Применение разложения на множители

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Решите уравнение $(x-3)(x+8)=0$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-3$ и $8$","$3$ и $-8$","$-3$ и $-8$","$3$ и $8$"],"explanations":["Знаки корней перепутаны: из $x-3=0$ получается $3$, из $x+8=0$ получается $-8$","","Из $x-3=0$ получается $3$: число переносят с плюсом","Из $x+8=0$ получается $-8$: число переносят с противоположным знаком"],"answer":[1]}},"hints":["Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.","Приравниваем каждый множитель к нулю и решаем.","Ответ: $3$ и $-8$."],"step":1},{"id":"1","content":"Решите уравнение $(y+4)(y-9)=0$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$4$ и $9$","$4$ и $-9$","$-4$ и $-9$","$-4$ и $9$"],"explanations":["Из $y+4=0$ получается $-4$: число переносят с противоположным знаком","Знаки корней перепутаны: из $y+4=0$ получается $-4$, из $y-9=0$ получается $9$","Из $y-9=0$ получается $9$: число переносят с плюсом",""],"answer":[3]}},"hints":["Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.","Приравниваем каждый множитель к нулю и решаем.","Ответ: $-4$ и $9$."],"step":1},{"id":"2","content":"Распределите числа: какие из них являются корнями уравнения $x(x+5)(x-2)=0$, а какие — нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Корень уравнения","Не корень"],"items":[["$0$","$-5$","$2$"],["$5$","$-2$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, — и множителей может быть три.","Найдите, при каком $x$ обращается в нуль каждый множитель: число из скобки берут с противоположным знаком. Множитель $x$ без скобки дает корень $0$.","Ответ: корни — $0$, $-5$, $2$; не корни — $5$, $-2$."],"step":1},{"id":"2","content":"Распределите числа: какие из них являются корнями уравнения $y(y-3)(y+6)=0$, а какие — нет.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Корень уравнения","Не корень"],"items":[["$0$","$3$","$-6$"],["$-3$","$6$"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, — и множителей может быть три.","Найдите, при каком $y$ обращается в нуль каждый множитель: число из скобки берут с противоположным знаком. Множитель $y$ без скобки дает корень $0$.","Ответ: корни — $0$, $3$, $-6$; не корни — $-3$, $6$."],"step":1},{"id":"3","content":"Решите уравнение $x^2-9x=0$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$9$","$0$ и $9$","$3$ и $-3$","$0$ и $-9$"],"explanations":["Обе части разделили на $x$: корень $0$ потерян","","Член $9x$ спутали с $9$: уравнение не имеет вида $x^2=9$","Из $x-9=0$ получается $9$"],"answer":[1]}},"hints":["Вынесите общий множитель $x$ за скобки: $x(x-9)=0$.","Произведение равно нулю: $x=0$ или $x-9=0$, то есть $x=9$.","Ответ: $0$ и $9$."],"step":1},{"id":"3","content":"Решите уравнение $y^2+4y=0$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$0$ и $-4$","$-4$","$2$ и $-2$","$0$ и $4$"],"explanations":["","Обе части разделили на $y$: корень $0$ потерян","Член $4y$ спутали с $4$: уравнение не имеет вида $y^2=4$","Из $y+4=0$ получается $-4$"],"answer":[0]}},"hints":["Вынесите общий множитель $y$ за скобки: $y(y+4)=0$.","Произведение равно нулю: $y=0$ или $y+4=0$, то есть $y=-4$.","Ответ: $0$ и $-4$."],"step":1},{"id":"4","content":"Вычислите удобным способом: $56\\cdot78+56\\cdot22$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5600"}},"hints":["Общий множитель $56$: $56\\cdot(78+22)$.","$56\\cdot100=5600$. Ответ: 5600."],"step":1},{"id":"4","content":"Вычислите удобным способом: $91\\cdot47-91\\cdot37$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"910"}},"hints":["Общий множитель $91$: $91\\cdot(47-37)$.","$91\\cdot10=910$. Ответ: 910."],"step":1},{"id":"5","content":"На какое из чисел делится значение выражения $4^8+4^7$ без вычислений?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["На $3$","На $11$","На $7$","На $5$"],"explanations":["В разложении $4^7\\cdot5$ нет множителя $3$: степени $4$ и число $5$ на $3$ не делятся","Сумма $4+1=5$, а не $11$: при выносе в скобке остается $5$","В разложении $4^7\\cdot5$ нет множителя $7$",""],"answer":[3]}},"hints":["Выносим общий множитель: $4^8+4^7=4^7\\cdot(4+1)=4^7\\cdot5$.","В произведении есть множитель $5$, а множителей $3$, $7$, $11$ нет. Ответ: на 5."],"step":1},{"id":"5","content":"На какое из чисел делится значение выражения $6^6-6^5$ без вычислений?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["На $5$","На $7$","На $13$","На $11$"],"explanations":["","В разложении $6^5\\cdot5$ нет множителя $7$","В скобке остается $6-1=5$; множителя $13$ в разложении нет","В скобке остается $6-1=5$, а не $11$"],"answer":[0]}},"hints":["Выносим общий множитель: $6^6-6^5=6^5\\cdot(6-1)=6^5\\cdot5$.","В разложении есть множитель $5$, а множителей $7$, $11$, $13$ нет. Ответ: на 5."],"step":1},{"id":"6","content":"Квадрат натурального числа равен его семикратному значению. Найдите это число. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Пусть число $x$: $x^2=7x$, то есть $x(x-7)=0$.","Корни: $0$ и $7$. Число $0$ не натуральное, поэтому подходит только $7$.","Ответ: 7."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Квадрат натурального числа равен его увеличенному в шесть раз значению. Найдите это число. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Пусть число $x$: $x^2=6x$, то есть $x(x-6)=0$.","Корни: $0$ и $6$. Число $0$ не натуральное, поэтому подходит только $6$.","Ответ: 6."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр решил уравнение $x^2=3x$ так: «Делим обе части на $x$, получаем $x=3$». Что верно?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Верно только $0$","Корней нет, так как делить на $x$ нельзя","Ошибки нет: корень один, $x=3$","Корень $x=0$ потерян, верно: $0$ и $3$"],"explanations":["Подстановка $x=3$ дает верное равенство, значит, $3$ тоже корень","Решение есть: $x=0$ и $x=3$ обращают уравнение в верное равенство","Подстановка $x=0$ дает $0=0$ — верное равенство, значит, $0$ тоже корень",""],"answer":[3]}},"hints":["Делить на $x$ можно, только если $x\\ne0$, а $x=0$ может быть корнем.","Переносим все влево и раскладываем: $x(x-3)=0$.","Ответ: $x=0$ или $x=3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр решил уравнение $2y^2=8y$ так: «Делим обе части на $y$, получаем $2y=8$, значит, $y=4$». Что верно?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Корней нет, так как делить на $y$ нельзя","Ошибки нет: корень один, $y=4$","Корень $y=0$ потерян, верно: $0$ и $4$","Верно только $0$"],"explanations":["Решение есть: $y=0$ и $y=4$ обращают уравнение в верное равенство","Подстановка $y=0$ дает $0=0$ — верное равенство, значит, $0$ тоже корень","","Подстановка $y=4$ дает верное равенство, значит, $4$ тоже корень"],"answer":[2]}},"hints":["Делить на $y$ можно, только если $y\\ne0$, а $y=0$ может быть корнем.","Переносим все влево и раскладываем: $2y(y-4)=0$.","Ответ: $y=0$ или $y=4$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите корни уравнения $(x-1)(x-4)=4$.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$0$ и $5$","$5$ и $8$","$5$","$1$ и $4$"],"explanations":["","Приравняли множители $x-1=4$ и $x-4=4$: так делают только при нуле справа","Корень $0$ потерян: после раскрытия скобок множитель $x$ тоже может быть нулем","Это корни уравнения $(x-1)(x-4)=0$, а справа не нуль"],"answer":[0]}},"hints":["Правая часть не нуль, поэтому приравнивать множители к числам нельзя.","Раскрываем скобки: $x^2-5x+4=4$, то есть $x^2-5x=0$, $x(x-5)=0$.","Ответ: $0$ и $5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите корни уравнения $(y+2)(y+5)=10$.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$8$ и $5$","$0$ и $-7$","$-7$","$-2$ и $-5$"],"explanations":["Приравняли множители $y+2=10$ и $y+5=10$: так делают только при нуле справа","","Корень $0$ потерян: после раскрытия скобок множитель $y$ тоже может быть нулем","Это корни уравнения $(y+2)(y+5)=0$, а справа не нуль"],"answer":[1]}},"hints":["Правая часть не нуль, поэтому приравнивать множители к числам нельзя.","Раскрываем скобки: $y^2+7y+10=10$, то есть $y^2+7y=0$, $y(y+7)=0$.","Ответ: $0$ и $-7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Известно, что $m+n=9$ и $mn=4$. Найдите значение выражения $m^2n+mn^2$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Найти $m$ и $n$ не нужно: разложите выражение на множители.","Общий множитель $mn$: $m^2n+mn^2=mn(m+n)$. Подставляем: $4\\cdot9$.","Ответ: 36."],"step":1},{"id":"9","content":"Известно, что $p-q=4$ и $pq=7$. Найдите значение выражения $p^2q-pq^2$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"28"}},"hints":["Найти $p$ и $q$ не нужно: разложите выражение на множители.","Общий множитель $pq$: $p^2q-pq^2=pq(p-q)$. Подставляем: $7\\cdot4$.","Ответ: 28."],"step":1},{"id":"10","content":"Сопоставьте выражения и их значения, найденные удобным способом. Одно значение лишнее.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$45\\cdot18+45\\cdot22+55\\cdot18+55\\cdot22$","$12\\cdot7+12\\cdot3+88\\cdot7+88\\cdot3$","$35\\cdot14+35\\cdot6+65\\cdot14+65\\cdot6$"],"items":["$4000$","$1000$","$2000$","$40$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и значение","hints":["Сгруппируйте слагаемые с одинаковыми множителями: $a\\cdot c+a\\cdot d+e\\cdot c+e\\cdot d=(a+e)(c+d)$.","Во всех выражениях $a+e=100$, поэтому значение равно $100\\cdot(c+d)$: $100\\cdot40$, $100\\cdot10$, $100\\cdot20$.","Ответ: $45\\cdot18+45\\cdot22+55\\cdot18+55\\cdot22$ $\\to$ $4000$; $12\\cdot7+12\\cdot3+88\\cdot7+88\\cdot3$ $\\to$ $1000$; $35\\cdot14+35\\cdot6+65\\cdot14+65\\cdot6$ $\\to$ $2000$; лишнее значение $40$ — это значение суммы скобок без множителя $100$."],"step":1},{"id":"10","content":"Сопоставьте выражения и их значения, найденные удобным способом. Одно значение лишнее.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$25\\cdot12+25\\cdot18+75\\cdot12+75\\cdot18$","$15\\cdot23+15\\cdot27+85\\cdot23+85\\cdot27$","$40\\cdot28+40\\cdot32+60\\cdot28+60\\cdot32$"],"items":["$3000$","$5000$","$6000$","$30$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и значение","hints":["Сгруппируйте слагаемые с одинаковыми множителями: $a\\cdot c+a\\cdot d+e\\cdot c+e\\cdot d=(a+e)(c+d)$.","Во всех выражениях $a+e=100$, поэтому значение равно $100\\cdot(c+d)$: $100\\cdot30$, $100\\cdot50$, $100\\cdot60$.","Ответ: $25\\cdot12+25\\cdot18+75\\cdot12+75\\cdot18$ $\\to$ $3000$; $15\\cdot23+15\\cdot27+85\\cdot23+85\\cdot27$ $\\to$ $5000$; $40\\cdot28+40\\cdot32+60\\cdot28+60\\cdot32$ $\\to$ $6000$; лишнее значение $30$ — это значение суммы скобок без множителя $100$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>