7 класс Алгебра Формулы сокращённого умножения Квадрат суммы и разности

Разложение на множители с помощью квадрата суммы и квадрата разности

Содержание

В уроке «Квадрат суммы и квадрат разности» мы раскрывали скобки: $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$. Теперь пойдем в обратную сторону: по трехчлену найдем стороны квадрата. Вы уже знаете два способа разложения на множители: вынесение общего множителя и группировка. В этом уроке — третий: формулы квадрата суммы и квадрата разности, прочитанные справа налево. Мы научимся узнавать полный квадрат за три проверки, раскладывать его с коэффициентами и двумя переменными, а затем применим разложение к вычислениям и уравнениям. А еще посмотрим, как в IX веке аль-Хорезми решал уравнение $x^2 + 10x = 39$ без формул.

Разложить на множители — значит найти стороны фигуры

Площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b + c$ равна $a(b+c)$, или $ab + ac$. Если читать равенство слева направо, мы раскрываем скобки. Если справа налево — раскладываем на множители: по площади находим стороны.

Возьмем плитки: один большой квадрат $x \times x$, восемь полосок $x \times 1$ и шестнадцать единичных квадратиков. Их общая площадь — трехчлен $x^2 + 8x + 16$. Можно ли сложить из плиток прямоугольник и какие у него стороны?

Плитки x в квадрате, восемь полосок и шестнадцать единичек слева складываются в квадрат со стороной x плюс 4 справа: x² + 8x + 16 = (x + 4)² — Плитки $x^2 + 8x + 16$ складываются в квадрат: полоски делятся поровну между двумя сторонами, в углу — квадрат из $16$ единичек

Полоски делим поровну: четыре справа и четыре снизу. В углу получается квадрат $4 \times 4$ — как раз $16$ единичек. Сторона всей фигуры равна $x + 4$ с каждой стороны:

$$x^2 + 8x + 16 = (x+4)(x+4) = (x+4)^2.$$

Определение

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения многочленов. В нашем примере два множителя — это две стороны фигуры, площадь которой равна многочлену.

Правило

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2, \qquad a^2-2ab + b^2 = (a-b)^2$$

Если читать формулы квадрата суммы и квадрата разности справа налево, они дают разложение на множители. Трехчлен, который так раскладывается, — полный квадрат из прошлого урока. Его множители одинаковы: это две равные стороны квадрата.

Важно

Любое разложение проверяют раскрытием скобок: умножение должно вернуть исходный многочлен. Например, $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$ — получили тот же трехчлен.

{"questions":[{"content":"Из плиток сложили квадрат: один квадрат $x^2$, $12$ полосок $x$ и $36$ единичек. Чему равна сторона квадрата?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x + 6$","$x + 12$","$x + 36$","$x + 18$"],"explanations":["","Полоски делятся поровну между двумя сторонами: по $6$, а не по $12$ на каждую.","$36$ — площадь угла из единичек, а не его сторона.","Половина от $36$ — не сторона угла. Сторона угла равна $6$, потому что $6 \\cdot 6 = 36$."],"answer":[0]}}},{"content":"Квадрат сложен из одного квадрата $x^2$, $14$ полосок $x$ и $49$ единичек. Сколько полосок лежит вдоль одной стороны?[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Полоски делятся поровну между правой и нижней сторонами.","$14 : 2 = 7$"],"step":1},{"content":"$y^2 + 18y + 81 = (y +$[[input-2]]$)^2$","widgets":{"input-2":{"type":"input","inline":1,"answer":"9"}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Угол — квадрат из $81$ единичек. Его сторона: $9 \\cdot 9 = 81$.","Проверка: $2 \\cdot y \\cdot 9 = 18y$ — совпадает со средним членом. В скобках $y + 9$."],"step":1}],"mix":1}

Три проверки: как узнать полный квадрат

Плитки не всегда под рукой, поэтому переведем картинку на язык алгебры. Основание квадрата — выражение, которое возводят в квадрат: у $a^2$ основание $a$, у $b^2$ основание $b$. На рисунке большой квадрат — $a^2$, угол — $b^2$, а две одинаковые полоски вместе дают $2ab$. Отсюда три проверки, по которым трехчлен узнают без рисунка.

Слева квадрат со стороной a + b разрезан на квадраты a² и b² и две одинаковые полоски ab. Справа три проверки трехчлена x² + 10x + 25: основания x и 5, удвоенное произведение 2·x·5 = 10x совпадает со средним членом, знак плюс, разложение (x + 5)² — Площади частей квадрата $a + b$ и три проверки на примере $x^2 + 10x + 25$

Алгоритм

Два слагаемых — квадраты со знаком «плюс»: $a^2$ и $b^2$. Найдите основания $a$ и $b$.
Третье слагаемое — средний член. Без знака он равен удвоенному произведению $2ab$.
Знак в скобках совпадает со знаком среднего члена: «плюс» — $(a+b)^2$, «минус» — $(a-b)^2$.

Квадрат числа не бывает отрицательным: $3^2 = 9$ и $(-3)^2 = 9$. Поэтому слагаемое со знаком «минус», например $-16$, не может быть квадратом, и первая проверка не пройдена. Слагаемые $a^2$ и $b^2$ — это площади, поэтому они всегда со знаком «плюс».

Пример

Разложим $x^2 + 10x + 25$.

$x^2 = x^2$ и $25 = 5^2$, значит $a = x$, $b = 5$.
$2ab = 2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ — совпадает со средним членом.
Средний член со знаком «плюс».

$$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$$

Пример

Разложим $x^2-14x + 49$.

$x^2 = x^2$ и $49 = 7^2$, значит $a = x$, $b = 7$.
$2ab = 2 \cdot x \cdot 7 = 14x$ — совпадает со средним членом без знака.
Средний член со знаком «минус».

$$x^2-14x + 49 = (x-7)^2$$

Проверка: $(x-7)^2 = x^2-14x + 49$.

{"questions":[{"content":"Квадрат со стороной $a + b$ разрезали на четыре части. Какому слагаемому равенства $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ соответствуют две одинаковые прямоугольные части?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2ab$","$a^2$","$b^2$","$a + b$"],"explanations":["","$a^2$ — большой квадрат, он один.","$b^2$ — маленький квадрат в углу, он тоже один.","$a + b$ — длина стороны всей фигуры, а не площадь части."],"answer":[0]}}},{"content":"$t^2 + 16t + 64 =$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$(t+8)^2$","$(t-8)^2$","$(t+16)^2$","$(t+64)^2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["$64 = 8^2$, значит $b = 8$, а $a = t$.","Проверка: $2 \\cdot t \\cdot 8 = 16t$. Средний член со знаком «плюс», поэтому $(t+8)^2$."],"step":1},{"content":"$m^2-16m + 64 = (m -$[[input-1]]$)^2$","widgets":{"input-1":{"type":"input","inline":1,"answer":"8"}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["$64 = 8^2$, значит $b = 8$.","Проверка: $2 \\cdot m \\cdot 8 = 16m$. Знак «минус», поэтому $(m-8)^2$."],"step":1}],"mix":1}

Одночлены как стороны: коэффициенты, степени, порядок слагаемых

Основанием может быть и одночлен. Четыре плитки $x^2$ складываются в квадрат со стороной $2x$, поэтому $4x^2 = (2x)^2$. В квадрат возводят и коэффициент, и букву.

Четыре плитки x² складываются в квадрат со стороной 2x, поэтому 4x² = (2x)²; девять плиток x² — в квадрат со стороной 3x, поэтому 9x² = (3x)² — $4x^2$ — квадрат со стороной $2x$, а $9x^2$ — квадрат со стороной $3x$

Правило

Чтобы найти основание одночлена, который является квадратом, найдите число, квадрат которого равен коэффициенту, и разделите показатели степеней на $2$. Например, $16a^4 = (4a^2)^2$.

Одночлен	Это квадрат	Проверка
$4x^2$	$2x$	$(2x)^2 = 4x^2$
$16a^4$	$4a^2$	$(4a^2)^2 = 16a^4$
$x^6$	$x^3$	$(x^3)^2 = x^6$
$25m^2n^2$	$5mn$	$(5mn)^2 = 25m^2n^2$

Ошибка

Основанием берут весь коэффициент: $9x^2 + 30x + 25 = (9x+5)^2$. Раскроем скобки: $(9x+5)^2 = 81x^2 + 90x + 25$ — получился другой трехчлен. Основание первого слагаемого — $3x$, потому что $(3x)^2 = 9x^2$. Тогда $2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x$, и верное разложение — $(3x+5)^2$.

Слагаемые не обязаны стоять по порядку. Найдите два слагаемых-квадрата со знаком «плюс»: третье будет средним членом. Если удобно, расположите слагаемые по убыванию степеней.

Пример

Разложим $9x^2-30x + 25$.

$9x^2 = (3x)^2$ и $25 = 5^2$, значит $a = 3x$, $b = 5$.
$2ab = 2 \cdot 3x \cdot 5 = 30x$ — совпадает со средним членом без знака.
Средний член со знаком «минус».

$$9x^2-30x + 25 = (3x-5)^2$$

Пример

Разложим $m^2 + 6mn + 9n^2$ — здесь две переменные.

$m^2 = m^2$ и $9n^2 = (3n)^2$, значит $a = m$, $b = 3n$.
$2ab = 2 \cdot m \cdot 3n = 6mn$ — совпадает со средним членом.
Средний член со знаком «плюс».

$$m^2 + 6mn + 9n^2 = (m+3n)^2$$

Пример

Разложим $x^4-6x^2 + 9$. Здесь $x^4 = (x^2)^2$ и $9 = 3^2$, значит $a = x^2$, $b = 3$. Проверка: $2 \cdot x^2 \cdot 3 = 6x^2$, знак «минус».

$$x^4-6x^2 + 9 = (x^2-3)^2$$

Пример

Разложим $1-4t + 4t^2$. Слагаемые стоят не по порядку: $1 = 1^2$ и $4t^2 = (2t)^2$. Проверка: $2 \cdot 1 \cdot 2t = 4t$, знак «минус».

$$1-4t + 4t^2 = (1-2t)^2$$

Можно ли записать ответ как $(2t-1)^2$? Показать

Скрыть

Да. Выражения $1-2t$ и $2t-1$ противоположны, а квадраты противоположных выражений равны: $(1-2t)^2 = (2t-1)^2$. Проверим при $t = 3$: $(1-6)^2 = 25$ и $(6-1)^2 = 25$. Оба ответа верны.

Потренируйтесь в интерактиве: сначала решите, полный квадрат перед вами или нет, затем проверьте себя по трем проверкам. Среди заданий есть трехчлены, у которых не выполнена одна из проверок.

uploaded-razlozhenie-fsu-tri-proverki-8bfd63024381

{"questions":[{"content":"Квадрат со стороной $2x$ сложен из плиток $x^2$. Сколько плиток в нем?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$4$","$2$","$2x$","$8$"],"explanations":["","Так получится, если сторону $2x$ принять за две плитки. Но в квадрате две плитки в ряду и два ряда: $2 \\cdot 2$.","$2x$ — длина стороны, а не число плиток.","$8$ — это $2 \\cdot 4$, но плиток в каждом ряду две."],"answer":[0]}}},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$x^2-8x + 16$","$4x^2 + 12x + 9$","$x^4 + 2x^2 + 1$","$9-6y + y^2$"],"items":["$(x-4)^2$","$(2x+3)^2$","$(x^2+1)^2$","$(3-y)^2$"]}},"instruction":"Соотнесите трехчлен и его разложение","hints":["Найдите основания: например, $4x^2 = (2x)^2$, а $x^4 = (x^2)^2$.","Проверьте среднее слагаемое: $2 \\cdot 2x \\cdot 3 = 12x$, $2 \\cdot x^2 \\cdot 1 = 2x^2$, $2 \\cdot 3 \\cdot y = 6y$."],"step":1},{"content":"Ученик записал: $16x^2 + 24x + 9 = (16x+3)^2$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Основание первого слагаемого — $4x$, а не $16x$","Пропущено удвоенное произведение","В скобках должен стоять минус","Ошибки нет"],"explanations":["","Удвоенное произведение учтено: $2 \\cdot 4x \\cdot 3 = 24x$ появится само при раскрытии скобок.","Средний член $+24x$ со знаком «плюс», значит, в скобках тоже «плюс».","Раскройте скобки: $(16x+3)^2 = 256x^2 + 96x + 9$, а не $16x^2 + 24x + 9$."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Почти полный квадрат: чего не хватает

Не каждый трехчлен, похожий на квадрат, им является. Возьмем $x^2 + kx + 25$. Угол — квадрат $5 \times 5$ из $25$ единичек, значит, полоски вдоль каждой стороны должны быть шириной $5$. Тогда полосок $x$ ровно $10$, то есть $k = 10$. Если $k$ меньше, полоски тоньше угла, если больше — шире угла. В обоих случаях контур фигуры получается ступенчатым, а не квадратным.

Три фигуры x² + kx + 25 при k = 6, 10, 14. Угол 5 на 5 всегда один и тот же. При k = 10 полоски шириной 5 совпадают со стороной угла и квадрат складывается, при k = 6 они уже угла, при k = 14 шире угла — $x^2 + kx + 25$: при $k = 6$ полоски тоньше угла, при $k = 10$ квадрат сложился, при $k = 14$ полоски шире угла

Ошибка

«Крайние слагаемые — квадраты, значит, это полный квадрат»: $x^2 + 5x + 25 = (x+5)^2$. Раскроем скобки: $(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$. Среднее слагаемое получилось $10x$, а в трехчлене $5x$ — вдвое меньше. Вторая проверка не пройдена, значит, это не полный квадрат. Забыть удвоить — типичная ошибка.

Схема выбора: если крайние слагаемые трехчлена — квадраты со знаком плюс и средний член равен удвоенному произведению оснований, то трехчлен — полный квадрат, а знак в скобках как у среднего члена; иначе нужен другой способ: общий множитель или группировка — Схема выбора: если проверки не пройдены, трехчлен не полный квадрат, и нужен другой путь

Если одна из проверок не пройдена, формулой квадрата пользоваться нельзя. Тогда смотрят, нет ли общего множителя (вынесение общего множителя), и ищут другую формулу — например, для разности квадратов, о ней следующий урок. Иногда трехчлен вообще нельзя разложить на множители, как $x^2 + 5x + 25$.

Пример

При каких значениях $k$ трехчлен $16y^2 + ky + 9$ является полным квадратом?

Основания: $16y^2 = (4y)^2$ и $9 = 3^2$, значит, $a = 4y$, $b = 3$. Удвоенное произведение: $2 \cdot 4y \cdot 3 = 24y$. Средний член может быть $+24y$ или $-24y$:

$$16y^2 + 24y + 9 = (4y+3)^2, \qquad 16y^2-24y + 9 = (4y-3)^2.$$

Ответ: $k = 24$ или $k = -24$.

uploaded-razlozhenie-fsu-podbor-k-da49df216200

{"questions":[{"content":"В трехчлене $x^2 + kx + 36$ угол состоит из $36$ единичек. Какой ширины должны быть полоски, чтобы квадрат сложился?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$6$","$12$","$36$","$3$"],"explanations":["","$12$ — это число всех полосок $k$. На каждой стороне их вдвое меньше, а ширина полоски равна $1$.","$36$ — площадь угла, а не его сторона.","Ширина полосок должна равняться стороне угла $6$, а не ее половине."],"answer":[0]}}},{"content":"Выберите все трехчлены, которые являются полными квадратами.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x^2 + 8x + 16$","$x^2 + 4x + 16$","$x^2-8x + 16$","$x^2 + 8x-16$","$x^2 + 16$"],"explanations":["","Нужно $2 \\cdot x \\cdot 4 = 8x$, а в трехчлене $4x$: полоски вдвое тоньше угла.","","Последнее слагаемое $-16$ не квадрат: квадрат не бывает отрицательным.","Нет среднего члена: для квадрата не хватает $8x$ или $-8x$."],"answer":[0,2]}}},{"content":"Трехчлен $9a^2 + ka + 4$ — полный квадрат при двух значениях $k$. Укажите меньшее из них.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-12","−12"]}},"hints":["Основания: $3a$ и $2$. Удвоенное произведение: $2 \\cdot 3a \\cdot 2 = 12a$.","Средний член может быть $12a$ или $-12a$, то есть $k = 12$ или $k = -12$. Меньшее значение: $-12$."],"step":1}],"mix":1}

Вычисления и значения выражений

Разложение иногда превращает долгий счет в устный. Посчитаем $37^2 + 2 \cdot 37 \cdot 13 + 13^2$. Каждое слагаемое считать долго, но выражение — полный квадрат суммы: два квадрата и две одинаковые полоски.

Квадрат со стороной 37 + 13 = 50 разрезан на квадрат 37 на 37 (1369), два прямоугольника 37 на 13 (по 481) и квадрат 13 на 13 (169). Их сумма 2500 равна 50 в квадрате — $37^2 + 2 \cdot 37 \cdot 13 + 13^2$ — это площадь квадрата со стороной $37 + 13 = 50$

Пример

Вычислите $37^2 + 2 \cdot 37 \cdot 13 + 13^2$.

$$37^2 + 2 \cdot 37 \cdot 13 + 13^2 = (37 + 13)^2 = 50^2 = 2500.$$

Пример

Вычислите $8{,}7^2-2 \cdot 8{,}7 \cdot 3{,}7 + 3{,}7^2$.

Это квадрат разности: $a = 8{,}7$, $b = 3{,}7$.

$$8{,}7^2-2 \cdot 8{,}7 \cdot 3{,}7 + 3{,}7^2 = (8{,}7-3{,}7)^2 = 5^2 = 25.$$

То же верно для выражений с переменной. Сначала разложите, потом подставляйте число: в скобках оно обычно получается круглым.

Пример

Найдите значение выражения $x^2-18x + 81$ при $x = 109$.

$$x^2-18x + 81 = (x-9)^2 = (109-9)^2 = 100^2 = 10\,000.$$

Считать напрямую дольше: $109^2-18 \cdot 109 + 81 = 11\,881-1962 + 81 = 10\,000$. Результат тот же.

{"questions":[{"content":"Что означает слагаемое $2 \\cdot 63 \\cdot 37$ в выражении $63^2 + 2 \\cdot 63 \\cdot 37 + 37^2$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Площадь двух одинаковых прямоугольников со сторонами $63$ и $37$","Площадь большого квадрата со стороной $63$","Площадь маленького квадрата со стороной $37$","Длину стороны всего квадрата"],"explanations":["","Большой квадрат — это слагаемое $63^2$.","Маленький квадрат — это слагаемое $37^2$.","Сторона всего квадрата равна сумме $63 + 37$, а не слагаемому."],"answer":[0]}}},{"content":"Чему равно $63^2 + 2 \\cdot 63 \\cdot 37 + 37^2$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$10\\,000$","$5338$","$2331$","$100$"],"explanations":["","Так получится, если забыть удвоенное произведение: $63^2 + 37^2 = 3969 + 1369 = 5338$.","Это только одно произведение: $63 \\cdot 37 = 2331$.","Это сумма оснований $63 + 37 = 100$, а ответ — ее квадрат."],"answer":[0]}}},{"content":"Найдите значение выражения $4a^2 + 4a + 1$ при $a = 49{,}5$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["10000","10 000"]}},"hints":["$4a^2 = (2a)^2$, $1 = 1^2$ и $2 \\cdot 2a \\cdot 1 = 4a$, значит $4a^2 + 4a + 1 = (2a+1)^2$.","$2 \\cdot 49{,}5 + 1 = 100$, поэтому ответ $100^2 = 10\\,000$."],"step":1}],"mix":1}

Уравнения и задача аль-Хорезми

Полный квадрат помогает решать уравнения. Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю: $(x-5)^2 = (x-5)(x-5)$, а произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю. Поэтому, если левая часть уравнения раскладывается в квадрат, а правая равна нулю, остается приравнять нулю выражение в скобках.

Пример

Решите уравнение $x^2-10x + 25 = 0$.

Левая часть — полный квадрат: $(x-5)^2 = 0$. Значит, $x-5 = 0$, откуда $x = 5$.

Проверка: $5^2-10 \cdot 5 + 25 = 25-50 + 25 = 0$.

Пример: $9y^2 + 6y + 1 = 0$ — показать решение

Скрыть

$9y^2 = (3y)^2$, $1 = 1^2$, $2 \cdot 3y \cdot 1 = 6y$. Значит, $(3y+1)^2 = 0$, откуда $3y + 1 = 0$ и $y = -\frac{1}{3}$.

Проверка: $9 \cdot \frac{1}{9}-2 + 1 = 1-2 + 1 = 0$.

Около 820 года ученый из Багдада аль-Хорезми написал книгу, от названия которой произошло слово «алгебра». Одна из его задач звучала так: «квадрат и десять корней равны тридцати девяти». На нашем языке это уравнение $x^2 + 10x = 39$. Формул у него не было, он рассуждал о площадях. Сам аль-Хорезми делил десять корней на четыре части, итог тот же; мы разделим их на две части по пять.

Решение уравнения x² + 10x = 39 по аль-Хорезми: квадрат x² и десять полосок образуют фигуру площадью 39, добавляем угол 5 на 5 площадью 25 и получаем квадрат площадью 64 со стороной x + 5 = 8, откуда x = 3 — $x^2 + 10x = 39$: добавим угол $25$ — получим квадрат площадью $64$ со стороной $x + 5$

Десять корней — это десять полосок $x \times 1$. Разделим их поровну: пять справа и пять снизу. Вместе с квадратом $x^2$ они занимают площадь $39$. Не хватает угла $5 \times 5$, то есть $25$ единичек. Добавим его к обеим частям уравнения:

$$x^2 + 10x + 25 = 39 + 25, \qquad (x+5)^2 = 64.$$

Получился квадрат площадью $64$. Его сторона равна $8$, значит, $x + 5 = 8$ и $x = 3$. Проверка: $3^2 + 10 \cdot 3 = 9 + 30 = 39$.

Правило

Чтобы дополнить до полного квадрата выражение $x^2 + px$, прибавьте $\left(\frac{p}{2}\right)^2$. Для $x^2 + 10x$ это $\left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25$.

Обратите внимание

Уравнение $(x+5)^2 = 64$ имеет и второе решение: $x = -13$. Проверьте: $(-13)^2 + 10 \cdot (-13) = 169-130 = 39$. Оно отрицательное, а длина стороны не бывает отрицательной, поэтому аль-Хорезми его не рассматривал. О таких решениях вы узнаете в 8 классе. Прием «достроить до полного квадрата» лежит в основе решения квадратных уравнений.

Пример

Докажите, что выражение $x^2-6x + 9$ не принимает отрицательных значений. При каком $x$ оно равно нулю?

Разложим: $x^2-6x + 9 = (x-3)^2$. Квадрат любого числа не бывает отрицательным, поэтому и все выражение не меньше нуля. Равно нулю оно при $x-3 = 0$, то есть при $x = 3$.

{"questions":[{"content":"Почему выражение $y^2-8y + 16$ не принимает отрицательных значений?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Оно равно $(y-4)^2$, а квадрат числа не бывает отрицательным","Все его слагаемые положительны","Число $16$ всегда больше, чем $8y$","Переменная $y$ не бывает меньше $4$"],"explanations":["","Слагаемое $-8y$ при $y = 1$ равно $-8$: оно отрицательно, дело не в знаках слагаемых.","При $y = 3$ получаем $16 < 24$, а выражение все равно неотрицательно: $(3-4)^2 = 1$.","Значение $y$ может быть любым, например $y = 0$: $(0-4)^2 = 16$."],"answer":[0]}}},{"content":"Решите уравнение $x^2 + 12x + 36 = 0$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-6","−6"]}},"hints":["$36 = 6^2$ и $2 \\cdot x \\cdot 6 = 12x$, значит $x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$.","$(x+6)^2 = 0$, поэтому $x + 6 = 0$ и $x = -6$."],"step":1},{"content":"Найдите $x$, если $x > 0$ и $x^2 + 6x = 16$.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Дополните левую часть до полного квадрата: прибавьте $\\left(\\frac{6}{2}\\right)^2 = 9$ к обеим частям. Получится $x^2 + 6x + 9 = 25$.","$(x+3)^2 = 25$, сторона квадрата равна $5$: $x + 3 = 5$, откуда $x = 2$. Проверка: $4 + 12 = 16$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Разложение на множители по формулам квадрата суммы и квадрата разности — это поиск сторон квадрата по его площади. Три проверки помогают не ошибиться: два слагаемых — квадраты, средний член без знака равен удвоенному произведению оснований, знак в скобках берется по среднему члену. Если хоть одна проверка не пройдена, это не полный квадрат. Разложение пригодится для устного счета, значений выражений, уравнений и в 8 классе — для квадратных уравнений. Дальше — разность квадратов: еще одна формула, которая раскладывает на множители двучлен.

Часто задаваемые вопросы

Как быстро понять, что трехчлен — полный квадрат?

Найдите два слагаемых-квадрата со знаком «плюс» и проверьте, что третье слагаемое без знака равно их удвоенному произведению. Например, в $x^2 + 10x + 25$ квадраты — $x^2$ и $5^2$, а $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ совпадает со средним членом.

Почему знак в скобках берется по среднему члену?

Квадраты $a^2$ и $b^2$ — это площади, они всегда со знаком «плюс». Знак удвоенного произведения $2ab$ зависит только от знака между $a$ и $b$ в скобках.

Почему слагаемое $-16$ не может быть квадратом?

Квадрат любого числа не бывает отрицательным: $4^2 = 16$ и $(-4)^2 = 16$. Поэтому в полном квадрате оба крайних слагаемых имеют знак «плюс», и трехчлен $x^2 + 8x-16$ полным квадратом не является.

Что делать, если трехчлен не является полным квадратом?

Формулой квадрата пользоваться нельзя: после раскрытия скобок получится другой трехчлен. Проверьте, нет ли общего множителя, и поищите другую формулу. Иногда трехчлен вообще нельзя разложить на множители.

Награды за урок