Разложение на множители: комбинирование способов

{"questions":[{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Разложено до конца","Можно разложить дальше"],"items":[["$2x(x-3)(x+3)$","$5(a-1)^2$","$(x+2)(x^2+4)$"],["$3x(x^2-16)$","$(2x-4)(x+2)$","$a(a^2-2a+1)$"]]}},"instruction":"Распределите записи по группам","hints":["Посмотрите на каждый множитель: есть ли в нем общий множитель, разность квадратов или полный квадрат.","Дальше раскладываются: $x^2-16 = (x-4)(x+4)$; в $2x-4$ есть общий множитель $2$; $a^2-2a + 1 = (a-1)^2$. А $x^2 + 4$ — сумма, она не раскладывается."],"step":1},{"content":"Ученик записал: $y^3-25y = y(y^2-25)$. Как закончить разложение?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y(y-5)(y+5)$","Оставить $y(y^2-25)$: общий множитель уже вынесен","$y^2(y-25)$","$y(y-5)^2$"],"explanations":["","После вынесения общего множителя смотрят на скобку. В ней разность квадратов: $y^2-25 = (y-5)(y+5)$.","В скобке $y^2-25$ нет общего множителя $y$: проверка $y^2(y-25) = y^3-25y^2$, а не $y^3-25y$.","Это квадрат разности: $(y-5)^2 = y^2-10y + 25$, а не $y^2-25$."],"answer":[0]}}},{"content":"Проверьте числом разложение $2x^3-18x = 2x(x-3)(x+3)$ при $x = 4$. Значение левой части равно[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":["56"]}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["$x^3 = 4^3 = 64$, поэтому $2x^3-18x = 2 \\cdot 64-18 \\cdot 4 = 128-72$.","$128-72 = 56$. Правая часть: $2 \\cdot 4 \\cdot 1 \\cdot 7 = 56$ — значения совпали."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"С чего начать разложение многочлена $4x^2-8x + 4$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Вынести общий множитель $4$","Применить формулу квадрата разности к $4x^2-8x + 4$ целиком","Сгруппировать члены парами","Применить формулу разности квадратов"],"explanations":["","Формула сработает: $(2x-2)^2$. Но в скобке останется общий множитель $2$, и разложение придется продолжать. Короче начать с $4$: $4(x^2-2x + 1) = 4(x-1)^2$.","Группировку пробуют, когда членов четыре или больше и общего множителя нет. Здесь три члена и общий множитель $4$.","Разность квадратов — это двучлен, а здесь три члена."],"answer":[0]}}},{"content":"Ученик записал: $4a^2-100 = (2a-10)(2a+10)$. Что не так?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Разложение не закончено: $4a^2-100 = 4(a-5)(a+5)$","Равенство неверно: правильно $(2a-10)^2$","Разложение закончено, но неверно: правильно $2(a-5)(a+5)$","Все правильно, разложение закончено"],"explanations":["","Квадрат разности: $(2a-10)^2 = 4a^2-40a + 100$, а не $4a^2-100$.","Потеряна часть общего множителя: $2(a-5)(a+5) = 2a^2-50$, а не $4a^2-100$.","Равенство верное, но в каждой скобке есть общий множитель $2$: $(2a-10)(2a+10) = 2(a-5) \\cdot 2(a+5) = 4(a-5)(a+5)$."],"answer":[0]}}},{"content":"Ученик записал: $-x^2 + 4x-4 = -(x^2 + 4x-4)$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["При вынесении «минуса» знак поменяли не у всех членов: верно $-(x^2-4x + 4) = -(x-2)^2$","Ошибки нет","«Минус» выносить нельзя","Верно $-(x+2)^2$"],"explanations":["","Раскройте скобку: $-(x^2 + 4x-4) = -x^2-4x + 4$, а не $-x^2 + 4x-4$.","Выносить «минус» можно, если поменять знак у каждого члена в скобке.","$-(x+2)^2 = -x^2-4x-4$: средний член получился со знаком «минус», а в исходном он $+4x$."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Как сгруппировать члены многочлена $x^2-10x + 25-4y^2$, чтобы получилась формула?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(x^2-10x + 25)-4y^2$","$(x^2-10x) + (25-4y^2)$","$(x^2-4y^2) + (25-10x)$","Никак: членов четыре, их можно сгруппировать только по два"],"explanations":["","Получится $x(x-10) + (5-2y)(5 + 2y)$ — общей скобки нет.","Получится $(x-2y)(x + 2y) + 5(5-2x)$ — общей скобки нет.","Группы не обязаны быть парами: $(x^2-10x + 25)-4y^2 = (x-5)^2-(2y)^2$."],"answer":[0]}}},{"content":"[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["$m^3 + 2m^2-9m-18$","$m^2(m + 2)-9(m + 2)$","$(m + 2)(m^2-9)$","$(m + 2)(m-3)(m + 3)$"]}},"instruction":"Расположите записи в порядке разложения","hints":["Первый шаг — группировка по два: $(m^3 + 2m^2)-(9m + 18) = m^2(m + 2)-9(m + 2)$.","Затем общая скобка $(m + 2)(m^2-9)$, и в конце разность квадратов: $(m + 2)(m-3)(m + 3)$."],"step":1},{"content":"$x^2 + 4xy + 4y^2-9 = (x + 2y-3)\\,\\cdot$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$(x + 2y + 3)$","$(x-2y + 3)$","$(x + 2y-3)$","$(x + 2y + 9)$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Первые три члена — полный квадрат: $x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$. Получилось $(x + 2y)^2-3^2$.","По формуле разности квадратов: $(x + 2y-3)(x + 2y + 3)$."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Сколько корней у уравнения $x(x-2)(x^2 + 4) = 0$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Два: $0$ и $2$","Три: $0$, $2$ и $-2$","Четыре: $0$, $2$, $2$ и $-2$","Один: $2$"],"explanations":["","Лист $x^2 + 4$ — сумма, а не разность квадратов: при любом $x$ он не меньше $4$ и корня не дает. Число $-2$ не корень: $(-2) \\cdot (-4) \\cdot 8 \\ne 0$.","Лист $x^2 + 4$ корней не дает: $x^2 + 4 \\ne 0$ ни при каком $x$.","Лист $x$ тоже дает корень: при $x = 0$ все произведение равно нулю."],"answer":[0]}}},{"content":"Ученик решал уравнение $x^3 = 16x$: разделил обе части на $x$ и получил $x = 4$ или $x = -4$. Что он упустил?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Корень $x = 0$","Корни $x = 16$ и $x = -16$","Корень $x = -4$ лишний","Ничего: корней два"],"explanations":["","Из $x^2 = 16$ следует $x = 4$ или $x = -4$, а не $\\pm 16$: $16^2 = 256$.","Подставьте $x = -4$: $(-4)^3 = -64$ и $16 \\cdot (-4) = -64$. Это корень.","Подставьте $x = 0$: $0 = 0$. Это корень, его потеряли при делении на $x$: $x(x-4)(x+4) = 0$."],"answer":[0]}}},{"content":"Найдите сумму корней уравнения $x^3-x^2-4x + 4 = 0$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["1"]}},"hints":["Группируем: $x^2(x-1)-4(x-1) = (x-1)(x^2-4) = (x-1)(x-2)(x+2)$.","Корни: $1$, $2$ и $-2$. Их сумма $1 + 2-2 = 1$."],"step":1}],"mix":1}

{"questions":[{"content":"Почему произведение $(n-1) \\cdot n \\cdot (n+1)$ делится на $3$ при любом целом $n$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Среди трех соседних целых чисел одно делится на $3$","В произведении три множителя","Одно из чисел обязательно четное","Сумма этих чисел равна $3n$"],"explanations":["","Число множителей не важно: $1 \\cdot 2 \\cdot 4 = 8$ — три множителя, но на $3$ не делится.","Четность дает делимость на $2$, а не на $3$.","Сумма делится на $3$, но это не значит, что произведение делится на $3$: у $1$, $4$, $7$ сумма $12$, а произведение $28$."],"answer":[0]}}},{"content":"Вычислите: $3 \\cdot 58^2-3 \\cdot 42^2 =$[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":["4800","4 800"]}},"hints":["Вынесем общий множитель $3$: $3(58^2-42^2)$.","$58^2-42^2 = (58-42)(58 + 42) = 16 \\cdot 100 = 1600$, а $3 \\cdot 1600 = 4800$."],"step":1},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$5^3-5$","$11^3-11$","$20^3-20$"],"items":["$4 \\cdot 5 \\cdot 6$","$10 \\cdot 11 \\cdot 12$","$19 \\cdot 20 \\cdot 21$","$11 \\cdot 10 \\cdot 10$"]}},"instruction":"Сопоставьте выражение и произведение","hints":["$n^3-n = (n-1) \\cdot n \\cdot (n+1)$ — три соседних числа.","$5^3-5 = 4 \\cdot 5 \\cdot 6$, $11^3-11 = 10 \\cdot 11 \\cdot 12$, $20^3-20 = 19 \\cdot 20 \\cdot 21$. Лишнее $11 \\cdot 10 \\cdot 10$ получится, если спутать $n^2-1$ с $(n-1)^2$."],"step":1}],"mix":1}