7 класс Алгебра Выражения со степенями Свойства степеней

Умножение и деление степеней. Нулевая степень

Содержание

В уроке «Степень с натуральным показателем» вы узнали, что $a^n$ — произведение $n$ одинаковых множителей $a$, а $a^1 = a$. Теперь научимся умножать и делить степени с одинаковым основанием, не выписывая все множители. Выведем два правила с помощью одной модели — лестницы умножений. Затем выясним, что такое степень с показателем $0$ и почему $5^0$ равно $1$, а не $0$. В конце решим задачи в формате ОГЭ. По пути ответим на вопрос сейсмологов: во сколько раз сильнее отклоняется запись сейсмографа при землетрясении магнитудой $6$, чем при магнитуде $4$?

Умножение степеней: шаги складываются

Представим лестницу. На нижней ступени стоит число $1$. Каждый шаг вверх умножает число на $2$: $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$… На ступени номер $3$ стоит $1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$. Значит, показатель степени — это число шагов вверх от единицы.

Найдем $2^3 \cdot 2^2$. Сначала поднимаемся на три ступени и получаем $2^3 = 8$. Умножить на $2^2$ — значит сделать еще два шага: $8 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Всего шагов $3 + 2 = 5$, и мы на ступени $2^5 = 32$.

Лестница умножений: на нижней ступени 1, каждый шаг вверх умножает на 2. Три шага вверх дают 2³ = 8, еще два шага — 32. Всего 3 + 2 = 5 шагов: 2³ · 2² = 2⁵ = 32 — Три шага вверх, потом еще два: всего $3 + 2 = 5$ шагов. Поэтому $2^3 \cdot 2^2 = 2^5 = 32$

То же видно по определению степени. Выпишем множители: $2^3 \cdot 2^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2)$. Скобки можно убрать: получается одна цепочка из пяти двоек. Цепочки длиной $3$ и $2$ состыковали в одну длиной $5$.

Цепочка из трех двоек (2³) и цепочка из двух двоек (2²) стыкуются в одну цепочку из пяти двоек: 3 + 2 = 5 множителей, а не 3 · 2 = 6. Поэтому 2³ · 2² = 2⁵ = 32 — Цепочки из $3$ и $2$ множителей стыкуются в одну цепочку из $3 + 2 = 5$ множителей. Показатели складывают, а не перемножают

Правило

При умножении степеней с одинаковым основанием основание оставляют прежним, а показатели складывают:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Здесь $a$ — любое число, $m$ и $n$ — натуральные числа. Правило верно и для трех и более множителей: $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$.

Пример

Упростим выражение $x^4 \cdot x \cdot x^3$.

Множитель $x$ без показателя — это $x^1$. Основания одинаковые, поэтому складываем показатели: $x^4 \cdot x^1 \cdot x^3 = x^{4+1+3} = x^8$.

Ответ: $x^8$.

Правило читают и справа налево: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Так степень разбивают на части: $2^{10} = 2^3 \cdot 2^7 = 8 \cdot 128$.

Ошибка

Показатели перемножают: $a^3 \cdot a^2 = a^6$. Проверим при $a = 2$: $2^3 \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32 = 2^5$, а $2^6 = 64$. Шаги по лестнице складываются: $3 + 2 = 5$. Показатели перемножают в другой записи — $(a^3)^2$, ее разберем в уроке «Возведение в степень произведения и степени».

Еще одна ошибка — перемножить основания: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$. Проверим: $2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128 = 2^7$, а $4^7 = 16\,384$. Основание остается прежним.

Правило работает, только если выполнены два условия: основания одинаковые и степени перемножают. Сравним разные записи при $a = 2$.

Выражение	Значение при $a = 2$	Равно $a^5$?
$a^3 \cdot a^2$	$8 \cdot 4 = 32$	да
$a^3 + a^2$	$8 + 4 = 12$	нет: это сумма, а не произведение
$a^3 \cdot b^2$ при $b = 3$	$8 \cdot 9 = 72$	нет: основания разные
$a^6$	$64$	нет: показатели перемножили

{"questions":[{"content":"На лестнице с шагом «умножить на $3$» поднялись от единицы на $4$ ступени, а потом еще на $2$. Какое число стоит на этой ступени?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$3^6$","$3^8$","$9^6$","$6^3$"],"explanations":["","Так получится, если перемножить число шагов: $4 \\cdot 2$. Но шаги складываются: $4 + 2 = 6$.","Основание не меняется: каждый шаг — умножение на $3$, а не на $9$.","Основание и показатель поменяли местами. Шагов $6$, каждый умножает на $3$: $3^6$."],"answer":[0]}}},{"content":"$m^4 \\cdot m^5 \\cdot m =$ [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$m^{10}$","$m^9$","$m^{20}$","$3m^{10}$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Множитель $m$ без показателя — это $m^1$.","Показатели складывают: $4 + 5 + 1 = 10$, поэтому ответ $m^{10}$."],"step":1},{"content":"Ученик записал $2^3 \\cdot 2^4 = 4^7$. Какую ошибку он допустил?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Перемножил основания, а основание должно остаться прежним: $2^7$","Сложил показатели, а их нужно перемножить: $2^{12}$","Ошибки нет: $4^7 = 128$","Ошибка в показателе: нужно $4^{12}$"],"explanations":["","Здесь показатели и нужно складывать: $3 + 4 = 7$. Перемножают показатели в записи $(2^3)^4$, а здесь произведение степеней.","$4^7 = 16\\,384$, а $2^3 \\cdot 2^4 = 8 \\cdot 16 = 128$. Ошибка есть: основание изменили.","Показатель $7 = 3 + 4$ найден как надо. Ошибка в основании: при умножении степеней оно остается прежним, $2^7 = 128$."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Деление степеней: шаги вниз

Силу землетрясения оценивают по магнитуде. В 1935 году сейсмолог Чарльз Рихтер предложил шкалу: если магнитуда больше на $1$, то амплитуда записи сейсмографа — наибольшее отклонение линии на записи — на том же расстоянии больше в $10$ раз. При магнитуде $1$ запись отклоняется в $10$ раз сильнее эталонной, при магнитуде $2$ — в $10^2$ раз, при магнитуде $3$ — в $10^3$ раз.

Шкала Рихтера как лестница с шагом «умножить на 10»: на ступени с магнитудой M стоит 10 в степени M. Магнитуда 0 — эталонная амплитуда 1 мкм. От магнитуды 4 до 6 два шага: 10⁶ : 10⁴ = 10² = 100 — Шкала Рихтера — лестница с шагом «умножить на $10$». От магнитуды $4$ до магнитуды $6$ два шага: амплитуда больше в $10^2 = 100$ раз. M — магнитуда

Во сколько раз амплитуда при магнитуде $6$ больше, чем при магнитуде $4$? Нужно найти частное $10^6 : 10^4$. Запишем его дробью и выпишем множители:

$$\frac{10^6}{10^4} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}.$$

Сократим четыре пары одинаковых множителей. В числителе остаются две десятки: $10^2 = 100$. На лестнице это шесть шагов вверх и четыре вниз — итого два шага вверх.

Деление степеней как сокращение. В дроби a⁵ / a² две пары множителей a сокращаются, в числителе остаются 5 − 2 = 3 множителя: a³. Если множителей поровну, сокращается все и остается 1. Если в знаменателе больше, остается 1 / a³ — В дроби $\dfrac{a^5}{a^2}$ сокращаются две пары множителей. В числителе остаются $5-2 = 3$ множителя: $a^3$

Правило

При делении степеней с одинаковым основанием основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя:

$$a^m : a^n = a^{m-n}, \quad a \ne 0, \ m > n.$$

Здесь $m$ и $n$ — натуральные числа. Основание не равно нулю, потому что на нуль делить нельзя. Условие $m > n$ означает, что в числителе множителей больше, чем в знаменателе.

В интерактиве сократите пары сами. Задайте показатели числителя и знаменателя, нажимайте на пары плиток и посмотрите, что останется.

uploaded-umndel-sokrashchenie-40c3bac37635

Пример

Найдем значение выражения $\dfrac{3^7 \cdot 3^5}{3^{10}}$.

Числитель: $3^7 \cdot 3^5 = 3^{7+5} = 3^{12}$.

Деление: $3^{12} : 3^{10} = 3^{12-10} = 3^2 = 9$.

Ответ: $9$. Без правил пришлось бы умножать и делить числа с шестью цифрами.

Ошибка

Показатели делят: $a^6 : a^2 = a^3$. Проверим при $a = 2$: $2^6 : 2^2 = 64 : 4 = 16 = 2^4$, а $2^3 = 8$. Сокращаются две пары множителей, поэтому из шести остается $6-2 = 4$.

Другая ошибка — вычитать показатели при разных основаниях: $8^5 : 2^3 = 4^2 = 16$. Сначала нужно привести степени к одному основанию: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$, поэтому в $8^5$ всего $15$ двоек, $8^5 = 2^{15}$. Тогда $2^{15} : 2^3 = 2^{12} = 4096$.

Обратите внимание

Что будет, если в знаменателе множителей больше? Сократим $\dfrac{a^2}{a^5}$: две пары сокращаются, в числителе остается $1$, в знаменателе — три множителя. Получаем $\dfrac{a^2}{a^5} = \dfrac{1}{a^3}$. Например, $\dfrac{2^2}{2^5} = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$.

{"questions":[{"content":"Землетрясение магнитудой $7$ сравнивают с землетрясением магнитудой $5$. Во сколько раз больше амплитуда записи сейсмографа на том же расстоянии?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В $100$ раз","В $2$ раза","В $1{,}4$ раза","В $10^{35}$ раз"],"explanations":["","Разность магнитуд $7-5 = 2$ — это число шагов. Каждый шаг умножает амплитуду на $10$, поэтому $10^2 = 100$.","Так получится, если разделить магнитуды: $7 : 5 = 1{,}4$. Но нужно разделить степени: $10^7 : 10^5 = 10^2$.","Показатели перемножили. При делении степеней показатели вычитают: $7-5 = 2$."],"answer":[0]}}},{"content":"Найдите значение выражения $5^9 : 5^7$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["В $5^9$ девять множителей $5$, в $5^7$ — семь. Сколько останется после сокращения пар?","Останутся два множителя: $5^{9-7} = 5^2 = 25$."],"step":1},{"content":"[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Показатели можно вычесть","Правило $a^m : a^n$ не подходит"],"items":[["$a^7 : a^3$","$2^9 : 2^4$","$x^5 : x$"],["$3^6 : 2^3$","$a^5 : b^2$","$7^4-7^2$"]]}},"instruction":"Распределите выражения по группам","hints":["Правило работает, если основания одинаковые и степени делят.","$3^6 : 2^3$ и $a^5 : b^2$ — разные основания, $7^4-7^2$ — вычитание, а не деление."],"step":1}],"mix":1}

Нулевая степень: ноль шагов

По определению степень — произведение одинаковых множителей. Но что такое $2^0$? Произведение из нуля двоек выглядит странно. Поэтому значение степени с нулевым показателем (нулевой степени) $a^0$ договорились задать отдельно. Посмотрим, какое значение разумно выбрать.

Пойдем по лестнице вниз. Каждый шаг вниз делит число на $2$: $2^4 = 16$, $2^3 = 8$, $2^2 = 4$, $2^1 = 2$. Следующий шаг: $2 : 2 = 1$. Мы вернулись на нижнюю ступень, с которой начинали подъем. Если нумеровать ступени по показателям, у нее номер $0$.

Лестница вниз: 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Каждый шаг делит на 2 и уменьшает показатель на 1. Следующий шаг: 2 : 2 = 1, поэтому 2⁰ = 1 — Каждый шаг вниз делит число на $2$ и уменьшает показатель на $1$. После $2^1 = 2$ следующий шаг дает $2^0 = 1$

К тому же выводу приводит правило деления. Число, деленное на себя, равно $1$: $a^5 : a^5 = 1$. Если применить правило, получим $a^{5-5} = a^0$. Чтобы правило работало и при $m = n$, нужно считать $a^0 = 1$. Так и поступают.

Определение

Нулевой степенью числа $a$, не равного нулю, называют единицу:

$$a^0 = 1, \quad a \ne 0.$$

Выражение $0^0$ не определяют: в школьном курсе ему не приписывают никакого значения.

Теперь ответим, что значит магнитуда $0$. Амплитуда при ней больше эталонной в $10^0 = 1$ раз, то есть равна эталону. Рихтер выбрал эталон так: $1$ микрометр на записи стандартного сейсмографа на расстоянии $100$ км от эпицентра. Магнитуда $0$ — не «нет землетрясения», а точка отсчета шкалы. Бывают и более слабые толчки, их магнитуда отрицательная. Степени с отрицательным показателем изучают в 8 классе.

Вспомним, что мы знаем о первой степени, единице и нуле, и добавим нулевую степень.

Запись	Значение	Почему
$a^1$	$a$	один шаг от единицы: $1 \cdot a$
$a^0$, $a \ne 0$	$1$	ноль шагов: остались на единице
$1^n$	$1$	каждый шаг умножает на $1$
$0^n$, $n$ — натуральное	$0$	уже первый шаг умножает на $0$

Ошибка

Считают, что $5^0 = 0$ («ноль множителей — ничего нет») или $5^0 = 5$. Проверьте по лестнице: $5^1 = 5$, шаг вниз — деление на $5$, получаем $5^0 = 1$.

Еще одна ловушка — минус перед степенью. В записи $-5^0$ в нулевую степень возводят только $5$, а минус стоит перед результатом: $-5^0 = -1$. В записи $(-5)^0$ основание $-5$, поэтому $(-5)^0 = 1$. Так же было с $-3^2$ и $(-3)^2$ в уроке «Степень с натуральным показателем».

Нулевая степень относится только к своему основанию (выделено). (−5)⁰ = 1, а −5⁰ = −1, потому что минус стоит перед степенью. (2x)⁰ = 1, а 2x⁰ = 2 при x ≠ 0 — Нулевая степень относится только к своему основанию: $(-5)^0 = 1$, но $-5^0 = -1$; при $x \ne 0$ $(2x)^0 = 1$, но $2x^0 = 2$

Пример

Найдем значение выражения $(-7)^0 + 7^0-7^1$.

$(-7)^0 = 1$ — основание $-7$ не равно нулю. $7^0 = 1$, $7^1 = 7$.

Получаем $1 + 1-7 = -5$.

Ответ: $-5$.

Пример

Найдем значение выражения $3 \cdot 5^0-(3 \cdot 5)^0$.

В первом слагаемом в нулевую степень возводят только $5$: $3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Во втором — все произведение: $(3 \cdot 5)^0 = 15^0 = 1$.

Получаем $3-1 = 2$.

Ответ: $2$.

Теперь все три случая можно проверить на одной лестнице. Выберите основание и действие, запишите прогноз и пройдите шаги: при умножении они складываются, при делении вычитаются, а спуск вниз заканчивается на $1$.

uploaded-umndel-lestnica-75cd1df2e202

{"questions":[{"content":"На лестнице с шагом «умножить на $7$» спустились от ступени $7^1$ на один шаг вниз. Какое число стоит на этой ступени?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1$","$0$","$7$","$6$"],"explanations":["","Шаг вниз — деление на $7$, а не вычитание: $7 : 7 = 1$. Это $7^0$.","На ступени $7$ стоит $7^1$. Шаг вниз делит на $7$, поэтому число меняется: $7 : 7 = 1$.","Шаг вниз уменьшает на $1$ показатель, а само число делит на $7$: $7 : 7 = 1$."],"answer":[0]}}},{"content":"[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$9^0$","$0^9$","$9^1$","$-9^0$"],"items":["$1$","$0$","$9$","$-1$"]}},"instruction":"Соотнесите выражение и значение","hints":["$a^0 = 1$ при $a \\ne 0$, $0^n = 0$, $a^1 = a$.","В $-9^0$ минус стоит перед степенью: $-9^0 = -(9^0) = -1$."],"step":1},{"content":"Ученик записал: $\\dfrac{4^5}{4^5} = 4^0 = 0$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$4^0 = 1$: число, деленное на себя, равно единице","Показатели нужно разделить: $4^1 = 4$","Ошибки нет: в $4^0$ ноль множителей, значит, $0$","Нужно было сложить показатели: $4^{10}$"],"explanations":["","При делении показатели вычитают: $5-5 = 0$. А $4^5 : 4^5 = 1$, поэтому $4^0 = 1$.","Число, деленное на само себя, равно $1$, а не $0$. Поэтому и $4^0 = 1$.","Показатели складывают при умножении. Здесь деление, показатели вычитают: $4^{5-5} = 4^0 = 1$."],"answer":[0]}}}],"mix":1}

Все правила вместе: задачи в формате ОГЭ

В задании 8 ОГЭ часто нужно найти значение дроби со степенями. Вычислять каждую степень долго. Удобнее действовать по плану:

Привести все степени к одному основанию.
В числителе сложить показатели.
Вычесть показатель знаменателя.
Вычислить небольшую степень, которая осталась.

План вычисления выражения (4³ · 2⁵) / 2⁸. Шаг 1: одно основание, 4³ = 2⁶. Шаг 2: сложить показатели в числителе, 2¹¹. Шаг 3: вычесть показатель знаменателя, 2³. Шаг 4: вычислить, 8 — План вычисления: одно основание → сложить показатели в числителе → вычесть показатель знаменателя → вычислить

Пример

Найдем значение выражения $\dfrac{2^8 \cdot 2^5}{2^{11}}$.

Основание одно. Числитель: $2^{8+5} = 2^{13}$. Деление: $2^{13-11} = 2^2 = 4$.

Ответ: $4$.

Пример

Найдем значение выражения $\dfrac{4^3 \cdot 2^5}{2^8}$.

Шаг 1. Приведем к основанию $2$: $4 = 2 \cdot 2$, поэтому $4^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^6$. Так переписывают степени постоянно, подробно — в уроке «Возведение в степень произведения и степени».

Шаг 2. Числитель: $2^6 \cdot 2^5 = 2^{11}$.

Шаг 3. Деление: $2^{11} : 2^8 = 2^3 = 8$.

Ответ: $8$.

Пример

Найдем значение выражения $x^{12} : (x^5 \cdot x^4)$ при $x = -2$.

Сначала действие в скобках: $x^5 \cdot x^4 = x^9$. Затем деление: $x^{12} : x^9 = x^3$.

Подставим: $(-2)^3 = -8$.

Ответ: $-8$. Подставлять $x = -2$ сразу было бы долго: $(-2)^{12} = 4096$.

Обратите внимание

Без скобок умножение и деление выполняют по порядку слева направо: $x^{10} : x^5 \cdot x^2 = x^5 \cdot x^2 = x^7$. Со скобками порядок другой: $x^{10} : (x^5 \cdot x^2) = x^{10} : x^7 = x^3$.

Задача

Найдем натуральное $n$, при котором $3^n \cdot 9 = 3^7$.

Запишем $9$ как степень тройки: $9 = 3^2$. Тогда $3^n \cdot 3^2 = 3^{n+2}$.

Степени с основанием $3$ равны только тогда, когда равны их показатели: каждый шаг по лестнице умножает на $3$, и на разных ступенях стоят разные числа. Значит, $n + 2 = 7$, откуда $n = 5$.

Проверка: $3^5 \cdot 9 = 243 \cdot 9 = 2187 = 3^7$. Ответ: $n = 5$.

Ошибка

Правило умножения переносят на сумму: $2^5 + 2^5 = 2^{10}$. Проверим: $2^5 + 2^5 = 32 + 32 = 64 = 2^6$, а $2^{10} = 1024$. Две одинаковые степени в сумме — это $2 \cdot 2^5 = 2^1 \cdot 2^5 = 2^6$: на лестнице всего один шаг вверх.

{"questions":[{"content":"Чему равна сумма $2^{10} + 2^{10}$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2^{11}$","$2^{20}$","$4^{10}$","$4^{20}$"],"explanations":["","Показатели складывают при умножении степеней, а здесь сложение. $2^{10} + 2^{10} = 2 \\cdot 2^{10} = 2^{11}$.","В $4^{10}$ десять множителей $4 = 2 \\cdot 2$, то есть двадцать двоек: это произведение $2^{10} \\cdot 2^{10}$, а не сумма. Сумма равна $2 \\cdot 2^{10} = 2^{11}$.","Сложили и основания, и показатели. Для суммы степеней такого правила нет: $2^{10} + 2^{10} = 2 \\cdot 2^{10} = 2^{11}$."],"answer":[0]}}},{"content":"Найдите значение выражения $\\dfrac{5^6 \\cdot 5^3}{5^7}$.[[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"25"}},"hints":["Числитель: $5^6 \\cdot 5^3 = 5^9$.","Деление: $5^9 : 5^7 = 5^2 = 25$."],"step":1},{"content":"Найдите натуральное $n$, при котором $2^n \\cdot 2^4 = 2^{11}$.[[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Левая часть равна $2^{n+4}$.","Показатели равны: $n + 4 = 11$, значит, $n = 7$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Два правила и одно определение урока видны на одной лестнице умножений. Умножить степени — пройти шаги подряд, поэтому $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Разделить — пройти шаги вниз, поэтому $a^m : a^n = a^{m-n}$ при $a \ne 0$ и $m > n$. Нулевая степень — ноль шагов, поэтому $a^0 = 1$ при $a \ne 0$. Правила работают только для степеней с одинаковым основанием и только при умножении и делении: для суммы степеней их нет. Эти правила нужны в одночленах и многочленах, в стандартном виде числа (например, скорость света — около $3 \cdot 10^8$ м/с) и в заданиях ОГЭ. Чтобы вспомнить правило, представьте лестницу: число шагов — это показатель.

Часто задаваемые вопросы

Почему при умножении степеней показатели складывают, а не перемножают?

В $a^m \cdot a^n$ к $m$ множителям $a$ добавляют еще $n$ множителей. Всего их $m + n$. Перемножают показатели в другой записи, $(a^m)^n$: там группа из $m$ множителей повторяется $n$ раз.

Почему $a^0 = 1$, ведь нуль множителей — это ничего?

Это определение, и оно выбрано так, чтобы правила работали. Число, деленное на себя, равно $1$, а по правилу $a^n : a^n = a^0$. Кроме того, каждый шаг вниз по лестнице делит на $a$: после $a^1 = a$ получаем $a : a = 1$.

Чему равно $0^0$?

В школьном курсе выражение $0^0$ не определяют. Правило «шаг вниз — деление на основание» здесь не работает: на нуль делить нельзя. Поэтому в определении $a^0 = 1$ стоит условие $a \ne 0$.

Можно ли умножать степени с разными основаниями?

Перемножить их можно, но объединить в одну степень по правилу $a^m \cdot a^n$ нельзя: $2^3 \cdot 3^2 = 72$, а не $6^5$. Если же показатели одинаковые, основания перемножают: $2^3 \cdot 5^3 = 10^3$. Это правило разобрано в уроке «Возведение в степень произведения и степени». Похожее правило для деления — в уроке «Деление степеней».

Что делать, если показатель знаменателя больше?

Сократите одинаковые множители. Останется дробь с единицей в числителе: $\dfrac{a^2}{a^5} = \dfrac{1}{a^3}$. Такие выражения в 8 классе записывают степенью с отрицательным показателем.

Награды за урок