, а $3^7=3^7\\cdot1$.","$3^8+3^7=3^7\\cdot(3+1)$.","Ответ: $4$."],"step":1},{"content":"Двузначное число записали два раза подряд, например $4747$. На какое из чисел такое четырехзначное число делится всегда?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["На $1001$","На $101$","На $7$","На $11$"],"explanations":["$1001=1000+1$ получается у трехзначного числа, записанного дважды; у двузначного в скобке $100+1$","","Проверка: $4747=7\\cdot678+1$ — не делится; множителя $7$ в разложении $47\\cdot101$ нет","Проверка: $4747=11\\cdot431+6$ — остаток $6$; после выноса в скобке $100+1=101$, а не $11$"],"answer":[1]}},"hints":["Число $4747$ — это $47$ сотен и еще $47$: $47\\cdot100+47$.","Общий множитель $47$: $47\\cdot(100+1)=47\\cdot101$. То же для любого двузначного числа.","Ответ: на $101$."],"step":1},{"content":"Значение выражения $(n+7)(n+1)-n(n+1)$ при любом натуральном $n$ кратно числу[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$14$","$8$","$7$","$n+1$"],"explanations":["Множитель $7$ есть, но $n+1$ бывает нечетным: при $n=2$ значение $21$, а $21$ не делится на $14$","Сложили числа $7$ и $1$ из скобок: при $n=2$ значение $21$, а $21$ не делится на $8$","","Это не число, а выражение: при $n=1$ значение равно $14$, при $n=2$ равно $21$ — общего числа $n+1$ у них нет"],"answer":[2]}},"hints":["Общий множитель обоих слагаемых — скобка $(n+1)$.","$(n+1)(n+7-n)=7(n+1)$: в произведении есть множитель $7$.","Ответ: кратно $7$."],"step":1}],"mix":1}

Задачи, в которых один корень лишний

В задачах о площадях и объемах уравнение вида «произведение равно нулю» получается часто. Но корень уравнения — еще не ответ задачи. Длина стороны больше нуля, поэтому корень $0$ по смыслу не подходит.

Задача 1

Площадь квадрата (в см²) численно равна его утроенному периметру (в см). Найдите сторону квадрата.

Решение. Пусть сторона равна $x$ см. Площадь $x^2$, периметр $4x$, утроенный периметр $12x$.

$$\begin{aligned}x^2&=12x,\\ x^2-12x&=0,\\ x(x-12)&=0\end{aligned}$$

Корни: $x=0$ или $x=12$. Сторона квадрата не может быть равна нулю, поэтому подходит только $12$. Проверка: площадь $144$, утроенный периметр $3\cdot48=144$.

Ответ: $12$ см.

Задача 2

Объем куба (в см³) численно равен площади его поверхности (в см²). Найдите ребро куба.

Решение. Пусть ребро равно $x$ см. Объем $x^3$, поверхность — шесть квадратов, ее площадь $6x^2$.

$$\begin{aligned}x^3&=6x^2,\\ x^3-6x^2&=0,\\ x^2(x-6)&=0\end{aligned}$$

Корни: $x=0$ или $x=6$. Ребро куба больше нуля, поэтому ответ $6$. Проверка: объем $216$, площадь поверхности $6\cdot36=216$.

Ответ: $6$ см.

Если разделить обе части на $x^2$, ответ здесь случайно получится верным: потерянный корень $0$ все равно не подходит по смыслу. В уравнении без такого условия деление потеряло бы корень.

Важно

Решив уравнение, проверьте каждый корень по смыслу условия: длина, количество предметов, возраст не могут быть нулем или отрицательным числом. Подставлять корень для проверки нужно в исходное уравнение.

{"questions":[{"content":"Длина прямоугольника в $2$ раза больше ширины. Площадь прямоугольника (в см²) численно равна его периметру (в см). Найдите ширину прямоугольника в сантиметрах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Пусть ширина $x$ см, длина $2x$ см. Площадь $2x^2$, периметр $2(x+2x)=6x$.","$2x^2=6x$, $2x^2-6x=0$, $2x(x-3)=0$: $x=0$ или $x=3$. Ширина не может быть нулем.","Ответ: 3."],"step":1},{"content":"Решавр решил задачу «Площадь квадрата (в см²) численно равна его периметру (в см). Найдите сторону квадрата» так: «$x^2=4x$, $x(x-4)=0$, ответ: $0$ см и $4$ см». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ответ $4$ см и $-4$ см","Ошибки нет: у задачи два ответа, $0$ см и $4$ см","Уравнение неверное: периметр квадрата равен $2x$","Корень $0$ не подходит по смыслу: ответ $4$ см"],"explanations":["Число $-4$ не корень: $(-4)^2=16$, а $4\\cdot(-4)=-16$; к тому же длина не бывает отрицательной","Квадрата со стороной $0$ не существует: длина стороны больше нуля","Периметр квадрата — сумма четырех равных сторон, $4x$; уравнение $x^2=4x$ верное",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверьте по шагам: верно ли составлено уравнение, верно ли найдены его корни и все ли корни подходят по смыслу задачи.","Уравнение $x^2=4x$ и корни $0$ и $4$ верны. Но корень уравнения — еще не ответ задачи: сторона квадрата не может быть равна нулю.","Ответ: только $4$ см."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Разложение на множители превращает сумму в произведение, а у произведения сразу видно, когда оно равно нулю и на какие числа делится. Так решаются уравнения вида «произведение равно нулю», упрощаются вычисления и доказывается делимость. Чтобы быстро вспомнить главное, представьте прямоугольник, стороны которого — множители, а площадь — произведение.

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя делить обе части уравнения на $x$, если так быстрее?

Делить обе части уравнения можно только на число, не равное нулю. Заранее неизвестно, равен ли $x$ нулю, а при делении случай $x=0$ теряется вместе с корнем. Надежнее вынести $x$ за скобки: тогда корень $0$ останется в решении.

Сколько корней может быть у уравнения вида «произведение равно нулю»?

Каждый множитель вида $kx+b$ при $k\ne0$ дает ровно один корень, а одинаковые множители дают один и тот же корень. Например, у $x^2(x+2)=0$ множитель $x^2=x\cdot x$ дает только корень $0$, поэтому корней два. Числовой множитель, не равный нулю, корней не дает.

Что делать, если справа в уравнении не нуль?

Перенести все члены в левую часть, раскрыть скобки и привести подобные. Только когда справа остался нуль, а слева — произведение, каждый множитель приравнивают к нулю.

Зачем доказывать делимость, если можно посчитать на калькуляторе?

Калькулятор проверяет одно число, а разложение $1001n$ доказывает делимость сразу для всех трехзначных $n$. Выражение с переменной, например $5(n+2)$, калькулятор не проверит при всех натуральных $n$, а разложение показывает делимость при любом $n$.

Как проверить найденные корни?

Подставьте каждый корень в исходное уравнение и убедитесь, что получилось верное равенство. В задаче дополнительно проверьте, подходит ли корень по смыслу: сторона, ребро, количество не могут быть нулем или отрицательным числом.

Награды за урок