Деление степеней

{"questions":[{"content":"Выберите верное равенство.<br>[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\frac{a^5}{a^2}=a^7$","$\\frac{a^5}{a^2}=a^3$","$\\frac{a^5}{a^2}=\\frac{a}{3}$","$\\frac{a^5}{a^2}=a^{10}$"],"explanations":["При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $a^{5-2}=a^3$.","Используем правило: $\\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ при $a\\ne 0$.","Здесь необоснованно появляется деление на 3; такого правила нет.","Показатели при делении не складываются, а вычитаются."],"answer":[1]}},"hints":["Вспомните правило: $\\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ при $a\\ne 0$."]},{"content":"Что неверно при делении степеней с одинаковыми показателями?<br>[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\frac{a^n}{b^n}=\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n$","$\\frac{a^n}{b^n}=\\frac{a}{b}^{n}$","$\\frac{6^2}{3^2}=2^2$","$\\frac{10^3}{2^3}=5^3$"],"explanations":["Это стандартное свойство: делим основания и сохраняем показатель.","Запись неоднозначна: из-за приоритета степеней это читается как $\\frac{a}{b^{n}}$. Корректно писать $\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n$.","Можно сократить: $\\left(\\frac{6}{3}\\right)^2=2^2$.","Аналогично: $\\left(\\frac{10}{2}\\right)^3=5^3$."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Проверьте, можно ли записать деление степеней как степень дроби: $\\left(\\frac{a}{b}\\right)^n$.","Если в формуле есть дробь в степени, используйте скобки, чтобы запись была однозначной."]},{"instruction":"Вычислите","content":"$$\\frac{3^8}{3^5}$$ [[choice-2674]]","widgets":{"choice-2674":{"type":"choice","options":["$3^3$","$27$","$3^2$","$9$"],"answer":[0,1]}},"step":1,"hints":["Примените правило: $\\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.","Получаем: $3^{8-5}=3^3$."]},{"content":"При каком условии можно пользоваться формулой $\\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$?<br>[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$a=0$","$a\\ne 0$","$n=m=0$","$m=n$ при любом $a$"],"explanations":["При $a=0$ выражение $\\frac{a^n}{a^m}$ может содержать деление на ноль (например, если $m>0$).","Формула выводится через сокращение дроби и требует, чтобы в знаменателе не было нуля, то есть $a\\ne 0$.","Если $n=m=0$, возникает выражение $\\frac{a^0}{a^0}=\\frac{1}{1}$ при $a\\ne 0$, но условие на $a$ все равно нужно.","Если $m=n$, то $a^{n-m}=a^0=1$, но исходная дробь все равно требует $a\\ne 0$, чтобы не делить на ноль."],"answer":[1]}},"hints":["Подумайте, когда выражение $\\frac{a^n}{a^m}$ может приводить к делению на ноль."]}],"mix":1}