Умножение многочленов

Умножение многочлена на одночлен

Чтобы умножить многочлен на одночлен, применяется распределительный закон умножения, а именно:

$$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b})\cdot \textcolor{green}{c} = \textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{c} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{green}{c}$$

Рассмотрим на примере:

$$(\textcolor{blue}{3a^{2}}-\textcolor{purple}{2ab})\cdot \textcolor{green}{-4a}$$

Воспользовавшись распределительным законом умножения, получаем:

$$\textcolor{blue}{3a^{2}} \cdot \textcolor{green}{-4a} + \textcolor{purple}{(-2ab)} \cdot \textcolor{green}{-4a}$$

В итоге получаем произведения одночленов:

$$-12a^{3} + 8a^{2}b$$

Чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена умножить на данный одночлен, а затем сложить полученные произведения.

Данное правило также действует и при умножении одночлена на многочлен. Возьмем наш пример, но поменяем местами множители:

$\textcolor{red}{-4a}(\textcolor{blue}{3a^{2}} – \textcolor{green}{2ab}) = (\textcolor{red}{-4a})\cdot \textcolor{blue}{3a^{2}} + (\textcolor{red}{-4a}) \cdot (\textcolor{green}{-2ab}) = -12a^{3} + 8a^{2}b$

{"questions":[{"content":"$3x(xy+2) =$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4xy+6x$","$3x^2y+6x$","$6xy+6x$","$3xy+6x$"],"explanations":["","$\\textcolor{blue}{3x} (\\textcolor{green}{xy} + \\textcolor{orange}2) = \\textcolor{blue}{3x} \\cdot \\textcolor{green}{xy} + \\textcolor{blue}{3x} \\cdot \\textcolor{orange}2$","",""],"answer":[1]}}}]}

Умножение многочлена на многочлен

Зная, как умножается многочлен на одночлен, можем вывести правило умножения двух многочленов. Для примера рассмотрим умножение двучленов $a + b$ и $c + d$:

$$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b}) \cdot ( \textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d} )$$

Начать необходимо с раскрытия скобок в данном произведении.
Пусть $( \textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d} ) = \textcolor{orange}{x}$, тогда:

$$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{purple}{b}) \cdot \textcolor{orange}{x} = \textcolor{blue}{a} \textcolor{orange}{x} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{orange}{x}$$

Так как $ \textcolor{orange}{x} = \textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d}$, получаем:

$$ \textcolor{blue}{a} \textcolor{orange}{x} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{orange}{x} = \textcolor{blue}{a} (\textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d}) + \textcolor{purple}{b} (\textcolor{green}{c} + \textcolor{red}{d}) = \textcolor{blue}{a} \textcolor{green}{c} + \textcolor{blue}{a} \textcolor{red}{d} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{green}{c} + \textcolor{purple}{b} \textcolor{red}{d}$$

Чтобы умножить один многочлен на другой, необходимо каждый член одного многочлена поочередно умножить на каждый член другого многочлена, а затем сложить полученные произведения.

Например:

$$(\textcolor{blue}{x} + \textcolor{lightblue}{y})\cdot(\textcolor{red}{a} + \textcolor{green}{b} + \textcolor{orange}{c}) = \textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{x}\textcolor{green}{b} + \textcolor{blue}{x} \textcolor{orange}{c} + \textcolor{lightblue}{y}\textcolor{red}{a} + \textcolor{lightblue}{y}\textcolor{green}{b} + \textcolor{lightblue}{y} \textcolor{orange}{c}$$

{"questions":[{"content":"Выполните умножение многочленов:<br />$x^{2}-4x+1$ <br /> $2x-2$[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$2x^{3}-10x^{2}+10x-2$","$2x^{3}+10x^{2}-10x-2$","$4x^{3}-6x^{2}-8x+2$","$4x^{3}+6x^{2}+10x-2$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$p_1(x)\\cdot p_2(x)=(\\textcolor{blue}{x^{2}}-\\textcolor{lightblue}{4x}+\\textcolor{gray}1)\\cdot(\\textcolor{coral}{2x}-\\textcolor{orange}2)$","$(\\textcolor{blue}{x^{2}}-\\textcolor{lightblue}{4x}+\\textcolor{gray}1)\\cdot(\\textcolor{coral}{2x}-\\textcolor{orange}2)=(\\textcolor{blue}{x^{2}}\\cdot\\textcolor{coral}{2x}+\\textcolor{blue}{x^{2}}\\cdot(\\textcolor{orange}{-2})+(\\textcolor{lightblue}{-4x})\\cdot\\textcolor{coral}{2x}+(\\textcolor{lightblue}{-4x})\\cdot(\\textcolor{orange}{-2})+\\textcolor{gray}1\\cdot\\textcolor{coral}{2x}+\\textcolor{gray}1\\cdot(\\textcolor{orange}{-2})$<br />","$(\\textcolor{blue}{x^{2}}\\cdot\\textcolor{coral}{2x}+\\textcolor{blue}{x^{2}}\\cdot(\\textcolor{orange}{-2})+(\\textcolor{lightblue}{-4x})\\cdot\\textcolor{coral}{2x}+(\\textcolor{lightblue}{-4x})\\cdot(\\textcolor{orange}{-2})+\\textcolor{gray}1\\cdot\\textcolor{coral}{2x}+\\textcolor{gray}1\\cdot(\\textcolor{orange}{-2})=\\textcolor{purple}{2x^{3}}-\\textcolor{blue}{2x^{2}}-\\textcolor{blue}{8x^{2}}+\\textcolor{lightblue}{8x}+\\textcolor{lightblue}{2x}-\\textcolor{gray}2$<br />","$\\textcolor{purple}{2x^{3}}-\\textcolor{blue}{2x^{2}}-\\textcolor{blue}{8x^{2}}+\\textcolor{lightblue}{8x}+\\textcolor{lightblue}{2x}-\\textcolor{gray}2=\\textcolor{purple}{2x^{3}}-\\textcolor{blue}{10x^{2}}+\\textcolor{lightblue}{10x}-\\textcolor{gray}2$"]}],"mix":1}