0 0 0
Личный кабинет Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Разложение многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки

Содержание

    Часто при решении задач и уравнений необходимо упростить многочлен, то есть разложить его на множители. Вынесение общего множителя за скобки — один из способов такого разложения.

    Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов. 

    Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения.

    Формула распределительного свойства умножения представления на рисунке 1:

    вынесение общего множителя за скобки
    Рисунок 1

    Пример 1
    Рассмотрим многочлен:

    $\textcolor{blue}{12a^{2}b}\textcolor{green}{+8b^{2}}$

    Заменим каждый его член на произведение двух множителей так, чтобы у них был один общий. В данном случае берём $\textcolor{orange}{4b}$, так как $4$ — наибольший общий делитель для $8$ и $12$, а общей переменной является только $b$ в первой степени. 

    $\textcolor{blue}{12a^{2}b}\textcolor{green}{+8b^{2}}=\textcolor{orange}{4b}\cdot\textcolor{blue}{3a^{2}}\textcolor{orange}{+4b}\cdot\textcolor{green}{2b}$ 

    На основе распределительного свойства умножения данное выражение можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых $\textcolor{orange}{4b}$, а второй — сумма $\textcolor{blue}{3a^{2}}$ и $\textcolor{green}{2b}$. Для этого выносим $\textcolor{orange}{4b}$ за скобки. Получаем выражение:

    $\textcolor{orange}{4b}\cdot\textcolor{blue}{3a^{2}}\textcolor{orange}{+4b}\cdot\textcolor{green}{2b}=\textcolor{orange}{4b}\cdot(\textcolor{blue}{3a^{2}}\textcolor{green}{+2b})$ 

    Таким образом, мы упростили изначальный многочлен, представив его в виде произведения одночлена $\textcolor{orange}{4b}$ и многочлена $(\textcolor{blue}{3a^{2}}\textcolor{green}{+2b})$:

    $\textcolor{blue}{12a^{2}b}\textcolor{green}{+8b^{2}}=\textcolor{orange}{4b}\cdot(\textcolor{blue}{3a^{2}}\textcolor{green}{+2b})$

    Пример 2
    Разложим следующий многочлен на множители тем же способом:

    $\textcolor{blue}{4a^{3}}\cdot(\textcolor{green}{3b}\textcolor{green}{-2})+\textcolor{orange}{5}\cdot(\textcolor{green}{3b}\textcolor{green}{-2})$

    Здесь общий множитель — это выражение в скобках $(\textcolor{green}{3b}\textcolor{green}{-2})$, выносим его за скобки и получаем упрощённое выражение:

    $(\textcolor{green}{3b}\textcolor{green}{-2})\cdot(\textcolor{blue}{4a^{3}}\textcolor{orange}{+5})$

    Пример 3
    Разложим на множители многочлен:

    $\textcolor{orange}{-10}\textcolor{blue}{a^{2}}\textcolor{green}{b^{3}}\textcolor{orange}{-15}\textcolor{blue}{a^{3}}\textcolor{green}{b^{2}}\textcolor{orange}{+20}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{b^{4}}$

    В многочленах с целыми коэффициентами множитель, выносимый за скобки, выбирают так, чтобы члены множителя, оставшегося в скобках, не содержали общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих натуральных делителей, кроме $1$.

    В предложенном многочлене следующие модули коэффициентов: $10$, $15$ и $20$. Их общий наибольший делитель — это $5$, поэтому в качестве коэффициента общего множителя берём число $\textcolor{orange}{5}$.

    Также все члены многочлена содержат переменные $\textcolor{blue}{a}$ и $\textcolor{green}{b}$, которые входят в них в разных степенях. За скобки выносятся переменные с наименьшей степенью среди всех членом. Таким образом за скобки выносятся $\textcolor{blue}{a}$ и $\textcolor{green}{b^{2}}$.

    Получаем упрощённый многочлен:

    $\textcolor{orange}{-10}\textcolor{blue}{a^{2}}\textcolor{green}{b^{3}}\textcolor{orange}{-15}\textcolor{blue}{a^{3}}\textcolor{green}{b^{2}}\textcolor{orange}{+20}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{b^{4}}=\textcolor{orange}{5}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{b^{2}}\cdot(\textcolor{orange}{-2}\textcolor{blue}{a}\textcolor{green}{b}\textcolor{orange}{-3}\textcolor{blue}{a^{2}}\textcolor{orange}{+4}\textcolor{green}{b^{2}})$

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии
    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение