7 класс Алгебра Формулы сокращённого умножения Разность квадратов. Сумма и разность кубов

Разность квадратов

Содержание

В уроке «Разложение на множители с помощью квадрата суммы и квадрата разности» вы раскладывали на множители трехчлены — полные квадраты. Теперь возьмем двучлен: разность квадратов, например $x^2-49$. Начнем с вопроса: как перемножить $101 \cdot 99$ без столбика и калькулятора? Ответ займет одну строку, мы найдем его в разделе «Считаем без калькулятора».

По дороге вырежем из угла квадрата квадрат поменьше и переложим часть фигуры — так получится формула $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$. Научимся раскладывать по ней двучлены с коэффициентами и степенями, разберем три частые ошибки и применим формулу к вычислениям, уравнениям и делимости.

Вырезаем квадрат из угла и перекладываем часть

Возьмем квадрат $7 \times 7$ — в нем $49$ клеток. Вырежем из правого нижнего угла квадрат $3 \times 3$ — это $9$ клеток. Остается уголок — квадрат без угла, в нем $49-9 = 40$ клеток. Можно ли сложить из него прямоугольник?

Квадрат 7 на 7 с вырезанным углом 3 на 3 (осталось 49 − 9 = 40 клеток). Уголок делится на прямоугольник 7 на 4 и прямоугольник 4 на 3; второй поворачивают и прикладывают к первому. Получается прямоугольник 10 на 4 — те же 40 клеток: a² − b² = (a + b)(a − b) — Уголок разрезали на две части, нижнюю повернули и приложили к верхней: $7^2-3^2 = 10 \cdot 4$

Разрежем уголок на две части: верхняя $7 \times 4$ и нижняя $4 \times 3$. Нижнюю часть повернем и приложим справа к верхней. Получился прямоугольник $10 \times 4$. Его стороны — это $7 + 3 = 10$ и $7-3 = 4$, а площадь прежняя: $10 \cdot 4 = 40$.

Повторим то же с буквами: сторона большого квадрата $a$, сторона вырезанного $b$. Верхняя часть уголка имеет размеры $a \times (a-b)$, нижняя — $(a-b) \times b$. После поворота нижняя часть становится прямоугольником $b \times (a-b)$ и встает справа от верхней. Ширина всего прямоугольника $a + b$, высота $a-b$. Площадь не изменилась:

$$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$$

Правило

$$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$$

Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность. Читая формулу слева направо, мы раскладываем двучлен на множители, справа налево — умножаем.

Проверим алгеброй

Площади частей на рисунке: верхняя $a(a-b) = a^2-ab$, нижняя $(a-b)b = ab-b^2$. Сложим их — слагаемые $-ab$ и $+ab$ в сумме дают нуль:

$$a^2-ab + ab-b^2 = a^2-b^2$$

То же получится, если перемножить скобки: $(a+b)(a-b) = a^2-ab + ab-b^2 = a^2-b^2$.

Пример

Выполните умножение: $(2x-3y)(2x + 3y)$.

Здесь $a = 2x$, $b = 3y$. Подставим в формулу:

$$(2x-3y)(2x+3y) = (2x)^2-(3y)^2 = 4x^2-9y^2$$

Ответ: $4x^2-9y^2$.

Пример

Упростите выражение $(x-4)(x+4)-(x-2)^2$.

Произведение $(x-4)(x+4)$ равно разности квадратов, а квадрат $(x-2)^2$ раскроем по формуле квадрата разности:

$$(x-4)(x+4)-(x-2)^2 = x^2-16-(x^2-4x + 4) = x^2-16-x^2 + 4x-4 = 4x-20$$

Ответ: $4x-20$.

Выберите числа $a$ и $b$ сами и посмотрите, как уголок превращается в прямоугольник. Режим «Сравнить» пригодится в разделе «Три типичные ошибки».

uploaded-raznost-kvadratov-razrez-44c5a11f85a8

{"questions":[{"content":"Из квадрата $10 \\times 10$ вырезали из угла квадрат $4 \\times 4$, а остаток переложили в прямоугольник. Чему равны его стороны?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$14$ и $6$","$10$ и $4$","$6$ и $6$","$14$ и $14$"],"explanations":["","Это стороны квадратов, а не прямоугольника: стороны прямоугольника равны $10 + 4$ и $10-4$.","Так получился бы квадрат со стороной $10-4$, то есть квадрат разности, а не разность квадратов. Вторая сторона прямоугольника $10 + 4$.","Так получился бы квадрат со стороной $10 + 4$ — квадрат суммы. Одна из сторон прямоугольника — $10-4$."],"answer":[0]}}},{"content":"$(8-y)(8+y) =$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$64-y^2$","$y^2-64$","$64 + y^2$","$16-y^2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Основания — выражения, которые возводят в квадрат: $8$ и $y$. По формуле $(8-y)(8+y) = 8^2-y^2$.","$8^2 = 64$, значит, ответ $64-y^2$."],"step":1},{"content":"Упростите: $(y+3)(y-3) + 9 =$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":["y^2","y²","y2","у^2","у²","y*y"]}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Произведение $(y+3)(y-3)$ равно $y^2-3^2 = y^2-9$.","$y^2-9 + 9 = y^2$"],"step":1}],"mix":1}

Как разложить двучлен на множители

Теперь читаем формулу слева направо: из двучлена получаем произведение. Для этого нужно увидеть в двучлене два квадрата. Основание квадрата — его сторона, то есть выражение, которое возводят в квадрат. Квадрат со стороной $3a$ имеет площадь $(3a)^2 = 9a^2$, поэтому у $9a^2$ основание $3a$ (подробнее — в уроке «Разложение на множители с помощью квадрата суммы и квадрата разности»). Чтобы найти основание квадрата у степени, показатель делят на $2$: $a^4 = (a^2)^2$, $b^6 = (b^3)^2$.

Пример

Разложите на множители $x^2-49$.

Первое слагаемое — $x^2$, второе — $49 = 7^2$. Основания: $x$ и $7$.

$$x^2-49 = (x+7)(x-7)$$

Проверка: $(x+7)(x-7) = x^2-7x + 7x-49 = x^2-49$.

Запишем порядок действий в общем виде. Основания обозначим $p$ и $q$, чтобы не путать их с буквами $a$ и $b$ в самом двучлене.

Два шага разложения на примере 9a² − 16b²: оба слагаемых — квадраты (3a)² и (4b)², между ними минус; записываем произведение суммы оснований 3a + 4b на их разность 3a − 4b и проверяем раскрытием скобок — Два шага и проверка на примере $9a^2-16b^2$

Алгоритм: два шага и проверка

Убедитесь, что между слагаемыми стоит «минус» и оба слагаемых — квадраты. Найдите их основания $p$ и $q$.
Запишите произведение суммы и разности оснований: $(p+q)(p-q)$. В скобке с минусом из основания первого слагаемого вычитают основание второго.
Проверьте: раскройте скобки и сравните с исходным двучленом.

Если у слагаемых есть общий множитель, сначала вынесите его (вынесение общего множителя).

Пример

Разложите на множители $9a^2-16b^2$.

Здесь $9a^2 = (3a)^2$ и $16b^2 = (4b)^2$. Основание включает и коэффициент, и букву: $3a$ и $4b$, а не $9a$ и $16b$.

$$9a^2-16b^2 = (3a+4b)(3a-4b)$$

Пример

Разложите на множители $9-b^6$.

Слагаемые стоят «наоборот»: сначала число, потом буква. Здесь $9 = 3^2$ и $b^6 = (b^3)^2$ — показатель $6$ делим на $2$. Основания $3$ и $b^3$, первым в скобках пишем $3$:

$$9-b^6 = (3+b^3)(3-b^3)$$

Проверка: $(3+b^3)(3-b^3) = 9-b^6$. Если же записать $(b^3+3)(b^3-3)$, получится $b^6-9$ — противоположное выражение.

Пример

Разложите на множители $3x^2-27$.

Слагаемые не являются квадратами: число $3$ не равно квадрату целого числа. Но у них есть общий множитель $3$. Вынесем его, а затем применим формулу:

$$3x^2-27 = 3(x^2-9) = 3(x+3)(x-3)$$

Ответ: $3(x+3)(x-3)$. Дальше раскладывать нельзя: $x + 3$ и $x-3$ — уже не разности квадратов.

Повышенный уровень: разложить до конца — $x^4-1$ и $4x^4-16$

Скрыть

Иногда после первого шага один из множителей снова оказывается разностью квадратов. Раскладывайте, пока это возможно.

$x^4-1$: здесь $x^4 = (x^2)^2$ и $1 = 1^2$, поэтому $x^4-1 = (x^2+1)(x^2-1)$. Второй множитель $x^2-1$ — снова разность квадратов:

$$x^4-1 = (x^2+1)(x+1)(x-1)$$

Множитель $x^2 + 1$ — сумма, он не раскладывается.

$4x^4-16$: сначала вынесем общий множитель $4$, получим $4(x^4-4)$. Теперь $x^4 = (x^2)^2$ и $4 = 2^2$:

$$4x^4-16 = 4(x^2+2)(x^2-2)$$

Дальше раскладывать нельзя: $x^2 + 2$ — сумма, а число $2$ не равно квадрату целого числа, поэтому в 7 классе множитель $x^2-2$ оставляют как есть.

{"questions":[{"content":"Квадрат имеет площадь $9a^2$. Чему равна его сторона?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3a$","$9a$","$3a^2$","$9$"],"explanations":["","Сторону возводят в квадрат целиком: $(9a)^2 = 81a^2$, а не $9a^2$.","Показатель у буквы делят на $2$: $(3a^2)^2 = 9a^4$, а не $9a^2$.","Это только коэффициент. Сторона включает и букву: $(3a)^2 = 9a^2$."],"answer":[0]}}},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2-25$","$4x^2-25$","$25-x^4$","$x^4-25$"],"items":["$(x+5)(x-5)$","$(2x+5)(2x-5)$","$(5+x^2)(5-x^2)$","$(x^2+5)(x^2-5)$"]}},"instruction":"Соотнесите двучлен и его разложение","hints":["Найдите основания: $4x^2 = (2x)^2$, $x^4 = (x^2)^2$, $25 = 5^2$.","В скобке с минусом из основания первого слагаемого вычитают основание второго."],"step":1},{"content":"Выберите двучлены, которые раскладываются по формуле разности квадратов.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x^2-36$","$x^2 + 36$","$x^3-36$","$49-y^2$","$4b-9$"],"explanations":["","Между слагаемыми «плюс»: это сумма квадратов, формула разности квадратов не подходит.","Слагаемое $x^3$ не является квадратом выражения: $x^3 = x \\cdot x \\cdot x$, три множителя, а в квадрате их два.","","Слагаемое $4b$ не является квадратом: у буквы $b$ показатель $1$, а у квадрата показатель четный."],"answer":[0,3]}}}],"mix":1}

Три типичные ошибки

Ошибка

Путают разность квадратов с квадратом разности: $a^2-b^2 = (a-b)^2$. Проверим на числах $a = 7$, $b = 3$: $7^2-3^2 = 40$, а $(7-3)^2 = 16$. Числа разные — значит, и выражения разные.

Слева уголок a² − b² при a = 7, b = 3: 40 клеток, из них фиолетовый квадрат 4 на 4, синяя часть 3 на 4 и оранжевая часть 4 на 3. Справа квадрат разности (a − b)² = 16: только фиолетовый квадрат 4 на 4. 40 не равно 16, поэтому разность квадратов и квадрат разности — разные выражения — $7^2-3^2 = 40$ — уголок, а $(7-3)^2 = 16$ — квадрат со стороной $4$

У разности квадратов два разных множителя: $(a+b)$ и $(a-b)$. У квадрата разности — два одинаковых: $(a-b)(a-b)$. На рисунке квадрат разности — это только фиолетовая часть уголка, а синей и оранжевой частей ему не хватает. Режим «Сравнить» в первой модели урока показывает то же для любых $a$ и $b$.

Ошибка

Раскладывают сумму квадратов: $x^2 + 9 = (x+3)(x-3)$. Проверим при $x = 4$: слева $16 + 9 = 25$, справа $7 \cdot 1 = 7$. Раскроем скобки: $(x+3)(x-3) = x^2-9$, а не $x^2 + 9$.

Слева сумма квадратов x² + 9 при x = 4: квадрат 4 на 4 и квадрат 3 на 3, всего 25 клеток. Справа произведение (x + 3)(x − 3) при x = 4: полоска 7 на 1, 7 клеток. 25 не равно 7, поэтому сумма квадратов по этой формуле не раскладывается — При $x = 4$: $x^2 + 9 = 25$ клеток, а $(x+3)(x-3) = 7$ клеток

Формула требует знака «минус» между квадратами: вырезать можно только то, что вычитается. Двучлен $x^2 + 9$ вообще не раскладывается на множители. Покажем почему. Если бы он был равен произведению двух скобок с буквой $x$ в первой степени, то при некотором $x$ одна из скобок, а значит, и все произведение стало бы равно нулю. Но $x^2 + 9$ при любом $x$ не меньше $9$.

Ошибка

Перепутывают разность в скобке: $25-x^2 = (x+5)(x-5)$. Проверим при $x = 0$: слева $25$, справа $5 \cdot (-5) = -25$. Раскроем скобки: $(x+5)(x-5) = x^2-25$ — получилось противоположное выражение. В скобке с минусом из основания первого слагаемого вычитают основание второго. Правильно: $25-x^2 = (5+x)(5-x)$.

Полный квадрат — трехчлен вида $a^2 \pm 2ab + b^2$ из прошлого урока. Решите, какое выражение перед вами, затем сверьтесь с проверкой и выберите верное разложение.

uploaded-raznost-kvadratov-shablon-d82402f5809b

{"questions":[{"content":"Рассмотрим уголок $7^2-3^2$ и квадрат $(7-3)^2$. Какое утверждение верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Уголок больше: в нем $40$ клеток, а в квадрате $16$","Фигуры равны: в каждой по $16$ клеток","Квадрат больше: в нем $49$ клеток, а в уголке $9$","Фигуры равны: в каждой по $40$ клеток"],"explanations":["","Так получится, если считать уголок как квадрат разности $(7-3)^2 = 16$. Но в уголке $49-9 = 40$ клеток.","Числа $49$ и $9$ — площади квадратов $7 \\times 7$ и $3 \\times 3$. Уголок — их разность $40$, а квадрат $(7-3)^2$ — это $16$.","В квадрате со стороной $7-3 = 4$ всего $16$ клеток, а не $40$."],"answer":[0]}}},{"content":"Ученик записал: $x^2 + 25 = (x+5)(x-5)$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$(x+5)(x-5)$ равно $x^2-25$, а не $x^2 + 25$","Основание $5$ найдено неверно","Скобки нужно поменять местами","Ошибки нет"],"explanations":["","$25 = 5^2$, значит, основание $5$ выбрано без ошибки.","От перестановки множителей произведение не меняется: $(x-5)(x+5) = (x+5)(x-5)$.","Проверьте при $x = 0$: слева $25$, справа $5 \\cdot (-5) = -25$."],"answer":[0]}}},{"content":"Шаги разложения двучлена $49-y^2$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Найти основания: $7$ и $y$","Записать $(7+y)(7-y)$","Проверить: $(7+y)(7-y) = 49-y^2$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сначала нужно увидеть в двучлене два квадрата.","Разложение записывают после того, как найдены основания; проверка — последний шаг."],"step":1}],"mix":1}

Считаем без калькулятора

Формула помогает считать устно. Найдем $51^2-49^2$. Вырежем из угла квадрата $51 \times 51$ квадрат $49 \times 49$. Остается уголок из двух частей: верхняя $51 \times 2$ и вторая $2 \times 49$. Вторую часть повернем и приложим справа к верхней — получится прямоугольник $100 \times 2$.

Квадрат 51 на 51 без вырезанного из угла квадрата 49 на 49: остается уголок из верхней части 51 на 2 и второй части 2 на 49. Вторую часть поворачивают и прикладывают справа к верхней: получается прямоугольник 100 на 2. 51² − 49² = (51 + 49)(51 − 49) = 100 · 2 = 200 — $51^2-49^2 = (51+49)(51-49) = 100 \cdot 2$

Пример

Вычислите $51^2-49^2$.

$$51^2-49^2 = (51+49)(51-49) = 100 \cdot 2 = 200$$

Проверка: $51^2 = 2601$, $49^2 = 2401$, разность $200$.

Теперь ответ на вопрос из начала урока. Это тот же прием: квадрат $100 \times 100$ с вырезанным из угла квадратом $1 \times 1$ превращается в прямоугольник $101 \times 99$. Формулу применяют справа налево, когда два числа отличаются от одного круглого числа на одно и то же значение: $101 = 100 + 1$, $99 = 100-1$.

$$101 \cdot 99 = (100+1)(100-1) = 100^2-1^2 = 10\,000-1 = 9999$$

Пример

Вычислите $37 \cdot 43$.

Числа отличаются от $40$ на $3$: $37 = 40-3$ и $43 = 40 + 3$.

$$37 \cdot 43 = (40-3)(40+3) = 40^2-3^2 = 1600-9 = 1591$$

Пример

Найдите значение выражения $5{,}8^2-4{,}2^2$.

Применим формулу к десятичным дробям:

$$5{,}8^2-4{,}2^2 = (5{,}8 + 4{,}2)(5{,}8-4{,}2) = 10 \cdot 1{,}6 = 16$$

Ответ: $16$.

Пример

Вычислите $\dfrac{38^2-22^2}{16}$.

Разложим числитель: $38^2-22^2 = (38+22)(38-22) = 60 \cdot 16$. Число $16$ в числителе и знаменателе сокращается:

$$\frac{38^2-22^2}{16} = \frac{60 \cdot 16}{16} = 60$$

Ответ: $60$.

Сложим квадрат $5 \times 5$ из уголков: первый уголок — одна клетка, а каждый следующий длиннее на две.

Квадрат 5 на 5 сложен из уголков: 1, 3, 5, 7 и 9 клеток. Разность квадратов соседних натуральных чисел равна длине уголка: 2² − 1² = 3, 3² − 2² = 5, 4² − 3² = 7, 5² − 4² = 9, в общем виде (n + 1)² − n² = 2n + 1 — Квадрат $5 \times 5$ состоит из уголков в $1$, $3$, $5$, $7$ и $9$ клеток; $(n+1)^2-n^2 = 2n + 1$

Интересный факт

Такие уголки древнегреческие математики называли гномонами. Слово означает «указатель»: так называли и стержень солнечных часов, и угольник. Определение гномона есть в книге II «Начал» Евклида (около 300 года до н. э.).

Формула разности квадратов объясняет, почему уголки нечетные:

$$(n+1)^2-n^2 = \big((n+1) + n\big)\big((n+1)-n\big) = 2n + 1$$

Разность квадратов соседних натуральных чисел равна сумме этих чисел. Например, $87^2-86^2 = 87 + 86 = 173$.

{"questions":[{"content":"Из угла квадрата $50 \\times 50$ вырезали квадрат $2 \\times 2$, а остаток переложили в прямоугольник. Чему равна его площадь?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2496$","$2504$","$2498$","$100$"],"explanations":["","Так получится, если сложить площади квадратов: $2500 + 4$. Но угол вырезают, а не добавляют.","Из $2500$ вычли число $2$ (сторону угла), а нужно вычесть его площадь $2^2 = 4$.","Так получится, если перемножить только стороны $50$ и $2$. Прямоугольник имеет стороны $50 + 2$ и $50-2$, а площадь $52 \\cdot 48 = 2496$."],"answer":[0]}}},{"content":"Вычислите: $63^2-37^2 =$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":["2600","2 600"]}},"hints":["$63^2-37^2 = (63+37)(63-37)$","$100 \\cdot 26 = 2600$"],"step":1},{"content":"$95^2-94^2 =$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$189$","$1$","$19$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$95^2-94^2 = (95+94)(95-94)$","$189 \\cdot 1 = 189$"],"step":1}],"mix":1}

Уравнения и делимость

Разложение на множители помогает решать уравнения. Произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю (об этом шла речь в прошлом уроке). Посмотрите на уголок $x^2-25$: при каком $x$ его площадь равна нулю?

Уравнение x² − 25 = 0 на уголках. При x = 7 уголок превращается в прямоугольник 12 на 2 (24 клетки), при x = 6 — в прямоугольник 11 на 1 (11 клеток), при x = 5 — в прямоугольник 10 на 0: клеток нет. Площадь равна нулю, когда сторона x − 5 равна нулю — При $x = 7$, $6$, $5$ высота прямоугольника $x-5$ равна $2$, $1$, $0$

Площадь прямоугольника $(x+5)(x-5)$ равна нулю, когда нулю равна одна из сторон. Первый случай — $x-5 = 0$, то есть $x = 5$. По записи подходит и второй: при $x = -5$ нулю равна сторона $x + 5$. Нарисовать такой случай нельзя, но равенство верно.

Пример

Решите уравнение $x^2-25 = 0$.

Разложим левую часть: $(x-5)(x+5) = 0$. Первый множитель равен нулю при $x = 5$, второй — при $x = -5$.

Проверка: $5^2-25 = 0$ и $(-5)^2-25 = 0$.

Ответ: $x = 5$ или $x = -5$.

Ошибка

Решают уравнение $x^2 = 25$ и записывают только $x = 5$. Второй корень теряется. Подставьте $x = -5$: $(-5)^2 = 25$ — равенство верно. Если число справа — квадрат, перенесите все в одну часть и раскладывайте: $x^2-25 = 0$, $(x-5)(x+5) = 0$ — оба корня видны сразу.

Пример

Решите уравнение $4x^2-9 = 0$.

$4x^2 = (2x)^2$ и $9 = 3^2$, поэтому $(2x-3)(2x+3) = 0$. Тогда $2x-3 = 0$ или $2x + 3 = 0$, откуда $x = 1{,}5$ или $x = -1{,}5$.

Ответ: $x = 1{,}5$ или $x = -1{,}5$.

Обратите внимание

Уравнение $x^2 + 25 = 0$ корней не имеет: при любом $x$ значение $x^2 + 25$ не меньше $25$, поэтому нулю оно не равно. Сумма $x^2 + 25$ тоже не раскладывается на множители, довод тот же, что для $x^2 + 9$.

Повышенный уровень: уравнение $(x+1)^2-16 = 0$

Скрыть

Здесь основание первого квадрата — выражение $x + 1$, а $16 = 4^2$. Применим формулу при $a = x + 1$, $b = 4$:

$$(x+1)^2-16 = \big((x+1)-4\big)\big((x+1) + 4\big) = (x-3)(x+5)$$

Из $(x-3)(x+5) = 0$ получаем $x = 3$ или $x = -5$. Проверка: $(3+1)^2 = 16$ и $(-5+1)^2 = 16$.

Формула нужна и для доказательств делимости. Докажем, что значение выражения $(n+3)^2-(n-3)^2$ делится на $12$ при любом целом $n$.

Пример

Здесь $a = n + 3$ и $b = n-3$. Сумма $a + b = 2n$, разность $a-b = 6$:

$$(n+3)^2-(n-3)^2 = 2n \cdot 6 = 12n$$

В произведении есть множитель $12$, поэтому значение выражения делится на $12$ при любом целом $n$. Например, при $n = 50$ получаем $53^2-47^2 = 12 \cdot 50 = 600$.

Повышенный уровень: разность квадратов двух соседних нечетных чисел делится на $8$

Скрыть

Соседние нечетные числа можно записать как $2k-1$ и $2k + 1$. Применим формулу:

$$(2k+1)^2-(2k-1)^2 = \big((2k+1) + (2k-1)\big)\big((2k+1)-(2k-1)\big) = 4k \cdot 2 = 8k$$

В произведении есть множитель $8$, поэтому разность делится на $8$ при любом целом $k$. Например, $7^2-5^2 = 24 = 8 \cdot 3$.

{"questions":[{"content":"Почему из равенства $(x-5)(x+5) = 0$ следует, что $x = 5$ или $x = -5$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Произведение равно нулю, только если нулю равен хотя бы один из множителей","Потому что в уравнении есть квадрат, а у квадрата всегда два корня","Потому что числа $5$ и $-5$ в сумме дают нуль","Потому что множители $x-5$ и $x + 5$ должны быть равны друг другу"],"explanations":["","Не всегда: у уравнения $x^2 + 25 = 0$ корней нет.","Дело не в сумме корней: при $x = 5$ нулю равен первый множитель, при $x = -5$ — второй.","Равенство $x-5 = x + 5$ невозможно ни при каком $x$. Нужно, чтобы нулю был равен хотя бы один из множителей."],"answer":[0]}}},{"content":"Ученик решил уравнение $x^2-36 = 0$ и записал: $x = 6$. Что он упустил?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Корень $x = -6$: из $(x-6)(x+6) = 0$ следует и $x = -6$","Корень $x = 0$","Корень $x = 36$","Ничего, корень единственный"],"explanations":["","Подставьте $x = 0$: $0-36 \\ne 0$. Это не корень.","Подставьте $x = 36$: $1296-36 \\ne 0$. Это не корень.","Подставьте $x = -6$: $(-6)^2-36 = 0$. Равенство верно, значит, корня два."],"answer":[0]}}},{"content":"$(n+2)^2-(n-2)^2 =$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$8n$","$8$","$4n$","$2n^2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Применим формулу: сумма оснований $(n+2) + (n-2) = 2n$, разность $(n+2)-(n-2) = 4$.","Произведение $2n \\cdot 4 = 8n$. Значит, значение выражения делится на $8$ при любом целом $n$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Разность квадратов — это уголок, который можно переложить в прямоугольник: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$. Формула работает в обе стороны: раскладывает двучлен на множители и помогает перемножать числа устно. Помните: между квадратами стоит «минус»; в скобке с минусом из первого основания вычитают второе; основание включает и коэффициент, и букву; а $(a-b)^2$ — другое выражение. Разложение пригодится для уравнений и доказательства делимости. А сокращать дроби, например $\frac{x^2-9}{x-3}$, вы научитесь в 8 классе. Дальше — сумма и разность кубов: похожие формулы для кубов.

Часто задаваемые вопросы

Чем разность квадратов отличается от квадрата разности?

Разность квадратов $a^2-b^2$ равна $(a+b)(a-b)$ — два разных множителя. Квадрат разности $(a-b)^2$ равен $a^2-2ab + b^2$. Например, при $a = 7$, $b = 3$ получаем $40$ и $16$.

Можно ли разложить сумму квадратов $x^2 + 9$?

Нет. По формуле разности квадратов нельзя: там между слагаемыми «минус», и $(x+3)(x-3) = x^2-9$. Другого разложения тоже нет: $x^2 + 9$ при любом $x$ не меньше $9$, поэтому не равно нулю ни при каком $x$, а у произведения двух скобок с буквой $x$ в первой степени нуль бывает.

Как быстро вспомнить формулу?

Нарисуйте квадрат $a \times a$, вырежьте в углу квадрат $b \times b$ и переложите нижнюю часть вправо. Стороны прямоугольника — $a + b$ и $a-b$.

Что делать, если коэффициент не является квадратом числа?

Сначала проверьте, нет ли общего множителя: $3x^2-27 = 3(x^2-9) = 3(x+3)(x-3)$. Если общего множителя нет, как в $2x^2-9$, в 7 классе разность квадратов не получится: число $2$ не является квадратом целого числа.

Почему у уравнения $x^2-25 = 0$ два корня?

Левая часть раскладывается: $(x-5)(x+5) = 0$. Произведение равно нулю, если нулю равен любой из множителей: $x = 5$ или $x = -5$.

Награды за урок