Возведение в степень произведения и степени

Тест по уроку «Возведение в степень произведения и степени». 10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Чему равно $(x^3)^4$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x^{12}$","$x^7$","$x^{81}$","$x^{64}$"],"explanations":["","Показатели сложили: $3 + 4$. Группа из трех множителей повторена четыре раза, нужно $3 \\cdot 4$.","Показатель $3$ возвели в четвертую степень: $3^4 = 81$. Показатели перемножают, а не возводят в степень.","Показатель $4$ возвели в третью степень: $4^3 = 64$. Показатели перемножают, а не возводят в степень."],"answer":[0]}}},{"id":"1","content":"Чему равно $(y^5)^2$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$y^{10}$","$y^7$","$y^{25}$","$y^{32}$"],"explanations":["","Показатели сложили: $5 + 2$. Группа из пяти множителей повторена два раза, нужно $5 \\cdot 2$.","Показатель $5$ возвели в квадрат: $5^2 = 25$. Показатели перемножают, а не возводят в степень.","Показатель $2$ возвели в пятую степень: $2^5 = 32$. Показатели перемножают, а не возводят в степень."],"answer":[0]}}},{"id":"2","content":"$(5y)^2 =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$25y^2$","$5y^2$","$10y^2$","$25y$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["В квадрат возводят каждый множитель: и число $5$, и букву $y$.","$5^2 = 25$, $y^2$ остается. Получается $25y^2$."],"step":1},{"id":"2","content":"$(4b)^3 =$ [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$64b^3$","$4b^3$","$12b^3$","$64b$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["В куб возводят каждый множитель: и число $4$, и букву $b$.","$4^3 = 64$, $b^3$ остается. Получается $64b^3$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$(a^3)^2$","$a^3 \\cdot a^2$","$(ab)^3$","$(a^2)^4$"],"items":["$a^6$","$a^5$","$a^3 b^3$","$a^8$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и результат","hints":["Степень в степени: показатели перемножают. Произведение степеней: показатели складывают.","$(a^3)^2 = a^6$, $a^3 \\cdot a^2 = a^5$, $(ab)^3 = a^3 b^3$, $(a^2)^4 = a^8$."],"step":1},{"id":"3","content":"[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$(a^2)^5$","$a^2 \\cdot a^5$","$(ab)^2$","$(a^3)^4$"],"items":["$a^{10}$","$a^7$","$a^2 b^2$","$a^{12}$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и результат","hints":["Степень в степени: показатели перемножают. Произведение степеней: показатели складывают.","$(a^2)^5 = a^{10}$, $a^2 \\cdot a^5 = a^7$, $(ab)^2 = a^2 b^2$, $(a^3)^4 = a^{12}$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Степень можно разнести по множителям","По частям в степень не возвести"],"items":[["$(7a)^2$","$(pq)^5$","$(3xy)^2$"],["$(m + 7)^2$","$(x-y)^4$","$(2 + a)^3$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Посмотрите, что стоит в скобках: произведение или сумма (разность).","В $(7a)^2$ множители $7$ и $a$, а в $(m + 7)^2$ слагаемые $m$ и $7$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Степень можно разнести по множителям","По частям в степень не возвести"],"items":[["$(6b)^3$","$(ab)^4$","$(5pq)^2$"],["$(b + 6)^3$","$(a-c)^2$","$(3 + y)^4$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Посмотрите, что стоит в скобках: произведение или сумма (разность).","В $(6b)^3$ множители $6$ и $b$, а в $(b + 6)^3$ слагаемые $b$ и $6$."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите значение выражения $(2^2)^3$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"64"}},"hints":["Показатели перемножают: $(2^2)^3 = 2^{2 \\cdot 3} = 2^6$.","$2^6 = 64$."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите значение выражения $(3^2)^3$.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"729"}},"hints":["Показатели перемножают: $(3^2)^3 = 3^{2 \\cdot 3} = 3^6$.","$3^6 = 729$."],"step":1},{"id":"6","content":"Ученик записал $(-2a)^2 = -4a^2$. В чем его ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Минус входит в основание: $(-2)^2 = 4$, поэтому ответ $4a^2$","Ошибки нет: при возведении в степень знак всегда сохраняется","Квадрат нужно взять только у буквы: $-2a^2$","Букву возводить в квадрат не нужно: $4a$"],"explanations":["","Знак сохраняется только при нечетном показателе: $(-2)^3 = -8$. При четном показателе минус пропадает: $(-2)^2 = 4$.","Число $-2$ тоже множитель в скобках, его нужно возвести в квадрат. Получится $(-2)^2 = 4$, а не $-2$.","Буква тоже множитель в скобках: $(-2a)^2 = (-2)^2 \\cdot a^2 = 4a^2$. Без $a^2$ ответ неполный."],"answer":[0]}}},{"id":"6","content":"Ученик записал $(-3b)^2 = -9b^2$. В чем его ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Минус входит в основание: $(-3)^2 = 9$, поэтому ответ $9b^2$","Ошибки нет: при возведении в степень знак всегда сохраняется","Квадрат нужно взять только у буквы: $-3b^2$","Букву возводить в квадрат не нужно: $9b$"],"explanations":["","Знак сохраняется только при нечетном показателе: $(-3)^3 = -27$. При четном показателе минус пропадает: $(-3)^2 = 9$.","Число $-3$ тоже множитель в скобках, его нужно возвести в квадрат. Получится $(-3)^2 = 9$, а не $-3$.","Буква тоже множитель в скобках: $(-3b)^2 = (-3)^2 \\cdot b^2 = 9b^2$. Без $b^2$ ответ неполный."],"answer":[0]}}},{"id":"7","content":"Куб с ребром $2a$ имеет объем $k \\cdot a^3$. Чему равно $k$?[[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Объем куба с ребром $2a$ равен $(2a)^3$.","$(2a)^3 = 2^3 \\cdot a^3 = 8a^3$, значит, $k = 8$."],"step":1},{"id":"7","content":"Куб с ребром $5a$ имеет объем $k \\cdot a^3$. Чему равно $k$?[[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"125"}},"hints":["Объем куба с ребром $5a$ равен $(5a)^3$.","$(5a)^3 = 5^3 \\cdot a^3 = 125a^3$, значит, $k = 125$."],"step":1},{"id":"8","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{12^8 \\cdot 5^6}{60^6}$.[[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"144"}},"hints":["Запишите $60^6 = (12 \\cdot 5)^6 = 12^6 \\cdot 5^6$.","Сократите $5^6$: остается $12^8 : 12^6 = 12^2 = 144$."],"step":1},{"id":"8","content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{15^8 \\cdot 2^7}{30^7}$.[[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Запишите $30^7 = (2 \\cdot 15)^7 = 2^7 \\cdot 15^7$.","Сократите $2^7$: остается $15^8 : 15^7 = 15$."],"step":1},{"id":"9","content":"Что больше: $2^{45}$ или $3^{30}$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$3^{30}$: $2^{45} = 8^{15}$, а $3^{30} = 9^{15}$","$2^{45}$: показатель $45$ больше $30$","Сравнить нельзя: основания и показатели разные","$2^{45}$: $2^{45} = 6^{15}$"],"explanations":["","Показатели сравнивают только при одинаковых основаниях. Здесь $2^{45} \\approx 3{,}52 \\cdot 10^{13}$, а $3^{30} \\approx 2{,}06 \\cdot 10^{14}$.","Можно: $2^{45} = (2^3)^{15} = 8^{15}$, $3^{30} = (3^2)^{15} = 9^{15}$ — показатели стали одинаковыми.","$(2^3)^{15} = 8^{15}$, а не $6^{15}$: число $2^3 = 8$, а не $2 \\cdot 3$."],"answer":[0]}}},{"id":"9","content":"Что больше: $2^{35}$ или $3^{21}$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$2^{35}$: $2^{35} = 32^7$, а $3^{21} = 27^7$","$3^{21}$: основание $3$ больше основания $2$","Сравнить нельзя: основания и показатели разные","$3^{21}$: $2^{35} = 10^7$"],"explanations":["","Основания сравнивают только при одинаковых показателях. Здесь $2^{35} \\approx 3{,}44 \\cdot 10^{10}$, а $3^{21} \\approx 1{,}05 \\cdot 10^{10}$.","Можно: $2^{35} = (2^5)^7 = 32^7$, $3^{21} = (3^3)^7 = 27^7$ — показатели стали одинаковыми.","$(2^5)^7 = 32^7$, а не $10^7$: число $2^5 = 32$, а не $2 \\cdot 5$."],"answer":[0]}}},{"id":"10","content":"Упростите выражение $(2x^2y)^3 \\cdot (-3xy^2)^2$.[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$72x^8y^7$","$18x^8y^7$","$72x^7y^7$","$-72x^8y^7$"],"explanations":["","Число $2$ не возвели в куб: $(2x^2y)^3 = 8x^6y^3$, а не $2x^6y^3$.","В $(x^2)^3$ показатели сложили: $2 + 3 = 5$. Их нужно перемножить: $x^6$, и тогда $x^6 \\cdot x^2 = x^8$.","Знак потеряли не там: $(-3)^2 = 9$, показатель четный, минус пропадает."],"answer":[0]}},"hints":["Возведите в степень каждую скобку: $(2x^2y)^3 = 8x^6y^3$ и $(-3xy^2)^2 = 9x^2y^4$.","Перемножьте: $8 \\cdot 9 = 72$, $x^6 \\cdot x^2 = x^8$, $y^3 \\cdot y^4 = y^7$."],"step":1},{"id":"10","content":"Упростите выражение $(3xy^2)^2 \\cdot (-2x^2y)^3$.[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$-72x^8y^7$","$72x^8y^7$","$-18x^8y^7$","$-72x^7y^7$"],"explanations":["","Знак потеряли: показатель $3$ нечетный, поэтому $(-2)^3 = -8$, минус остается.","Число $-2$ не возвели в куб: $(-2x^2y)^3 = -8x^6y^3$, а не $-2x^6y^3$.","В $(x^2)^3$ показатели сложили: $2 + 3 = 5$. Их нужно перемножить: $x^6$, и тогда $x^2 \\cdot x^6 = x^8$."],"answer":[0]}},"hints":["Возведите в степень каждую скобку: $(3xy^2)^2 = 9x^2y^4$ и $(-2x^2y)^3 = -8x^6y^3$.","Перемножьте: $9 \\cdot (-8) = -72$, $x^2 \\cdot x^6 = x^8$, $y^4 \\cdot y^3 = y^7$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>