7 класс Алгебра Выражения со степенями Свойства степеней

Возведение в степень произведения и степени

Содержание

В уроке «Степень с натуральным показателем» вы узнали, что $a^n$ — произведение $n$ одинаковых множителей $a$. Теперь основанием степени становится не просто число, а другая степень, как в $(a^m)^n$, или произведение, как в $(ab)^n$. В этом уроке выведем два правила одним приемом — подсчетом одинаковых множителей. Разберем четыре частые ошибки, применим правила к одночленам и научимся с их помощью вычислять и сравнивать большие числа. Начнем с вопроса: сколько байт в одном гибибайте?

Степень в степени: считаем множители

Объем памяти компьютера часто считают степенями двойки. В $1$ кибибайте (КиБ) $1024 = 2^{10}$ байт, в $1$ мебибайте (МиБ) — $1024$ КиБ, а в $1$ гибибайте (ГиБ) — $1024$ МиБ. Значит, в гибибайте $1024 \cdot 1024 \cdot 1024$ байт. Это $(2^{10})^3$: степень $2^{10}$ записана три раза как множитель. Как найти такое число быстро? Начнем с маленького примера.

Возведем в квадрат степень $2^3$. Квадрат — это два одинаковых множителя, поэтому $(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3$. Каждая степень $2^3$ — это три двойки: $(2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)$. Всего шесть двоек, то есть $2^6 = 64$.

(2 в кубе) в квадрате: основание 2 в кубе записано дважды, в каждой группе по три двойки. Всего шесть двоек, поэтому (2³)² = 2⁶ = 64 — В $(2^3)^2$ две группы по три двойки. Всего $3 \cdot 2 = 6$ множителей, поэтому $(2^3)^2 = 2^6 = 64$

Число $6$ взялось так: две группы по три множителя, $3 \cdot 2 = 6$. Так же устроено $(a^4)^3$: три группы по четыре множителя $a$. Расположим группы в сетку: три ряда по четыре множителя. Всего $4 \cdot 3 = 12$ множителей, поэтому $(a^4)^3 = a^{12}$. Если сетку повернуть, получится четыре ряда по три множителя, то есть $(a^3)^4$. Множителей по-прежнему $12$, значит, показатели можно менять местами.

Сетка множителей: (a⁴)³ — три ряда по четыре множителя a, всего 12. Если повернуть сетку, получится (a³)⁴ — те же 12 множителей. Поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — Сетка из $12$ множителей $a$ читается двумя способами: три ряда по $4$ или четыре ряда по $3$. В обоих случаях получается $a^{12}$

Правило

При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели ($m$ и $n$ — натуральные числа) перемножают:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Причина: степень $a^m$ записана $n$ раз как множитель, а в ней $m$ множителей $a$. Всего их $m \cdot n$. Запись $a^{m \cdot n}$ часто пишут короче: $a^{mn}$.

Проверьте правило в интерактиве. Сначала задайте показатели и запишите прогноз: сколько всего множителей получится? Затем сравните прогноз с сеткой.

uploaded-stepeni-grid-23df55a4d70d

Пример

Найдем значение $(3^2)^4$ двумя способами.

Первый способ: $3^2 = 9$, поэтому $(3^2)^4 = 9^4 = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 6561$.

Второй способ — по правилу: $(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 = 6561$.

Ответ: $6561$. Результаты совпали, потому что в обоих способах перемножены восемь троек.

Теперь ответим на вопрос про гибибайт: $(2^{10})^3 = 2^{10 \cdot 3} = 2^{30} = 1\,073\,741\,824$ байта. Показатель $30$ получился одним умножением: $10 \cdot 3$. Само число $2^{30}$ — уже вычисление, его можно проверить на калькуляторе.

Правило читают и справа налево: $a^{m \cdot n} = (a^m)^n$. Так степень можно «разобрать» на группы: показатель $12$ — это $3 \cdot 4$ или $2 \cdot 6$, значит, $a^{12}$ можно записать и как $(a^3)^4$, и как $(a^2)^6$. Это нужно, чтобы привести степени к общему основанию или общему показателю.

Пример

Запишем $4^6$ как степень с основанием $2$ и как куб некоторого числа.

Первое: $4 = 2^2$, поэтому $4^6 = (2^2)^6 = 2^{2 \cdot 6} = 2^{12}$.

Второе: показатель $6 = 2 \cdot 3$, поэтому $4^6 = 4^{2 \cdot 3} = (4^2)^3 = 16^3$.

Ответ: $4^6 = 2^{12} = 16^3$. Проверка: $4^6 = 4096$ и $16^3 = 4096$.

Ошибка

Показатели складывают: $(a^3)^2 = a^{3+2} = a^5$. Так ошибаются, потому что путают два правила. Сумма показателей бывает у произведения степеней: $a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5$. Там группы стоят рядом, в одной строке. А в $(a^3)^2$ группа из трех множителей повторяется дважды, поэтому показатели перемножают: $3 \cdot 2 = 6$.

Проверьте на числах: $(2^3)^2 = 8^2 = 64$, а $2^{3+2} = 2^5 = 32$. Результаты разные, значит, складывать показатели нельзя.

Два правила не путать. a³ · a²: две группы стоят рядом в одной строке, множителей 3 + 2 = 5, получается a⁵. (a³)²: группа из трех множителей повторена два раза, множителей 3 · 2 = 6, получается a⁶ — Две группы рядом дают $3 + 2 = 5$ множителей. Одна группа, повторенная дважды, дает $3 \cdot 2 = 6$ множителей

Повышенная сложность: чему равно $2^{3^2}$? Показать ответ

Скрыть

Запись $2^{3^2}$ без скобок по договоренности читают сверху вниз: сначала верхний показатель, $3^2 = 9$, затем $2^9 = 512$. А $(2^3)^2 = 8^2 = 64$. Скобки меняют результат, поэтому в таких записях их нельзя пропускать.

{"questions":[{"content":"Сколько всего множителей $a$ в записи $(a^4)^3$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$12$","$7$","$64$","$81$"],"explanations":["","Так получится, если показатели сложить: $4 + 3$. Но группа из четырех множителей повторяется три раза, значит, нужно $4 \\cdot 3$.","Это $4^3$: показатель $4$ возвели в степень $3$. Показатели не возводят в степень, а перемножают.","Это $3^4$: показатели поменяли ролями и возвели в степень. Нужно перемножить их."],"answer":[0]}}},{"content":"$(x^5)^2 =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$x^{10}$","$x^7$","$x^{25}$","$x^{3}$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Группа из пяти множителей $x$ записана два раза.","Показатели перемножают: $5 \\cdot 2 = 10$, поэтому $(x^5)^2 = x^{10}$."],"step":1},{"content":"Ученик записал $(y^2)^5 = y^7$. Какую ошибку он допустил?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Сложил показатели вместо того, чтобы перемножить","Перемножил показатели и потерял основание","Возвел число $2$ в пятую степень","Перемножил основание и показатель"],"explanations":["","Основание $y$ в ответе есть. Показатель $7$ — это сумма $2 + 5$, а не произведение.","Тогда показатель был бы $2^5 = 32$, а не $7$. Число $7$ получилось сложением $2 + 5$.","Основание $y$ осталось прежним. Показатель получился не тот: надо $2 \\cdot 5 = 10$."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Произведение в степени: каждый множитель повторяется

Возведем в степень произведение. Начнем с чисел: $(2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36$. Теперь иначе: $(2 \cdot 3)^2 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3)$. Произведение не зависит от порядка множителей, поэтому поменяем их местами: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$. Результат тот же.

С буквами все так же. $(ab)^3$ — это три одинаковых множителя $ab$. В них три множителя $a$ и три множителя $b$. Соберем одинаковые множители вместе.

(ab)³ — это (ab)(ab)(ab). Переставим множители: три множителя a и три множителя b, то есть a³b³. Значит, (ab)³ = a³b³ — В $(ab)^3$ три пары $ab$. Переставили множители: три $a$ и три $b$. Поэтому $(ab)^3 = a^3 b^3$

Правило

Чтобы возвести произведение в степень, возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают:

$$(ab)^n = a^n b^n$$

Правило верно для любого числа множителей: $(abc)^n = a^n b^n c^n$. Число-множитель тоже возводится в степень: $(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3$.

Правило хорошо видно на моделях. Сторона квадрата $3x$ состоит из трех отрезков длиной $x$, поэтому квадрат состоит из $3 \cdot 3 = 9$ клеток $x \cdot x$: $(3x)^2 = 9x^2$. Ребро куба $2x$ состоит из двух отрезков $x$, поэтому в кубе $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ кубиков $x \cdot x \cdot x$: $(2x)^3 = 8x^3$. Если все размеры увеличить в $k$ раз, площадь вырастет в $k^2$ раз, а объем — в $k^3$ раз.

Масштаб: сторона квадрата 3x состоит из 3 клеток со стороной x, значит площадь (3x)² = 9x². Ребро куба 2x состоит из 2 кубиков, значит объем (2x)³ = 8x³. Число-множитель тоже возводится в степень — Сторона $3x$ дает $9$ клеток, ребро $2x$ дает $8$ кубиков. Число-множитель возводится в степень вместе с буквой

Ошибка

Число-множитель оставляют без степени: $(2x)^3 = 2x^3$. Или перемножают основание и показатель: $(2x)^3 = 6x^3$. Проверьте при $x = 1$: $(2 \cdot 1)^3 = 8$, а $2 \cdot 1^3 = 2$ и $6 \cdot 1^3 = 6$. Степень относится ко всему, что стоит в скобках, — и к числу, и к букве. Ребро $2x$ дает $8$ кубиков, а не $2$ и не $6$.

Пример

Запишем $(5xy)^3$ без скобок.

Возводим в куб каждый из трех множителей: $(5xy)^3 = 5^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = 125x^3y^3$.

Ответ: $125x^3y^3$.

Задача

Сторону квадрата и ребро куба увеличили в $5$ раз. Во сколько раз выросли площадь квадрата и объем куба?

Пусть сторона квадрата и ребро куба равны $a$. После увеличения они равны $5a$.

Площадь квадрата была $a^2$, стала $(5a)^2 = 5^2 a^2 = 25a^2$ — в $25$ раз больше.

Объем куба был $a^3$, стал $(5a)^3 = 5^3 a^3 = 125a^3$ — в $125$ раз больше.

Ответ: в $25$ раз и в $125$ раз. Число $5$ возводится в степень вместе с буквой, поэтому рост площади и объема не равен росту стороны.

Правило читают и справа налево: $a^n b^n = (ab)^n$. Это упрощает вычисления: если у степеней одинаковый показатель, можно сначала перемножить основания. Выбирайте такие основания, чтобы их произведение стало круглым числом.

Пример

Найдем значения выражений $25^3 \cdot 4^3$ и $0{,}25^5 \cdot 4^5$.

Показатели одинаковые, поэтому перемножим основания: $25^3 \cdot 4^3 = (25 \cdot 4)^3 = 100^3 = 1\,000\,000$.

Аналогично $0{,}25^5 \cdot 4^5 = (0{,}25 \cdot 4)^5 = 1^5 = 1$.

Ответ: $1\,000\,000$ и $1$.

{"questions":[{"content":"Куб с ребром $3a$ сложен из маленьких кубиков с ребром $a$. Сколько в нем маленьких кубиков?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$27$","$9$","$3$","$81$"],"explanations":["","Это $3 \\cdot 3$ — число кубиков в одном слое. В кубе три таких слоя.","Это число кубиков вдоль одного ребра, а не во всем кубе.","Это $3^4$: добавлен лишний множитель. У куба три измерения, поэтому $3^3$."],"answer":[0]}}},{"content":"$(4y)^2 =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$16y^2$","$4y^2$","$8y^2$","$16y$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["В квадрат возводят каждый множитель: и число $4$, и букву $y$.","$4^2 = 16$, $y^2$ остается. Получается $16y^2$."],"step":1},{"content":"Ученик записал $(3ab)^2 = 3a^2b^2$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Число $3$ тоже нужно возвести в квадрат: $9a^2b^2$","Нужно возвести в квадрат только $a$","Показатели букв нужно сложить: $3a^3b^3$","Число нужно умножить на показатель: $6a^2b^2$"],"explanations":["","Буквы $a$ и $b$ в ответе уже стоят в квадрате. Не хватает степени у числа $3$.","Буквы $a$ и $b$ — разные множители, каждый возводится в степень отдельно. Показатели у них не складываются.","Число возводят в степень, а не умножают на показатель: $3^2 = 9$, а $3 \\cdot 2 = 6$."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Сумма в степени: правило здесь не работает

Правило для произведения часто переносят на сумму: $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. Проверим на числах. При $a = 3$ и $b = 2$ получаем $(3 + 2)^2 = 5^2 = 25$, а $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Значения разные, значит, равенство неверно.

Выражение при $a = 3$, $b = 2$	Значение
$(ab)^2$	$6^2 = 36$
$a^2 b^2$	$9 \cdot 4 = 36$
$(a + b)^2$	$5^2 = 25$
$a^2 + b^2$	$9 + 4 = 13$

Дело в том, что $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ — это площадь квадрата со стороной $a + b$. В нем четыре части: $a^2$, $b^2$ и два прямоугольника $ab$. В записи $a^2 + b^2$ два прямоугольника потеряны.

Слева квадрат со стороной a + b состоит из четырех частей: a², b² и двух прямоугольников ab. Справа сумма a² + b² — только две части, два прямоугольника ab пропали. При a = 3 и b = 2: 25 клеток против 13. Значит, (a + b)² не равно a² + b² — В квадрате со стороной $a + b$ четыре части. В сумме $a^2 + b^2$ только две: два прямоугольника $ab$ (сиреневые) пропали

Обратите внимание

Степень относится ко всему, что стоит в скобках, как к одному множителю. Если в скобках произведение, можно возвести в степень каждый множитель. Если в скобках сумма или разность, так делать нельзя: $(x + 3)^2$ — это $(x + 3)(x + 3)$, а не $x^2 + 3^2$. Такие скобки раскрывают отдельным правилом — формулой квадрата суммы, ее изучают позже.

Проверьте обе записи в интерактиве. Выберите числа и показатель и запишите прогноз: равны ли значения? Затем сравните прогноз с проверкой и переключите режим.

uploaded-stepeni-product-d283758f40c8

Пример

Найдем значение выражения $(a + b)^2-a^2-b^2$ при $a = 4$, $b = 5$.

Подставим: $(4 + 5)^2-4^2-5^2 = 81-16-25 = 40$.

Это ровно $2ab = 2 \cdot 4 \cdot 5 = 40$ — те самые два потерянных прямоугольника.

Ответ: $40$.

{"questions":[{"content":"Какое равенство верно при любых $a$ и $b$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(ab)^3 = a^3 b^3$","$(a + b)^3 = a^3 + b^3$","$(ab)^3 = a^3 b$","$(a + b)^3 = a^3 b^3$"],"explanations":["","Проверьте при $a = b = 1$: слева $2^3 = 8$, справа $1 + 1 = 2$. Сумму по частям в степень не возводят.","Степень $3$ относится и к $b$: $(ab)^3 = a^3 b^3$. При $a = b = 2$ слева $64$, справа $16$.","Проверьте при $a = b = 1$: слева $8$, справа $1$. Здесь сумму спутали с произведением."],"answer":[0]}}},{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Степень можно разнести по множителям","По частям в степень не возвести"],"items":[["$(5y)^2$","$(xy)^4$","$(2mn)^3$"],["$(x + 5)^2$","$(a-b)^3$","$(1 + y)^4$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Посмотрите, что стоит в скобках: произведение или сумма (разность).","В $(5y)^2$ множители $5$ и $y$, а в $(x + 5)^2$ слагаемые $x$ и $5$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $(a + b)^2-a^2-b^2$ при $a = 5$, $b = 2$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Сначала найдите $(5 + 2)^2$.","$49-25-4 = 20$. Это $2ab$ — два прямоугольника, потерянных в сумме $a^2 + b^2$."],"step":1}],"mix":1}

Одночлены: правила работают вместе

Одночлен — произведение числа и букв, например $2x^3$ или $-3a^2b$. Чтобы возвести одночлен в степень, возводят в нее каждый множитель — число и каждую букву. У буквы со степенью применяют правило степени в степени. Например, $(2x^3)^2 = 2^2 \cdot (x^3)^2 = 4x^6$.

Порядок действий:

Возведите в степень число, не забыв про знак.
Возведите в степень каждую букву: показатель буквы умножьте на показатель степени. У буквы без показателя он равен $1$.
Запишите результат: сначала число, затем буквы по алфавиту.

(−3a²b)³ по шагам. Шаг 1: в куб возводим каждый множитель: (−3)³, (a²)³ и b³. Шаг 2: считаем число и перемножаем показатели: −27, a⁶, b³. Ответ: −27a⁶b³ — $(-3a^2b)^3$ по шагам: в куб возводятся число $-3$, буква $a^2$ и буква $b$

Знак зависит от четности показателя, как в уроке про степень отрицательного числа: $(-3a^2b)^3 = (-3)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = -27a^6b^3$. Сравните: $(-2x)^2 = 4x^2$, а $-(2x)^2 = -4x^2$. Во втором случае минус стоит перед скобкой и в основание не входит.

Ошибка

Знак теряют: $(-2x)^2 = -4x^2$. В скобках основание $-2x$, и множитель $-2$ входит в него вместе со знаком. Квадрат $(-2) \cdot (-2) = 4$ положителен. Минус остается только при нечетном показателе: $(-2x)^3 = -8x^3$.

Напомним два правила

В задачах с одночленами пригодятся еще два правила. Они тоже считают множители.

Умножение: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — группы стоят рядом, множителей $m + n$ (урок «Умножение степеней с одинаковым и разным основанием»).

Деление: одинаковые множители сокращаются. Если в числителе $m$ множителей $a$, а в знаменателе $n$, то остается $m-n$ множителей: $a^m : a^n = a^{m-n}$ при $m > n$ и $a \ne 0$ (урок «Деление степеней»).

Пример

Упростим выражение $(2x^2y)^3 \cdot (-3xy^2)^2$.

Шаг 1. Возведем в степень каждую скобку: $(2x^2y)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 \cdot y^3 = 8x^6y^3$ и $(-3xy^2)^2 = (-3)^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 = 9x^2y^4$.

Шаг 2. Перемножим результаты: числа $8 \cdot 9 = 72$, буквы $x^6 \cdot x^2 = x^8$ и $y^3 \cdot y^4 = y^7$.

Ответ: $72x^8y^7$.

{"questions":[{"content":"В каком выражении число $-2$ возводится в квадрат вместе с буквой?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$(-2x)^2$","$-(2x)^2$","$-2x^2$","$2 \\cdot (-x)^2$"],"explanations":["","Минус стоит перед скобкой и в основание не входит: $-(2x)^2 = -4x^2$. Число $-2$ в квадрат не возводится.","Квадрат относится только к букве $x$, число $-2$ остается без степени.","В квадрат возводится $-x$, а число $2$ остается без степени и без знака."],"answer":[0]}}},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$(2x)^3$","$(x^2)^3$","$(-2x)^2$","$-(2x)^2$"],"items":["$8x^3$","$x^6$","$4x^2$","$-4x^2$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и результат","hints":["В степень возводят каждый множитель. Минус перед скобкой в основание не входит.","$(2x)^3 = 8x^3$, $(x^2)^3 = x^6$, $(-2x)^2 = 4x^2$, $-(2x)^2 = -4x^2$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $(3x^2)^2$ при $x = 2$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"144"}},"hints":["Сначала упростите: $(3x^2)^2 = 3^2 \\cdot (x^2)^2 = 9x^4$.","$x^4 = 2^4 = 16$, поэтому значение равно $9 \\cdot 16 = 144$."],"step":1}],"mix":1}

Правила в вычислениях и сравнении степеней

Правила нужны, чтобы вычислять без калькулятора и сравнивать большие числа. Помогают два приема. Общий показатель: если показатели одинаковы, работают с основаниями. Общее основание: если одинаковы основания, работают с показателями. Подготовить степени к одному из приемов помогают оба правила этого урока.

Пример

Найдем значение выражения $\dfrac{6^{12} \cdot 11^{10}}{66^{10}}$.

Число $66 = 6 \cdot 11$, поэтому $66^{10} = (6 \cdot 11)^{10} = 6^{10} \cdot 11^{10}$. Дробь принимает вид $\dfrac{6^{12} \cdot 11^{10}}{6^{10} \cdot 11^{10}}$.

Сократим $11^{10}$. Из двенадцати шестерок в числителе сокращаем десять, остаются две: $6^{12-10} = 6^2 = 36$.

Ответ: $36$.

Пример

Найдем значение выражения $\dfrac{64^2}{16^3}$.

Приведем основания к двойке: $64 = 2^6$ и $16 = 2^4$. Тогда $64^2 = (2^6)^2 = 2^{12}$ и $16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}$.

Дробь равна $\dfrac{2^{12}}{2^{12}} = 1$.

Ответ: $1$.

Пример

Что больше: $2^{30}$ или $3^{20}$?

Основания и показатели разные, поэтому сравнить сразу нельзя. Заметим, что оба показателя делятся на $10$. Тридцать двоек — это десять групп по три двойки, а двадцать троек — десять групп по две тройки: $2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$ и $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$.

Показатели одинаковые, а $9 > 8$, значит, $9^{10} > 8^{10}$.

Ответ: больше $3^{20}$.

Вернемся к памяти компьютера. Производители дисков считают степенями десяти: $1$ ТБ — это $10^{12} = (10^3)^4$ байт. А $1$ ГиБ — это $2^{30} = (2^{10})^3$ байт, и $2^{30} \approx 1{,}074 \cdot 10^9$. Поэтому диск на $1$ ТБ — это $10^{12} : 2^{30} \approx 931$ ГиБ. Некоторые операционные системы показывают это число с подписью «ГБ», и кажется, что часть диска пропала.

Правило одно, $(a^m)^n$, а основания разные: $10^3$ и $2^{10}$. С каждой ступенью разница растет: у килобайта она $2{,}4\%$, у гигабайта $7{,}4\%$, а на ступени «тера» — почти $10\%$.

Две лестницы единиц: степени 10 в степени 3k (оранжевые полоски) и степени 2 в степени 10k (голубые). Разница растет: у килобайта 2,4%, у мегабайта 4,9%, у гигабайта 7,4%, у терабайта около 10% — Две лестницы единиц: $(10^3)^k$ и $(2^{10})^k$. Чем выше ступень, тем сильнее степень двойки обгоняет степень десяти

{"questions":[{"content":"Как удобнее сравнить $2^{30}$ и $3^{20}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Записать $2^{30} = 8^{10}$ и $3^{20} = 9^{10}$ и сравнить основания","Сравнить показатели: $30 > 20$, значит, больше $2^{30}$","Сравнить основания: $3 > 2$, значит, больше $3^{20}$","Перемножить основания и показатели: $6^{50}$"],"explanations":["","Показатели сравнивают только при одинаковых основаниях. Здесь основания разные: $2^{30} \\approx 1{,}07 \\cdot 10^9$, а $3^{20} \\approx 3{,}49 \\cdot 10^9$.","Основания сравнивают только при одинаковых показателях. Здесь показатели разные, поэтому вывод по одним основаниям ненадежен.","Степени с разными основаниями и показателями не объединяют в одну степень такой записью."],"answer":[0]}}},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{(2^3)^4}{2^{10}}$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Степень в степени: $(2^3)^4 = 2^{12}$.","Одинаковые множители сокращаются: $2^{12} : 2^{10} = 2^2 = 4$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{10^9}{2^6 \\cdot 5^8}$.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Запишите $10^9 = (2 \\cdot 5)^9 = 2^9 \\cdot 5^9$.","$\\dfrac{2^9 \\cdot 5^9}{2^6 \\cdot 5^8} = 2^{9-6} \\cdot 5^{9-8} = 2^3 \\cdot 5 = 40$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Оба правила — это подсчет множителей. В $(a^m)^n$ группа из $m$ множителей повторена $n$ раз, поэтому множителей $m \cdot n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$. В $(ab)^n$ каждый из множителей $a$ и $b$ повторен $n$ раз, поэтому $(ab)^n = a^n b^n$, и число-множитель возводится в степень вместе с буквой. Для суммы такого правила нет: в общем случае $(a + b)^n \ne a^n + b^n$. Эти правила понадобятся для одночленов и многочленов, для формул сокращенного умножения и в заданиях ОГЭ на вычисления со степенями. Они же объясняют, во сколько раз растут площадь и объем при увеличении размеров: в $k^2$ и в $k^3$ раз.

Часто задаваемые вопросы

Чем $(a^m)^n$ отличается от $a^m \cdot a^n$?

В $a^m \cdot a^n$ группы множителей стоят рядом, поэтому показатели складывают: $a^{m+n}$. В $(a^m)^n$ одна группа из $m$ множителей повторена $n$ раз, поэтому показатели перемножают: $a^{mn}$. Например, $a^3 \cdot a^2 = a^5$, а $(a^3)^2 = a^6$.

Почему в $(2x)^3$ число $2$ тоже возводится в степень?

Степень относится ко всему, что стоит в скобках. В $(2x)^3$ три множителя $2x$, то есть три двойки и три $x$: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x = 8x^3$. Поэтому $(2x)^3$ не равно $2x^3$.

Верно ли, что $(a + b)^n = a^n + b^n$?

Нет, в общем случае равенство неверно. Оно выполняется лишь в особых случаях, например при $a = 0$. Возьмем $a = b = 1$: $(1 + 1)^2 = 4$, а $1^2 + 1^2 = 2$. В $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ кроме $a^2$ и $b^2$ есть еще два произведения $ab$. Такие скобки раскрывают по формулам сокращенного умножения.

Можно ли так же возвести в степень частное?

Да: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ при $b \ne 0$. Числитель и знаменатель возводятся в степень отдельно, как множители. Подробнее — в уроке «Деление степеней».

Как быстро проверить свое преобразование?

Подставьте в начальное и в конечное выражение небольшие числа, например $x = 2$ или $x = 3$. Если значения разные, в преобразовании есть ошибка. Значение $x = 1$ подходит не всегда: единица в любой степени равна $1$, и ошибка в показателях не видна. Так, при $x = 2$ видно, что $(2x)^3 = 64$, а $2x^3 = 16$.

Награды за урок