Разложение многочлена на множители способом группировки

Обновленный урок по теме: «Разложение многочлена на множители способом группировки»

В этом методе для разложения многочлена на множители используется группировка его членов.

Для способа группировки применяют переместительный или сочетательный законы сложения.

Разложение на множители

Разложим многочлен на множители:

$\textcolor{blue}{x}\textcolor{green}{y}\textcolor{orange}{-4}\textcolor{green}{y}\textcolor{orange}{+2}\textcolor{blue}{x}\textcolor{orange}{-8}$

Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:

$(\textcolor{blue}{x}\textcolor{green}{y}\textcolor{orange}{-4}\textcolor{green}{y})\textcolor{orange}{+}(\textcolor{orange}{2}\textcolor{blue}{x}\textcolor{orange}{-8})$

В первой группе общий множитель — это $\textcolor{green}{y}$, во второй наибольший общий делитель, то есть $\textcolor{orange}{2}$.

Из первой группы за скобки вынесем $\textcolor{green}{y}$, из второй вынесем $\textcolor{orange}{2}$, получаем:

$(\textcolor{blue}{x}\textcolor{green}{y}\textcolor{orange}{-4}\textcolor{green}{y})\textcolor{orange}{+}(\textcolor{orange}{2}\textcolor{blue}{x}\textcolor{orange}{-8})=\textcolor{green}{y}(\textcolor{blue}{x}\textcolor{orange}{-4})\textcolor{orange}{+2}(\textcolor{blue}{x}\textcolor{orange}{-4})$

Получаем одинаковый множитель в скобках $(\textcolor{blue}{x}\textcolor{orange}{-4})$, который выносим за скобки и получаем окончательный ответ:

$\textcolor{blue}{x}\textcolor{green}{y}\textcolor{orange}{-4}\textcolor{green}{y}\textcolor{orange}{+}\textcolor{orange}{2}\textcolor{blue}{x}\textcolor{orange}{-8}=(\textcolor{blue}{x}\textcolor{orange}{-4})\cdot(\textcolor{green}{y}\textcolor{orange}{+2})$

Сгруппировать — значит при необходимости поменять члены многочлена местами и объединить их в группы, заключая в скобки.

Разложение с нечетным количеством членов

Количество членов не обязано быть четным: важно, чтобы члены разбивались на группы, у которых после вынесения общего множителя в скобках остается одно и то же выражение. Иногда для этого один из членов представляют в виде суммы. Рассмотрим пример с нечетным количеством членов:

$\textcolor{blue}{x^{2}}\textcolor{orange}{-5}\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{+6}$

Представим член $\textcolor{orange}{5}\textcolor{green}{x}$ в виде суммы $\textcolor{orange}{3}\textcolor{green}{x}$ и $\textcolor{orange}{2}\textcolor{green}{x}$, тогда получаем многочлен с четным количеством членов:

$\textcolor{blue}{x^{2}}\textcolor{orange}{-5}\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{+6}=\textcolor{blue}{x^{2}}\textcolor{orange}{-}(\textcolor{orange}{3}\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{+2}\textcolor{green}{x})\textcolor{orange}{+6}=\textcolor{blue}{x^{2}}\textcolor{orange}{-3}\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{-2}\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{+6}$

Далее выполняем уже знакомую группировку:

$\textcolor{blue}{x^{2}}\textcolor{orange}{-3}\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{-2}\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{+6}=(\textcolor{blue}{x^{2}}\textcolor{orange}{-3}\textcolor{green}{x})\textcolor{orange}{-}(\textcolor{orange}{2}\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{-6})=\textcolor{green}{x}(\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{-3})\textcolor{orange}{-2}(\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{-3})=(\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{-3})(\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{-2})$

Будьте внимательны со знаками!
Конечный ответ:

$\textcolor{blue}{x^{2}}\textcolor{orange}{-5}\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{+6}=(\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{-3})(\textcolor{green}{x}\textcolor{orange}{-2})$

{"questions":[{"content":"Разложите многочлен на множители:<br />$a^{2}+7a+10$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(a+5)\\cdot(a-2)$","$(a+5)\\cdot(a+2)$","$(a-5)\\cdot(a-2)$","$(a+5)\\cdot(a-5)$"],"explanations":["","$a^{2}+7a+10=a^{2}+5a+2a+10=(a^{2}+5a)+(2a+10)=a(a+5)+2(a+5)=(a+5)\\cdot(a+2)$","",""],"answer":[1]}}}]}

Часто задаваемые вопросы