7 класс Алгебра Одночлены и многочлены Многочлены

Умножение многочлена на многочлен

Содержание

Вы уже умеете умножать одночлен на многочлен («Умножение одночлена на многочлен»): множитель достается каждому члену скобки. Теперь обе скобки — многочлены. В этом уроке увидим правило на прямоугольнике, разбитом на части, запишем его таблицей произведений, разберем знаки, умножим трехчлен на двучлен и решим уравнение, в котором после раскрытия скобок исчезает квадрат.

Две составные стороны дают четыре части

Возьмем прямоугольник из клеток: $13$ клеток в высоту и $16$ в длину. Разрежем высоту на $10$ и $3$, а длину — на $10$ и $6$. Два разреза делят прямоугольник на четыре части. Их площади: $10\cdot 10=100$, $10\cdot 6=60$, $3\cdot 10=30$ и $3\cdot 6=18$. Вместе $100+60+30+18=208$, и это действительно $13\cdot 16$.

Теперь заменим $10$ буквой $x$. Прямоугольник высотой $x+3$ и длиной $x+6$ тоже состоит из четырех частей. Квадрат $x\times x$ — это плитка $x^2$. Полоса $x\times 6$ — шесть полосок $x$, то есть $6x$. Полоса $3\times x$ — три полоски, $3x$. Угол $3\times 6$ — $18$ единичных квадратиков.

Два разреза делят прямоугольник на четыре части: числа 13·16=100+60+30+18 и буквы (x+3)(x+6)=x²+6x+3x+18 — Два разреза — четыре части: $13\cdot 16=100+60+30+18$ и $(x+3)(x+6)=x^2+6x+3x+18$

Складываем площади частей и приводим подобные. Полоски $6x$ и $3x$ — плитки одного вида, их $9$: $(x+3)(x+6)=x^2+9x+18$.

Рисовать прямоугольник каждый раз долго. Его заменяет таблица произведений: члены первого многочлена пишем слева от строк, члены второго — над столбцами, а в каждую клетку — произведение члена строки на член столбца. Клетка таблицы — это часть прямоугольника, только без масштаба.

	$x$	$6$
$x$	$x^2$	$6x$
$3$	$3x$	$18$

Подобные члены $6x$ и $3x$ стоят в таблице на одной диагонали. Это перекрестные члены — произведения первого члена одной скобки на второй член другой. Их два, и ни один нельзя потерять.

Ошибка

Как ошибаются. Перемножают только первые члены и последние члены: $(x+3)(x+6)=x^2+18$.

Проверка на числах. При $x=1$: $(1+3)(1+6)=4\cdot 7=28$, а $1+18=19$. Значения разные, значит, равенство неверно. Верный ответ $x^2+9x+18$ дает $1+9+18=28$.

Где ломается рассуждение. Разрезы делят прямоугольник на четыре части, а ошибка складывает только две — квадрат $x^2$ и угол $18$. Обе полосы, $6x$ и $3x$, теряются. В таблице это значит: заполнили одну диагональ и забыли другую.

Ошибка (x+3)(x+6)=x²+18: теряются две полосы, 6x и 3x; верный ответ x²+9x+18, при x=1 это 28 и 19 — Ошибка $x^2+18$ теряет обе полосы: $6x$ и $3x$

Вопрос урока

Квадратную клумбу со стороной $x$ м расширили: одну сторону удлинили на $6$ м, другую — на $1$ м. Площадь клумбы увеличилась на $41$ м². Какой была сторона клумбы? Кажется, что прибавка равна $6\cdot 1=6$ м² при любом $x$, и тогда $41$ м² получиться не может. Ответим в последнем разделе.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Прямоугольник со сторонами $x+2$ и $x+3$ разбит сеткой на четыре части. Чему равна его площадь?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/y2acmag9ctmq.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$x^2+6$","$x^2+6x+6$","$x^2+5x$","$x^2+5x+6$"],"explanations":["Перемножили только первые и последние члены: частей четыре, а не две","Коэффициенты $3$ и $2$ при $x$ перемножили, а подобные члены складывают: $3x+2x=5x$","Потерян член $2\\cdot3=6$: произведение последних членов тоже входит в результат",""],"answer":[3]}},"hints":["Площадь каждой части равна произведению ее сторон: по высоте $x$ или $2$, по длине $x$ или $3$.","Площади частей: $x^2$, $3x$, $2x$, $6$.","Складываем и приводим подобные: $3x+2x=5x$. Ответ: $x^2+5x+6$."],"step":1},{"content":"Решавр записал: $(x+8)(x+2)=x^2+16$. Верно ли он раскрыл скобки?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибка: потерян $8x$, верно $x^2+8x+16$","Ошибки нет: $x\\cdot x=x^2$ и $8\\cdot2=16$","Ошибка: потеряны $2x$ и $8x$, верно $x^2+10x+16$","Ошибка: потеряны $2x$ и $8x$, верно $x^2+10x$"],"explanations":["Перекрестных членов два: $8x$ и $2x$. Если добавить только $8x$, при $x=1$ получится $25$, а не $27$","При $x=1$ левая часть равна $9\\cdot3=27$, а $x^2+16$ равно $17$. Решавр сложил две части прямоугольника из четырех","","Перекрестные члены найдены верно, но потерян последний член $8\\cdot2=16$"],"answer":[2]}},"hints":["Прямоугольник со сторонами $x+8$ и $x+2$ разрезы делят на четыре части. Сколько частей учел Решавр?","Части: $x\\cdot x=x^2$, $x\\cdot2=2x$, $8\\cdot x=8x$, $8\\cdot2=16$. У Решавра только первая и последняя.","Ответ: ошибка, потеряны $2x$ и $8x$; верно $x^2+10x+16$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Каждый член одной скобки умножаем на каждый член другой

Почему частей всегда четыре? Умножим $(a+b)(c+d)$. Скобку $(c+d)$ можно считать одним множителем и раскрыть первую скобку, как в уроке «Умножение одночлена на многочлен»: $(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)$. Теперь раскрываем каждое произведение одночлена на многочлен: $ac+ad+bc+bd$. Каждый член первой скобки встретился с каждым членом второй.

Правило

Чтобы умножить многочлен на многочлен:

умножьте каждый член первого многочлена на каждый член второго, беря члены с их знаками;
сложите полученные произведения;
приведите подобные члены.

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

Сколько произведений должно получиться? Если в первом многочлене $m$ членов, а во втором $n$, то в таблице $m$ строк и $n$ столбцов, то есть $m\cdot n$ клеток. Для двух двучленов это $2\cdot 2=4$, для трехчлена и двучлена — $3\cdot 2=6$. Удобная проверка: если до приведения подобных у вас меньше произведений, какое-то потеряно.

Пример

Выполним умножение $(3a+2)(2a+1)$ и проверим ответ подстановкой.

Произведений $2\cdot 2=4$: $3a\cdot 2a=6a^2$; $\;3a\cdot 1=3a$; $\;2\cdot 2a=4a$; $\;2\cdot 1=2$.

Складываем и приводим подобные: $6a^2+3a+4a+2=6a^2+7a+2$.

Проверка при $a=2$. Исходное выражение: $(6+2)(4+1)=8\cdot 5=40$. Результат: $6\cdot 4+7\cdot 2+2=24+14+2=40$. Значения совпали.

Ответ: $6a^2+7a+2$.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте произведения и многочлены. Один многочлен лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$(2x+1)(x+3)$","$(2x+3)(x+1)$","$(2x+1)(x+1)$"],"items":["$2x^2+7x+3$","$2x^2+5x+3$","$2x^2+3x+1$","$2x^2+3$"]}},"instruction":"Соотнесите произведение и многочлен","hints":["В таблице каждого произведения четыре клетки. У первых двух произведений одинаковые клетки $2x^2$ и $3$ — их различают перекрестные члены.","$(2x+1)(x+3)$: перекрестные члены $6x+x=7x$; $(2x+3)(x+1)$: $2x+3x=5x$; $(2x+1)(x+1)$: $2x+x=3x$.","Ответ: $(2x+1)(x+3)=2x^2+7x+3$, $(2x+3)(x+1)=2x^2+5x+3$, $(2x+1)(x+1)=2x^2+3x+1$; лишний $2x^2+3$ — в нем перемножены только первые и последние члены."],"step":1},{"content":"Раскройте скобки: $(a+b)(a+b)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a^2+ab+b^2$","$a^2+b^2$","$a^2+2ab+b^2$","$2a+2b$"],"explanations":["Один из перекрестных членов потерян: их два, и они одинаковые","Перекрестные члены $ab$ и $ba$ потеряны: частей четыре, а не две","","Скобки сложили, а не перемножили: $(a+b)+(a+b)=2a+2b$"],"answer":[2]}},"hints":["Это квадрат со стороной $a+b$: разрезы делят его на четыре части.","Части: $a\\cdot a=a^2$, $a\\cdot b=ab$, $b\\cdot a=ab$, $b\\cdot b=b^2$. Две средние части одинаковые.","Приводим подобные: $ab+ab=2ab$. Ответ: $a^2+2ab+b^2$."],"step":1}],"mix":1}

Знак каждой клетки определяем отдельно

Прямоугольник объяснил, почему произведений четыре. Но длины не бывают отрицательными, поэтому для скобки вида $(x-2)$ площадь знаки не покажет. Здесь работает правило знаков из урока «Умножение одночлена на многочлен»: член берем вместе с его знаком; при одинаковых знаках множителей произведение положительно, при разных — отрицательно.

В таблице это удобно делать так: члены строк и столбцов пишем со знаками, а знак клетки определяем по знакам ее строки и столбца. Например, для $(x-2)(x+7)$ строки — $x$ и $-2$, столбцы — $x$ и $7$. Клетки: $x^2$, $7x$, $-2x$, $-14$. Итог: $x^2+5x-14$.

Таблица для (x−2)(x+7): знак клетки задают знаки строки и столбца; −2·7=−14; итог x²+5x−14; ниже — ошибка знака в клетке −3·(−4): зачеркнуто −12, верно +12 — Знак клетки — по знакам ее строки и столбца: $-2\cdot 7=-14$

Пример

Выполним умножение $(2y-3)(y-4)$. Здесь минус в обеих скобках.

Строки: $2y$ и $-3$; столбцы: $y$ и $-4$.

Клетки: $2y\cdot y=2y^2$; $\;2y\cdot(-4)=-8y$; $\;-3\cdot y=-3y$; $\;-3\cdot(-4)=12$ (два минуса дают плюс).

Приводим подобные: $-8y-3y=-11y$. Получаем $2y^2-11y+12$.

Проверка при $y=2$. Исходное выражение: $(4-3)(2-4)=1\cdot(-2)=-2$. Результат: $8-22+12=-2$. Совпало.

Ответ: $2y^2-11y+12$.

Ошибка

Как ошибаются. В клетке двух отрицательных чисел оставляют минус: $(2y-3)(y-4)=2y^2-11y-12$.

Проверка на числах. При $y=2$ исходное выражение равно $-2$, а $8-22-12=-26$.

Где ломается рассуждение. Минус в скобке относится к своему члену, а знак клетки зависит от двух множителей. В клетке $-3\cdot(-4)$ оба множителя отрицательны, и произведение положительно: $+12$.

tablica-proizvedenij

Для $(x+a)(x+b)$ перекрестные клетки $ax$ и $bx$ дают $(a+b)x$, а нижняя правая клетка — $ab$.

{"questions":[{"content":"Иксератопс заполнил таблицу произведений для $(y-4)(y+6)$. В клетках у него $y^2$, $6y$, $-4y$ и $24$, итог $y^2+2y+24$. В какой клетке ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В клетке $y\\cdot6$: должно быть $-6y$","В клетке $-4\\cdot6$: должно быть $-24$","Ошибок нет: итог $y^2+2y+24$ верен","В клетке $-4\\cdot y$: должно быть $4y$"],"explanations":["Оба множителя, $y$ и $6$, со знаком плюс, поэтому $y\\cdot6=6y$ записано верно","","При $y=1$ исходное произведение $(-3)\\cdot7=-21$, а $y^2+2y+24$ равно $27$: ошибка есть","Знаки множителей разные, поэтому $-4\\cdot y=-4y$ записано верно"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте знак в каждой клетке: при одинаковых знаках множителей произведение положительно, при разных — отрицательно.","В клетке $-4\\cdot6$ знаки множителей разные, а записано $24$ со знаком плюс.","Ответ: в клетке $-4\\cdot6$, должно быть $-24$; итог $y^2+2y-24$."],"step":1},{"content":"Раскройте скобки и выберите пропущенный член: $(m-5)(m+3)=m^2-2m$[[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$-15m$","$-15$","$-2$","$+15$"],"answer":1}},"hints":["В $m^2-2m$ уже вошли три клетки таблицы: $m^2$, $3m$ и $-5m$. Не хватает клетки двух чисел.","Числа $-5$ и $3$ имеют разные знаки, значит, их произведение отрицательно.","Ответ: $-15$."],"step":1},{"content":"Раскройте скобки и приведите подобные: $(2a-1)(a+4)$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$2a^2-4$","$2a^2+7a-4$","$2a^2+7a+4$","$2a^2+7a$"],"explanations":["Перемножили только первые и последние члены: в произведении двучленов четыре части, а не две","","Знак произведения последних членов изменен: должно быть $-4$","Потерян член $-4$: произведение последних членов тоже входит в результат"],"answer":[1]}},"hints":["Составьте таблицу произведений: члены первой скобки — строки, второй — столбцы. Клеток $2\\cdot2=4$, член берем со своим знаком.","В клетках: $2a^2$, $8a$, $-a$, $-4$. Подобные — две средние клетки.","Приводим подобные. Ответ: $2a^2+7a-4$."],"step":1}],"mix":1}

Больше членов — больше клеток, а правило то же

Если в первой скобке три члена, а во второй два, таблица получится из трех строк и двух столбцов — шесть клеток. Нового правила не нужно: каждый член умножаем на каждый. Новое только одно — подобных членов больше, и их надо собрать, ничего не пропустив.

Помогает порядок. Запишем члены обоих многочленов по убыванию степеней. Если степени в каждом многочлене идут подряд, без пропусков (как в $x^2-x+3$ и $x+2$), то при шаге по таблице влево степень клетки растет на $1$, а при шаге вниз — падает на $1$. Значит, вдоль диагонали «из правого верхнего угла в левый нижний» степень не меняется: подобные члены стоят на одной диагонали. Если степень пропущена, подобные члены тоже есть, но ищите их по виду, а не по диагонали.

Трехчлен на двучлен: шесть клеток, подобные члены на диагоналях; (x²−x+3)(x+2)=x³+x²+x+6 — Шесть клеток, подобные — на одной диагонали: $x^3+x^2+x+6$

Пример

Выполним умножение $(x^2-x+3)(x+2)$.

Произведений $3\cdot 2=6$. Строки: $x^2$, $-x$, $3$; столбцы: $x$, $2$.

Клетки по строкам: $x^3$ и $2x^2$; $\;-x^2$ и $-2x$; $\;3x$ и $6$.

Собираем по диагоналям: $x^3$; $\;2x^2-x^2=x^2$; $\;-2x+3x=x$; $\;6$.

Проверка при $x=2$. Исходное выражение: $(4-2+3)(2+2)=5\cdot 4=20$. Результат: $8+4+2+6=20$. Совпало.

Ответ: $x^3+x^2+x+6$.

{"questions":[{"content":"Таблица произведений для $(x^2+4x-2)(x-3)$ содержит шесть клеток. Распределите их по видам членов, которые в них получатся.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Вид $x^3$","Вид $x^2$","Вид $x$","Число"],"items":[["$x^2\\cdot x$"],["$x^2\\cdot (-3)$","$4x\\cdot x$"],["$4x\\cdot (-3)$","$-2\\cdot x$"],["$-2\\cdot (-3)$"]]}},"instruction":"Распределите произведения по группам","hints":["Вид члена зависит от того, сколько множителей $x$ в нем окажется: у $x^2\\cdot x$ их три, получится $x^3$.","$x^2\\cdot(-3)=-3x^2$ и $4x\\cdot x=4x^2$ — вид $x^2$; $4x\\cdot(-3)=-12x$ и $-2\\cdot x=-2x$ — вид $x$; $-2\\cdot(-3)=6$ — число.","Ответ: вид $x^3$ — $x^2\\cdot x$; вид $x^2$ — $x^2\\cdot(-3)$, $4x\\cdot x$; вид $x$ — $4x\\cdot(-3)$, $-2\\cdot x$; число — $-2\\cdot(-3)$. Итог: $x^3+x^2-14x+6$."],"step":1},{"content":"Раскройте скобки и приведите подобные: $(a^2-2a+1)(a-3)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a^3-5a^2+6a-3$","$a^3-5a^2+7a-3$","$a^3-5a^2-5a-3$","$a^3-5a^2+7a+3$"],"explanations":["Потерян член $1\\cdot a=a$: каждый член умножают на каждый","","Знак у $-2a\\cdot(-3)=+6a$ потерян","Знак у $1\\cdot(-3)=-3$ изменен"],"answer":[1]}},"hints":["Каждый из трех членов умножаем на каждый из двух: шесть произведений.","$a^3-3a^2-2a^2+6a+a-3$.","Приводим подобные: $a^3-5a^2+7a-3$. Ответ: $a^3-5a^2+7a-3$."],"step":1}],"mix":1}

После раскрытия скобок квадрат может исчезнуть

Произведения многочленов часто стоят в выражении не одни. Тогда действуем по порядку: раскрываем каждое произведение; если произведение вычитается, берем его результат в скобки и раскрываем их с минусом, как в уроке «Сложение и вычитание многочленов»; приводим подобные.

Пример

Найдем значение выражения $(x+7)(x-3)-x(x+2)$ при $x=100$.

Первое произведение: $(x+7)(x-3)=x^2-3x+7x-21=x^2+4x-21$.

Второе: $x(x+2)=x^2+2x$.

Вычитаем второе целиком: $x^2+4x-21-(x^2+2x)=x^2+4x-21-x^2-2x=2x-21$.

При $x=100$: $2\cdot 100-21=179$.

Проверка по исходному выражению: $107\cdot 97-100\cdot 102=10\,379-10\,200=179$. Совпало, но упрощать было легче, чем умножать трехзначные числа.

Ответ: $179$.

Квадраты $x^2$ и $-x^2$ уничтожились: в обоих произведениях была ровно одна плитка $x^2$. Так бывает и в уравнениях. Уравнение с произведениями скобок после упрощения часто становится линейным, а такие вы уже умеете решать.

Теперь ответим на вопрос урока. Новая клумба — прямоугольник со сторонами $x+6$ и $x+1$, старая — квадрат $x\times x$. Старый квадрат остался внутри новой клумбы, а прибавка — это все, что вокруг него.

Клумба: прибавка к квадрату x² это две полосы и угол, 6x+x+6=7x+6; догадка 6·1 берет только угол; x=5 — Прибавка — две полосы и угол: $6x+x+6=7x+6$, а не $6\cdot 1=6$

Задача

Прибавка площади равна $41$ м², поэтому $(x+6)(x+1)-x^2=41$.

Раскрываем скобки: $x^2+x+6x+6-x^2=41$. Квадраты уничтожаются: $7x+6=41$, откуда $7x=35$, $x=5$.

Проверка: новая клумба $11$ м на $6$ м, ее площадь $66$ м²; старая — $25$ м²; прибавка $66-25=41$ м².

Ответ: $5$ м.

Догадка «прибавка равна $6\cdot 1=6$ м²» — это главная ошибка урока. Она учитывает только угол $6\times 1$ и теряет обе полосы вдоль сторон старой клумбы: $6x$ и $x$.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $(x+4)(x-5)-x(x-2)$ при $x=100$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"80"}},"hints":["Раскройте скобки в каждом произведении отдельно; второе произведение вычитается целиком — возьмите его в скобки.","$(x+4)(x-5)=x^2-x-20$; $x(x-2)=x^2-2x$. Разность: $x^2-x-20-(x^2-2x)=x-20$.","При $x=100$: $100-20=80$. Ответ: 80."],"step":1},{"content":"На участке со сторонами $x+3$ м и $x+2$ м построили квадратный бассейн со стороной $x$ м. Какой многочлен выражает площадь свободной части?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$6x+6$","$5x+6$","$5x+5$","$x^2+5x+6$"],"explanations":["Коэффициенты перекрестных членов перемножили: $3\\cdot2=6$, а члены $3x$ и $2x$ складывают: $5x$","","Свободный член $3\\cdot2=6$ посчитали как $3+2=5$: члены перемножают","Площадь бассейна не вычли: найдена площадь всего участка"],"answer":[1]}},"hints":["Свободная часть — это участок без бассейна: из площади участка вычтите площадь бассейна.","Площадь участка: $(x+3)(x+2)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$. Площадь бассейна: $x^2$.","Вычитаем: $x^2+5x+6-x^2=5x+6$. Ответ: $5x+6$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите корень уравнения $(x+1)(x+2)=x(x+5)+8$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Раскрываем скобки: $x^2+3x+2=x^2+5x+8$.","Квадраты уничтожаются: $3x+2=5x+8$, то есть $-2x=6$.","Ответ: $x=-3$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Случай	Что делаем	Как вспомнить по модели
$(a+b)(c+d)$	умножаем каждый член на каждый	два разреза — четыре части прямоугольника
перекрестные члены	не теряем оба, складываем подобные	две полосы вдоль сторон квадрата
в скобках есть минусы	знак клетки — по знакам строки и столбца	отрицательной длины нет — работает правило знаков
трехчлен на двучлен	$3\cdot 2=6$ произведений, подобные — по диагоналям	больше разрезов — больше клеток
выражение или уравнение с произведениями	раскрываем, вычитаем целиком, приводим подобные	одинаковые плитки $x^2$ уходят при вычитании

Вывод

Умножение многочленов нужно, чтобы упрощать выражения, находить их значения, решать уравнения и записывать площади фигур с составными сторонами. Главное — помнить прямоугольник: разрезы делят его на части, и каждая часть — произведение члена одной стороны на член другой. Сколько частей, столько и произведений до приведения подобных.

Дальше этот же прямоугольник прочитаем в обратную сторону: по четырем частям восстановим две стороны («Способ группировки»).

Часто задаваемые вопросы

Почему нельзя перемножить только первые члены и последние?

Две составные стороны делят прямоугольник на четыре части, а первые и последние члены дают только две из них — квадрат и угол. Две полосы при этом теряются. Проверить легко: подставьте число и сравните значения до и после раскрытия скобок.

Как быстро проверить, что скобки раскрыты верно?

Сначала посчитайте произведения: у двух двучленов их должно быть $4$, у трехчлена и двучлена — $6$. Затем подставьте одно и то же число в исходное выражение и в ответ. Лучше брать $2$ или $3$: при $x=0$ ошибка «первые и последние» не видна, ведь $(x+3)(x+6)$ и $x^2+18$ оба дают $18$.

Важно ли, какую скобку записать первой?

Нет: $(x+3)(x+6)=(x+6)(x+3)$. Если поменять скобки местами, строки и столбцы таблицы поменяются ролями, а клетки останутся теми же.

Как умножить три многочлена, например $(x+1)(x+2)(x+3)$?

По очереди. Сначала $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$, потом результат умножаем на третью скобку: $(x^2+3x+2)(x+3)=x^3+6x^2+11x+6$. Проверка при $x=1$: $2\cdot 3\cdot 4=24$ и $1+6+11+6=24$.

Зачем таблица, если можно раскрывать скобки по стрелкам?

Для двух двучленов хватает и стрелок. Когда членов больше, таблица помогает не пропустить ни одного произведения: клеток ровно $m\cdot n$. А подобные члены в ней стоят на одной диагонали, и их легко собрать.

Награды за урок