7 класс Алгебра Формулы сокращённого умножения Разность квадратов. Сумма и разность кубов

Сумма и разность кубов

Содержание

Этот урок — углубление: формул суммы и разности кубов нет в базовой программе 7 класса, но они пригодятся в 8–9 классах.

В уроке «Разность квадратов» вы вырезали из угла квадрата квадрат поменьше и складывали из остатка прямоугольник. Сделаем то же с кубом: вырежем из его угла куб поменьше и разрежем остаток на три плиты. Так получится формула разности кубов, а из нее — формула суммы кубов.

Из куба с ребром $5$ см вырезали угол — куб с ребром $2$ см. Объем остатка $125-8=117$ см³ делится на $3$, то есть на $5-2$. Случайно ли? Ответ — в первом и последнем разделах.

Вырезаем угол из куба и режем остаток на плиты

Объем куба с ребром $5$ см равен $5^3=125$ см³. Из его угла вырезали куб с ребром $2$ см, объемом $2^3=8$ см³. Разрежем остаток на три части.

Сначала срежем верхнюю плиту — все, что выше выреза. Ее нижняя грань — $5\cdot 5$, толщина $5-2=3$ см, объем $5\cdot 5\cdot 3=75$ см³. Внизу остался слой высотой $2$ см с вырезанным углом. Отрежем от него плиту с гранью $5\cdot 2$ и толщиной $3$ см: $5\cdot 2\cdot 3=30$ см³. Последняя часть — плита с гранью $2\cdot 2$ и той же толщиной $3$ см: $2\cdot 2\cdot 3=12$ см³.

Куб с ребром 5 см без угла 2 см разрезан на три плиты одинаковой толщины 3 см: 75+30+12=117 см³ — Остаток куба — три плиты одной толщины $5-2=3$ см: $75+30+12=117$ см³

У всех трех плит одна и та же толщина $3$ см — она равна разности ребер $5-2$. Поэтому объем остатка — это толщина, умноженная на сумму площадей нижних граней: $3\cdot(25+10+4)=3\cdot 39=117$. Вот почему $117$ делится на $3$.

Повторим то же с буквами: ребро куба $a$, ребро выреза $b$. Плиты имеют размеры $a\cdot a\cdot(a-b)$, $a\cdot b\cdot(a-b)$ и $b\cdot b\cdot(a-b)$. Поставим их рядом на грани $a^2$, $ab$ и $b^2$ — получится одна фигура высотой $a-b$: площадь ее нижней грани $a^2+ab+b^2$, а объем равен высоте, умноженной на эту площадь.

Три плиты высотой a−b складываются в один брусок с нижней гранью a²+ab+b²: a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) — Три плиты высотой $a-b$ встали рядом: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Разность кубов

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на сумму трех слагаемых: квадрата первого, произведения выражений и квадрата второго.

Проверим алгеброй

Перемножим скобки: каждое слагаемое первой скобки умножим на каждое слагаемое второй.

$$\begin{gathered}(a-b)(a^2+ab+b^2)=\\=a^3+a^2b+ab^2-\\-a^2b-ab^2-b^3=\\=a^3-b^3\end{gathered}$$

Слагаемые $a^2b$ и $-a^2b$, $ab^2$ и $-ab^2$ взаимно уничтожаются. Формула верна при любых $a$ и $b$, а не только для настоящих кубов, где $a>b>0$.

Пример

Разложите на множители $x^3-125$.

Число $125=5^3$, значит, это разность кубов $x^3-5^3$. Здесь $a=x$, $b=5$:

$$x^3-125=(x-5)(x^2+5x+25)$$

Проверка числом: при $x=2$ слева $8-125=-117$, справа $(2-5)(4+10+25)=-3\cdot 39=-117$.

Ответ: $(x-5)(x^2+5x+25)$.

{"questions":[{"content":"Из деревянного куба с ребром 7 см вырезали из угла куб с ребром 4 см. Остаток разрезали на три плиты толщиной 3 см. Чему равен объем самой маленькой плиты?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["27 см³","48 см³","84 см³","147 см³"],"explanations":["Плита — не куб: ее нижняя грань $4\\cdot 4$, а толщина 3 см, объем $16\\cdot 3$","","Это средняя плита с нижней гранью $7\\cdot 4$; у самой маленькой нижняя грань $4\\cdot 4$","Это верхняя плита с нижней гранью $7\\cdot 7$ — самая большая"],"answer":[1]}},"hints":["Толщина каждой плиты равна разности ребер: $7-4=3$ см.","Нижние грани плит: $7\\cdot 7$, $7\\cdot 4$ и $4\\cdot 4$. Самая маленькая нижняя грань — $4\\cdot 4=16$ см².","$16\\cdot 3=48$. Ответ: 48 см³."],"step":1},{"content":"Какая формула верна для разности кубов?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$","$a^3-b^3=(a-b)(a^2-ab+b^2)$","$a^3-b^3=(a-b)^3$","$a^3-b^3=(a-b)(a^2+2ab+b^2)$"],"explanations":["","Знак у $ab$ взят из суммы кубов: у разности кубов во втором множителе плюс","Куб разности — другая формула: в нем четыре слагаемых, а не два","Взят полный квадрат суммы, а нужен неполный: без числа 2 у $ab$"],"answer":[0]}},"hints":["Разность кубов раскладывается на два множителя: разность оснований и неполный квадрат суммы.","В неполном квадрате суммы все знаки плюс: $a^2+ab+b^2$.","Верно: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$."],"step":1}],"mix":1}

Почему второй множитель — не квадрат суммы

Второй множитель $a^2+ab+b^2$ похож на квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Отличие одно: у слагаемого $ab$ нет множителя $2$. Сравним значения на числах.

$a$	$b$	$a^2+ab+b^2$	$(a+b)^2$	Не хватает
$1$	$1$	$3$	$4$	$1$
$2$	$1$	$7$	$9$	$2$
$3$	$2$	$19$	$25$	$6$
$5$	$2$	$39$	$49$	$10$

Каждый раз не хватает ровно $ab$. На рисунке это видно сразу: квадрат со стороной $a+b$ состоит из квадратов $a^2$, $b^2$ и двух прямоугольников $ab$. Нижние грани наших плит — это $a^2$, $ab$ и $b^2$, одного прямоугольника $ab$ среди них нет.

Основания трех плит a²+ab+b² — неполный квадрат: до квадрата (a+b)² не хватает еще одной части ab — Нижние грани трех плит закрывают квадрат $(a+b)^2$ не целиком: не хватает одного прямоугольника $ab$

Определение

Неполный квадрат суммы выражений $a$ и $b$ — это выражение $a^2+ab+b^2$. Оно отличается от квадрата суммы $a^2+2ab+b^2$ тем, что у $ab$ нет множителя $2$.

Теперь формулу разности кубов можно прочитать короче: разность кубов равна произведению разности оснований на неполный квадрат их суммы. Здесь основание — выражение, которое возводят в куб, как ребро куба (не путайте с гранью плиты).

Ошибка

Неполный квадрат заменяют полным: $a^3-b^3=(a-b)(a+b)^2$.

Проверим при $a=2$, $b=1$: слева $8-1=7$, справа $(2-1)\cdot 3^2=9$. Значения различны.

Где ломается рассуждение: из трех плит не сложить квадрат $(a+b)^2$ — не хватает одного прямоугольника $ab$.

Обратите внимание

Неполный квадрат не бывает отрицательным. Сложим $(a+b)^2$, $a^2$ и $b^2$: получится $2a^2+2ab+2b^2$, то есть удвоенный неполный квадрат. Значит,

$$a^2+ab+b^2=\frac{(a+b)^2+a^2+b^2}{2}$$

Квадраты не бывают отрицательными, поэтому неполный квадрат больше нуля, если хотя бы одно из чисел $a$, $b$ не равно нулю. Это пригодится при решении уравнений.

Неполный квадрат разности $a^2-ab+b^2$ — это неполный квадрат суммы чисел $a$ и $-b$, поэтому он тоже больше нуля.

{"questions":[{"content":"Какое выражение называется неполным квадратом суммы чисел $a$ и $b$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a^2+2ab+b^2$","$a^2-ab+b^2$","$a^2+b^2$","$a^2+ab+b^2$"],"explanations":["Это полный квадрат суммы $(a+b)^2$","Это неполный квадрат разности: он входит в сумму кубов","В неполном квадрате есть слагаемое $ab$",""],"answer":[3]}},"hints":["Квадрат суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. «Неполный» — потому что у $ab$ нет множителя 2.","Неполный квадрат суммы: $a^2+ab+b^2$."],"step":1},{"content":"Пусть $a=7$, $b=3$. На сколько $(a+b)^2$ больше, чем $a^2+ab+b^2$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["$(7+3)^2=100$.","$7^2+7\\cdot 3+3^2=49+21+9=79$.","$100-79=21$. Ответ: 21."],"step":1}],"mix":1}

Сумма кубов: та же формула, другой знак

Сумму двух кубов не получить вырезанием угла: куб $b^3$ здесь прибавляют, а не вычитают. Поэтому возьмем готовую формулу разности кубов и заменим в ней $b$ на $-b$. Куб отрицательного числа отрицателен: $(-b)^3=-b^3$. Значит, $a^3+b^3=a^3-(-b)^3$ — это разность кубов чисел $a$ и $-b$:

$$\begin{aligned}a^3-(-b)^3&=(a-(-b))(a^2+a\cdot(-b)+(-b)^2)=\\&=(a+b)(a^2-ab+b^2)\end{aligned}$$

Поменялись два знака: в первой скобке стало $a+b$, а перед $ab$ — минус. Слагаемое $b^2$ осталось с плюсом, потому что $(-b)^2=b^2$.

Сумма кубов

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат разности $a^2-ab+b^2$.

Проверим раскрытием скобок

$$\begin{aligned}(a+b)(a^2-ab+b^2)&=a^3-a^2b+ab^2+\\&\quad+a^2b-ab^2+b^3=\\&=a^3+b^3\end{aligned}$$

На числах: $5^3+2^3=125+8=133$ и $(5+2)(25-10+4)=7\cdot 19=133$.

Сравним знаки в двух формулах. Знак в первой скобке такой же, как между кубами. Перед $ab$ — противоположный. Квадраты $a^2$ и $b^2$ всегда с плюсом.

Выражение	Первый множитель	Знак перед $ab$	Второй множитель
$a^3-b^3$	$a-b$	плюс	$a^2+ab+b^2$
$a^3+b^3$	$a+b$	минус	$a^2-ab+b^2$

Знаки формул суммы и разности кубов: перед ab знак противоположный; запись a³+b³=(a+b)(a²+ab+b²) неверна — Перед $ab$ знак противоположный тому, что стоит между кубами; проверка при $a=b=1$ ловит ошибку

Ошибка

Во втором множителе суммы кубов оставляют плюс: $a^3+b^3=(a+b)(a^2+ab+b^2)$.

Проверим при $a=b=1$: слева $1+1=2$, справа $(1+1)(1+1+1)=6$. Значения различны.

Где ломается рассуждение: при замене $b$ на $-b$ произведение $a\cdot(-b)$ равно $-ab$ — знак у $ab$ меняется. Не меняется только квадрат: $(-b)^2=b^2$.

Пример

1) Разложите на множители $y^3+64$.

$64=4^3$, это сумма кубов, $a=y$, $b=4$: $$y^3+64=(y+4)(y^2-4y+16)$$

Проверка при $y=3$: $27+64=91$ и $(3+4)(9-12+16)=7\cdot 13=91$.

2) Упростите $(y-2)(y^2+2y+4)$.

Читаем формулу справа налево. Первая скобка — разность $y-2$, вторая — неполный квадрат суммы $y$ и $2$: $y^2+y\cdot 2+2^2$. Значит, это разность кубов: $$(y-2)(y^2+2y+4)=y^3-8$$

В интерактиве задайте ребро куба $a$ и число $b$ со знаком: при отрицательном $b$ интерактив считает разность кубов, при положительном — сумму. Знак числа переходит в знак между кубами, а в формуле стоит само число $b$ без знака: $a^3+(-b)^3=a^3-b^3$. Обе части формулы пересчитываются.

summa-raznost-kubov-plity

{"questions":[{"content":"Выберите пропущенный множитель: $p^3+q^3=(p+q)([[fill_choice-1]])$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$p^2+pq+q^2$","$p^2-pq+q^2$","$p^2-2pq+q^2$","$p^2+2pq+q^2$"],"answer":1}},"instruction":"Выберите пропущенный множитель","hints":["Второй множитель суммы кубов — неполный квадрат разности.","$p^2-pq+q^2$."],"step":1},{"content":"Разложите на множители: $x^3+8$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(x+2)^3$","$(x+2)(x^2+2x+4)$","$(x+8)(x^2-8x+64)$","$(x+2)(x^2-2x+4)$"],"explanations":["Куб суммы содержит четыре слагаемых и не равен сумме кубов","Во втором множителе у суммы кубов минус перед $ab$","Взяли число 8, а не его кубический корень: $8=2^3$",""],"answer":[3]}},"hints":["$8=2^3$, значит, это сумма кубов $x^3+2^3$.","Формула: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ при $a=x$, $b=2$.","Ответ: $(x+2)(x^2-2x+4)$."],"step":1},{"content":"Решавр разложил на множители $x^3+27$ и получил $(x+3)(x^2+3x+9)$. Где ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Первый множитель: должно быть $(x-3)$","Число 27: должно быть $x^3+9^3$","Ошибки нет: проверка при $x=1$ дает 28","Знак перед $3x$: должен быть минус"],"explanations":["У суммы кубов первый множитель — сумма оснований, $x+3$","Число 27 — это $3^3$; 9 — это $3^2$, а не основание куба","При $x=1$: $(1+3)(1+3+9)=52$, а $1+27=28$ — значения различны",""],"answer":[3]}},"hints":["Сумма кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","При $a=x$, $b=3$ второй множитель равен $x^2-3x+9$.","Ошибка в знаке перед $3x$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Куб суммы не равен сумме кубов

Формулы суммы кубов и куба суммы легко спутать: $a^3+b^3$ и $(a+b)^3$. Сравним их на числах. Куб с ребром $2+3=5$ см имеет объем $125$ см³, а $2^3+3^3=8+27=35$. Куда делись еще $90$ см³?

Отметим на каждом ребре большого куба точку на расстоянии $2$ см от вершины и разрежем куб через эти точки по трем направлениям. Получится восемь частей: куб $2\cdot 2\cdot 2$, куб $3\cdot 3\cdot 3$, три бруска $2\cdot 2\cdot 3$ по $12$ см³ и три бруска $2\cdot 3\cdot 3$ по $18$ см³. Проверим: $8+27+36+54=125$.

Куб с ребром a+b состоит из восьми частей: a³, b³ и по три бруска a²b и ab²; сумма кубов a³+b³ — только два куба — Куб с ребром $a+b$ — это два куба и шесть брусков; сумма кубов $a^3+b^3$ забывает шесть брусков

С буквами то же самое: куб с ребром $a+b$ состоит из кубов $a^3$ и $b^3$, трех брусков $a\cdot a\cdot b$ и трех брусков $a\cdot b\cdot b$:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Сумма кубов $a^3+b^3$ — только два угловых куба. Она меньше куба суммы на шесть брусков, если $a$ и $b$ положительны.

Ошибка

Возводят в куб каждое слагаемое отдельно: $(a+b)^3=a^3+b^3$.

Проверим при $a=b=1$: слева $(1+1)^3=8$, справа $1^3+1^3=2$. Значения различны.

Где ломается рассуждение: $(a+b)^3$ — это произведение трех скобок $(a+b)(a+b)(a+b)$. При раскрытии появляются не только $a^3$ и $b^3$, но и шесть брусков. То же с разностью: $(a-b)^3\ne a^3-b^3$. При $a=2$, $b=1$ слева $1$, справа $7$: куб разности — маленький куб с ребром $a-b$, а разность кубов — три плиты.

{"questions":[{"content":"Пусть $a=2$, $b=1$. Найдите значение $(a+b)^3-(a^3+b^3)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["$(2+1)^3=27$.","$2^3+1^3=9$.","$27-9=18$. Ответ: 18."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решавр записал объем куба с ребром $a+b$ как $a^3+b^3$. Какие части куба он не учел?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ничего: объем равен $a^3+b^3$","Только три бруска $a\\cdot a\\cdot b$","Три бруска $a\\cdot a\\cdot b$ и три бруска $a\\cdot b\\cdot b$","Три плиты толщиной $a-b$"],"explanations":["При $a=b=1$: $(1+1)^3=8$, а $1^3+1^3=2$ — значения различны","Это половина: есть еще три бруска $a\\cdot b\\cdot b$, иначе при $a=b=1$ получится $5$, а не $8$","","Плиты толщиной $a-b$ остаются, когда из куба с ребром $a$ вырезают угол $b$: это разность кубов, а здесь куб с ребром $a+b$"],"answer":[2]}},"hints":["Разделим ребро $a+b$ на части $a$ и $b$ по всем трем направлениям — получится восемь частей.","Две части — кубы $a^3$ и $b^3$. Остальные шесть — бруски: три бруска $a\\cdot a\\cdot b$ и три бруска $a\\cdot b\\cdot b$.","Решавр не учел шесть брусков: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$."],"step":1}],"mix":1}

Собираем кубы: коэффициенты и вычисления

Чтобы применить формулу, сначала надо увидеть в каждом слагаемом куб и найти его основание. Полезно помнить кубы чисел от $1$ до $10$: $1$, $8$, $27$, $64$, $125$, $216$, $343$, $512$, $729$, $1000$.

У одночлена основание включает и коэффициент, и буквы. Куб с ребром $2x$ складывается из восьми кубиков с ребром $x$, поэтому $(2x)^3=8x^3$ (подробнее — в уроке «Возведение в степень произведения и степени»). У степени показатель делят на $3$: $x^6=(x^2)^3$.

Куб с ребром 2x сложен из 2·2·2=8 кубиков с ребром x: (2x)³=8x³ — Куб с ребром $2x$ — восемь кубиков с ребром $x$: $8x^3=(2x)^3$

Пример

Разложите на множители $8x^3-27$.

$8x^3=(2x)^3$ и $27=3^3$. Это разность кубов, $a=2x$, $b=3$. Второй множитель: $a^2=(2x)^2=4x^2$, $ab=2x\cdot 3=6x$, $b^2=9$.

$$8x^3-27=(2x-3)(4x^2+6x+9)$$

Проверка при $x=2$: $64-27=37$ и $(4-3)(16+12+9)=37$.

Ответ: $(2x-3)(4x^2+6x+9)$.

Пример

Вычислите $101^3-99^3$.

По формуле разности кубов при $a=101$, $b=99$:

$$\begin{aligned}101^3-99^3&=(101-99)(101^2+101\cdot 99+99^2)=\\&=2\cdot(10201+9999+9801)=\\&=2\cdot 30001=60002\end{aligned}$$

Ответ: $60002$.

{"questions":[{"content":"Разложите на множители: $64y^3-1$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(4y-1)(16y^2-4y+1)$","$(4y-1)(16y^2+4y+1)$","$(4y-1)(4y^2+4y+1)$","$(4y-1)(16y^2+8y+1)$"],"explanations":["Минус перед $ab$ стоит у суммы кубов, а здесь разность","","$(4y)^2=16y^2$: коэффициент тоже возводят в квадрат","Это полный квадрат суммы $(4y+1)^2$; у $ab$ нет множителя 2"],"answer":[1]}},"hints":["$64y^3=(4y)^3$ и $1=1^3$.","Разность кубов при $a=4y$, $b=1$: $(4y-1)(16y^2+4y+1)$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вычислите, используя формулу суммы кубов: $13^3+7^3$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2540"}},"hints":["$a=13$, $b=7$: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","$a+b=20$; $a^2-ab+b^2=169-91+49=127$.","$20\\cdot 127=2540$. Ответ: 2540."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Толщина плит — множитель: делимость и уравнения

Вернемся к вопросу из начала урока. Объем остатка $a^3-b^3$ — это толщина плит $a-b$, умноженная на неполный квадрат. Если $a$ и $b$ — целые числа, неполный квадрат тоже целый. Значит, при $a\ne b$ число $a^3-b^3$ делится на $a-b$, а при $a\ne -b$ число $a^3+b^3$ — на $a+b$. Например, $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$ делится на $n-1$ при любом натуральном $n>1$.

Пример

Докажите, что $47^3-17^3$ делится на $30$.

$$\begin{aligned}47^3-17^3&=(47-17)(47^2+47\cdot 17+17^2)=\\&=30\cdot(47^2+47\cdot 17+17^2)\end{aligned}$$

Второй множитель — целое число, поэтому все произведение делится на $30$.

Разложение на множители помогает и с уравнениями: произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Пример

Решите уравнение $x^3=64$.

Перенесем $64$ влево и разложим: $x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16)=0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. $x-4=0$ при $x=4$. Неполный квадрат $x^2+4x+16$ — это $a^2+ab+b^2$ при $a=x$, $b=4$; так как $b\ne 0$, он всегда больше нуля.

Ответ: $x=4$ — единственный корень.

{"questions":[{"content":"Для любого натурального $n>2$ число $n^3-8$ делится нацело на...[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$n^2-4$","$n-2$","$n^2+4$","$n+2$"],"explanations":["При $n=4$: $56$ не делится на $12$","","При $n=3$: $19$ не делится на $13$","При $n=3$: $19$ не делится на $5$"],"answer":[1]}},"hints":["$n^3-8=(n-2)(n^2+2n+4)$ — один из множителей равен $n-2$.","Значит, число делится на $n-2$ при любом $n>2$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сколько корней имеет уравнение $x^3+8=0$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Один корень","Три корня","Два корня","Корней нет"],"explanations":["","Кубическое уравнение может иметь три корня, но здесь неполный квадрат положителен и корней не дает","Второй множитель — неполный квадрат, он всегда положителен; ошибочно ищут корни $2$ и $-2$ как у разности квадратов","Число $x=-2$ подходит: $(-2)^3+8=0$"],"answer":[0]}},"hints":["Разложим левую часть: $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$.","Произведение равно нулю, если нулю равен один из множителей: $x+2=0$ или $x^2-2x+4=0$.","Неполный квадрат $x^2-2x+4$ при любом $x$ положителен, корней у него нет. Остается один корень $x=-2$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Формулы суммы и разности кубов раскладывают двучлен на множители. Это помогает упрощать выражения, считать без калькулятора, доказывать делимость и решать уравнения вида $x^3=c$. Чтобы быстро вспомнить формулы, представьте куб с вырезанным углом.

Часто задаваемые вопросы

Как не перепутать знаки в формулах?

Знак в первой скобке такой же, как между кубами, перед $ab$ — противоположный, квадраты — с плюсом. Если сомневаетесь, подставьте $a=b=1$: обе части должны дать одно и то же число.

Можно ли разложить неполный квадрат дальше?

В школьном курсе — нет. Выражение $a^2+ab+b^2$ не является ни полным квадратом, ни разностью квадратов, поэтому на нем разложение заканчивается.

Почему сумма кубов раскладывается, а сумма квадратов нет?

Сумма кубов обращается в нуль при $a=-b$: $(-b)^3+b^3=0$. Поэтому у нее есть множитель $a+b$. При $a=-b$ сумма квадратов равна $2b^2$, а не нулю, поэтому множителя $a+b$ у нее нет (так же и $a-b$): на такие множители она не раскладывается.

Есть ли формула для куба суммы?

Да: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Ее легко восстановить по кубу с ребром $a+b$: два угловых куба, три бруска $a\cdot a\cdot b$ и три бруска $a\cdot b\cdot b$.

Зачем раскладывать на множители, если можно просто вычислить?

Из разложения видно то, чего не видно в записи $a^3-b^3$: на что делится число, когда выражение равно нулю. Например, $47^3-17^3$ делится на $30$ — это ясно без вычисления самих кубов.

Награды за урок