Разложение многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки

Часто при решении задач и уравнений необходимо упростить многочлен, то есть разложить его на множители. Вынесение общего множителя за скобки — один из способов такого разложения.

Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов. 

Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения.

Формула распределительного свойства умножения представления на рисунке 1:

Пример 1
Рассмотрим многочлен:

$\textcolor{blue}{12a^{2}b}\textcolor{green}{+8b^{2}}$

Заменим каждый его член на произведение двух множителей так, чтобы у них был один общий. В данном случае берём $\textcolor{orange}{4b}$, так как $4$ — наибольший общий делитель для $8$ и $12$, а общей переменной является только $b$ в первой степени. 

$\textcolor{blue}{12a^{2}b}\textcolor{green}{+8b^{2}}=\textcolor{orange}{4b}\cdot\textcolor{blue}{3a^{2}}\textcolor{orange}{+4b}\cdot\textcolor{green}{2b}$ 

На основе распределительного свойства умножения данное выражение можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых $\textcolor{orange}{4b}$, а второй — сумма $\textcolor{blue}{3a^{2}}$ и $\textcolor{green}{2b}$. Для этого выносим $\textcolor{orange}{4b}$ за скобки. Получаем выражение:

$\textcolor{orange}{4b}\cdot\textcolor{blue}{3a^{2}}\textcolor{orange}{+4b}\cdot\textcolor{green}{2b}=\textcolor{orange}{4b}\cdot(\textcolor{blue}{3a^{2}}\textcolor{green}{+2b})$ 

Таким образом, мы упростили изначальный многочлен, представив его в виде произведения одночлена $\textcolor{orange}{4b}$ и многочлена $(\textcolor{blue}{3a^{2}}\textcolor{green}{+2b})$:

$\textcolor{blue}{12a^{2}b}\textcolor{green}{+8b^{2}}=\textcolor{orange}{4b}\cdot(\textcolor{blue}{3a^{2}}\textcolor{green}{+2b})$

{"questions":[{"content":"Упростите следующий многочлен:<br />$21ab^{3}-28a^{2}$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$7a\\cdot(3b^{3}-4a)$","$7\\cdot(3b^{3}-4a)$","$7ab\\cdot(3b^{2}-4a)$","$7\\cdot(3b^{3}-4a^{2})$"],"explanations":["$21ab^{3}-28a^{2}=7\\cdot3ab^{3}-7\\cdot4a^{2}=7a\\cdot3b^{3}-7a\\cdot4a=7a\\cdot(3b^{3}-4a)$","","",""],"answer":[0]}}}]}

Пример 2
Разложим следующий многочлен на множители тем же способом:

$\textcolor{blue}{4a^{3}}\cdot(\textcolor{green}{3b}\textcolor{green}{-2})+\textcolor{orange}{5}\cdot(\textcolor{green}{3b}\textcolor{green}{-2})$

Здесь общий множитель — это выражение в скобках $(\textcolor{green}{3b}\textcolor{green}{-2})$, выносим его за скобки и получаем упрощённое выражение:

$(\textcolor{green}{3b}\textcolor{green}{-2})\cdot(\textcolor{blue}{4a^{3}}\textcolor{orange}{+5})$

{"questions":[{"content":"Упростите следующий многочлен:<br />$15b\\cdot(20a+c)-13a^{2}\\cdot(20a+c)$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(20a+c)\\cdot(15b+13a^{2})$","$(20a+c)\\cdot(15b-13a^{2})$","$20a^{2}\\cdot(15b-13a^{2})$","$(20a-c)\\cdot(15b-13a^{2})$"],"explanations":["","Выносим $(20a+c)$ за скобки","",""],"answer":[1]}}}]}

Пример 3
Разложим на множители многочлен:

$\textcolor{orange}{-10}\textcolor{blue}{a^{2}}\textcolor{green}{b^{3}}\textcolor{orange}{-15}\textcolor{blue}{a^{3}}\textcolor{green}{b^{2}}\textcolor{orange}{+20}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{b^{4}}$

В многочленах с целыми коэффициентами множитель, выносимый за скобки, выбирают так, чтобы члены множителя, оставшегося в скобках, не содержали общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих натуральных делителей, кроме $1$.

В предложенном многочлене следующие модули коэффициентов: $10$, $15$ и $20$. Их общий наибольший делитель — это $5$, поэтому в качестве коэффициента общего множителя берём число $\textcolor{orange}{5}$.

Также все члены многочлена содержат переменные $\textcolor{blue}{a}$ и $\textcolor{green}{b}$, которые входят в них в разных степенях. За скобки выносятся переменные с наименьшей степенью среди всех членом. Таким образом за скобки выносятся $\textcolor{blue}{a}$ и $\textcolor{green}{b^{2}}$.

Получаем упрощённый многочлен:

$\textcolor{orange}{-10}\textcolor{blue}{a^{2}}\textcolor{green}{b^{3}}\textcolor{orange}{-15}\textcolor{blue}{a^{3}}\textcolor{green}{b^{2}}\textcolor{orange}{+20}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{b^{4}}=\textcolor{orange}{5}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{b^{2}}\cdot(\textcolor{orange}{-2}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{b}\textcolor{orange}{-3}\textcolor{blue}{a^{2}}\textcolor{orange}{+4}\textcolor{green}{b^{2}})$

{"questions":[{"content":"Разложите многочлен на множители:<br />$8a^{2}b-16ab^{3}+64a^{2}b^{2}$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$8ab\\cdot(a-2b^{2}+8ab)$","$16ab\\cdot(a-2b^{2}+8ab)$","$8ab\\cdot(a+2b^{2}-8ab)$","$8\\cdot(ab-2b^{2}+8ab)$"],"explanations":["Выносим $8ab$ за скобки","","",""],"answer":[0]}}}]}