Формулы сокращенного умножения

Итоговый тест по теме «Формулы сокращенного умножения»: квадрат суммы и квадрат разности, разность квадратов, разложение на множители с помощью формул, вычисления и уравнения. Три формулы похожи, и главное — не перепутать квадрат разности с разностью квадратов. 10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Раскройте скобки: $(6a - 5b)^2$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$36a^2 - 25b^2$","$36a^2 - 30ab + 25b^2$","$36a^2 - 60ab + 25b^2$","$36a^2 - 60ab - 25b^2$","$6a^2 - 60ab + 5b^2$"],"explanations":["Потеряно удвоенное произведение $-60ab$. Квадрат разности — это не разность квадратов: $(6a - 5b)^2 \\ne (6a)^2 - (5b)^2$.","Произведение $6a \\cdot 5b = 30ab$ не удвоили. Средний член равен $2 \\cdot 6a \\cdot 5b = 60ab$.","","Квадрат второго выражения всегда со знаком «плюс»: $(-5b)^2 = 25b^2$.","Коэффициенты не возвели в квадрат: $(6a)^2 = 36a^2$, а не $6a^2$; $(5b)^2 = 25b^2$, а не $5b^2$."],"answer":[2]}},"hints":["Представьте площадь: квадрат со стороной $6a - 5b$ получится, если от квадрата со стороной $6a$ отрезать две полосы шириной $5b$. Угол $5b \\times 5b$ при этом отрезан дважды, поэтому его площадь возвращают.","Квадрат разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x = 6a$, $y = 5b$.","$(6a)^2 = 36a^2$, $2 \\cdot 6a \\cdot 5b = 60ab$, $(5b)^2 = 25b^2$.","$(6a - 5b)^2 = 36a^2 - 60ab + 25b^2$."],"explanation":"$(6a - 5b)^2 = (6a)^2 - 2 \\cdot 6a \\cdot 5b + (5b)^2 = 36a^2 - 60ab + 25b^2$. В квадрате двучлена всегда три члена: квадрат первого, удвоенное произведение и квадрат второго.","step":1},{"id":"1","content":"Раскройте скобки: $(7x + 3y)^2$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$49x^2 + 9y^2$","$49x^2 + 42xy + 9y^2$","$49x^2 + 21xy + 9y^2$","$14x^2 + 42xy + 9y^2$","$7x^2 + 42xy + 3y^2$"],"explanations":["Потеряно удвоенное произведение $42xy$. Квадрат суммы — это не сумма квадратов: $(7x + 3y)^2 \\ne (7x)^2 + (3y)^2$.","","Произведение $7x \\cdot 3y = 21xy$ не удвоили. Средний член равен $2 \\cdot 7x \\cdot 3y = 42xy$.","Первое выражение умножили на $2$, а не возвели в квадрат: $(7x)^2 = 49x^2$, а не $14x^2$.","Коэффициенты не возвели в квадрат: $(7x)^2 = 49x^2$, а не $7x^2$; $(3y)^2 = 9y^2$, а не $3y^2$."],"answer":[1]}},"hints":["Представьте площадь: квадрат со стороной $7x + 3y$ состоит из четырех частей — квадратов со сторонами $7x$ и $3y$ и двух одинаковых прямоугольников $7x \\times 3y$.","Квадрат суммы: $(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$. Здесь $m = 7x$, $n = 3y$.","$(7x)^2 = 49x^2$, $2 \\cdot 7x \\cdot 3y = 42xy$, $(3y)^2 = 9y^2$.","$(7x + 3y)^2 = 49x^2 + 42xy + 9y^2$."],"explanation":"$(7x + 3y)^2 = (7x)^2 + 2 \\cdot 7x \\cdot 3y + (3y)^2 = 49x^2 + 42xy + 9y^2$. В квадрате двучлена всегда три члена: квадрат первого, удвоенное произведение и квадрат второго — как четыре части квадрата, где два прямоугольника одинаковые.","step":1},{"id":"2","content":"Закрашенные фигуры построены из квадратов со сторонами $a$ и $b$. Чему равна площадь закрашенной части каждой фигуры?[[image-1]][[matcher-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/z546gmjwtjjz.svg"},"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Фигура А","Фигура Б","Фигура В","Фигура Г"],"items":["$a^2 - b^2$","$a^2 + b^2$","$(a + b)^2$","$(a - b)^2$"]}},"instruction":"Соотнесите фигуру и ее площадь","hints":["Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Найдите в каждой фигуре, какие квадраты закрашены и какая у них сторона.","Если из угла квадрата вырезали квадрат, площадь уменьшилась на площадь вырезанного квадрата.","У закрашенного квадрата в фигуре Г сторона $a - b$: от стороны $a$ отрезан кусок $b$.","А — $a^2 - b^2$, Б — $a^2 + b^2$, В — $(a + b)^2$, Г — $(a - b)^2$."],"explanation":"А — уголок: из квадрата $a^2$ вырезали квадрат $b^2$, остается $a^2 - b^2$. Б — два квадрата: $a^2 + b^2$. В — квадрат со стороной $a + b$: $(a + b)^2$, это четыре части $a^2 + 2ab + b^2$. Г — квадрат со стороной $a - b$: $(a - b)^2$. Уголок А больше квадрата Г: у него остались две полосы, а у Г они отрезаны, поэтому $(a - b)^2 \\ne a^2 - b^2$.","step":1},{"id":"2","content":"Закрашенные фигуры построены из квадратов со сторонами $x$ и $3$. Чему равна площадь закрашенной части каждой фигуры?[[image-2]][[matcher-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","width":"600","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/wzr1nhx1dt6l.svg"},"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Фигура А","Фигура Б","Фигура В","Фигура Г"],"items":["$(x - 3)^2$","$(x + 3)^2$","$x^2 - 9$","$x^2 + 9$"]}},"instruction":"Соотнесите фигуру и ее площадь","hints":["Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Найдите в каждой фигуре, какие квадраты закрашены и какая у них сторона.","Если из угла квадрата вырезали квадрат, площадь уменьшилась на площадь вырезанного квадрата.","У закрашенного квадрата в фигуре А сторона $x - 3$: от стороны $x$ отрезан кусок $3$.","А — $(x - 3)^2$, Б — $(x + 3)^2$, В — $x^2 - 9$, Г — $x^2 + 9$."],"explanation":"А — квадрат со стороной $x - 3$: $(x - 3)^2$. Б — квадрат со стороной $x + 3$: $(x + 3)^2$, это четыре части $x^2 + 6x + 9$. В — уголок: из квадрата $x^2$ вырезали квадрат $9$, остается $x^2 - 9$. Г — два квадрата: $x^2 + 9$. Уголок В больше квадрата А: у него остались две полосы, а у А они отрезаны, поэтому $(x - 3)^2 \\ne x^2 - 9$.","step":1},{"id":"3","content":"Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:<br>$49x^2 - 28xy + 4y^2 = ($[[fill_choice_big-1]]$)^2$","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$7x - 2y$","$7x + 2y$","$49x - 4y$","$7x - 4y$","$14x - 2y$"],"answer":0,"placeholder":0}},"hints":["Трехчлен — квадрат двучлена, если крайние члены — квадраты, а средний равен их удвоенному произведению. Начните с оснований крайних членов.","Крайние члены — квадраты: $49x^2 = (7x)^2$, $4y^2 = (2y)^2$. Основания $7x$ и $2y$.","Проверьте средний член: $2 \\cdot 7x \\cdot 2y = 28xy$. Он со знаком «минус», значит, это квадрат разности.","$49x^2 - 28xy + 4y^2 = (7x - 2y)^2$."],"explanation":"$49x^2 = (7x)^2$, $4y^2 = (2y)^2$, $28xy = 2 \\cdot 7x \\cdot 2y$, перед ним «минус»: $49x^2 - 28xy + 4y^2 = (7x - 2y)^2$. Частые ошибки: в скобку пишут сами крайние члены вместо оснований ($49x - 4y$) или один из них ($7x - 4y$: $4y$ вместо $2y$), берут половину коэффициента среднего члена ($28 : 2 = 14$, отсюда $14x$) или ставят «плюс», хотя средний член отрицательный.","step":1},{"id":"3","content":"Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:<br>$16a^2 + 40ab + 25b^2 = ($[[fill_choice_big-2]]$)^2$","widgets":{"fill_choice_big-2":{"type":"fill_choice_big","options":["$4a - 5b$","$16a + 25b$","$4a + 5b$","$20a + 5b$","$4a + 25b$"],"answer":2,"placeholder":0}},"hints":["Трехчлен — квадрат двучлена, если крайние члены — квадраты, а средний равен их удвоенному произведению. Начните с оснований крайних членов.","Крайние члены — квадраты: $16a^2 = (4a)^2$, $25b^2 = (5b)^2$. Основания $4a$ и $5b$.","Проверьте средний член: $2 \\cdot 4a \\cdot 5b = 40ab$. Он со знаком «плюс», значит, это квадрат суммы.","$16a^2 + 40ab + 25b^2 = (4a + 5b)^2$."],"explanation":"$16a^2 = (4a)^2$, $25b^2 = (5b)^2$, $40ab = 2 \\cdot 4a \\cdot 5b$, перед ним «плюс»: $16a^2 + 40ab + 25b^2 = (4a + 5b)^2$. Частые ошибки: в скобку пишут сами крайние члены вместо оснований ($16a + 25b$) или один из них ($4a + 25b$: $25b$ вместо $5b$), берут половину коэффициента среднего члена ($40 : 2 = 20$, отсюда $20a$) или ставят «минус», хотя средний член положительный.","step":1},{"id":"4","content":"Разложите на множители: $81 - 4p^6$.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(9 - 2p^3)(9 + 2p^3)$","$(9 - 2p^3)^2$","$(9 - 4p^3)(9 + 4p^3)$","$(9 - 2p^4)(9 + 2p^4)$","$(2p^3 - 9)(2p^3 + 9)$"],"explanations":["","Это квадрат разности: $(9 - 2p^3)^2 = 81 - 36p^3 + 4p^6$. Разность квадратов раскладывается в произведение суммы и разности, а не в квадрат.","Коэффициент $4$ оставили как есть: $(4p^3)^2 = 16p^6$. Нужно $2p^3$, потому что $2^2 = 4$.","$(2p^4)^2 = 4p^8$, а не $4p^6$. При возведении степени в квадрат показатель умножают на $2$, поэтому $p^6 = (p^3)^2$.","Перепутан порядок: $(2p^3 - 9)(2p^3 + 9) = 4p^6 - 81$. Из первого квадрата вычитают второй: $81 - 4p^6 = 9^2 - (2p^3)^2$."],"answer":[0]}},"hints":["Двучлен — разность двух квадратов. Найдите, квадратами каких выражений являются $81$ и $4p^6$.","$81 = 9^2$, $4p^6 = (2p^3)^2$: при возведении степени в квадрат показатель умножают на $2$, а $3 \\cdot 2 = 6$.","$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 9$, $b = 2p^3$.","$81 - 4p^6 = (9 - 2p^3)(9 + 2p^3)$."],"explanation":"$81 - 4p^6 = 9^2 - (2p^3)^2 = (9 - 2p^3)(9 + 2p^3)$. Проверка умножением: $(9 - 2p^3)(9 + 2p^3) = 81 - 4p^6$. Чтобы записать $p^6$ как квадрат, показатель делят пополам: $p^6 = (p^3)^2$.","step":1},{"id":"4","content":"Разложите на множители: $x^8 - 25y^2$.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$(x^4 - 5y)^2$","$(x^4 - 25y)(x^4 + 25y)$","$(x^6 - 5y)(x^6 + 5y)$","$(x^4 - 5y)(x^4 + 5y)$","$(5y - x^4)(5y + x^4)$"],"explanations":["Это квадрат разности: $(x^4 - 5y)^2 = x^8 - 10x^4y + 25y^2$. Разность квадратов раскладывается в произведение суммы и разности, а не в квадрат.","Коэффициент $25$ оставили как есть: $(25y)^2 = 625y^2$. Нужно $5y$, потому что $5^2 = 25$.","$(x^6)^2 = x^{12}$, а не $x^8$. При возведении степени в квадрат показатель умножают на $2$, поэтому $x^8 = (x^4)^2$.","","Перепутан порядок: $(5y - x^4)(5y + x^4) = 25y^2 - x^8$. Из первого квадрата вычитают второй: $x^8 - 25y^2 = (x^4)^2 - (5y)^2$."],"answer":[3]}},"hints":["Двучлен — разность двух квадратов. Найдите, квадратами каких выражений являются $x^8$ и $25y^2$.","$x^8 = (x^4)^2$: при возведении степени в квадрат показатель умножают на $2$, а $4 \\cdot 2 = 8$. $25y^2 = (5y)^2$.","$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^4$, $b = 5y$.","$x^8 - 25y^2 = (x^4 - 5y)(x^4 + 5y)$."],"explanation":"$x^8 - 25y^2 = (x^4)^2 - (5y)^2 = (x^4 - 5y)(x^4 + 5y)$. Проверка умножением: $(x^4 - 5y)(x^4 + 5y) = x^8 - 25y^2$. Чтобы записать $x^8$ как квадрат, показатель делят пополам: $x^8 = (x^4)^2$.","step":1},{"id":"5","content":"Какие выражения можно свернуть в квадрат двучлена, какие — разложить по формуле разности квадратов, а какие не раскладываются по этим формулам?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Квадрат двучлена","Разность квадратов","Не раскладывается по этим формулам"],"items":[["$p^2 - 22p + 121$","$144 + 24k + k^2$"],["$t^2 - 121$","$1 - 49c^2$"],["$c^2 + 49$","$x^2 + 8x + 64$","$n^2 - 14n - 49$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Двучлен «квадрат минус квадрат» — разность квадратов. Сумма двух квадратов по этим формулам не раскладывается.","Трехчлен сворачивается в квадрат, если крайние члены — квадраты со знаком «плюс», а средний равен их удвоенному произведению.","$p^2 - 22p + 121 = (p - 11)^2$; $144 + 24k + k^2 = (12 + k)^2$. У $x^2 + 8x + 64$ средний член должен быть $16x$; в $n^2 - 14n - 49$ слагаемое $-49$ не может быть квадратом.","Квадрат двучлена: $p^2 - 22p + 121$, $144 + 24k + k^2$. Разность квадратов: $t^2 - 121$, $1 - 49c^2$. Не раскладываются: $c^2 + 49$, $x^2 + 8x + 64$, $n^2 - 14n - 49$."],"explanation":"Квадрат двучлена: $p^2 - 22p + 121 = (p - 11)^2$, $144 + 24k + k^2 = (12 + k)^2$. Разность квадратов: $t^2 - 121 = (t - 11)(t + 11)$, $1 - 49c^2 = (1 - 7c)(1 + 7c)$. Не раскладываются по этим формулам: $c^2 + 49$ — сумма квадратов; в $x^2 + 8x + 64$ средний член $8x$, а для квадрата нужен $2 \\cdot x \\cdot 8 = 16x$; в $n^2 - 14n - 49$ слагаемое $-49$ не может быть квадратом: квадрат не бывает отрицательным.","step":1},{"id":"5","content":"Какие выражения можно свернуть в квадрат двучлена, какие — разложить по формуле разности квадратов, а какие не раскладываются по этим формулам?[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Квадрат двучлена","Разность квадратов","Не раскладывается по этим формулам"],"items":[["$a^2 - 20a + 100$","$225 - 30m + m^2$"],["$b^2 - 169$","$100 - 9k^2$"],["$z^2 + 144$","$y^2 + 11y + 121$","$m^2 + 14m - 49$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Двучлен «квадрат минус квадрат» — разность квадратов. Сумма двух квадратов по этим формулам не раскладывается.","Трехчлен сворачивается в квадрат, если крайние члены — квадраты со знаком «плюс», а средний равен их удвоенному произведению.","$a^2 - 20a + 100 = (a - 10)^2$; $225 - 30m + m^2 = (15 - m)^2$. У $y^2 + 11y + 121$ средний член должен быть $22y$; в $m^2 + 14m - 49$ слагаемое $-49$ не может быть квадратом.","Квадрат двучлена: $a^2 - 20a + 100$, $225 - 30m + m^2$. Разность квадратов: $b^2 - 169$, $100 - 9k^2$. Не раскладываются: $z^2 + 144$, $y^2 + 11y + 121$, $m^2 + 14m - 49$."],"explanation":"Квадрат двучлена: $a^2 - 20a + 100 = (a - 10)^2$, $225 - 30m + m^2 = (15 - m)^2$. Разность квадратов: $b^2 - 169 = (b - 13)(b + 13)$, $100 - 9k^2 = (10 - 3k)(10 + 3k)$. Не раскладываются по этим формулам: $z^2 + 144$ — сумма квадратов; в $y^2 + 11y + 121$ средний член $11y$, а для квадрата нужен $2 \\cdot y \\cdot 11 = 22y$; в $m^2 + 14m - 49$ слагаемое $-49$ не может быть квадратом: квадрат не бывает отрицательным.","step":1},{"id":"6","content":"Вычислите: $3{,}7^2 + 2 \\cdot 3{,}7 \\cdot 6{,}3 + 6{,}3^2 =$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"100","inline":1}},"hints":["Выражение имеет вид $a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 3{,}7$, $b = 6{,}3$.","$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$, поэтому выражение равно $(3{,}7 + 6{,}3)^2$.","$3{,}7 + 6{,}3 = 10$, $10^2 = 100$."],"explanation":"$3{,}7^2 + 2 \\cdot 3{,}7 \\cdot 6{,}3 + 6{,}3^2 = (3{,}7 + 6{,}3)^2 = 10^2 = 100$. Считать каждое слагаемое отдельно долго: $13{,}69 + 46{,}62 + 39{,}69 = 100$ — тот же ответ, но через три умножения дробей.","step":1},{"id":"6","content":"Вычислите: $6{,}8^2 - 2 \\cdot 6{,}8 \\cdot 2{,}8 + 2{,}8^2 =$ [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"16","inline":1}},"hints":["Выражение имеет вид $a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 6{,}8$, $b = 2{,}8$.","$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, поэтому выражение равно $(6{,}8 - 2{,}8)^2$.","$6{,}8 - 2{,}8 = 4$, $4^2 = 16$."],"explanation":"$6{,}8^2 - 2 \\cdot 6{,}8 \\cdot 2{,}8 + 2{,}8^2 = (6{,}8 - 2{,}8)^2 = 4^2 = 16$. Считать каждое слагаемое отдельно долго: $46{,}24 - 38{,}08 + 7{,}84 = 16$ — тот же ответ, но через три умножения дробей.","step":1},{"id":"7","content":"Ученик упростил выражение так: $(a - 3)^2 - (a - 3)(a + 3) = a^2 - 9 - (a^2 - 9) = 0$. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: выражения $(a - 3)^2$ и $(a - 3)(a + 3)$ равны","Квадрат $(a - 3)^2$ записан как $a^2 - 9$; должно получиться $18 - 6a$","Ошибка в последнем шаге: должно получиться $-18$","После «минуса» не поменяли знаки в скобке; должно получиться $-6a$"],"explanations":["Проверьте при $a = 0$: $(0 - 3)^2 = 9$, а $(0 - 3)(0 + 3) = -9$. Выражения не равны.","","Последний шаг выполнен без ошибки: $a^2 - 9 - (a^2 - 9) = a^2 - 9 - a^2 + 9 = 0$. Ошибка раньше — в квадрате разности.","Знаки после «минуса» ученик поменял: $-(a^2 - 9) = -a^2 + 9$. Ошибка раньше — в квадрате разности."],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте числом. При $a = 1$ исходное выражение равно $(-2)^2 - (-2) \\cdot 4 = 4 + 8 = 12$, а у ученика $0$. Найдите шаг, где значения разошлись.","Квадрат разности и разность квадратов — разные выражения: $(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9$, а $(a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$.","$a^2 - 6a + 9 - (a^2 - 9) = a^2 - 6a + 9 - a^2 + 9$.","Получается $18 - 6a$, а не $0$. Ошибка — в первом шаге: $(a - 3)^2$ записали как $a^2 - 9$."],"explanation":"$(a - 3)^2 - (a - 3)(a + 3) = a^2 - 6a + 9 - (a^2 - 9) = 18 - 6a$. Ученик потерял удвоенное произведение $-6a$ и квадрат $9$ взял со знаком «минус»: принял квадрат разности за разность квадратов. Если представить площади, квадрат со стороной $a - 3$ меньше уголка $a^2 - 9$ на две полосы $3(a - 3)$: $(a^2 - 9) - (a - 3)^2 = 6a - 18$.","step":1},{"id":"7","content":"Ученик упростил выражение так: $(b + 5)^2 - (b + 5)(b - 5) = b^2 + 25 - (b^2 - 25) = 50$. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Квадрат $(b + 5)^2$ записан как $b^2 + 25$; должно получиться $10b + 50$","Ошибки нет: выражение равно $50$ при любом $b$","Ошибка в последнем шаге: должно получиться $0$","После «минуса» не поменяли знаки в скобке; должно получиться $10b$"],"explanations":["","Проверьте при $b = 1$: $(1 + 5)^2 - (1 + 5)(1 - 5) = 36 + 24 = 60$, а не $50$.","Последний шаг выполнен без ошибки: $b^2 + 25 - (b^2 - 25) = b^2 + 25 - b^2 + 25 = 50$. Ошибка раньше — в квадрате суммы.","Знаки после «минуса» ученик поменял: $-(b^2 - 25) = -b^2 + 25$. Ошибка раньше — в квадрате суммы."],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте числом. При $b = 1$ исходное выражение равно $6^2 - 6 \\cdot (-4) = 36 + 24 = 60$, а у ученика $50$. Найдите шаг, где значения разошлись.","Квадрат суммы — это не сумма квадратов: $(b + 5)^2 = b^2 + 10b + 25$.","$b^2 + 10b + 25 - (b^2 - 25) = b^2 + 10b + 25 - b^2 + 25$.","Получается $10b + 50$, а не $50$. Ошибка — в первом шаге: потеряно удвоенное произведение $10b$."],"explanation":"$(b + 5)^2 - (b + 5)(b - 5) = b^2 + 10b + 25 - (b^2 - 25) = 10b + 50$. Ученик потерял удвоенное произведение $10b$: принял квадрат суммы за сумму квадратов. Если представить площади, квадрат со стороной $b + 5$ больше двух квадратов $b^2 + 25$ на два прямоугольника $5b$: $(b + 5)^2 - (b^2 + 25) = 10b$.","step":1},{"id":"8","content":"Разложите на множители до конца: $y^4 - 50y^2 + 625$.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$(y^2 - 25)^2$","$(y - 5)^4$","$(y - 5)^2(y + 5)^2$","$(y^2 + 25)^2$","$(y - 25)^2$"],"explanations":["$y^4 - 50y^2 + 625 = (y^2 - 25)^2$, но разложение не закончено: в скобке разность квадратов, $y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5)$.","Потерян множитель $y + 5$: $(y - 5)^4 = (y - 5)^2(y - 5)^2$, а $y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5)$.","","Ошибка в знаке: $(y^2 + 25)^2 = y^4 + 50y^2 + 625$, а средний член здесь отрицательный.","$y^4 = (y^2)^2$, поэтому в скобке должно стоять $y^2$, а не $y$: $(y - 25)^2 = y^2 - 50y + 625$."],"answer":[2]}},"hints":["Посмотрите на трехчлен как на квадрат двучлена: $y^4 = (y^2)^2$, $625 = 25^2$, $50y^2 = 2 \\cdot y^2 \\cdot 25$.","$y^4 - 50y^2 + 625 = (y^2 - 25)^2$. Посмотрите, что стоит в скобке.","$y^2 - 25 = (y - 5)(y + 5)$ — разность квадратов.","$(y^2 - 25)^2 = \\big((y - 5)(y + 5)\\big)^2 = (y - 5)^2(y + 5)^2$."],"explanation":"$y^4 - 50y^2 + 625 = (y^2 - 25)^2 = \\big((y - 5)(y + 5)\\big)^2 = (y - 5)^2(y + 5)^2$. Две формулы подряд: сначала квадрат разности, затем разность квадратов в скобке. Проверка при $y = 1$: $1 - 50 + 625 = 576$ и $(-4)^2 \\cdot 6^2 = 16 \\cdot 36 = 576$.","step":1},{"id":"8","content":"Разложите на множители до конца: $m^4 - 32m^2 + 256$.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$(m^2 + 16)^2$","$(m - 4)^2(m + 4)^2$","$(m - 16)^2$","$(m^2 - 16)^2$","$(m - 4)^4$"],"explanations":["Ошибка в знаке: $(m^2 + 16)^2 = m^4 + 32m^2 + 256$, а средний член здесь отрицательный.","","$m^4 = (m^2)^2$, поэтому в скобке должно стоять $m^2$, а не $m$: $(m - 16)^2 = m^2 - 32m + 256$.","$m^4 - 32m^2 + 256 = (m^2 - 16)^2$, но разложение не закончено: в скобке разность квадратов, $m^2 - 16 = (m - 4)(m + 4)$.","Потерян множитель $m + 4$: $(m - 4)^4 = (m - 4)^2(m - 4)^2$, а $m^2 - 16 = (m - 4)(m + 4)$."],"answer":[1]}},"hints":["Посмотрите на трехчлен как на квадрат двучлена: $m^4 = (m^2)^2$, $256 = 16^2$, $32m^2 = 2 \\cdot m^2 \\cdot 16$.","$m^4 - 32m^2 + 256 = (m^2 - 16)^2$. Посмотрите, что стоит в скобке.","$m^2 - 16 = (m - 4)(m + 4)$ — разность квадратов.","$(m^2 - 16)^2 = \\big((m - 4)(m + 4)\\big)^2 = (m - 4)^2(m + 4)^2$."],"explanation":"$m^4 - 32m^2 + 256 = (m^2 - 16)^2 = \\big((m - 4)(m + 4)\\big)^2 = (m - 4)^2(m + 4)^2$. Две формулы подряд: сначала квадрат разности, затем разность квадратов в скобке. Проверка при $m = 1$: $1 - 32 + 256 = 225$ и $(-3)^2 \\cdot 5^2 = 9 \\cdot 25 = 225$.","step":1},{"id":"9","content":"Решите уравнение $(x + 3)^2 = 4x^2$. В ответ запишите сумму его корней. <br>Ответ: [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"2","inline":1}},"hints":["Равенство двух квадратов можно записать так: их разность равна нулю. Перенесите все в одну часть и посмотрите, какая формула получилась.","$4x^2 = (2x)^2$, поэтому $(x + 3)^2 - (2x)^2 = 0$. Слева разность квадратов.","$(x + 3 - 2x)(x + 3 + 2x) = 0$, то есть $(3 - x)(3x + 3) = 0$.","Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $3 - x = 0$ или $3x + 3 = 0$.","Корни $x = 3$ и $x = -1$. Их сумма $3 + (-1) = 2$."],"explanation":"$(x + 3)^2 - (2x)^2 = (x + 3 - 2x)(x + 3 + 2x) = (3 - x)(3x + 3) = 0$, откуда $x = 3$ или $x = -1$. Проверка: при $x = 3$ получается $6^2 = 4 \\cdot 9 = 36$; при $x = -1$ получается $2^2 = 4 \\cdot 1 = 4$. Сумма корней $2$. Если из равенства квадратов записать только $x + 3 = 2x$, теряется корень $x = -1$: квадраты равны и тогда, когда выражения противоположны, $x + 3 = -2x$.","step":1},{"id":"9","content":"Решите уравнение $(2x - 1)^2 = (x + 4)^2$. В ответ запишите сумму его корней. <br>Ответ: [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"4","inline":1}},"hints":["Равенство двух квадратов можно записать так: их разность равна нулю. Перенесите все в одну часть и посмотрите, какая формула получилась.","$(2x - 1)^2 - (x + 4)^2 = 0$. Слева разность квадратов.","$(2x - 1 - x - 4)(2x - 1 + x + 4) = 0$, то есть $(x - 5)(3x + 3) = 0$. Минус перед второй скобкой меняет знаки обоих ее членов.","Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x - 5 = 0$ или $3x + 3 = 0$.","Корни $x = 5$ и $x = -1$. Их сумма $5 + (-1) = 4$."],"explanation":"$(2x - 1)^2 - (x + 4)^2 = (2x - 1 - (x + 4))(2x - 1 + x + 4) = (x - 5)(3x + 3) = 0$, откуда $x = 5$ или $x = -1$. Проверка: при $x = 5$ получается $9^2 = 9^2$; при $x = -1$ получается $(-3)^2 = 3^2$. Сумма корней $4$. Если из равенства квадратов записать только $2x - 1 = x + 4$, теряется корень $x = -1$: квадраты равны и тогда, когда выражения противоположны, $2x - 1 = -(x + 4)$.","step":1},{"id":"10","content":"Найдите наименьшее значение выражения $x^2 - 10x + 32$. <br>Ответ: [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"7","inline":1}},"hints":["Квадрат не бывает отрицательным. Если записать выражение как «квадрат плюс число», наименьшее значение будет видно сразу.","Дополните $x^2 - 10x$ до полного квадрата: по формуле $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$ не хватает $25$, а $32 = 25 + 7$. Получается $x^2 - 10x + 32 = (x - 5)^2 + 7$.","$(x - 5)^2 \\ge 0$, и он равен нулю при $x = 5$. Значит, наименьшее значение выражения $0 + 7 = 7$."],"explanation":"$x^2 - 10x + 32 = (x - 5)^2 + 7$. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому выражение не меньше $7$, а при $x = 5$ равно $7$. Число $32$ — это значение выражения при $x = 0$, а не наименьшее: при $x = 5$ получается меньше.","step":1},{"id":"10","content":"Найдите наименьшее значение выражения $a^2 + 8a + 21$. <br>Ответ: [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"5","inline":1}},"hints":["Квадрат не бывает отрицательным. Если записать выражение как «квадрат плюс число», наименьшее значение будет видно сразу.","Дополните $a^2 + 8a$ до полного квадрата: квадрат $a^2$ и две полосы $4a$ складываются в квадрат со стороной $a + 4$, не хватает угла $4 \\cdot 4 = 16$. А $21 = 16 + 5$, поэтому $a^2 + 8a + 21 = (a + 4)^2 + 5$.","$(a + 4)^2 \\ge 0$, и он равен нулю при $a = -4$. Значит, наименьшее значение выражения $0 + 5 = 5$."],"explanation":"$a^2 + 8a + 21 = (a + 4)^2 + 5$. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому выражение не меньше $5$, а при $a = -4$ равно $5$. Число $21$ — это значение выражения при $a = 0$, а не наименьшее: при $a = -4$ получается меньше.","step":1}]}</textarea></pre></div>