Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Умножение многочленов

Содержание

    Умножение многочлена на одночлен

    Чтобы умножить многочлен на одночлен, применяется распределительный закон умножения, а именно:

    $$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b})\cdot \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{c} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{green}{c}$$

    Рассмотрим на примере:

    $$(\textcolor{blue}{3a^{2}}-\textcolor{purple}{2ab})\cdot \textcolor{green}{-4a}$$

    Воспользовавшись распределительным законом умножения, получаем:

    $$\textcolor{blue}{3a^{2}} \cdot \textcolor{green}{-4a} + \textcolor{purple}{(-2ab)} \cdot \textcolor{green}{-4a}$$

    В итоге получаем произведения одночленов:

    $$-12a^{3} + 8a^{2}b$$

    Чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена умножить на данный одночлен, а затем сложить полученные произведения.

    Данное правило также действует и при умножении одночлена на многочлен. Возьмем наш пример, но поменяем местами множители:

    $\textcolor{red}{-4a}(\textcolor{blue}{3a^{2}} – \textcolor{green}{2ab}) = (\textcolor{red}{-4a})\cdot \textcolor{blue}{3a^{2}} + (\textcolor{red}{-4a}) \cdot (\textcolor{green}{-2ab}) = -12a^{3} + 8a^{2}b$

    Умножение многочлена на многочлен

    Зная, как умножается многочлен на одночлен, можем вывести правило умножения двух многочленов. Для примера рассмотрим умножение двучленов $a + b$ и $c + d$:

    $$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b}) \cdot ( \textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d} )$$

    Начать необходимо с раскрытия скобок в данном произведении.
    Пусть $( \textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d} ) = \textcolor{orange}{x}$, тогда:

    $$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b}) \cdot \textcolor{orange}{x} = \textcolor{blue}{a} \textcolor{orange}{x} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{orange}{x}$$

    Так как $ \textcolor{orange}{x} = \textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d}$, получаем:

    $$ \textcolor{blue}{a} \textcolor{orange}{x} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{orange}{x} = \textcolor{blue}{a} (\textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d}) + \textcolor{purple}{b} (\textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d}) = \textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{c} + \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{d} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{green}{c} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{red}{d}$$

    Чтобы умножить один многочлен на другой, необходимо каждый член одного многочлена поочередно умножить на каждый член другого многочлена, а затем сложить полученные произведения.

    Например:

    $$(\textcolor{blue}{x} + \textcolor{lightblue}{y})\cdot(\textcolor{red}{a} + \textcolor{green}{b} + \textcolor{orange}{c}) = \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{x}\textcolor{green}{b} + \textcolor{blue}{x} \textcolor{orange}{c} + \textcolor{lightblue}{y}\textcolor{red}{a} + \textcolor{lightblue}{y}\textcolor{green}{b} + \textcolor{lightblue}{y} \textcolor{orange}{c}$$

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение