Сумма кубов и разность кубов

{"questions":[{"content":"Выберите вариант, где выражение $8-x^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(2-x)(4+2x+x^2)$","$(2-x)(4-2x+x^2)$","$(2+x)(4-2x+x^2)$","$(x-2)(4+2x+x^2)$"],"explanations":["Использована формула разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ при $a=2$, $b=x$.","Во втором множителе должен быть знак «+» перед $ab$, то есть $a^2+ab+b^2$, а не $a^2-ab+b^2$.","Первый множитель должен быть $a-b$, а не $a+b$.","Первый множитель должен быть $2-x$, а не $x-2$ (это отличается знаком)."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Воспользуйтесь формулой разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Представьте $8$ как $2^3$, а $x^3$ как $x^3$.","$8-x^3=2^3-x^3=(2-x)(2^2+2x+x^2)=(2-x)(4+2x+x^2)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $27-t^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$(3-t)(9+3t+t^2)$","$(3-t)(9-3t+t^2)$","$(3+t)(9-3t+t^2)$","$(t-3)(9+3t+t^2)$"],"explanations":["По формуле разности кубов при $a=3$, $b=t$ получаем $(3-t)(9+3t+t^2)$.","Во втором множителе должен быть $a^2+ab+b^2$, поэтому знак перед $3t$ должен быть «+».","Первый множитель должен быть $a-b$, а не $a+b$.","Множитель $t-3=-(3-t)$, поэтому знак разложения меняется."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Запишите $27$ как $3^3$.","$27-t^3=3^3-t^3=(3-t)(3^2+3t+t^2)=(3-t)(9+3t+t^2)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $125-y^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(5-y)(25+5y+y^2)$","$(5-y)(25-5y+y^2)$","$(5+y)(25-5y+y^2)$","$(y-5)(25+5y+y^2)$"],"explanations":["Применена формула разности кубов при $a=5$, $b=y$.","Во втором множителе должен быть $a^2+ab+b^2$, то есть $25+5y+y^2$.","Первый множитель должен быть $5-y$, а не $5+y$.","$y-5=-(5-y)$, поэтому отличается знаком."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Представьте $125$ как $5^3$.","$125-y^3=5^3-y^3=(5-y)(5^2+5y+y^2)=(5-y)(25+5y+y^2)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $1-m^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$(1-m)(1+m+m^2)$","$(1-m)(1-m+m^2)$","$(1+m)(1-m+m^2)$","$(m-1)(1+m+m^2)$"],"explanations":["Это разность кубов: $1^3-m^3=(1-m)(1+m+m^2)$.","Во втором множителе должен быть $1+m+m^2$, а не $1-m+m^2$.","Первый множитель должен быть $1-m$, а не $1+m$.","$m-1=-(1-m)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Запишите $1$ как $1^3$.","$1-m^3=1^3-m^3=(1-m)(1^2+1\\cdot m+m^2)=(1-m)(1+m+m^2)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $216-p^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$(6-p)(36+6p+p^2)$","$(6-p)(36-6p+p^2)$","$(6+p)(36-6p+p^2)$","$(p-6)(36+6p+p^2)$"],"explanations":["По формуле разности кубов: $6^3-p^3=(6-p)(36+6p+p^2)$.","Во втором множителе должен быть знак «+» перед $6p$.","Первый множитель должен быть $6-p$, а не $6+p$.","$p-6=-(6-p)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Представьте $216$ как $6^3$.","$216-p^3=6^3-p^3=(6-p)(6^2+6p+p^2)=(6-p)(36+6p+p^2)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $343-q^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$(7-q)(49+7q+q^2)$","$(7-q)(49-7q+q^2)$","$(7+q)(49-7q+q^2)$","$(q-7)(49+7q+q^2)$"],"explanations":["Это разность кубов при $a=7$, $b=q$.","Во втором множителе нужен вид $49+7q+q^2$.","Первый множитель должен быть $7-q$.","$q-7=-(7-q)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Запишите $343$ как $7^3$.","$343-q^3=7^3-q^3=(7-q)(7^2+7q+q^2)=(7-q)(49+7q+q^2)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $64-z^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$(4-z)(16+4z+z^2)$","$(4-z)(16-4z+z^2)$","$(4+z)(16-4z+z^2)$","$(z-4)(16+4z+z^2)$"],"explanations":["Разность кубов: $4^3-z^3=(4-z)(16+4z+z^2)$.","Во втором множителе должен быть $a^2+ab+b^2$, значит, знак перед $4z$ — «+».","Первый множитель должен быть $4-z$, а не $4+z$.","$z-4=-(4-z)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Представьте $64$ как $4^3$.","$64-z^3=4^3-z^3=(4-z)(4^2+4z+z^2)=(4-z)(16+4z+z^2)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $1000-r^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$(10-r)(100+10r+r^2)$","$(10-r)(100-10r+r^2)$","$(10+r)(100-10r+r^2)$","$(r-10)(100+10r+r^2)$"],"explanations":["Разность кубов: $10^3-r^3=(10-r)(100+10r+r^2)$.","Знак перед $10r$ во втором множителе должен быть «+».","Первый множитель должен быть $10-r$.","$r-10=-(10-r)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Запишите $1000$ как $10^3$.","$1000-r^3=10^3-r^3=(10-r)(10^2+10r+r^2)=(10-r)(100+10r+r^2)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $8-(2x)^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$(2-2x)(4+4x+4x^2)$","$(2-2x)(4-4x+4x^2)$","$(2+2x)(4-4x+4x^2)$","$(2x-2)(4+4x+4x^2)$"],"explanations":["Это $2^3-(2x)^3$; по формуле разности кубов получаем $(2-2x)(4+4x+4x^2)$.","Во втором множителе должен быть $a^2+ab+b^2$, а значит, средний член со знаком «+».","Первый множитель должен быть $2-2x$, а не $2+2x$.","$2x-2=-(2-2x)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Представьте $8$ как $2^3$, а второе слагаемое как $(2x)^3$.","$8-(2x)^3=2^3-(2x)^3=(2-2x)(2^2+2\\cdot 2x+(2x)^2)=(2-2x)(4+4x+4x^2)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $27-(3y)^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$(3-3y)(9+9y+9y^2)$","$(3-3y)(9-9y+9y^2)$","$(3+3y)(9-9y+9y^2)$","$(3y-3)(9+9y+9y^2)$"],"explanations":["Это $3^3-(3y)^3$, поэтому $(3-3y)(9+9y+9y^2)$.","Во втором множителе нужен знак «+» перед $ab=9y$.","Первый множитель должен быть $3-3y$.","$3y-3=-(3-3y)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Запишите $27$ как $3^3$.","$27-(3y)^3=3^3-(3y)^3=(3-3y)(3^2+3\\cdot 3y+(3y)^2)=(3-3y)(9+9y+9y^2)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $64-(2a)^3$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$(4-2a)(16+8a+4a^2)$","$(4-2a)(16-8a+4a^2)$","$(4+2a)(16-8a+4a^2)$","$(2a-4)(16+8a+4a^2)$"],"explanations":["Это $4^3-(2a)^3$; применяем формулу разности кубов.","Во втором множителе должен быть $a^2+ab+b^2$, то есть $16+8a+4a^2$.","Первый множитель должен быть $4-2a$.","$2a-4=-(4-2a)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$.","Возьмите $u=4$, $v=2a$.","$64-(2a)^3=4^3-(2a)^3=(4-2a)(4^2+4\\cdot 2a+(2a)^2)=(4-2a)(16+8a+4a^2)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $x^3-64$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$(x-4)(x^2+4x+16)$","$(x-4)(x^2-4x+16)$","$(x+4)(x^2-4x+16)$","$(4-x)(x^2+4x+16)$"],"explanations":["Это разность кубов: $x^3-4^3=(x-4)(x^2+4x+16)$.","Во втором множителе должен быть $x^2+4x+16$, знак перед $4x$ — «+».","Первый множитель должен быть $x-4$, а не $x+4$.","$4-x=-(x-4)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Представьте $64$ как $4^3$.","$x^3-64=x^3-4^3=(x-4)(x^2+4x+16)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $(2x)^3-1$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["$(2x-1)(4x^2+2x+1)$","$(2x-1)(4x^2-2x+1)$","$(2x+1)(4x^2-2x+1)$","$(1-2x)(4x^2+2x+1)$"],"explanations":["Это $u^3-v^3$ при $u=2x$, $v=1$: $(2x-1)((2x)^2+(2x)\\cdot 1+1^2)$.","Во втором множителе должен быть средний член $+2x$.","Первый множитель должен быть $2x-1$, а не $2x+1$.","$1-2x=-(2x-1)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$.","Возьмите $u=2x$, $v=1$.","$(2x)^3-1=(2x)^3-1^3=(2x-1)((2x)^2+2x\\cdot 1+1)=(2x-1)(4x^2+2x+1)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $(3k)^3-8$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["$(3k-2)(9k^2+6k+4)$","$(3k-2)(9k^2-6k+4)$","$(3k+2)(9k^2-6k+4)$","$(2-3k)(9k^2+6k+4)$"],"explanations":["Это $u^3-v^3$ при $u=3k$, $v=2$: $(3k-2)((3k)^2+(3k)\\cdot 2+2^2)$.","Во втором множителе средний член должен быть $+6k$.","Первый множитель должен быть $3k-2$.","$2-3k=-(3k-2)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте $u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$.","Представьте $8$ как $2^3$.","$(3k)^3-8=(3k)^3-2^3=(3k-2)((3k)^2+(3k)\\cdot 2+2^2)=(3k-2)(9k^2+6k+4)$."]},{"content":"Выберите вариант, где выражение $a^3-27$ было правильно представлено как произведение многочленов.[[choice-15]]","widgets":{"choice-15":{"type":"choice","options":["$(a-3)(a^2+3a+9)$","$(a-3)(a^2-3a+9)$","$(a+3)(a^2-3a+9)$","$(3-a)(a^2+3a+9)$"],"explanations":["Это разность кубов: $a^3-3^3=(a-3)(a^2+3a+9)$.","Во втором множителе должен быть средний член $+3a$.","Первый множитель должен быть $a-3$, а не $a+3$.","$3-a=-(a-3)$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.","Представьте $27$ как $3^3$.","$a^3-27=a^3-3^3=(a-3)(a^2+3a+9)$."]}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Выберите верный вариант преобразования $8+x^3$ в произведение многочленов.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(2+x)(4-2x+x^2)$","$(2+x)(4+2x+x^2)$","$(2-x)(4-2x+x^2)$","$(2+x)(4-2x-x^2)$"],"explanations":["Использована формула $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ при $a=2$, $b=x$.","Знак перед средним членом должен быть минус: $a^2-ab+b^2$.","В первом множителе должен быть $a+b$, а не $a-b$.","Последний член должен быть $+x^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Воспользуйтесь формулой суммы кубов:<br>$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Представьте $8$ как $2^3$.","$8+x^3=2^3+x^3=(2+x)(2^2-2x+x^2)=(2+x)(4-2x+x^2)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $27+t^3$ в произведение многочленов.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$(3+t)(9-3t+t^2)$","$(3+t)(9+3t+t^2)$","$(3-t)(9-3t+t^2)$","$(3+t)(9-3t-t^2)$"],"explanations":["Это разложение по формуле суммы кубов при $a=3$, $b=t$.","Во втором множителе должен быть средний член со знаком минус.","Первый множитель должен быть $(a+b)$.","Последний член во втором множителе равен $+t^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Запишите $27$ как $3^3$.","$27+t^3=3^3+t^3=(3+t)(3^2-3t+t^2)=(3+t)(9-3t+t^2)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $125+y^3$ в произведение многочленов.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(5+y)(25-5y+y^2)$","$(5+y)(25+5y+y^2)$","$(5-y)(25-5y+y^2)$","$(5+y)(25-5y-y^2)$"],"explanations":["Применена формула суммы кубов: $125=5^3$.","Во втором множителе нужен вид $a^2-ab+b^2$.","Первый множитель должен быть $(5+y)$.","Последний член должен быть $+y^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Представьте $125$ как $5^3$.","$125+y^3=5^3+y^3=(5+y)(25-5y+y^2)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $1+m^3$ в произведение многочленов.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$(1+m)(1-m+m^2)$","$(1+m)(1+m+m^2)$","$(1-m)(1-m+m^2)$","$(1+m)(1-m-m^2)$"],"explanations":["$1=1^3$, затем применяем $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Средний член во втором множителе должен быть со знаком минус.","В первом множителе должен быть знак плюс.","Последний член должен быть $+m^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Воспользуйтесь формулой $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Запишите $1$ как $1^3$.","$1+m^3=1^3+m^3=(1+m)(1-m+m^2)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $216+p^3$ в произведение многочленов.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$(6+p)(36-6p+p^2)$","$(6+p)(36+6p+p^2)$","$(6-p)(36-6p+p^2)$","$(6+p)(36-6p-p^2)$"],"explanations":["$216=6^3$, далее формула суммы кубов.","Должно быть $36-6p+p^2$, а не $36+6p+p^2$.","Первый множитель — $(6+p)$.","Последний член во втором множителе — $+p^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Представьте $216$ как $6^3$.","$216+p^3=6^3+p^3=(6+p)(36-6p+p^2)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $343+q^3$ в произведение многочленов.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$(7+q)(49-7q+q^2)$","$(7+q)(49+7q+q^2)$","$(7-q)(49-7q+q^2)$","$(7+q)(49-7q-q^2)$"],"explanations":["$343=7^3$, применена формула суммы кубов.","Во втором множителе средний член должен быть $-7q$.","Первый множитель должен быть $(7+q)$.","Последний член — $+q^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Запишите $343$ как $7^3$.","$343+q^3=7^3+q^3=(7+q)(49-7q+q^2)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $64+z^3$ в произведение многочленов.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$(4+z)(16-4z+z^2)$","$(4+z)(16+4z+z^2)$","$(4-z)(16-4z+z^2)$","$(4+z)(16-4z-z^2)$"],"explanations":["Это формула суммы кубов при $a=4$, $b=z$.","Знак у среднего члена должен быть минус.","Нужен первый множитель $(4+z)$.","Последний член равен $+z^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Представьте $64$ как $4^3$.","$64+z^3=4^3+z^3=(4+z)(16-4z+z^2)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $1000+r^3$ в произведение многочленов.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$(10+r)(100-10r+r^2)$","$(10+r)(100+10r+r^2)$","$(10-r)(100-10r+r^2)$","$(10+r)(100-10r-r^2)$"],"explanations":["$1000=10^3$, далее применяется формула суммы кубов.","Во втором множителе должен быть $-10r$.","Первый множитель должен быть $(10+r)$.","Последний член должен быть $+r^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Представьте $1000$ как $10^3$.","$1000+r^3=10^3+r^3=(10+r)(100-10r+r^2)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $8+(2x)^3$ в произведение многочленов.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$(2+2x)(4-4x+4x^2)$","$(2+2x)(4+4x+4x^2)$","$(2-2x)(4-4x+4x^2)$","$(2+2x)(4-4x-4x^2)$"],"explanations":["Берем $a=2$, $b=2x$: $(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Во втором множителе должен быть $a^2-ab+b^2$, а не $a^2+ab+b^2$.","Первый множитель должен быть $(2+2x)$.","Последний член равен $+(2x)^2=4x^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Примените формулу $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Представьте $8$ как $2^3$ и рассмотрите $(2x)^3$ как куб второго слагаемого.","$8+(2x)^3=2^3+(2x)^3=(2+2x)(4-4x+4x^2)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $27+(3y)^3$ в произведение многочленов.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$(3+3y)(9-9y+9y^2)$","$(3+3y)(9+9y+9y^2)$","$(3-3y)(9-9y+9y^2)$","$(3+3y)(9-9y-9y^2)$"],"explanations":["Берем $a=3$, $b=3y$ и используем формулу суммы кубов.","Во втором множителе должен быть минус перед $ab$.","Первый множитель: $(a+b)$.","Последний член: $b^2=(3y)^2=9y^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Запишите $27$ как $3^3$ и возьмите второе слагаемое как $(3y)^3$.","$27+(3y)^3=3^3+(3y)^3=(3+3y)(9-9y+9y^2)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $64+(2a)^3$ в произведение многочленов.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$(4+2a)(16-8a+4a^2)$","$(4+2a)(16+8a+4a^2)$","$(4-2a)(16-8a+4a^2)$","$(4+2a)(16-8a-4a^2)$"],"explanations":["Берем $a=4$, $b=2a$ (в формуле суммы кубов лучше обозначить как $u=4$, $v=2a$).","Должно быть $u^2-uv+v^2$.","Первый множитель должен быть $(u+v)=(4+2a)$.","Последний член равен $v^2=(2a)^2=4a^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте $u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)$.","Представьте $64$ как $4^3$, а второе слагаемое — как $(2a)^3$.","$64+(2a)^3=4^3+(2a)^3=(4+2a)(16-8a+4a^2)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(2x)^3+1$ в произведение многочленов.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$(2x+1)(4x^2-2x+1)$","$(2x+1)(4x^2+2x+1)$","$(2x-1)(4x^2-2x+1)$","$(2x+1)(4x^2-2x-1)$"],"explanations":["Берем $u=2x$, $v=1$: $u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)$.","Средний член должен быть $-uv=-2x$.","Первый множитель должен быть $(2x+1)$.","Последний член во втором множителе равен $+1$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу суммы кубов $u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)$.","Рассмотрите $(2x)^3$ как $u^3$, а $1$ как $v^3$ при $v=1$.","$(2x)^3+1=(2x+1)((2x)^2-(2x)\\cdot 1+1^2)=(2x+1)(4x^2-2x+1)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(3k)^3+8$ в произведение многочленов.[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["$(3k+2)(9k^2-6k+4)$","$(3k+2)(9k^2+6k+4)$","$(3k-2)(9k^2-6k+4)$","$(3k+2)(9k^2-6k-4)$"],"explanations":["Берем $u=3k$, $v=2$: $u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)$.","Во втором множителе средний член должен быть $-uv=-6k$.","Первый множитель должен быть $(3k+2)$.","Последний член равен $v^2=4$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Формула: $u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)$.","Представьте $8$ как $2^3$, а первое слагаемое как $(3k)^3$.","$(3k)^3+8=(3k)^3+2^3=(3k+2)(9k^2-6k+4)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $x^3+64$ в произведение многочленов.[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["$(x+4)(x^2-4x+16)$","$(x+4)(x^2+4x+16)$","$(x-4)(x^2-4x+16)$","$(x+4)(x^2-4x-16)$"],"explanations":["Это сумма кубов: $x^3+4^3$.","Во втором множителе должен быть вид $x^2-4x+16$.","Первый множитель должен быть $(x+4)$.","Свободный член во втором множителе равен $16$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Примените формулу $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Представьте $64$ как $4^3$.","$x^3+64=x^3+4^3=(x+4)(x^2-4x+16)$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $a^3+27$ в произведение многочленов.[[choice-15]]","widgets":{"choice-15":{"type":"choice","options":["$(a+3)(a^2-3a+9)$","$(a+3)(a^2+3a+9)$","$(a-3)(a^2-3a+9)$","$(a+3)(a^2-3a-9)$"],"explanations":["Это сумма кубов: $a^3+3^3$.","Средний член во втором множителе должен быть $-3a$.","Первый множитель должен быть $(a+3)$.","Свободный член равен $9$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","Представьте $27$ как $3^3$.","$a^3+27=a^3+3^3=(a+3)(a^2-3a+9)$."]}],"mix":1}