Разложение на множители: комбинирование способов

Тест по уроку «Разложение на множители: комбинирование способов». 10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Разложите на множители до конца: $4a^3b-ab^3$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$ab(2a-b)(2a+b)$","$ab(4a^2-b^2)$","$a(2a-b)(2a+b)$","$ab(2a-b)^2$"],"explanations":["","Не до конца: $4a^2-b^2 = (2a-b)(2a+b)$ — разность квадратов.","Потерян множитель $b$: $a(2a-b)(2a+b) = 4a^3-ab^2$, а не $4a^3b-ab^3$.","Квадрат разности: $(2a-b)^2 = 4a^2-4ab + b^2$, а не $4a^2-b^2$."],"answer":[0]}},"hints":["Общий множитель: $ab$. Получаем $ab(4a^2-b^2)$.","$4a^2-b^2 = (2a)^2-b^2 = (2a-b)(2a+b)$, ответ $ab(2a-b)(2a+b)$."],"step":1},{"id":"1","content":"Разложите на множители до конца: $9x^3y-xy^3$[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$xy(3x-y)(3x+y)$","$xy(9x^2-y^2)$","$x(3x-y)(3x+y)$","$xy(3x-y)^2$"],"explanations":["","Не до конца: $9x^2-y^2 = (3x-y)(3x+y)$ — разность квадратов.","Потерян множитель $y$: $x(3x-y)(3x+y) = 9x^3-xy^2$, а не $9x^3y-xy^3$.","Квадрат разности: $(3x-y)^2 = 9x^2-6xy + y^2$, а не $9x^2-y^2$."],"answer":[0]}},"hints":["Общий множитель: $xy$. Получаем $xy(9x^2-y^2)$.","$9x^2-y^2 = (3x)^2-y^2 = (3x-y)(3x+y)$, ответ $xy(3x-y)(3x+y)$."],"step":1},{"id":"2","content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Сначала вынести общий множитель","Сразу формула","Сразу группировка"],"items":[["$2x^2-8$","$3a^2 + 6a + 3$","$5m^3-5m$"],["$x^2-16$","$y^2-10y + 25$","$9a^2-b^2$"],["$ax + ay + bx + by$","$x^3-2x^2 + x-2$"]]}},"instruction":"Распределите многочлены по первому шагу разложения","hints":["Сначала ищите общий множитель у всех членов. Если его нет — считайте члены: два или три — формула, четыре — группировка.","Общий множитель есть у $2x^2-8$ (число $2$), $3a^2 + 6a + 3$ (число $3$), $5m^3-5m$ ($5m$). Формулы: $x^2-16$, $y^2-10y + 25$, $9a^2-b^2$. Группировка: многочлены из четырех членов."],"step":1},{"id":"2","content":"[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Сначала вынести общий множитель","Сразу формула","Сразу группировка"],"items":[["$5y^2-20$","$2b^2-4b + 2$","$7x^3-7x$"],["$a^2-36$","$x^2 + 8x + 16$","$4m^2-n^2$"],["$mx-my + nx-ny$","$a^3 + a^2-4a-4$"]]}},"instruction":"Распределите многочлены по первому шагу разложения","hints":["Сначала ищите общий множитель у всех членов. Если его нет — считайте члены: два или три — формула, четыре — группировка.","Общий множитель есть у $5y^2-20$ (число $5$), $2b^2-4b + 2$ (число $2$), $7x^3-7x$ ($7x$). Формулы: $a^2-36$, $x^2 + 8x + 16$, $4m^2-n^2$. Группировка: многочлены из четырех членов."],"step":1},{"id":"3","content":"$-2x^2-20x-50 =$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$-2(x+5)^2$","$-2(x-5)^2$","$2(x+5)^2$","$-2(x+10)^2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Вынесем $-2$, поменяв знак у каждого члена: $-2(x^2 + 10x + 25)$. Без «минуса» получится противоположное выражение.","$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$, ответ $-2(x+5)^2$."],"step":1},{"id":"3","content":"$-3y^2 + 18y-27 =$[[fill_choice_big-2]]","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3(y-3)^2$","$-3(y+3)^2$","$3(y-3)^2$","$-3(y-9)^2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Вынесем $-3$, поменяв знак у каждого члена: $-3(y^2-6y + 9)$. Без «минуса» получится противоположное выражение.","$y^2-6y + 9 = (y-3)^2$, ответ $-3(y-3)^2$."],"step":1},{"id":"4","content":"Решите уравнение $x^3 = 25x$. Сколько корней у этого уравнения?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":["3"]}},"hints":["Не делите на $x$: перенесите все влево, $x^3-25x = 0$, и разложите: $x(x-5)(x+5) = 0$.","Корни: $0$, $5$ и $-5$ — всего $3$."],"step":1},{"id":"4","content":"Решите уравнение $x^3 = 49x$. Сколько корней у этого уравнения?[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","inline":1,"answer":["3"]}},"hints":["Не делите на $x$: перенесите все влево, $x^3-49x = 0$, и разложите: $x(x-7)(x+7) = 0$.","Корни: $0$, $7$ и $-7$ — всего $3$."],"step":1},{"id":"5","content":"Разложите на множители: $x^3 + 5x^2-9x-45$[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(x+5)(x-3)(x+3)$","$(x+5)(x^2-9)$","$(x-5)(x-3)(x+3)$","$(x+5)(x-3)^2$"],"explanations":["","Не до конца: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.","Ошибка в знаке: $x^2(x+5)-9(x+5)$, общая скобка $x + 5$, а не $x-5$.","$x^2-9$ — разность квадратов, а не квадрат разности: $(x-3)^2 = x^2-6x + 9$."],"answer":[0]}},"hints":["Группируем: $(x^3 + 5x^2)-(9x + 45) = x^2(x+5)-9(x+5)$.","$(x+5)(x^2-9) = (x+5)(x-3)(x+3)$."],"step":1},{"id":"5","content":"Разложите на множители: $a^3-5a^2-9a + 45$[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$(a-5)(a-3)(a+3)$","$(a-5)(a^2-9)$","$(a+5)(a-3)(a+3)$","$(a-5)(a-3)^2$"],"explanations":["","Не до конца: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.","Ошибка в знаке: $a^2(a-5)-9(a-5)$, общая скобка $a-5$, а не $a + 5$.","$a^2-9$ — разность квадратов, а не квадрат разности: $(a-3)^2 = a^2-6a + 9$."],"answer":[0]}},"hints":["Группируем: $(a^3-5a^2)-(9a-45) = a^2(a-5)-9(a-5)$.","$(a-5)(a^2-9) = (a-5)(a-3)(a+3)$."],"step":1},{"id":"6","content":"Ученик разложил $2x^3-18x = 2x(x-9)$ и проверил при $x = 0$ и $x = 1$: значения совпали. Что можно сказать о разложении?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Оно неверно: при $x = 2$ слева $-20$, справа $-28$","Оно верно: два совпадения достаточно","Оно верно, но не закончено","Проверять разложение числом нельзя"],"explanations":["","При $x = 0$ и $x = 1$ ошибки часто не видны. Возьмите $x = 2$: $16-36 = -20$, а $2 \\cdot 2 \\cdot (-7) = -28$.","Равенство неверно: $2x(x-9) = 2x^2-18x$, а не $2x^3-18x$. Верно $2x(x-3)(x+3)$.","Проверять числом можно: несовпадение значений точно указывает на ошибку. Важно выбрать удачное число, например $2$ или $3$."],"answer":[0]}}},{"id":"6","content":"Ученик разложил $3x^3-12x = 3x(x-4)$ и проверил при $x = 0$ и $x = 1$: значения совпали. Что можно сказать о разложении?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Оно неверно: при $x = 2$ слева $0$, справа $-12$","Оно верно: два совпадения достаточно","Оно верно, но не закончено","Проверять разложение числом нельзя"],"explanations":["","При $x = 0$ и $x = 1$ ошибки часто не видны. Возьмите $x = 2$: $24-24 = 0$, а $3 \\cdot 2 \\cdot (-2) = -12$.","Равенство неверно: $3x(x-4) = 3x^2-12x$, а не $3x^3-12x$. Верно $3x(x-2)(x+2)$.","Проверять числом можно: несовпадение значений точно указывает на ошибку. Важно выбрать удачное число, например $2$ или $3$."],"answer":[0]}}},{"id":"7","content":"Вычислите: $7 \\cdot 53^2-7 \\cdot 47^2 =$[[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","inline":1,"answer":["4200","4 200"]}},"hints":["Вынесем $7$: $7(53^2-47^2) = 7(53-47)(53 + 47)$.","$7 \\cdot 6 \\cdot 100 = 4200$"],"step":1},{"id":"7","content":"Вычислите: $4 \\cdot 64^2-4 \\cdot 36^2 =$[[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","inline":1,"answer":["11200","11 200"]}},"hints":["Вынесем $4$: $4(64^2-36^2) = 4(64-36)(64 + 36)$.","$4 \\cdot 28 \\cdot 100 = 11\\,200$"],"step":1},{"id":"8","content":"Разложите на множители: $a^2 + 2ab + b^2-5a-5b$[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$(a+b)(a+b-5)$","$(a+b)^2-5(a+b)$","$(a+b)(a+b+5)$","$(a+b-5)^2$"],"explanations":["","Это верное равенство, но не произведение: вынесите общий множитель $a + b$.","Ошибка в знаке: $-5a-5b = -5(a+b)$, поэтому во второй скобке $-5$.","Проверка при $a = 2$, $b = 1$: слева $4 + 4 + 1-10-5 = -6$, а $(2+1-5)^2 = 4$."],"answer":[0]}},"hints":["Группа из трех членов — полный квадрат: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$; из двух — $-5a-5b = -5(a+b)$.","Общий множитель $a + b$: $(a+b)^2-5(a+b) = (a+b)(a+b-5)$."],"step":1},{"id":"8","content":"Разложите на множители: $m^2-2mn + n^2 + 4m-4n$[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$(m-n)(m-n+4)$","$(m-n)^2 + 4(m-n)$","$(m-n)(m-n-4)$","$(m-n+4)^2$"],"explanations":["","Это верное равенство, но не произведение: вынесите общий множитель $m-n$.","Ошибка в знаке: $4m-4n = 4(m-n)$, поэтому во второй скобке $+4$.","Проверка при $m = 2$, $n = 1$: слева $4-4 + 1 + 8-4 = 5$, а $(2-1+4)^2 = 25$."],"answer":[0]}},"hints":["Группа из трех членов — полный квадрат: $m^2-2mn + n^2 = (m-n)^2$; из двух — $4m-4n = 4(m-n)$.","Общий множитель $m-n$: $(m-n)^2 + 4(m-n) = (m-n)(m-n+4)$."],"step":1},{"id":"9","content":"Решите уравнение $x^3 + x^2-9x-9 = 0$. Запишите произведение его корней.[[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["9"]}},"hints":["Группируем: $x^2(x+1)-9(x+1) = (x+1)(x^2-9) = (x+1)(x-3)(x+3)$.","Корни: $-1$, $3$, $-3$. Произведение $(-1) \\cdot 3 \\cdot (-3) = 9$."],"step":1},{"id":"9","content":"Решите уравнение $x^3 + 2x^2-16x-32 = 0$. Запишите произведение его корней.[[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["32"]}},"hints":["Группируем: $x^2(x+2)-16(x+2) = (x+2)(x^2-16) = (x+2)(x-4)(x+4)$.","Корни: $-2$, $4$, $-4$. Произведение $(-2) \\cdot 4 \\cdot (-4) = 32$."],"step":1},{"id":"10","content":"Разложите на множители до конца: $3x^3 + 6x^2-3x-6$[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$3(x+2)(x-1)(x+1)$","$3(x+2)(x^2-1)$","$(3x+6)(x-1)(x+1)$","$3(x-2)(x-1)(x+1)$"],"explanations":["","Не до конца: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.","Равенство верное, но в скобке $3x + 6$ остался общий множитель $3$ — его выносят вперед.","Ошибка в знаке: $x^2(x+2)-(x+2)$, общая скобка $x + 2$."],"answer":[0]}},"hints":["Общий множитель $3$: $3(x^3 + 2x^2-x-2)$.","Группировка: $x^2(x+2)-(x+2) = (x+2)(x^2-1)$.","Разность квадратов: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Ответ $3(x+2)(x-1)(x+1)$."],"step":1},{"id":"10","content":"Разложите на множители до конца: $2a^3-2a^2-18a + 18$[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$2(a-1)(a-3)(a+3)$","$2(a-1)(a^2-9)$","$(2a-2)(a-3)(a+3)$","$2(a+1)(a-3)(a+3)$"],"explanations":["","Не до конца: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.","Равенство верное, но в скобке $2a-2$ остался общий множитель $2$ — его выносят вперед.","Ошибка в знаке: $a^2(a-1)-9(a-1)$, общая скобка $a-1$."],"answer":[0]}},"hints":["Общий множитель $2$: $2(a^3-a^2-9a + 9)$.","Группировка: $a^2(a-1)-9(a-1) = (a-1)(a^2-9)$.","Разность квадратов: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$. Ответ $2(a-1)(a-3)(a+3)$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>