Квадрат суммы и квадрат разности

{"questions":[{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-x-5)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-24]]","widgets":{"choice-24":{"type":"choice","options":["$x^2+10x+25$","$x^2-10x+25$","$-x^2-10x-25$","$x^2+5x+25$"],"explanations":["$(-x-5)=-(x+5)$, значит $(-x-5)^2=(x+5)^2=x^2+10x+25$.","Средний член у $(x+5)^2$ положительный: $2\\cdot x\\cdot 5=10x$.","Квадрат не может дать отрицательный старший коэффициент: $(-x)^2=x^2$.","Средний член должен быть $10x$, потому что есть множитель $2$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Заметим, что $(-x-5)=-(x+5)$. При возведении в квадрат знак минус исчезает: $(-x-5)^2=(x+5)^2$. По формуле квадрата суммы получаем $x^2+10x+25$.","hints":["Вынесите «минус» за скобки: $(-x-5)=-(x+5)$, затем примените $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.","$(-x-5)^2=(x+5)^2=x^2+2\\cdot x\\cdot 5+25=x^2+10x+25$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-a-7)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-25]]","widgets":{"choice-25":{"type":"choice","options":["$a^2+14a+49$","$a^2-14a+49$","$-a^2-14a-49$","$a^2+7a+49$"],"explanations":["$(-a-7)=-(a+7)$, поэтому квадрат равен $(a+7)^2=a^2+14a+49$.","Для суммы средний член положительный: $2\\cdot a\\cdot 7=14a$.","Квадрат $(-a)$ равен $a^2$, а не $-a^2$.","Средний член должен быть $14a$, а не $7a$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Выражение $(-a-7)^2$ — это квадрат суммы $(a+7)$, потому что $(-a-7)=-(a+7)$. Раскрываем: $a^2+14a+49$.","hints":["Преобразуйте к квадрату суммы: $(-a-7)^2=(a+7)^2$.","$(a+7)^2=a^2+2\\cdot a\\cdot 7+7^2=a^2+14a+49$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-3x-2)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-26]]","widgets":{"choice-26":{"type":"choice","options":["$9x^2+12x+4$","$9x^2-12x+4$","$3x^2+12x+4$","$9x^2+6x+4$"],"explanations":["$(-3x-2)=-(3x+2)$, значит квадрат равен $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$.","Средний член для суммы положительный: $2\\cdot 3x\\cdot 2=12x$.","$(3x)^2=9x^2$, а не $3x^2$.","Средний член должен быть $12x$ из-за множителя $2$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Так как $(-3x-2)=-(3x+2)$, то $(-3x-2)^2=(3x+2)^2$. Раскрываем по формуле: $9x^2+12x+4$.","hints":["Перепишите как квадрат суммы: $(-3x-2)^2=(3x+2)^2$.","$(3x+2)^2=(3x)^2+2\\cdot 3x\\cdot 2+2^2=9x^2+12x+4$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-2m-n)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-27]]","widgets":{"choice-27":{"type":"choice","options":["$4m^2+4mn+n^2$","$4m^2-4mn+n^2$","$2m^2+4mn+n^2$","$4m^2+2mn+n^2$"],"explanations":["$(-2m-n)=-(2m+n)$, значит квадрат равен $(2m+n)^2=4m^2+4mn+n^2$.","При сумме средний член имеет знак «+»: $2\\cdot 2m\\cdot n=4mn$.","$(2m)^2=4m^2$, а не $2m^2$.","Средний член равен $4mn$, а не $2mn$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Квадрат $(-2m-n)$ равен квадрату $(2m+n)$. По формуле квадрата суммы получаем $4m^2+4mn+n^2$.","hints":["Вынесите «минус»: $(-2m-n)=-(2m+n)$.","$(2m+n)^2=(2m)^2+2\\cdot 2m\\cdot n+n^2=4m^2+4mn+n^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-p-4q)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-28]]","widgets":{"choice-28":{"type":"choice","options":["$p^2+8pq+16q^2$","$p^2-8pq+16q^2$","$p^2+4pq+16q^2$","$-p^2-8pq-16q^2$"],"explanations":["$(-p-4q)=-(p+4q)$, поэтому $(-p-4q)^2=(p+4q)^2=p^2+8pq+16q^2$.","У квадрата суммы средний член положительный: $2\\cdot p\\cdot 4q=8pq$.","Не хватает множителя $2$ в среднем члене: должно быть $8pq$.","Квадрат не делает старший член отрицательным."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Здесь $(-p-4q)=-(p+4q)$, поэтому знак минус исчезает при возведении в квадрат. Получаем $p^2+8pq+16q^2$.","hints":["Перейдите к $(p+4q)^2$ и используйте $(a+b)^2$.","$(p+4q)^2=p^2+2\\cdot p\\cdot 4q+(4q)^2=p^2+8pq+16q^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-6a-b)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-29]]","widgets":{"choice-29":{"type":"choice","options":["$36a^2+12ab+b^2$","$36a^2-12ab+b^2$","$6a^2+12ab+b^2$","$36a^2+6ab+b^2$"],"explanations":["$(-6a-b)=-(6a+b)$, значит $(6a+b)^2=36a^2+12ab+b^2$.","При сумме средний член положительный: $2\\cdot 6a\\cdot b=12ab$.","$(6a)^2=36a^2$, а не $6a^2$.","Средний член должен быть $12ab$, а не $6ab$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Так как $(-6a-b)=-(6a+b)$, то при возведении в квадрат получаем $(6a+b)^2$. Раскрываем и получаем $36a^2+12ab+b^2$.","hints":["Сведите к квадрату суммы: $(-6a-b)^2=(6a+b)^2$.","$(6a+b)^2=(6a)^2+2\\cdot 6a\\cdot b+b^2=36a^2+12ab+b^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-t-11)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-30]]","widgets":{"choice-30":{"type":"choice","options":["$t^2+22t+121$","$t^2-22t+121$","$-t^2-22t-121$","$t^2+11t+121$"],"explanations":["$(-t-11)=-(t+11)$, значит квадрат равен $(t+11)^2=t^2+22t+121$.","Средний член у суммы положительный: $2\\cdot t\\cdot 11=22t$.","$(-t)^2=t^2$, старший член не может стать отрицательным.","Средний член должен быть $22t$, а не $11t$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Выражение $(-t-11)^2$ равно $(t+11)^2$. Раскрываем по формуле квадрата суммы: $t^2+22t+121$.","hints":["Преобразуйте к $(t+11)^2$.","$(t+11)^2=t^2+2\\cdot t\\cdot 11+11^2=t^2+22t+121$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-0{,}5y-3)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-31]]","widgets":{"choice-31":{"type":"choice","options":["$0{,}25y^2+3y+9$","$0{,}25y^2-3y+9$","$0{,}5y^2+3y+9$","$0{,}25y^2+1{,}5y+9$"],"explanations":["$(-0{,}5y-3)=-(0{,}5y+3)$, значит квадрат равен $(0{,}5y+3)^2=0{,}25y^2+3y+9$.","Средний член: $2\\cdot 0{,}5y\\cdot 3=3y$, знак «+».","$(0{,}5y)^2=0{,}25y^2$, а не $0{,}5y^2$.","Средний член должен быть $3y$ из-за множителя $2$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Минус перед скобками исчезает при возведении в квадрат: $(-0{,}5y-3)^2=(0{,}5y+3)^2$. Далее раскрываем: $0{,}25y^2+3y+9$.","hints":["Перепишите как $(0{,}5y+3)^2$ и раскройте по формуле квадрата суммы.","$(0{,}5y+3)^2=(0{,}5y)^2+2\\cdot 0{,}5y\\cdot 3+3^2=0{,}25y^2+3y+9$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-4x-5)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-32]]","widgets":{"choice-32":{"type":"choice","options":["$16x^2+40x+25$","$16x^2-40x+25$","$4x^2+40x+25$","$16x^2+20x+25$"],"explanations":["$(-4x-5)=-(4x+5)$, значит $(4x+5)^2=16x^2+40x+25$.","Средний член для суммы: $2\\cdot 4x\\cdot 5=40x$, знак «+».","$(4x)^2=16x^2$, а не $4x^2$.","Средний член должен быть $40x$, а не $20x$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Так как $(-4x-5)=-(4x+5)$, то квадрат равен $(4x+5)^2$. Раскрывая квадрат суммы, получаем $16x^2+40x+25$.","hints":["Сведите к $(4x+5)^2$.","$(4x+5)^2=16x^2+2\\cdot 4x\\cdot 5+25=16x^2+40x+25$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-7m-2n)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-33]]","widgets":{"choice-33":{"type":"choice","options":["$49m^2+28mn+4n^2$","$49m^2-28mn+4n^2$","$7m^2+28mn+4n^2$","$49m^2+14mn+4n^2$"],"explanations":["$(-7m-2n)=-(7m+2n)$, значит $(7m+2n)^2=49m^2+28mn+4n^2$.","Средний член у суммы положительный: $2\\cdot 7m\\cdot 2n=28mn$.","$(7m)^2=49m^2$, а не $7m^2$.","Средний член должен быть $28mn$, а не $14mn$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Возведение в квадрат убирает общий минус: $(-7m-2n)^2=(7m+2n)^2$. Далее по формуле квадрата суммы: $49m^2+28mn+4n^2$.","hints":["Перейдите к квадрату суммы: $(-7m-2n)^2=(7m+2n)^2$.","$(7m+2n)^2=(7m)^2+2\\cdot 7m\\cdot 2n+(2n)^2=49m^2+28mn+4n^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-c-0{,}2)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-34]]","widgets":{"choice-34":{"type":"choice","options":["$c^2+0{,}4c+0{,}04$","$c^2-0{,}4c+0{,}04$","$c^2+0{,}2c+0{,}04$","$-c^2-0{,}4c-0{,}04$"],"explanations":["$(-c-0{,}2)=-(c+0{,}2)$, значит квадрат равен $(c+0{,}2)^2=c^2+0{,}4c+0{,}04$.","Средний член у квадрата суммы: $2\\cdot c\\cdot 0{,}2=0{,}4c$.","Не хватает множителя $2$ в среднем члене.","Квадрат не делает выражение отрицательным целиком."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Так как $(-c-0{,}2)=-(c+0{,}2)$, то $(-c-0{,}2)^2=(c+0{,}2)^2$. Раскрываем: $c^2+0{,}4c+0{,}04$.","hints":["Запишите как $(c+0{,}2)^2$ и примените формулу $(a+b)^2$.","$(c+0{,}2)^2=c^2+2\\cdot c\\cdot 0{,}2+0{,}2^2=c^2+0{,}4c+0{,}04$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-5p-3q)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-35]]","widgets":{"choice-35":{"type":"choice","options":["$25p^2+30pq+9q^2$","$25p^2-30pq+9q^2$","$5p^2+30pq+9q^2$","$25p^2+15pq+9q^2$"],"explanations":["$(-5p-3q)=-(5p+3q)$, значит $(5p+3q)^2=25p^2+30pq+9q^2$.","Средний член для суммы положительный: $2\\cdot 5p\\cdot 3q=30pq$.","$(5p)^2=25p^2$, а не $5p^2$.","Средний член должен быть $30pq$, а не $15pq$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Общий минус в скобках не влияет после возведения в квадрат: $(-5p-3q)^2=(5p+3q)^2$. Раскрываем квадрат суммы: $25p^2+30pq+9q^2$.","hints":["Сведите к $(5p+3q)^2$.","$(5p+3q)^2=(5p)^2+2\\cdot 5p\\cdot 3q+(3q)^2=25p^2+30pq+9q^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-u-9v)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-36]]","widgets":{"choice-36":{"type":"choice","options":["$u^2+18uv+81v^2$","$u^2-18uv+81v^2$","$u^2+9uv+81v^2$","$-u^2-18uv-81v^2$"],"explanations":["$(-u-9v)=-(u+9v)$, значит квадрат равен $(u+9v)^2=u^2+18uv+81v^2$.","У квадрата суммы средний член положительный: $2\\cdot u\\cdot 9v=18uv$.","Не хватает множителя $2$ в среднем члене.","Квадрат не дает отрицательные коэффициенты у всех членов сразу."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Так как $(-u-9v)=-(u+9v)$, при возведении в квадрат получаем $(u+9v)^2$. Раскрываем: $u^2+18uv+81v^2$.","hints":["Перепишите как $(u+9v)^2$.","$(u+9v)^2=u^2+2\\cdot u\\cdot 9v+(9v)^2=u^2+18uv+81v^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(-1-2x)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-37]]","widgets":{"choice-37":{"type":"choice","options":["$4x^2+4x+1$","$4x^2-4x+1$","$x^2+4x+1$","$4x^2+2x+1$"],"explanations":["$(-1-2x)=-(1+2x)$, значит квадрат равен $(1+2x)^2=4x^2+4x+1$.","Средний член у суммы положительный: $2\\cdot 1\\cdot 2x=4x$.","$(2x)^2=4x^2$, а не $x^2$.","Средний член должен быть $4x$, а не $2x$."],"answer":[0]}},"step":1,"explanation":"Выражение $(-1-2x)^2$ равно $(1+2x)^2$. По формуле квадрата суммы получаем $4x^2+4x+1$.","hints":["Поменяйте порядок: $(-1-2x)=-(1+2x)$ и используйте $(a+b)^2$.","$(1+2x)^2=1^2+2\\cdot 1\\cdot 2x+(2x)^2=1+4x+4x^2=4x^2+4x+1$."]}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(6-a)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$36-12a+a^2$","$36+12a+a^2$","$a^2-12a-36$","$36+12a-a^2$"],"explanations":["Раскрытие по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.","Знак при среднем члене должен быть минус.","Свободный член должен быть положительным: $6^2=36$.","При квадрате разности коэффициент при $a^2$ всегда положительный."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Воспользуйтесь формулой квадрата разности:<br>$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.","$(6-a)^2=6^2-2\\cdot 6\\cdot a + a^2=36-12a+a^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(x-9)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x^2-18x+81$","$x^2+18x+81$","$x^2-18x-81$","$81-9x+x^2$"],"explanations":["Средний член равен $-2\\cdot x\\cdot 9=-18x$, свободный член $9^2=81$.","Это формула квадрата суммы.","Свободный член при квадрате всегда неотрицательный, здесь должен быть $+81$.","Средний член должен быть $-18x$, а не $-9x$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Примените формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ при $a=x$, $b=9$.","$(x-9)^2=x^2-2\\cdot x\\cdot 9+9^2=x^2-18x+81$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(5y-2)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$25y^2-20y+4$","$25y^2+20y+4$","$10y^2-20y+4$","$25y^2-4y+4$"],"explanations":["$ (5y)^2=25y^2$, средний член $-2\\cdot 5y\\cdot 2=-20y$, $2^2=4$.","Знак среднего члена должен быть минус.","Квадрат первого члена вычислен неверно: должно быть $25y^2$.","Средний член должен быть $-20y$, а не $-4y$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Рассмотрим $a=5y$, $b=2$ и формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.","$(5y-2)^2=(5y)^2-2\\cdot 5y\\cdot 2+2^2=25y^2-20y+4$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(3a-7)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$9a^2-42a+49$","$9a^2+42a+49$","$6a^2-42a+49$","$9a^2-21a+49$"],"explanations":["$ (3a)^2=9a^2$, средний член $-2\\cdot 3a\\cdot 7=-42a$, $7^2=49$.","Это квадрат суммы.","Квадрат первого члена неверный: должно быть $9a^2$.","Средний член должен быть $-42a$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Подставьте $a_1=3a$, $b_1=7$ в формулу квадрата разности.","$(3a-7)^2=9a^2-42a+49$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(2x-11)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$4x^2-44x+121$","$4x^2+44x+121$","$2x^2-44x+121$","$4x^2-22x+121$"],"explanations":["$ (2x)^2=4x^2$, средний член $-2\\cdot 2x\\cdot 11=-44x$, $11^2=121$.","Знак у среднего члена должен быть минус.","Квадрат $2x$ равен $4x^2$, а не $2x^2$.","Средний член должен быть $-44x$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ при $a=2x$, $b=11$.","$(2x-11)^2=4x^2-44x+121$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(4m-3n)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$16m^2-24mn+9n^2$","$16m^2+24mn+9n^2$","$8m^2-24mn+9n^2$","$16m^2-12mn+9n^2$"],"explanations":["Средний член равен $-2\\cdot 4m\\cdot 3n=-24mn$.","Это квадрат суммы.","Квадрат $4m$ равен $16m^2$.","Коэффициент при $mn$ должен быть $24$, а не $12$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Возьмите $a=4m$, $b=3n$ в формуле квадрата разности.","$(4m-3n)^2=(4m)^2-2\\cdot 4m\\cdot 3n+(3n)^2=16m^2-24mn+9n^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(p-2q)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$p^2-4pq+4q^2$","$p^2+4pq+4q^2$","$p^2-2pq+4q^2$","$p^2-4pq+2q^2$"],"explanations":["Средний член: $-2\\cdot p\\cdot 2q=-4pq$, последний: $(2q)^2=4q^2$.","Это квадрат суммы.","Средний член должен быть $-4pq$.","Последний член должен быть $4q^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Примените формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ при $a=p$, $b=2q$.","$(p-2q)^2=p^2-4pq+4q^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(7-2x)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$4x^2-28x+49$","$49-28x+2x^2$","$4x^2+28x+49$","$49-14x+4x^2$"],"explanations":["Если считать как $(7-2x)^2$, то $7^2=49$, средний член $-2\\cdot 7\\cdot 2x=-28x$, $(2x)^2=4x^2$. В стандартном виде: $4x^2-28x+49$.","Квадрат $2x$ равен $4x^2$, а не $2x^2$.","Знак среднего члена должен быть минус.","Средний член должен быть $-28x$, а не $-14x$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Рассмотрим $a=7$, $b=2x$ и формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.","$(7-2x)^2=49-28x+4x^2=4x^2-28x+49$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(0{,}5x-8)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$0{,}25x^2-8x+64$","$0{,}25x^2+8x+64$","$0{,}5x^2-8x+64$","$0{,}25x^2-4x+64$"],"explanations":["$(0{,}5x)^2=0{,}25x^2$, средний член $-2\\cdot 0{,}5x\\cdot 8=-8x$, $8^2=64$.","Это квадрат суммы.","Квадрат $0{,}5x$ равен $0{,}25x^2$.","Средний член должен быть $-8x$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ при $a=0{,}5x$, $b=8$.","$(0{,}5x-8)^2=0{,}25x^2-8x+64$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(a-\\frac{1}{3})^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$a^2-\\frac{2}{3}a+\\frac{1}{9}$","$a^2+\\frac{2}{3}a+\\frac{1}{9}$","$a^2-\\frac{1}{3}a+\\frac{1}{9}$","$a^2-\\frac{2}{3}a+\\frac{1}{3}$"],"explanations":["Средний член: $-2\\cdot a\\cdot \\frac{1}{3}=-\\frac{2}{3}a$, последний: $(\\frac{1}{3})^2=\\frac{1}{9}$.","Это квадрат суммы.","Коэффициент среднего члена должен быть $\\frac{2}{3}$.","Последний член должен быть $\\frac{1}{9}$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Подставьте $a_1=a$, $b_1=\\frac{1}{3}$ в формулу квадрата разности.","$(a-\\frac{1}{3})^2=a^2-\\frac{2}{3}a+\\frac{1}{9}$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(2a-\\frac{3}{2})^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$4a^2-6a+\\frac{9}{4}$","$4a^2+6a+\\frac{9}{4}$","$2a^2-6a+\\frac{9}{4}$","$4a^2-3a+\\frac{9}{4}$"],"explanations":["Средний член: $-2\\cdot 2a\\cdot \\frac{3}{2}=-6a$, последний: $(\\frac{3}{2})^2=\\frac{9}{4}$.","Это квадрат суммы.","Квадрат $2a$ равен $4a^2$.","Средний член должен быть $-6a$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Возьмите $a_1=2a$, $b_1=\\frac{3}{2}$ и примените $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.","$(2a-\\frac{3}{2})^2=4a^2-6a+\\frac{9}{4}$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(x-\\frac{y}{2})^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$x^2-xy+\\frac{y^2}{4}$","$x^2+xy+\\frac{y^2}{4}$","$x^2-\\frac{xy}{2}+\\frac{y^2}{4}$","$x^2-xy+\\frac{y^2}{2}$"],"explanations":["Средний член: $-2\\cdot x\\cdot \\frac{y}{2}=-xy$, последний: $(\\frac{y}{2})^2=\\frac{y^2}{4}$.","Это квадрат суммы.","Средний член должен быть $-xy$, а не $-\\frac{xy}{2}$.","Квадрат $\\frac{y}{2}$ равен $\\frac{y^2}{4}$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Примените формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ при $a=x$, $b=\\frac{y}{2}$.","$(x-\\frac{y}{2})^2=x^2-xy+\\frac{y^2}{4}$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(3x-0{,}2)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["$9x^2-1{,}2x+0{,}04$","$9x^2+1{,}2x+0{,}04$","$3x^2-1{,}2x+0{,}04$","$9x^2-0{,}6x+0{,}04$"],"explanations":["Средний член: $-2\\cdot 3x\\cdot 0{,}2=-1{,}2x$, последний: $0{,}2^2=0{,}04$.","Это квадрат суммы.","Квадрат $3x$ равен $9x^2$.","Средний член должен быть $-1{,}2x$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Возьмите $a=3x$, $b=0{,}2$ и раскройте квадрат разности.","$(3x-0{,}2)^2=9x^2-1{,}2x+0{,}04$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(a-4b)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["$a^2-8ab+16b^2$","$a^2+8ab+16b^2$","$a^2-4ab+16b^2$","$a^2-8ab+8b^2$"],"explanations":["Средний член: $-2\\cdot a\\cdot 4b=-8ab$, последний: $(4b)^2=16b^2$.","Это квадрат суммы.","Средний член должен быть $-8ab$.","Квадрат $4b$ равен $16b^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ при $b=4b$.","$(a-4b)^2=a^2-8ab+16b^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(10t-s)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-15]]","widgets":{"choice-15":{"type":"choice","options":["$100t^2-20ts+s^2$","$100t^2+20ts+s^2$","$10t^2-20ts+s^2$","$100t^2-10ts+s^2$"],"explanations":["Средний член: $-2\\cdot 10t\\cdot s=-20ts$, первый: $(10t)^2=100t^2$.","Это квадрат суммы.","Квадрат $10t$ равен $100t^2$.","Средний член должен быть $-20ts$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Рассмотрим $a=10t$, $b=s$ и применим формулу квадрата разности.","$(10t-s)^2=(10t)^2-2\\cdot 10t\\cdot s+s^2=100t^2-20ts+s^2$."]}]}

{"questions":[{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(8+b)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$64+16b+b^2$","$16+64b+b^2$","$64+8b^2+2b$","$64-16b+b^2$"],"explanations":["Раскрытие по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ дает $64+16b+b^2$.","Квадрат 8 равен 64, а не 16; коэффициент при $b$ тоже не совпадает.","Коэффициент при $b$ должен быть $16b$, а не $2b$; также перепутаны слагаемые.","Здесь получилась бы формула квадрата разности, но знак должен быть «+»."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Воспользуйтесь формулой квадрата суммы:<br />$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.","$(8+b)^2=8^2+2\\cdot 8\\cdot b +b^2=64+16b+b^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(x+5)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["$x^2+10x+25$","$x^2+5x+25$","$x^2-10x+25$","$x^2+10x-25$"],"explanations":["По формуле $(x+5)^2=x^2+2\\cdot x\\cdot 5+25$.","Пропущен множитель 2 в среднем члене.","Это раскрытие для $(x-5)^2$.","Последнее слагаемое должно быть $+25$, так как $5^2=25$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.","$(x+5)^2=x^2+2\\cdot x\\cdot 5+5^2=x^2+10x+25$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(2y+3)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["$4y^2+12y+9$","$4y^2+6y+9$","$2y^2+12y+9$","$4y^2-12y+9$"],"explanations":["$(2y)^2=4y^2$, средний член: $2\\cdot (2y)\\cdot 3=12y$, и $3^2=9$.","В среднем члене забыли множитель 2.","Неверно возведено в квадрат выражение $2y$.","Знак среднего члена должен быть «+», так как стоит сумма."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Если $a=2y$, $b=3$, то $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.","$(2y+3)^2=(2y)^2+2\\cdot(2y)\\cdot 3+3^2=4y^2+12y+9$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(3a+1)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-15]]","widgets":{"choice-15":{"type":"choice","options":["$9a^2+6a+1$","$9a^2+3a+1$","$6a^2+6a+1$","$9a^2-6a+1$"],"explanations":["$(3a)^2=9a^2$, средний член $2\\cdot 3a\\cdot 1=6a$.","Средний член должен быть $6a$.","Неверно возведено в квадрат $3a$.","Знак среднего члена должен быть «+»."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$(3a+1)^2=(3a)^2+2\\cdot 3a\\cdot 1+1^2$.","Получаем $9a^2+6a+1$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(m+7)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-16]]","widgets":{"choice-16":{"type":"choice","options":["$m^2+14m+49$","$m^2+7m+49$","$m^2-14m+49$","$m^2+14m-49$"],"explanations":["Средний член равен $2\\cdot m\\cdot 7=14m$, последний — $49$.","Здесь не хватает множителя 2.","Это формула для квадрата разности $(m-7)^2$.","Последнее слагаемое всегда положительно: $7^2=49$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$(m+7)^2=m^2+2\\cdot m\\cdot 7+7^2$.","$m^2+14m+49$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(4x+5)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-17]]","widgets":{"choice-17":{"type":"choice","options":["$16x^2+40x+25$","$16x^2+20x+25$","$8x^2+40x+25$","$16x^2-40x+25$"],"explanations":["$(4x)^2=16x^2$, средний член $2\\cdot 4x\\cdot 5=40x$, $5^2=25$.","В среднем члене забыли множитель 2.","Неверно вычислено $(4x)^2$.","Знак среднего члена должен быть «+»."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Рассмотрим $a=4x$, $b=5$.","$(4x+5)^2=16x^2+40x+25$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(p+2q)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-18]]","widgets":{"choice-18":{"type":"choice","options":["$p^2+4pq+4q^2$","$p^2+2pq+4q^2$","$p^2-4pq+4q^2$","$p^2+4pq+2q^2$"],"explanations":["Средний член: $2\\cdot p\\cdot 2q=4pq$, второй квадрат: $(2q)^2=4q^2$.","Неверно найден средний член.","Знак среднего члена соответствует квадрату разности.","Неверно возведено в квадрат $2q$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$(p+2q)^2=p^2+2\\cdot p\\cdot 2q+(2q)^2$.","Получаем $p^2+4pq+4q^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(6+t)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-19]]","widgets":{"choice-19":{"type":"choice","options":["$t^2+12t+36$","$t^2+6t+36$","$t^2-12t+36$","$36+t$"],"explanations":["$(t+6)^2=t^2+2\\cdot t\\cdot 6+36$.","Нет множителя 2 в среднем члене.","Это раскрытие для $(t-6)^2$.","Квадрат суммы всегда дает многочлен второй степени."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Перестановка слагаемых не меняет сумму: $(6+t)^2=(t+6)^2$.","$(t+6)^2=t^2+12t+36$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(0{,}5x+2)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-20]]","widgets":{"choice-20":{"type":"choice","options":["$0{,}25x^2+2x+4$","$0{,}25x^2+x+4$","$0{,}5x^2+2x+4$","$0{,}25x^2-2x+4$"],"explanations":["$(0{,}5x)^2=0{,}25x^2$, средний член $2\\cdot 0{,}5x\\cdot 2=2x$, и $2^2=4$.","Неверно вычислен средний член.","Неверно возведено в квадрат $0{,}5x$.","Знак среднего члена должен быть «+»."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Пусть $a=0{,}5x$, $b=2$. Тогда $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.","$(0{,}5x+2)^2=0{,}25x^2+2x+4$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $\\left(\\frac{x}{3}+9\\right)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-21]]","widgets":{"choice-21":{"type":"choice","options":["$\\frac{x^2}{9}+6x+81$","$\\frac{x^2}{3}+6x+81$","$\\frac{x^2}{9}+3x+81$","$\\frac{x^2}{9}-6x+81$"],"explanations":["Средний член: $2\\cdot \\frac{x}{3}\\cdot 9=6x$, квадрат 9 равен 81.","Неверно найден квадрат $\\left(\\frac{x}{3}\\right)^2$.","Средний член должен быть $6x$.","Знак среднего члена должен быть «+»."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$\\left(\\frac{x}{3}+9\\right)^2=\\left(\\frac{x}{3}\\right)^2+2\\cdot \\frac{x}{3}\\cdot 9+9^2$.","Получаем $\\frac{x^2}{9}+6x+81$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(2a+3b)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-22]]","widgets":{"choice-22":{"type":"choice","options":["$4a^2+12ab+9b^2$","$4a^2+6ab+9b^2$","$2a^2+12ab+3b^2$","$4a^2-12ab+9b^2$"],"explanations":["Средний член: $2\\cdot (2a)\\cdot (3b)=12ab$.","В среднем члене отсутствует множитель 2.","Неверно возведены в квадрат и/или перемножены слагаемые.","Это было бы для $(2a-3b)^2$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Пусть $a_1=2a$, $b_1=3b$. Тогда $(a_1+b_1)^2=a_1^2+2a_1b_1+b_1^2$.","$(2a+3b)^2=4a^2+12ab+9b^2$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(k+1)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-23]]","widgets":{"choice-23":{"type":"choice","options":["$k^2+2k+1$","$k^2+k+1$","$k^2-2k+1$","$2k^2+2k+1$"],"explanations":["Средний член $2\\cdot k\\cdot 1=2k$.","Средний член должен быть $2k$.","Это раскрытие квадрата разности.","Неверно найден квадрат $k$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["$(k+1)^2=k^2+2k+1$.","Проверьте, что средний член равен $2k$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(5y+0{,}2)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-24]]","widgets":{"choice-24":{"type":"choice","options":["$25y^2+2y+0{,}04$","$25y^2+y+0{,}04$","$5y^2+2y+0{,}04$","$25y^2-2y+0{,}04$"],"explanations":["Средний член: $2\\cdot 5y\\cdot 0{,}2=2y$, квадрат $0{,}2$ равен $0{,}04$.","Средний член должен быть $2y$.","Неверно возведено в квадрат $5y$.","Знак среднего члена должен быть «+»."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Используйте $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ при $a=5y$, $b=0{,}2$.","$(5y+0{,}2)^2=25y^2+2y+0{,}04$."]},{"content":"Выберите верный вариант преобразования $(3-2x)^2$ в многочлен стандартного вида.[[choice-25]]","widgets":{"choice-25":{"type":"choice","options":["$4x^2-12x+9$","$4x^2+12x+9$","$9-4x^2$","$4x^2-6x+9$"],"explanations":["Это квадрат разности: $(3-2x)^2=3^2-2\\cdot 3\\cdot 2x+(2x)^2=9-12x+4x^2$, в стандартном виде $4x^2-12x+9$.","Знак среднего члена должен быть «−», так как в скобках разность.","При раскрытии появляются все три члена, а не два.","Средний член равен $-12x$, а не $-6x$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Преобразуйте выражение к виду суммы: $(3-2x)^2=(3+(-2x))^2$ и примените $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.","$3^2+2\\cdot 3\\cdot (-2x)+(-2x)^2=9-12x+4x^2=4x^2-12x+9$."]}]}