Разность квадратов

При умножении двучлена $a+b$ на двучлен $a-b$ получаем следующее:

$(\textcolor{blue}{a}+\textcolor{lightblue}{b})(\textcolor{darkgreen}{a}-\textcolor{green}{b})=\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{darkgreen}{a}-\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{green}{b}+\textcolor{lightblue}{b}\cdot \textcolor{darkgreen}{a} -\textcolor{lightblue}{b}\cdot \textcolor{green}{b}=a^2 -ab+ab-b^2=a^2-b^2$

Отсюда мы можем вывести формулу:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
или
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Название этой формулы — разность квадратов (не путать с квадратом разности).

Устно эту формулу мы можем выразить следующим образом:

Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность.

Выполним умножение:

$(2x-3y)(2x+3y)=(2x)^2-(3y)^2=4x^2-9y^2$

Так как $4x^2=(2x)^2, 9y^2=(3y)^2$, значит полученный в результате умножения двучлен является разностью квадратов, и к нему можно применить соответствующую формулу:

$4x^2-9y^2=(2x)^2-(3y)^2=(2x-3y)(2x+3y)$

А что если необходимо представить двучлен $4x^4-16$ в виде произведения двучленов? Здесь мы тоже можем воспользоваться формулой разности квадратов, так как $4x^4$ можно представить как $(2x^2)^2$, а $16$ как $4^2$:

$4x^4\space- 16= (2x^2)^2\space — \space 4^2=(2x^2+4)(2x^2-4)$

{"questions":[{"content":"Выберите вариант, где правильно применена формула разности квадратов для выражения $(8-a)(8+a)$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$64-a^2$","$a^2-64$","$a^2+64$","$2a^4+16$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула разности квадратов:<br />$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$","$(8-a)(8+a)=8^2-a^2=64-a^2$"]},{"content":"Выберите вариант, где правильно применена формула разности квадратов для выражения $9-b^6$.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$(3+b^3)(3-b^3)$","$(3+3b^2)(3-3b^2)$","$(3-b^3)(3-b^3)$","$(3+b^3)(3+b^3)$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула разности квадратов:<br />$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$","Представьте $9$ как $3^2$, a $b^6$ как $(b^3)^2$.","$9-b^6=3^2-(b^3)^2=(3+b^3)(3-b^3)$"]}]}