Многочлены. Итоговый тест

Итоговый тест по теме «Многочлены»: степень и стандартный вид, сложение и вычитание многочленов, умножение, вынесение общего множителя за скобки, способ группировки и применение разложения. 10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Найдите степень многочлена $xy - 6x^2y^3 + 4x^3 - 9$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2$","$5$","$10$","$3$","$4$"],"explanations":["Это степень первого члена $xy$. Степень многочлена — наибольшая из степеней всех его членов, смотреть нужно на каждый член.","","Это сумма степеней всех членов: $2 + 5 + 3 + 0$. Степень многочлена равна наибольшей из них, а не их сумме.","Это наибольший показатель одной буквы (или степень одного члена $4x^3$). Степень члена — сумма показателей всех его букв: у $-6x^2y^3$ она равна $2 + 3 = 5$.","Это число членов многочлена. Степень определяется показателями букв, а не количеством членов."],"answer":[1]}},"hints":["Многочлен записан в стандартном виде: подобных членов в нем нет. Его степень — наибольшая из степеней его членов.","Степень члена — сумма показателей всех его букв: у $xy$ она равна $2$, у $-6x^2y^3$ равна $2 + 3 = 5$, у $4x^3$ равна $3$. Свободный член $-9$ имеет степень $0$.","Наибольшая из степеней $2$, $5$, $3$ и $0$ равна $5$."],"explanation":"Степени членов: $2$, $5$, $3$ и $0$. Степень многочлена — наибольшая из них, то есть $5$.","step":1},{"id":"1","content":"Найдите степень многочлена $pq^2 - 3p^2q^4 + 2p^5 - 8$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$14$","$6$","$3$","$5$","$4$"],"explanations":["Это сумма степеней всех членов: $3 + 6 + 5 + 0$. Степень многочлена равна наибольшей из них, а не их сумме.","","Это степень первого члена $pq^2$. Степень многочлена — наибольшая из степеней всех его членов, смотреть нужно на каждый член.","Это наибольший показатель одной буквы $p^5$ (или степень одного члена $2p^5$). Степень члена — сумма показателей всех его букв: у $-3p^2q^4$ она равна $2 + 4 = 6$.","Это число членов многочлена. Степень определяется показателями букв, а не количеством членов."],"answer":[1]}},"hints":["Многочлен записан в стандартном виде: подобных членов в нем нет. Его степень — наибольшая из степеней его членов.","Степень члена — сумма показателей всех его букв: у $pq^2$ она равна $1 + 2 = 3$, у $-3p^2q^4$ равна $2 + 4 = 6$, у $2p^5$ равна $5$. Свободный член $-8$ имеет степень $0$.","Наибольшая из степеней $3$, $6$, $5$ и $0$ равна $6$."],"explanation":"Степени членов: $3$, $6$, $5$ и $0$. Степень многочлена — наибольшая из них, то есть $6$.","step":1},{"id":"2","content":"Приведите подобные члены и запишите многочлен в стандартном виде: $4a^2b - 3ab + 2a^2b + 5ab - 7 =$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$6a^4b^2 + 2ab - 7$","$6a^2b + 2ab - 7$","$6a^2b + 8ab - 7$","$8a^2b - 7$"],"placeholder":0,"answer":1}},"hints":["Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть: это $4a^2b$ и $2a^2b$, а также $-3ab$ и $5ab$.","Складывайте только коэффициенты, буквенная часть остается прежней: $4 + 2 = 6$, $-3 + 5 = 2$. Свободный член $-7$ подобных не имеет.","$6a^2b + 2ab - 7$."],"explanation":"$4a^2b + 2a^2b = 6a^2b$ и $-3ab + 5ab = 2ab$, получается $6a^2b + 2ab - 7$. Вариант $6a^4b^2 + 2ab - 7$ — при приведении подобных сложили и показатели, а они не меняются. Вариант $6a^2b + 8ab - 7$ — потерян минус у $-3ab$: получилось $3 + 5$ вместо $-3 + 5$. Вариант $8a^2b - 7$ — подобными сочли $a^2b$ и $ab$, но показатели у них разные: подобные члены должны иметь одинаковую буквенную часть.","step":1},{"id":"2","content":"Приведите подобные члены и запишите многочлен в стандартном виде: $7mn^2 - 4mn - 3mn^2 + 7mn + 9 =$[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$4m^2n^4 + 3mn + 9$","$7mn^2 + 9$","$4mn^2 + 3mn + 9$","$4mn^2 + 11mn + 9$"],"placeholder":0,"answer":2}},"hints":["Подобные члены имеют одинаковую буквенную часть: это $7mn^2$ и $-3mn^2$, а также $-4mn$ и $7mn$.","Складывайте только коэффициенты, буквенная часть остается прежней: $7 - 3 = 4$, $-4 + 7 = 3$. Свободный член $9$ подобных не имеет.","$4mn^2 + 3mn + 9$."],"explanation":"$7mn^2 - 3mn^2 = 4mn^2$ и $-4mn + 7mn = 3mn$, получается $4mn^2 + 3mn + 9$. Вариант $4m^2n^4 + 3mn + 9$ — при приведении подобных сложили и показатели, а они не меняются. Вариант $7mn^2 + 9$ — подобными сочли $mn^2$ и $mn$, но показатели у них разные. Вариант $4mn^2 + 11mn + 9$ — потерян минус у $-4mn$: получилось $4 + 7$ вместо $-4 + 7$.","step":1},{"id":"3","content":"Найдите разность многочленов $(5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 7x - 1)$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$7x^2 - 10x + 3$","$3x^2 + 4x + 3$","$3x^2 + 4x + 5$","$3x^2 - 10x + 3$"],"explanations":["Скобки раскрыли без смены знаков, как при сложении. Минус перед скобкой меняет знак у каждого члена в скобке.","У последнего члена знак не сменили: $-(-1)$ записали как $-1$, получилось $4 - 1 = 3$. Нужно $4 + 1 = 5$.","","Знак сменили только у первого члена скобки. Минус перед скобкой действует на все ее члены: $-(-7x) = +7x$."],"answer":[2]}},"hints":["Минус перед скобкой меняет знак у каждого члена в скобке, в том числе у последнего. Какие знаки получатся у членов в $-(2x^2 - 7x - 1)$?","Раскройте скобки: $5x^2 - 3x + 4 - 2x^2 + 7x + 1$.","Сгруппируйте подобные члены: $(5x^2 - 2x^2) + (-3x + 7x) + (4 + 1)$.","$3x^2 + 4x + 5$."],"explanation":"$(5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 7x - 1) = 5x^2 - 3x + 4 - 2x^2 + 7x + 1 = 3x^2 + 4x + 5$. Знак меняется у каждого члена вычитаемого, в том числе у последнего.","step":1},{"id":"3","content":"Найдите разность многочленов $(4a^2 - 6a + 3) - (a^2 - 5a - 8)$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$3a^2 - a + 11$","$3a^2 - 11a - 5$","$5a^2 - 11a - 5$","$3a^2 - a - 5$"],"explanations":["","Знак сменили только у первого члена скобки. Минус перед скобкой действует на все ее члены: $-(-5a) = +5a$.","Скобки раскрыли без смены знаков, как при сложении. Минус перед скобкой меняет знак у каждого члена в скобке.","У последнего члена знак не сменили: $-(-8)$ записали как $-8$, получилось $3 - 8 = -5$. Нужно $3 + 8 = 11$."],"answer":[0]}},"hints":["Минус перед скобкой меняет знак у каждого члена в скобке, в том числе у последнего. Какие знаки получатся у членов в $-(a^2 - 5a - 8)$?","Раскройте скобки: $4a^2 - 6a + 3 - a^2 + 5a + 8$.","Сгруппируйте подобные члены: $(4a^2 - a^2) + (-6a + 5a) + (3 + 8)$.","$3a^2 - a + 11$."],"explanation":"$(4a^2 - 6a + 3) - (a^2 - 5a - 8) = 4a^2 - 6a + 3 - a^2 + 5a + 8 = 3a^2 - a + 11$. Знак меняется у каждого члена вычитаемого, в том числе у последнего.","step":1},{"id":"4","content":"Выполните умножение: $-3a(2a^2 - ab + 4)$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$-6a^3 - 3a^2b - 12a$","$-6a^3 + 3a^2b - 12a$","$-6a^3 + 3a^2b + 4$","$-6a^2 + 3ab - 12a$"],"explanations":["Потерян знак у второго члена: $-3a \\cdot (-ab) = +3a^2b$, произведение двух отрицательных членов положительно.","","Последний член скобки не умножили на $-3a$: $-3a \\cdot 4 = -12a$. На одночлен умножают каждый член многочлена.","Показатели перемножили: $1 \\cdot 2$ и $1 \\cdot 1$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: $a \\cdot a^2 = a^3$, $a \\cdot a = a^2$."],"answer":[1]}},"hints":["Умножьте $-3a$ на каждый член скобки по очереди и следите за знаками.","$-3a \\cdot 2a^2 = -6a^3$; $-3a \\cdot (-ab) = +3a^2b$; $-3a \\cdot 4 = -12a$.","Сложите произведения: $-6a^3 + 3a^2b - 12a$."],"explanation":"$-3a(2a^2 - ab + 4) = -3a \\cdot 2a^2 + (-3a) \\cdot (-ab) + (-3a) \\cdot 4 = -6a^3 + 3a^2b - 12a$.","step":1},{"id":"4","content":"Выполните умножение: $-4m(m^2 + 2mn - 3)$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$-4m^2 - 8mn + 12m$","$-4m^3 - 8m^2n - 12m$","$-4m^3 - 8m^2n + 12m$","$-4m^3 - 8m^2n - 3$"],"explanations":["Показатели перемножили: $1 \\cdot 2$ и $1 \\cdot 1$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: $m \\cdot m^2 = m^3$, $m \\cdot m = m^2$.","Потерян знак у последнего члена: $-4m \\cdot (-3) = +12m$, произведение двух отрицательных чисел положительно.","","Последний член скобки не умножили на $-4m$: $-4m \\cdot (-3) = 12m$. На одночлен умножают каждый член многочлена."],"answer":[2]}},"hints":["Умножьте $-4m$ на каждый член скобки по очереди и следите за знаками.","$-4m \\cdot m^2 = -4m^3$; $-4m \\cdot 2mn = -8m^2n$; $-4m \\cdot (-3) = +12m$.","Сложите произведения: $-4m^3 - 8m^2n + 12m$."],"explanation":"$-4m(m^2 + 2mn - 3) = -4m \\cdot m^2 + (-4m) \\cdot 2mn + (-4m) \\cdot (-3) = -4m^3 - 8m^2n + 12m$.","step":1},{"id":"5","content":"Стороны прямоугольника равны $2x + 3$ и $x + 2$ (в сантиметрах). Чему равна его площадь $S$? Рисунок выполнен не в масштабе.[[image-1]][[choice-7]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/9qar2dfcgud8.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$2x^2 + 6$","$6x + 10$","$2x^2 + 7x + 6$","$2x^2 + 4x + 6$"],"explanations":["Перемножили только первые члены и только вторые: $2x \\cdot x + 3 \\cdot 2$. Каждый член одной скобки умножают на каждый член другой: на рисунке четыре части, а не две.","Это периметр: $2(2x + 3 + x + 2) = 6x + 10$. Площадь равна произведению сторон, а не их сумме.","","Потеряна одна из средних частей: прямоугольник $3 \\cdot x = 3x$. Средних частей две: $2x \\cdot 2 = 4x$ и $3 \\cdot x = 3x$."],"answer":[2]}},"hints":["Площадь прямоугольника равна сумме площадей четырех частей на рисунке.","Площади частей: $2x \\cdot x$, $2x \\cdot 2$, $3 \\cdot x$ и $3 \\cdot 2$.","$2x^2 + 4x + 3x + 6 = 2x^2 + 7x + 6$."],"explanation":"Площадь равна произведению сторон: $(2x + 3)(x + 2) = 2x^2 + 4x + 3x + 6 = 2x^2 + 7x + 6$ квадратных сантиметров. Четыре части рисунка — это четыре произведения: каждый член первой скобки умножен на каждый член второй.","step":1},{"id":"5","content":"Стороны прямоугольника равны $2y + 1$ и $y + 4$ (в сантиметрах). Чему равна его площадь $S$? Рисунок выполнен не в масштабе.[[image-2]][[choice-8]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/i8bpnyibjhxb.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$2y^2 + 9y + 4$","$2y^2 + 4$","$2y^2 + 8y + 4$","$6y + 10$"],"explanations":["","Перемножили только первые члены и только вторые: $2y \\cdot y + 1 \\cdot 4$. Каждый член одной скобки умножают на каждый член другой: на рисунке четыре части, а не две.","Потеряна одна из средних частей: прямоугольник $1 \\cdot y = y$. Средних частей две: $2y \\cdot 4 = 8y$ и $1 \\cdot y = y$.","Это периметр: $2(2y + 1 + y + 4) = 6y + 10$. Площадь равна произведению сторон, а не их сумме."],"answer":[0]}},"hints":["Площадь прямоугольника равна сумме площадей четырех частей на рисунке.","Площади частей: $2y \\cdot y$, $2y \\cdot 4$, $1 \\cdot y$ и $1 \\cdot 4$.","$2y^2 + 8y + y + 4 = 2y^2 + 9y + 4$."],"explanation":"Площадь равна произведению сторон: $(2y + 1)(y + 4) = 2y^2 + 8y + y + 4 = 2y^2 + 9y + 4$ квадратных сантиметров. Четыре части рисунка — это четыре произведения: каждый член первой скобки умножен на каждый член второй.","step":1},{"id":"6","content":"Проверьте равенства: в каждом из них общий множитель вынесен за скобки.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Без ошибки","С ошибкой"],"items":[["$6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$","$4a^3 + 8a^2 = 4a^2(a + 2)$","$m(x + 2) + n(x + 2) = (m + n)(x + 2)$"],["$10x^3 - 15x^2 = 5x(2x^2 - 3)$","$-6m^2 + 4m = -2m(3m + 2)$","$9a^2b + 3ab = 3ab(3a)$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Проверьте равенство раскрытием скобок: если получилось исходное выражение, ошибки нет.","Частые ошибки при вынесении: во втором члене потеряна буква или ее степень, потеряна единица в скобке, изменился знак."],"explanation":"Без ошибки: $3x(2x - 3) = 6x^2 - 9x$; $4a^2(a + 2) = 4a^3 + 8a^2$; общая скобка $(x + 2)$ вынесена: $(m + n)(x + 2) = m(x + 2) + n(x + 2)$. С ошибкой: $5x(2x^2 - 3) = 10x^3 - 15x$, а не $10x^3 - 15x^2$: при делении $15x^2$ на $5x$ получается $3x$, а не $3$, буква потеряна. Нужно вынести $5x^2$: $5x^2(2x - 3)$. $-2m(3m + 2) = -6m^2 - 4m$: знак второго члена изменился, нужно $-2m(3m - 2)$. $3ab(3a) = 9a^2b$: потерян член $3ab$, при вынесении всего члена в скобке остается единица, нужно $3ab(3a + 1)$.","step":1},{"id":"6","content":"Проверьте равенства: в каждом из них общий множитель вынесен за скобки.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Без ошибки","С ошибкой"],"items":[["$8y^2 - 12y = 4y(2y - 3)$","$5p^4 + 10p^3 = 5p^3(p + 2)$","$b(x - 4) - c(x - 4) = (b - c)(x - 4)$"],["$14m^3 - 21m^2 = 7m(2m^2 - 3)$","$-10n^2 + 15n = -5n(2n + 3)$","$6x^2y + 2xy = 2xy(3x)$"]]}},"instruction":"Распределите равенства по группам","hints":["Проверьте равенство раскрытием скобок: если получилось исходное выражение, ошибки нет.","Частые ошибки при вынесении: во втором члене потеряна буква или ее степень, потеряна единица в скобке, изменился знак."],"explanation":"Без ошибки: $4y(2y - 3) = 8y^2 - 12y$; $5p^3(p + 2) = 5p^4 + 10p^3$; общая скобка $(x - 4)$ вынесена: $(b - c)(x - 4) = b(x - 4) - c(x - 4)$. С ошибкой: $7m(2m^2 - 3) = 14m^3 - 21m$, а не $14m^3 - 21m^2$: при делении $21m^2$ на $7m$ получается $3m$, а не $3$, буква потеряна. Нужно вынести $7m^2$: $7m^2(2m - 3)$. $-5n(2n + 3) = -10n^2 - 15n$: знак второго члена изменился, нужно $-5n(2n - 3)$. $2xy(3x) = 6x^2y$: потерян член $2xy$, при вынесении всего члена в скобке остается единица, нужно $2xy(3x + 1)$.","step":1},{"id":"7","content":"Разложите на множители многочлен $ax - ay - 2x + 2y$.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$(x - y)(a + 2)$","$a(x - y) - 2(x - y)$","$(x - y)(a - 2)$","$(x + y)(a - 2)$"],"explanations":["Знак при вынесении $-2$ потерян: $-2x + 2y = -2(x - y)$, поэтому во второй скобке стоит $a - 2$, а не $a + 2$.","Это еще не произведение, а разность двух произведений. Общую скобку $(x - y)$ нужно вынести за скобки: получится $(x - y)(a - 2)$.","","Проверьте раскрытием скобок: $(x + y)(a - 2) = ax - 2x + ay - 2y$. Члены с $y$ получились $+ay$ и $-2y$, а в условии стоят $-ay$ и $+2y$. Скобка $(x + y)$ получилась бы, если бы во второй паре было $-2x - 2y$, а в условии $-2x + 2y = -2(x - y)$."],"answer":[2]}},"hints":["Сгруппируйте члены парами: $(ax - ay) - (2x - 2y)$.","Вынесите общий множитель из каждой пары: $a(x - y) - 2(x - y)$. В обеих частях стоит одна и та же скобка $(x - y)$.","Вынесите скобку $(x - y)$ за скобки: $(x - y)(a - 2)$. Проверьте раскрытием скобок."],"explanation":"$ax - ay - 2x + 2y = (ax - ay) - (2x - 2y) = a(x - y) - 2(x - y) = (x - y)(a - 2)$. При вынесении отрицательного множителя знаки членов в скобке меняются.","step":1},{"id":"7","content":"Разложите на множители многочлен $mx - 3m - 2x + 6$.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$m(x - 3) - 2(x - 3)$","$(x - 3)(m + 2)$","$(x - 3)(m - 2)$","$(x + 3)(m - 2)$"],"explanations":["Это еще не произведение, а разность двух произведений. Общую скобку $(x - 3)$ нужно вынести за скобки: получится $(x - 3)(m - 2)$.","Знак при вынесении $-2$ потерян: $-2x + 6 = -2(x - 3)$, поэтому во второй скобке стоит $m - 2$, а не $m + 2$.","","Проверьте раскрытием скобок: $(x + 3)(m - 2) = mx - 2x + 3m - 6$. Члены с $3$ получились $+3m$ и $-6$, а в условии стоят $-3m$ и $+6$. Скобка $(x + 3)$ получилась бы, если бы во второй паре было $-2x - 6$, а в условии $-2x + 6 = -2(x - 3)$."],"answer":[2]}},"hints":["Сгруппируйте члены парами: $(mx - 3m) - (2x - 6)$.","Вынесите общий множитель из каждой пары: $m(x - 3) - 2(x - 3)$. В обеих частях стоит одна и та же скобка $(x - 3)$.","Вынесите скобку $(x - 3)$ за скобки: $(x - 3)(m - 2)$. Проверьте раскрытием скобок."],"explanation":"$mx - 3m - 2x + 6 = (mx - 3m) - (2x - 6) = m(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(m - 2)$. При вынесении отрицательного множителя знаки членов в скобке меняются.","step":1},{"id":"8","content":"Найдите все корни уравнения $x(2x-3) = 0$.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$0$ и $-\\frac{3}{2}$","$0$ и $3$","$0$ и $\\frac{3}{2}$","$\\frac{3}{2}$"],"explanations":["При переносе $-3$ в правую часть знак не сменили: получилось $2x = -3$. Нужно $2x = 3$, $x = \\frac{3}{2}$.","Не разделили на коэффициент: из $2x = 3$ получается $x = \\frac{3}{2}$, а не $3$.","","Корень $0$ потерян: множитель $x$ тоже может быть равен нулю."],"answer":[2]}},"hints":["Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.","$x = 0$ или $2x-3 = 0$. Решите второе уравнение: $2x = 3$.","Ответ: $0$ и $\\frac{3}{2}$."],"explanation":"$x = 0$ или $2x-3 = 0$, то есть $2x = 3$, $x = \\frac{3}{2}$. Проверка: $\\frac{3}{2} \\cdot (3-3) = 0$. Ответ: $0$ и $\\frac{3}{2}$.","step":1},{"id":"8","content":"Найдите все корни уравнения $y(3y + 12) = 0$.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$0$ и $4$","$-4$","$0$ и $-12$","$0$ и $-4$"],"explanations":["При переносе $12$ знак не сменили: получилось $3y = 12$. Нужно $3y = -12$, $y = -4$.","Корень $0$ потерян: множитель $y$ тоже может быть равен нулю.","Не разделили на коэффициент: из $3y = -12$ получается $y = -4$, а не $-12$.",""],"answer":[3]}},"hints":["Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.","$y = 0$ или $3y + 12 = 0$. Решите второе уравнение: $3y = -12$.","Ответ: $0$ и $-4$."],"explanation":"$y = 0$ или $3y + 12 = 0$, то есть $3y = -12$, $y = -4$. Проверка: $-4 \\cdot (3 \\cdot (-4) + 12) = -4 \\cdot 0 = 0$. Ответ: $0$ и $-4$.","step":1},{"id":"9","content":"Найдите значение выражения $99^2 + 99$, не возводя число в квадрат. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["9900","9 900"]}},"hints":["Представьте второе слагаемое как $99 \\cdot 1$: у обоих слагаемых общий множитель $99$.","$99^2 + 99 = 99 \\cdot (99 + 1)$.","$99 \\cdot 100 = 9900$. Ответ: $9900$."],"explanation":"$99^2 + 99 = 99 \\cdot 99 + 99 \\cdot 1 = 99 \\cdot (99 + 1) = 99 \\cdot 100 = 9900$. Единица в скобке — от слагаемого $99 = 99 \\cdot 1$.","step":1},{"id":"9","content":"Найдите значение выражения $101^2-101$, не возводя число в квадрат. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["10100","10 100"]}},"hints":["Представьте второе слагаемое как $101 \\cdot 1$: у обоих слагаемых общий множитель $101$.","$101^2-101 = 101 \\cdot (101-1)$.","$101 \\cdot 100 = 10100$. Ответ: $10100$."],"explanation":"$101^2-101 = 101 \\cdot 101-101 \\cdot 1 = 101 \\cdot (101-1) = 101 \\cdot 100 = 10100$. Единица в скобке — от слагаемого $101 = 101 \\cdot 1$.","step":1},{"id":"10","content":"Не вычисляя значение выражения $7^9-7^8 + 7^7$, определите, на какое из чисел оно делится.[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["На $42$","На $57$","На $43$","На $41$"],"explanations":["В скобке потеряна единица: от слагаемого $7^7$ остается $1$, поэтому $49-7 + 1 = 43$, а не $42$.","Знак у второго слагаемого минус: в скобке $49-7 + 1 = 43$, а не $49 + 7 + 1$.","","Знак у последнего слагаемого плюс: в скобке $49-7 + 1 = 43$, а не $49-7-1$."],"answer":[2]}},"hints":["Общий множитель — наименьшая степень $7^7$: $7^9 = 7^7 \\cdot 7^2$, $7^8 = 7^7 \\cdot 7$, $7^7 = 7^7 \\cdot 1$.","Тогда $7^9-7^8 + 7^7 = 7^7 \\cdot (49-7 + 1) = 7^7 \\cdot 43$.","В разложении есть множитель $43$. Ответ: на $43$."],"explanation":"$7^9-7^8 + 7^7 = 7^7 \\cdot 7^2-7^7 \\cdot 7 + 7^7 \\cdot 1 = 7^7 \\cdot (49-7 + 1) = 7^7 \\cdot 43$. Произведение содержит множитель $43$, поэтому значение делится на $43$. На $42$, $41$ и $57$ оно не делится: в разложении только семерки и $43$.","step":1},{"id":"10","content":"Не вычисляя значение выражения $5^8 + 5^7-5^6$, определите, на какое из чисел оно делится.[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["На $19$","На $31$","На $30$","На $29$"],"explanations":["Знак у второго слагаемого плюс: в скобке $25 + 5-1 = 29$, а не $25-5-1$.","Знак у последнего слагаемого минус: в скобке $25 + 5-1 = 29$, а не $25 + 5 + 1$.","В скобке потеряна единица: от слагаемого $5^6$ остается $1$, поэтому $25 + 5-1 = 29$, а не $30$.",""],"answer":[3]}},"hints":["Общий множитель — наименьшая степень $5^6$: $5^8 = 5^6 \\cdot 5^2$, $5^7 = 5^6 \\cdot 5$, $5^6 = 5^6 \\cdot 1$.","Тогда $5^8 + 5^7-5^6 = 5^6 \\cdot (25 + 5-1) = 5^6 \\cdot 29$.","В разложении есть множитель $29$. Ответ: на $29$."],"explanation":"$5^8 + 5^7-5^6 = 5^6 \\cdot 5^2 + 5^6 \\cdot 5-5^6 \\cdot 1 = 5^6 \\cdot (25 + 5-1) = 5^6 \\cdot 29$. Произведение содержит множитель $29$, поэтому значение делится на $29$. На $30$, $31$ и $19$ оно не делится: в разложении только пятерки и $29$.","step":1}]}</textarea></pre></div>