Сумма и разность кубов

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Распределите выражения: какие из них — сумма или разность кубов одночленов с целыми коэффициентами, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Сумма или разность кубов","Не сумма и не разность кубов"],"items":[["$x^3-64$","$8+a^3$","$27b^3-1$"],["$x^3-16$","$a^2+8$","$9y^3+1$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Кубы целых чисел: $1$, $8$, $27$, $64$, $125$. Одночлен $8m^3=(2m)^3$ — куб, а $4m^3$ и $9y^3$ — нет: $4$ и $9$ не кубы.","Буква во второй степени — квадрат, а не куб: $a^2$ и $c^2$ не подходят.","Сумма или разность кубов: $x^3-64$, $8+a^3$, $27b^3-1$. Нет: $x^3-16$, $a^2+8$, $9y^3+1$."],"step":1},{"id":"1","content":"Распределите выражения: какие из них — сумма или разность кубов одночленов с целыми коэффициентами, а какие нет.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Сумма или разность кубов","Не сумма и не разность кубов"],"items":[["$y^3+1$","$125-c^3$","$8m^3-27$"],["$y^3-36$","$c^2-8$","$4m^3+1$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Кубы целых чисел: $1$, $8$, $27$, $64$, $125$. Одночлен $8m^3=(2m)^3$ — куб, а $4m^3$ и $9y^3$ — нет: $4$ и $9$ не кубы.","Буква во второй степени — квадрат, а не куб: $a^2$ и $c^2$ не подходят.","Сумма или разность кубов: $y^3+1$, $125-c^3$, $8m^3-27$. Нет: $y^3-36$, $c^2-8$, $4m^3+1$."],"step":1},{"id":"2","content":"Разложите на множители: $y^3-216$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(y-6)(y^2+6y+36)$","$(y-6)(y^2+12y+36)$","$(y-6)(y^2-6y+36)$","$(y-6)^3$"],"explanations":["","Это полный квадрат $(y+6)^2$: у $ab$ нет множителя 2","Во втором множителе разности кубов перед $ab$ плюс","Куб разности не равен разности кубов"],"answer":[0]}},"hints":["$216=6^3$.","Разность кубов: $(y-6)(y^2+6y+36)$."],"step":1},{"id":"2","content":"Разложите на множители: $27k^3-64$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$(3k-4)(9k^2-12k+16)$","$(3k-4)^3$","$(3k-4)(9k^2+12k+16)$","$(3k-4)(3k^2+12k+16)$"],"explanations":["Во втором множителе разности кубов перед $ab$ плюс","Куб разности не равен разности кубов","","$(3k)^2=9k^2$: коэффициент 3 тоже возводят в квадрат"],"answer":[2]}},"hints":["$27k^3=(3k)^3$ и $64=4^3$.","Разность кубов: $(3k-4)(9k^2+12k+16)$."],"step":1},{"id":"3","content":"Разложите на множители: $z^3+343$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(z+7)(z^2-7z+49)$","$(z+7)^3$","$(z+7)(z^2+7z+49)$","$(z+7)(z^2-14z+49)$"],"explanations":["","Куб суммы не равен сумме кубов","Во втором множителе суммы кубов перед $ab$ минус","Это полный квадрат $(z-7)^2$: у $ab$ нет множителя 2"],"answer":[0]}},"hints":["$343=7^3$.","Сумма кубов: $(z+7)(z^2-7z+49)$."],"step":1},{"id":"3","content":"Разложите на множители: $27t^3+8$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$(3t+2)(9t^2+6t+4)$","$(3t+2)(3t^2-6t+4)$","$(3t+2)^3$","$(3t+2)(9t^2-6t+4)$"],"explanations":["Во втором множителе суммы кубов перед $ab$ минус","$(3t)^2=9t^2$: коэффициент 3 тоже возводят в квадрат","Куб суммы не равен сумме кубов",""],"answer":[3]}},"hints":["$27t^3=(3t)^3$ и $8=2^3$.","Сумма кубов: $(3t+2)(9t^2-6t+4)$."],"step":1},{"id":"4","content":"Для любого натурального $n>1$ число $n^3-1$ делится нацело на...[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$n^2-1$","$n+1$","$n-1$","$n^2+1$"],"explanations":["При $n=3$: $26$ не делится на $8$","При $n=2$: $7$ не делится на $3$","","При $n=2$: $7$ не делится на $5$"],"answer":[2]}},"hints":["$n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$ — один из множителей равен $n-1$.","Значит, число делится на $n-1$ при $n>1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Для любого натурального $n$ число $n^3+1$ делится нацело на...[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$n+1$","$n-1$","$n^2-1$","$n^2+1$"],"explanations":["","При $n=4$: $65$ не делится на $3$","При $n=3$: $28$ не делится на $8$","При $n=2$: $9$ не делится на $5$"],"answer":[0]}},"hints":["$n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$ — один из множителей равен $n+1$.","Значит, число делится на $n+1$ при любом $n$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Соотнесите выражение и его разложение на множители. Два разложения лишние.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^3-8$","$x^3+8$","$x^3-1$"],"items":["$(x-2)(x^2+2x+4)$","$(x+2)(x^2-2x+4)$","$(x-1)(x^2+x+1)$","$(x-2)(x^2-2x+4)$","$(x-2)(x^2+4x+4)$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и разложение","hints":["Разность кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$; сумма кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","$8=2^3$ и $1=1^3$. Во втором множителе стоит неполный квадрат: у $2x$ нет множителя 2.","Ответ: $x^3-8$ — $(x-2)(x^2+2x+4)$; $x^3+8$ — $(x+2)(x^2-2x+4)$; $x^3-1$ — $(x-1)(x^2+x+1)$."],"step":1},{"id":"5","content":"Соотнесите выражение и его разложение на множители. Два разложения лишние.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$y^3-27$","$y^3+27$","$y^3-1$"],"items":["$(y-3)(y^2+3y+9)$","$(y+3)(y^2-3y+9)$","$(y-1)(y^2+y+1)$","$(y-3)(y^2-3y+9)$","$(y-3)(y^2+6y+9)$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и разложение","hints":["Разность кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$; сумма кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.","$27=3^3$ и $1=1^3$. Во втором множителе стоит неполный квадрат: у $3y$ нет множителя 2.","Ответ: $y^3-27$ — $(y-3)(y^2+3y+9)$; $y^3+27$ — $(y+3)(y^2-3y+9)$; $y^3-1$ — $(y-1)(y^2+y+1)$."],"step":1},{"id":"6","content":"Вычислите, используя формулу разности кубов: $11^3-9^3$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"602"}},"hints":["Разность кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, $a=11$, $b=9$.","$11-9=2$; $121+99+81=301$.","$2\\cdot 301=602$. Ответ: 602."],"step":1},{"id":"6","content":"Вычислите, используя формулу суммы кубов: $12^3+8^3$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"2240"}},"hints":["Сумма кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, $a=12$, $b=8$.","$12+8=20$; $144-96+64=112$.","$20\\cdot 112=2240$. Ответ: 2240."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр записал: $(x+2)^3=x^3+8$. В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Надо было записать $x^3+6x+8$","Надо было записать $(x+2)(x^2-2x+4)$","Ошибки нет: возведение в куб распределяется по слагаемым","Куб суммы не равен сумме кубов: при $x=1$ слева $27$, справа $9$"],"explanations":["Куб суммы — это $x^3+6x^2+12x+8$: потеряны два слагаемых, а не одно","Это разложение суммы кубов $x^3+8$, а не куб суммы $(x+2)^3$","При $x=1$ слева $27$, справа $9$: значения различны",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверим при $x=1$: слева $(1+2)^3=27$.","Справа $1+8=9$ — значения различны.","Куб суммы нельзя заменить суммой кубов: у него еще два слагаемых с $a^2b$ и $ab^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр записал: $(m+3)^3=m^3+27$. В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Куб суммы не равен сумме кубов: при $m=1$ слева $64$, справа $28$","Ошибки нет: возведение в куб распределяется по слагаемым","Надо было записать $m^3+9m+27$","Надо было записать $(m+3)(m^2-3m+9)$"],"explanations":["","При $m=1$ слева $64$, справа $28$: значения различны","Куб суммы — это $m^3+9m^2+27m+27$: потеряны два слагаемых, а не одно","Это разложение суммы кубов $m^3+27$, а не куб суммы $(m+3)^3$"],"answer":[0]}},"hints":["Проверим при $m=1$: слева $(1+3)^3=64$.","Справа $1+27=28$ — значения различны.","Куб суммы нельзя заменить суммой кубов: у него еще два слагаемых с $a^2b$ и $ab^2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр разложил на множители: $x^3-64=(x-4)(x+4)^2$. Найдите ошибку.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, Решавр прав","Первый множитель — сумма $(x+4)$","Второй множитель — неполный квадрат, а не $(x+4)^2$","Должно быть $(x-4)^3$"],"explanations":["Проверка при $x=1$: слева $-63$, справа $-75$ — значения различны","Для разности кубов первый множитель — разность $x-4$; ошибка во втором множителе","","Куб разности не равен разности кубов: при $x=1$ получится $-27$, а не $-63$"],"answer":[2]}},"hints":["$64=4^3$, это разность кубов: $a=x$, $b=4$.","Второй множитель — неполный квадрат суммы: $x^2+4x+16$, а $(x+4)^2=x^2+8x+16$.","Проверка при $x=1$: слева $-63$, справа $-75$. Верно: $(x-4)(x^2+4x+16)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр разложил на множители: $y^3-125=(y-5)(y+5)^2$. Найдите ошибку.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Должно быть $(y-5)^3$","Ошибки нет, Решавр прав","Второй множитель — неполный квадрат, а не $(y+5)^2$","Первый множитель — сумма $(y+5)$"],"explanations":["Куб разности не равен разности кубов: при $y=1$ получится $-64$, а не $-124$","Проверка при $y=1$: слева $-124$, справа $-144$ — значения различны","","Для разности кубов первый множитель — разность $y-5$; ошибка во втором множителе"],"answer":[2]}},"hints":["$125=5^3$, это разность кубов: $a=y$, $b=5$.","Второй множитель — неполный квадрат суммы: $y^2+5y+25$, а $(y+5)^2=y^2+10y+25$.","Проверка при $y=1$: слева $-124$, справа $-144$. Верно: $(y-5)(y^2+5y+25)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр свернул произведение по формуле: $(y+5)(y^2+5y+25)=y^3+125$. Найдите ошибку.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Должно быть $y^3-125$","Ошибки нет, Решавр прав","Перед $5y$ нужен минус","Должно быть $(y+5)^3$"],"explanations":["Разность кубов дает первый множитель $(y-5)$, а здесь сумма $(y+5)$","Проверка при $y=1$: произведение равно $186$, а $y^3+125$ равно $126$","","Куб суммы содержит еще слагаемые с $y^2$ и $y$; формулу так не свернуть"],"answer":[2]}},"hints":["Формула суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ — перед $ab$ стоит минус.","Во втором множителе у Решавра перед $5y$ плюс, значит, это не формула суммы кубов.","Проверка при $y=1$: слева $186$, справа $126$. Верно: $(y+5)(y^2-5y+25)=y^3+125$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр свернул произведение по формуле: $(2m+1)(4m^2+2m+1)=8m^3+1$. Найдите ошибку.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, Решавр прав","Должно быть $(2m+1)^3$","Должно быть $8m^3-1$","Перед $2m$ нужен минус"],"explanations":["Проверка при $m=1$: произведение равно $21$, а $8m^3+1$ равно $9$","Куб суммы содержит еще слагаемые с $m^2$ и $m$; формулу так не свернуть","Разность кубов дает первый множитель $(2m-1)$, а здесь сумма $(2m+1)$",""],"answer":[3]}},"hints":["Формула суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ — перед $ab$ стоит минус.","Во втором множителе у Решавра перед $2m$ плюс, значит, это не формула суммы кубов.","Проверка при $m=1$: слева $21$, справа $9$. Верно: $(2m+1)(4m^2-2m+1)=8m^3+1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сколько корней имеет уравнение $x^3-27=0$?[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["Два корня","Корней нет","Три корня","Один корень"],"explanations":["Второй множитель — неполный квадрат, он всегда положителен; ошибочно ищут два корня как у разности квадратов","Число $x=3$ подходит: $3^3-27=0$","Кубическое уравнение может иметь три корня, но здесь неполный квадрат положителен и корней не дает",""],"answer":[3]}},"hints":["Разложим левую часть: $x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$.","Произведение равно нулю, если нулю равен один из множителей: $x-3=0$ или $x^2+3x+9=0$.","Неполный квадрат $x^2+3x+9$ при любом $x$ положителен, корней у него нет. Остается один корень $x=3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сколько корней имеет уравнение $x^3+125=0$?[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["Корней нет","Один корень","Три корня","Два корня"],"explanations":["Число $x=-5$ подходит: $-5^3+125=0$","","Кубическое уравнение может иметь три корня, но здесь неполный квадрат положителен и корней не дает","Ошибочно считают корни $5$ и $-5$ как у разности квадратов, но $5^3=125$, а не $-125$"],"answer":[1]}},"hints":["Разложим левую часть: $x^3+125=(x+5)(x^2-5x+25)$.","Произведение равно нулю, если нулю равен один из множителей: $x+5=0$ или $x^2-5x+25=0$.","Неполный квадрат $x^2-5x+25$ при любом $x$ положителен, корней у него нет. Остается один корень $x=-5$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>