Умножение многочленов
Умножение многочлена на одночлен
Чтобы умножить многочлен на одночлен, применяется распределительный закон умножения, а именно:
$$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b})\cdot \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{c} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{green}{c}$$
Рассмотрим на примере:
$$(\textcolor{blue}{3a^{2}}-\textcolor{purple}{2ab})\cdot \textcolor{green}{-4a}$$
Воспользовавшись распределительным законом умножения, получаем:
$$\textcolor{blue}{3a^{2}} \cdot \textcolor{green}{-4a} + \textcolor{purple}{(-2ab)} \cdot \textcolor{green}{-4a}$$
В итоге получаем произведения одночленов:
$$-12a^{3} + 8a^{2}b$$
Чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена умножить на данный одночлен, а затем сложить полученные произведения.
Данное правило также действует и при умножении одночлена на многочлен. Возьмем наш пример, но поменяем местами множители:
$\textcolor{red}{-4a}(\textcolor{blue}{3a^{2}} – \textcolor{green}{2ab}) = (\textcolor{red}{-4a})\cdot \textcolor{blue}{3a^{2}} + (\textcolor{red}{-4a}) \cdot (\textcolor{green}{-2ab}) = -12a^{3} + 8a^{2}b$
Умножение многочлена на многочлен
Зная, как умножается многочлен на одночлен, можем вывести правило умножения двух многочленов. Для примера рассмотрим умножение двучленов $a + b$ и $c + d$:
$$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b}) \cdot ( \textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d} )$$
Начать необходимо с раскрытия скобок в данном произведении.
Пусть $( \textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d} ) = \textcolor{orange}{x}$, тогда:
$$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b}) \cdot \textcolor{orange}{x} = \textcolor{blue}{a} \textcolor{orange}{x} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{orange}{x}$$
Так как $ \textcolor{orange}{x} = \textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d}$, получаем:
$$ \textcolor{blue}{a} \textcolor{orange}{x} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{orange}{x} = \textcolor{blue}{a} (\textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d}) + \textcolor{purple}{b} (\textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d}) = \textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{c} + \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{d} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{green}{c} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{red}{d}$$
Чтобы умножить один многочлен на другой, необходимо каждый член одного многочлена поочередно умножить на каждый член другого многочлена, а затем сложить полученные произведения.
Например:
$$(\textcolor{blue}{x} + \textcolor{lightblue}{y})\cdot(\textcolor{red}{a} + \textcolor{green}{b} + \textcolor{orange}{c}) = \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{x}\textcolor{green}{b} + \textcolor{blue}{x} \textcolor{orange}{c} + \textcolor{lightblue}{y}\textcolor{red}{a} + \textcolor{lightblue}{y}\textcolor{green}{b} + \textcolor{lightblue}{y} \textcolor{orange}{c}$$
Хотите оставить комментарий?
Войти