Сумма кубов и разность кубов

Обновленный урок по теме: «Сумма и разность кубов»

На этом уроке выведем формулы суммы и разности кубов и научимся применять их для умножения и разложения многочленов на множители.

Попробуем умножить $a+b\space$ на $\space a^2-ab+b^2$:

$(\textcolor{blue}{a+b})(\textcolor{darkgreen}{a^2-ab+b^2})=\newline \textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{darkgreen}{a^2}-\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{darkgreen}{ab}+\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{darkgreen}{b^2}+\textcolor{blue}{b}\cdot \textcolor{darkgreen}{a^2} — \textcolor{blue}{b}\cdot \textcolor{darkgreen}{ab}+\textcolor{blue}{b}\cdot \textcolor{darkgreen}{b^2}= \newline a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3$

Теперь умножим $a-b\space$ на $\space a^2+ab+b^2$:

$(\textcolor{blue}{a-b})(\textcolor{darkgreen}{a^2+ab+b^2})= \newline \textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{darkgreen}{a^2}+\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{darkgreen}{ab}+\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{darkgreen}{b^2}-\textcolor{blue}{b}\cdot \textcolor{darkgreen}{a^2} — \textcolor{blue}{b}\cdot \textcolor{darkgreen}{ab}-\textcolor{blue}{b}\cdot \textcolor{darkgreen}{b^2}= \newline a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$

Из этого мы с вами получаем две формулы:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Для этих формул предусмотрены специальные названия: сумма кубов и разность кубов.

Вы наверняка обратили внимание на то, что выражения $a^2+ab+b^2\space$ и $\space a^2-ab+b^2$ похожи на выражения из формул квадрата суммы и квадрата разности, а именно $a^2+2ab+b^2\space$ и $\space a^2-2ab+b^2$.

Полный и неполный квадрат

Для того чтобы отличать эти выражения, выражению $a^2+2ab+b^2$ дано название полного квадрата суммы, выражение $a^2-2ab+b^2$ называют полным квадратом разности.

Выражения $a^2+ab+b^2\space$ и $\space a^2-ab+b^2$ называют неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности соответственно.

Зная эти словесные обозначения, мы можем устно сформулировать две формулы, выведенные нами в начале урока:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Рассмотрим применение этих формул на примерах:

$(2a-2)(4a^2+4a+4)$

Мы видим, что первый множитель является разностью одночленов $2a$ и $2$, а второй множитель является неполным квадратом их суммы. Это значит, что мы можем воспользоваться формулой разности кубов:

$(2a-2)(4a^2+4a+4) =(2a)^3-2^3=8a^3-8$

Теперь давайте попробуем представить $8a^3+27b^6$ как произведение многочленов.

Представим $8a^3$ как $(2a)^3$, а $27b^6$ как $(3b^2)^3$. Так мы имеем перед собой сумму кубов и можем применить соответствующую формулу:

$8a^3+27b^6=(2a)^3 + (3b^2)^3=(2a+3b^2)((2a)^2-2a\cdot 3b^2+(3b^2)^2)=(2a+3b^2)(4a^2-6ab^2+9b^4)$

{"questions":[{"content":"Выберите вариант, где выражение $64+a^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(4+a)(16-4a+a^2)$","$(4+a)(16+4a+a^2)$","$(4-a)(16-4a+a^2)$","$(4+a)(16+4a-a^2)$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Воспользуйтесь формулой суммы кубов:<br />$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$","Представьте $64$ как $4^3$.","$64+a^3=4^3+a^3=(4+a)(4^2-4a+a^2)=(4+a)(16-4a+a^2)$"]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $125a^3-1$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-16]]","widgets":{"choice-16":{"type":"choice","options":["$(5a-1)(25a^2+5a+1)$","$(5a-1)(25a^2-5a-1)$","$(5a+1)(25a^2-5a-1)$","$(5a-1)(25a^2+5a-1)$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Воспользуйтесь формулой разности кубов:<br />$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$","Представьте $125a^3$ как $(5a)^3$, а $1$ как $1^3$.","$125a^3-1=(5a)^3-1^3=(5a-1)((5a)^2+5a\\cdot1 + 1)=(5a-1)(25a^2+5a+1)$"]}],"mix":1}

Часто задаваемые вопросы