7 класс Алгебра Системы линейных уравнений Решение систем линейных уравнений

Способ сложения для систем линейных уравнений

Содержание

В уроке «Способ подстановки для систем линейных уравнений» одну переменную выражали через другую и подставляли во второе уравнение. В этом уроке разберем второй вычислительный способ — способ сложения: уравнения системы складывают так, чтобы одна переменная пропала. Научимся подбирать множители, вычитать уравнения, узнавать случаи «нет решений» и «бесконечно много» и выбирать удобный способ.

Сложим две улики — и одна переменная пропадет

Вспомним модель «улики на карте». Пара $(x;y)$ — адрес точки на координатной плоскости. Уравнение с двумя переменными — улика: подходящие ей адреса лежат на прямой. Система — две улики, а ее решение — адрес, который подходит обеим, то есть перекресток двух прямых. На рисунке его можно искать, как в уроке «Системы линейных уравнений с двумя переменными», но точный адрес дает вычисление.

Рассмотрим систему $$\left\{\begin{aligned}3x+2y&=11\\5x-2y&=-3\end{aligned}\right.$$ Сложим левые части уравнений и правые части: $(3x+2y)+(5x-2y)=11+(-3)$. Слагаемые $2y$ и $-2y$ в сумме дают 0, переменная $y$ пропала: $8x=8$, то есть $x=1$.

Получилось новое уравнение $8x=8$, которого в системе не было. Почему по нему можно искать ответ системы? Вернемся к этому вопросу в конце урока, а пока доведем решение до пары.

Пример 1

Решим систему $$\left\{\begin{aligned}3x+2y&=11\\5x-2y&=-3\end{aligned}\right.$$

Шаг 1. Коэффициенты при $y$ равны $2$ и $-2$ — это противоположные числа.

Шаг 2. Сложим уравнения: $8x=8$.

Шаг 3. Решим уравнение с одной переменной: $x=1$.

Шаг 4. Подставим $x=1$ в первое уравнение: $3\cdot1+2y=11$, $2y=8$, $y=4$.

Шаг 5. Проверим пару $(1;4)$ во втором уравнении: $5\cdot1-2\cdot4=-3$ — верно.

Ответ: $(1;4)$.

Сложение столбиком для системы 3x+2y=11, 5x−2y=−3: слагаемые 2y и −2y дают 0, остается 8x=8, откуда x=1 — Коэффициенты при y противоположны: 2y и −2y в сумме дают 0, остается 8x = 8

Определение

Способ сложения — способ решения системы, при котором уравнения складывают (если нужно, сначала умножив на подходящие числа), чтобы одна переменная пропала. Если коэффициенты при одной переменной — противоположные числа, уравнения складывают сразу: $$2y+(-2y)=0$$

{"questions":[{"content":"Какое уравнение получится, если сложить левые и правые части уравнений системы?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x+2y&=5\\\\3x-2y&=7\\end{aligned}\\right.$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$2x=12$","$4x=12$","$4x=-2$","$4x+4y=12$"],"explanations":["Коэффициенты при $x$ складывают: $1+3=4$, а не $3-1=2$","","Правые части складывают: $5+7=12$, а не $5-7$","Слагаемые $2y$ и $-2y$ при сложении уничтожаются, а не удваиваются"],"answer":[1]}},"hints":["Сложим левые части и правые части: $(x+2y)+(3x-2y)=5+7$.","Слагаемые с $y$ уничтожаются: $4x=12$."],"step":1},{"content":"Решите систему. В ответе запишите пару $(x;y)$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}2x+3y&=13\\\\4x-3y&=-1\\end{aligned}\\right.$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["(2;3)","(2; 3)","2;3","2; 3"]}},"hints":["Коэффициенты при $y$ противоположны: $3$ и $-3$. Сложим уравнения: $6x=12$.","$x=2$; из первого уравнения $3y=13-4=9$, $y=3$. Ответ: $(2;3)$."],"step":1}],"mix":1}

Уравнение умножают целиком — обе его части

Чаще коэффициенты сразу не противоположны. В системе $$\left\{\begin{aligned}2x+y&=11\\5x-3y&=11\end{aligned}\right.$$ при $y$ стоят $1$ и $-3$. Если сложить уравнения как есть, получится $7x-2y=22$: переменная $y$ осталась. Сделаем коэффициенты противоположными: умножим первое уравнение на 3, тогда вместо $y$ будет $3y$, а $3y$ и $-3y$ при сложении дают 0.

Умножить уравнение на число — значит умножить на него обе части, каждое слагаемое. Представьте уравнение $2x+y=11$ как весы в равновесии: на левой чаше $2x+y$, на правой 11. Если утроить все на обеих чашах, равновесие сохранится: $6x+3y=33$. Это та же улика, записанная другими числами: адрес $(4;3)$ подходит обоим уравнениям, ведь $2\cdot4+3=11$ и $6\cdot4+3\cdot3=33$. На карте у них одна и та же прямая.

Весы: если умножить на 3 обе части уравнения 2x+y=11, равновесие сохраняется (6x+3y=33); если умножить только левую, получится 33 ≠ 11 — Утраиваем обе чаши: 6x + 3y = 33. Если правую оставить 11, равновесие нарушится

Пример 2

Решим систему $$\left\{\begin{aligned}2x+y&=11\\5x-3y&=11\end{aligned}\right.$$

Шаг 1. Умножим обе части первого уравнения на 3: $6x+3y=33$.

Шаг 2. Сложим со вторым уравнением: $(6x+3y)+(5x-3y)=33+11$, $11x=44$.

Шаг 3. $x=4$.

Шаг 4. Из первого исходного уравнения: $y=11-2\cdot4=3$.

Шаг 5. Проверка во втором уравнении: $5\cdot4-3\cdot3=11$ — верно.

Ответ: $(4;3)$.

Ошибка

Вообразавр умножил на 3 только левую часть первого уравнения и записал $6x+3y=11$. Сложил со вторым: $11x=22$, $x=2$, затем $y=11-2\cdot2=7$. Проверим пару $(2;7)$ во втором уравнении: $5\cdot2-3\cdot7=10-21=-11$, а нужно 11. Ответ неверный.

Где сломалось рассуждение? Уравнение $6x+3y=11$ — уже другая улика: перекресток $(4;3)$ ей не подходит, $6\cdot4+3\cdot3=33\ne11$. Это другая прямая, и искать на ней перекресток бесполезно. Та же ошибка, если умножить не все слагаемые: $6x+y=33$. На множитель умножают каждое слагаемое левой части и число справа.

Правило

Чтобы коэффициенты при переменной стали противоположными, умножьте уравнение на подходящее число. Умножайте обе части уравнения: каждое слагаемое слева и число справа. $$3\cdot(2x+y)=3\cdot11,\quad 6x+3y=33$$

{"questions":[{"content":"На какое число нужно умножить первое уравнение, чтобы после сложения уравнений пропал $x$?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x+2y&=5\\\\3x+y&=5\\end{aligned}\\right.$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["На $-3$","На $-2$","На $2$","На $3$"],"explanations":["","Получится $-2x$ и $3x$: при сложении останется $x$","Получится $2x$ и $3x$: при сложении будет $5x$, $x$ не пропадет","Получится $3x$ и $3x$: при сложении будет $6x$, $x$ не пропадет"],"answer":[0]}},"hints":["Чтобы $x$ пропал при сложении, коэффициенты при нем должны быть противоположны.","У второго уравнения $3x$, поэтому первое умножаем на $-3$: получится $-3x$."],"step":1},{"content":"Уравнение $x+2y=5$ умножили на 3. Чему равна правая часть полученного уравнения? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Умножаем обе части уравнения: $3x+6y=3\\cdot5$.","Правая часть равна 15. Ответ: 15."],"step":1},{"content":"Вообразавр умножил уравнение $3x-y=2$ на 4 и записал: $12x-4y=2$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибка в знаке: должно быть $12x+4y=8$","Не умножена правая часть: должно быть $12x-4y=8$","Ошибки нет: правую часть при умножении не меняют","Не умножено слагаемое с $y$: должно быть $12x-y=8$"],"explanations":["При умножении на положительное число знак не меняется: $-y\\cdot4=-4y$; для пары $(1;1)$: $12+4=16\\ne8$","","Пара $(1;1)$ подходит уравнению $3x-y=2$, но $12\\cdot1-4\\cdot1=8\\ne2$: без умножения правой части получилось другое уравнение","Слагаемое $-y$ тоже умножают на 4, получается $-4y$; для пары $(1;1)$: $12-1=11\\ne8$"],"answer":[1]}},"hints":["Проверим на паре $(1;1)$: она подходит исходному уравнению, $3-1=2$.","В новом уравнении $12\\cdot1-4\\cdot1=8$, а справа записано 2: пара потерялась. На 4 умножают обе части: $12x-4y=8$."],"step":1}],"mix":1}

Когда умножать приходится оба уравнения

Рассмотрим систему $$\left\{\begin{aligned}3x+4y&=2\\5x-6y&=16\end{aligned}\right.$$ Здесь ни один коэффициент при переменной не получается из другого умножением на целое число: при $x$ стоят 3 и 5, при $y$ — 4 и $-6$. Умножим оба уравнения, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными. Общий коэффициент удобно брать равным наименьшему общему кратному (НОК) модулей коэффициентов. Обе улики умножены целиком, поэтому их прямые не изменились — перекресток тот же.

Система 3x+4y=2, 5x−6y=16: для x нужны множители 5 и −3 (НОК 15), для y — 3 и 2 (НОК 12); удобнее убрать y — Для y хватает множителей 3 и 2 (до 12 и −12), для x нужны 5 и −3 (до 15 и −15): убираем y

Для $x$: $\text{НОК}(3;5)=15$, множители 5 и $-3$. Для $y$: $\text{НОК}(4;6)=12$, множители 3 и 2. Знаки при $y$ уже разные ($4y$ и $-6y$), поэтому оба множителя положительные. Числа меньше, значит, убираем $y$.

Пример 3

Решим систему $$\left\{\begin{aligned}3x+4y&=2\\5x-6y&=16\end{aligned}\right.$$

Шаг 1. Умножим первое уравнение на 3, второе — на 2: $9x+12y=6$ и $10x-12y=32$.

Шаг 2. Сложим: $19x=38$.

Шаг 3. $x=2$.

Шаг 4. Из первого исходного уравнения: $3\cdot2+4y=2$, $4y=-4$, $y=-1$.

Шаг 5. Проверка во втором: $5\cdot2-6\cdot(-1)=16$ — верно.

Ответ: $(2;-1)$.

Алгоритм

Способ сложения решения системы двух уравнений с двумя переменными:

Выберите переменную, которую уберете. Если нужно, умножьте одно или оба уравнения на числа, чтобы коэффициенты при ней стали противоположными.
Сложите уравнения — останется уравнение с одной переменной.
Решите это уравнение.
Подставьте найденное значение в одно из исходных уравнений и найдите вторую переменную.
Проверьте пару в обоих уравнениях и запишите ответ $(x;y)$.

{"questions":[{"content":"Какие множители нужно взять для первого и второго уравнений, чтобы при сложении пропал $x$?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}2x+3y&=7\\\\3x+5y&=11\\end{aligned}\\right.$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["3 и $-2$","2 и 3","5 и $-3$","3 и 2"],"explanations":["","Получится $4x$ и $9x$: коэффициенты не противоположны","Это множители, которые уничтожают $y$, а не $x$","Получится $6x$ и $6x$: при сложении $x$ не пропадет (нужно вычитать)"],"answer":[0]}},"hints":["Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6: нужны $6x$ и $-6x$.","Первое умножаем на 3 ($6x$), второе — на $-2$ ($-6x$)."],"step":1},{"content":"Решавр решает систему способом сложения:<br>$\\left\\{\\begin{aligned}3x+5y&=7\\\\2x-3y&=-8\\end{aligned}\\right.$<br>Расставьте его шаги в нужном порядке.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Умножим первое уравнение на 2, а второе — на $-3$: $6x+10y=14$ и $-6x+9y=24$","Сложим эти уравнения, получим $19y=38$","Получаем $y=2$","Подставим $y=2$ в первое уравнение: $3x+10=7$, значит, $x=-1$","Подставим пару в оба уравнения: $3\\cdot(-1)+5\\cdot2=7$ и $2\\cdot(-1)-3\\cdot2=-8$, ответ $(-1;2)$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сначала коэффициенты при $x$ делают противоположными: НОК чисел 3 и 2 равен 6.","Потом складывают уравнения, находят $y$, по нему — $x$, последней идет проверка.","Порядок: умножить на 2 и $-3$; $19y=38$; $y=2$, затем $x=-1$; проверка и ответ $(-1;2)$."],"step":1}],"mix":1}

Равные коэффициенты: уравнения вычитают

В системе $$\left\{\begin{aligned}3x-4y&=1\\2x-4y&=-2\end{aligned}\right.$$ при $y$ стоят одинаковые коэффициенты $-4$ и $-4$. Сложение дало бы $-8y$, и $y$ не пропал бы. Нужно, чтобы коэффициенты были противоположными, поэтому умножим второе уравнение на $-1$ и сложим с первым. Это и есть вычитание второго уравнения из первого.

Строка	Левая часть	Правая часть
Первое уравнение	$3x-4y$	$1$
Второе уравнение, умноженное на $-1$	$-2x+4y$	$2$
Сумма	$x$	$3$

Получили $x=3$. Из первого уравнения: $9-4y=1$, $4y=8$, $y=2$. Проверка во втором: $2\cdot3-4\cdot2=-2$ — верно. Ответ: $(3;2)$.

Правило

Если коэффициенты при переменной равны, вычтите одно уравнение из другого. Вычесть уравнение — то же, что умножить его на $-1$ и прибавить: знак меняется у каждого слагаемого и у числа справа. $$-1\cdot(2x-4y)=-1\cdot(-2),\quad -2x+4y=2$$

Ошибка

Вообразавр вычитал уравнения в уме и справа записал $1-2$ вместо $1-(-2)$. Получил $x=-1$, затем из первого уравнения $-3-4y=1$, $y=-1$. Проверка во втором: $2\cdot(-1)-4\cdot(-1)=2$, а нужно $-2$. Ошибка всего в одном знаке, но новая улика $x=-1$ прошла мимо перекрестка. Если сначала явно записать второе уравнение, умноженное на $-1$, число $-2$ превратится в $2$, и ловушки не будет.

{"questions":[{"content":"Решите систему вычитанием и найдите $x$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}5x+2y&=17\\\\3x+2y&=11\\end{aligned}\\right.$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Коэффициенты при $y$ равны (2 и 2): вычтем второе уравнение из первого.","$(5x-3x)+(2y-2y)=17-11$, $2x=6$, $x=3$. Ответ: 3."],"step":1},{"content":"Из системы вычитанием найдено $y=2$. Найдите $x$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x+4y&=14\\\\x-2y&=2\\end{aligned}\\right.$ [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Подставим $y=2$ в первое уравнение: $x+4\\cdot2=14$.","$x=14-8=6$. Ответ: 6."],"step":1},{"content":"Вообразавр вычитает второе уравнение из первого:<br>$\\left\\{\\begin{aligned}4x-3y&=5\\\\x-3y&=-1\\end{aligned}\\right.$<br>Он записал: $3x=4$. В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Уравнения надо было сложить: $5x-6y=4$","В правой части $5-(-1)=6$: должно быть $3x=6$","Слагаемые с $y$ не уничтожаются: должно быть $3x-6y=4$","Ошибки нет: справа $5-1=4$"],"explanations":["Коэффициенты при $y$ равны, а не противоположны: при сложении $y$ не пропадет","","$-3y-(-3y)=-3y+3y=0$: слагаемые с $y$ при вычитании уничтожаются","Вычитают число $-1$, а не 1: $5-(-1)=5+1=6$"],"answer":[1]}},"hints":["Вычтем по частям: $(4x-3y)-(x-3y)=3x$, справа $5-(-1)$.","Вычесть $-1$ — то же, что прибавить 1: $5+1=6$. Верно: $3x=6$, $x=2$."],"step":1}],"mix":1}

Пропали обе переменные: нет решений или бесконечно много

Возьмем три системы с одной и той же первой уликой $x+2y=4$. В системе А $$\left\{\begin{aligned}x+2y&=4\\3x-2y&=4\end{aligned}\right.$$ сложение дает $4x=8$, $x=2$, $y=1$: одно решение $(2;1)$. В системах Б и В умножим первое уравнение на $-3$: получится $-3x-6y=-12$.

Система Б: $$\left\{\begin{aligned}x+2y&=4\\3x+6y&=6\end{aligned}\right.$$ Сложим $-3x-6y=-12$ со вторым уравнением: пропали обе переменные, осталось $0=-6$. Это неверное равенство: какую пару ни подставь, слева будет 0, а не $-6$. Решений нет. Записывать «$x=0$» нельзя — пропали обе переменные, и равенство говорит, что подходящих пар нет вовсе. На карте прямые параллельны.

Система В: $$\left\{\begin{aligned}x+2y&=4\\3x+6y&=12\end{aligned}\right.$$ Сложение дает $0=0$ — верное равенство. Второе уравнение — это первое, умноженное на 3, то есть та же улика. Решений бесконечно много: все адреса прямой $x+2y=4$. Это те же исходы, что вы видели в способе подстановки: там получалось $0\cdot x=-4$ и $0\cdot x=0$.

Три системы с первым уравнением x+2y=4: 3x−2y=4 дает одно решение (2;1), 3x+6y=6 дает параллельную прямую, 3x+6y=12 совпадает с первой — 4x = 8 — перекресток (2; 1); 0 = −6 — прямые параллельны; 0 = 0 — прямые совпали

Важно

«Бесконечно много решений» не значит «подходит любая пара». В системе В подходят только адреса прямой $x+2y=4$: пара $(0;2)$ подходит, $0+2\cdot2=4$, а пара $(1;1)$ — нет, $1+2\cdot1=3\ne4$.

{"questions":[{"content":"Сложите или вычтите уравнения (если нужно, сначала умножьте одно из них) и распределите системы по числу решений.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Одно решение","Нет решений","Бесконечно много решений"],"items":[["$x+y=5$ и $x-y=1$","$2x+y=4$ и $3x-y=1$"],["$x-2y=3$ и $-x+2y=1$","$3x+y=2$ и $3x+y=5$"],["$x+3y=4$ и $-x-3y=-4$","$2x-y=1$ и $4x-2y=2$"]]}},"instruction":"Распределите системы по группам","hints":["Если после сложения осталась одна переменная — решение одно. Если пропали обе переменные, смотрим на равенство.","Неверное равенство вроде $0=4$ — решений нет; $0=0$ — решений бесконечно много.","Одно: $x+y=5$ и $x-y=1$; $2x+y=4$ и $3x-y=1$. Нет: $x-2y=3$ и $-x+2y=1$ ($0=4$); $3x+y=2$ и $3x+y=5$ ($0=-3$). Бесконечно много: $x+3y=4$ и $-x-3y=-4$; $2x-y=1$ и $4x-2y=2$."],"step":1},{"content":"Первое уравнение умножили на $-2$ и сложили со вторым: получилось $0=0$. Что можно сказать о системе?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x-y&=2\\\\2x-2y&=4\\end{aligned}\\right.$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Решений бесконечно много","Решений нет","Два решения","Одно решение $(0;0)$"],"explanations":["","Нет решений при $0=c$ и $c\\ne0$; здесь равенство $0=0$ верно","Система линейных уравнений не имеет ровно двух решений","Для $(0;0)$ в первом уравнении $0-0=0\\ne2$: пара не подходит"],"answer":[0]}},"hints":["Второе уравнение — это первое, умноженное на 2.","Равенство $0=0$ верно всегда: решений бесконечно много."],"step":1}],"mix":1}

Какой способ выбрать

Оба способа — подстановка и сложение — всегда дают один и тот же ответ: решение системы не зависит от того, как его искали. От выбора зависит только объем вычислений. Посмотрите на коэффициенты до того, как начать.

Как выглядит система	Удобный способ	Почему
Переменная уже выражена: $y=2x-3$	Подстановка	Выражение готово, его сразу подставляют во второе уравнение
Есть коэффициент 1 или $-1$: $x-3y=4$	Подстановка или сложение	Переменная выражается без дробей; сложение тоже подходит
Коэффициенты при одной переменной противоположны или равны	Сложение	Переменная пропадает за одно действие
Нет коэффициентов 1 и $-1$, противоположных тоже нет	Сложение с множителями	Подстановка дала бы дроби

Систему из примера 3 можно решить и подстановкой, но из $3x+4y=2$ получится $x=\frac{2-4y}{3}$, и дальше придется работать с дробью. Графический способ нагляден, но точный ответ дает, только если перекресток попал в узел сетки.

Правило

Если переменная уже выражена или при ней стоит коэффициент 1 либо $-1$, удобна подстановка. Если коэффициенты при переменной противоположны, равны или выравниваются умножением на небольшие числа, удобен способ сложения.

{"questions":[{"content":"Какой способ удобнее для решения системы?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}y&=2x-1\\\\3x+2y&=8\\end{aligned}\\right.$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Подстановка: $y$ уже выражено через $x$","Любой способ требует одинаковых действий","Сложение: коэффициенты при $x$ равны","Сложение: коэффициенты при $y$ противоположны"],"explanations":["","Подстановка здесь короче: выражение для $y$ уже есть","Перенесем $2x$: $-2x+y=-1$; при $x$ стоят $-2$ и $3$ — не равны","В записи $-2x+y=-1$ при $y$ стоят $1$ и $2$ — не противоположны, придется умножать"],"answer":[0]}},"hints":["Первое уравнение уже выражает $y$ через $x$.","Подставим $2x-1$ вместо $y$: $3x+2(2x-1)=8$ — решается сразу."],"step":1},{"content":"Соотнесите систему и удобный способ ее решить.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$y=3x-4$ и $5x-2y=7$","$4x+5y=7$ и $2x-5y=11$","$3x+2y=7$ и $5x+4y=11$"],"items":["Подстановка: $y$ уже выражено через $x$","Сложение сразу: коэффициенты при $y$ противоположны","Сложение после умножения первого уравнения на $-2$","Графический способ: ответ виден по клеткам"]}},"instruction":"Соотнесите систему и способ","hints":["Если одна переменная уже выражена через другую, удобна подстановка. Если коэффициенты при переменной противоположны — сразу сложение.","Если коэффициентов 1 и $-1$ нет и противоположных тоже, подстановка даст дроби: удобнее умножить уравнение и сложить. В третьей системе $3x+2y=7$ умножают на $-2$: получится $-4y$ против $4y$.","Ответ: подстановка; сложение сразу; сложение после умножения первого уравнения на $-2$. Лишний ответ — графический способ: он дает точный ответ, только если перекресток в узле сетки, и это заранее неизвестно."],"step":1}],"mix":1}

Почему новая улика не меняет ответ

Вернемся к вопросу из начала урока. В системе $$\left\{\begin{aligned}3x+2y&=11\\5x-2y&=-3\end{aligned}\right.$$ сложение дало новое уравнение $8x=8$, то есть $x=1$. Его не было в системе, но ответ $(1;4)$ подошел обоим уравнениям. Так будет всегда.

Почему это верно

Шаг 1. Пусть пара $(x;y)$ — решение системы. Тогда оба равенства верны. Если сложить два верных равенства, получится верное равенство. Значит, решение системы подходит и новому уравнению.

Шаг 2. Обратно: если пара подходит первому уравнению и сумме, вычтем из суммы первое — получится второе уравнение. Поэтому система «первое уравнение и сумма» имеет те же решения, что исходная.

Шаг 3. Уравнение, умноженное на число, не равное нулю, имеет те же решения: разделив на это число, вернемся назад. Умножать на 0 нельзя: получится $0=0$, и улика пропадет.

Прямые 3x+2y=11 и 5x−2y=−3 пересекаются в точке (1;4); сумма уравнений дает вертикаль x=1 через ту же точку, если убрать x — горизонталь y=4 — Новые улики x = 1 и y = 4 проходят через тот же перекресток (1; 4): ответ не изменился

На карте сложение заменяет одну из улик новой, и новая прямая проходит через тот же перекресток. Удачные множители делают ее вертикальной ($x$ равно числу) или горизонтальной ($y$ равно числу) — по такой прямой адрес читается сразу. Если в этой системе убирать не $y$, а $x$ (множители 5 и $-3$), получится $16y=64$, то есть горизонталь $y=4$ — через тот же перекресток.

slozhenie-mnozhiteli

{"questions":[{"content":"Система:<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=7\\\\2x-y&=-1\\end{aligned}\\right.$<br>Вообразавр сложил уравнения, получил $3x=6$ и говорит: «Этого уравнения в системе не было, поэтому $x=2$ может не подойти системе». Прав ли он?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прав: после сложения у системы становится два решения","Прав: у нового уравнения своя прямая, и перекресток сдвигается","Не прав: решение системы подходит обоим уравнениям, а значит, и их сумме","Не прав: уравнение $3x=6$ совпадает с первым уравнением"],"explanations":["Сложение не добавляет решений: подходит только пара $(2;5)$, она одна","Прямая $x=2$ новая, но проходит через тот же перекресток $(2;5)$: сумма верных равенств верна","","Это разные прямые: пара $(2;0)$ подходит уравнению $3x=6$, но $2+0\\ne7$"],"answer":[2]}},"hints":["Пусть пара $(x;y)$ — решение системы: оба равенства верны. Сложим два верных равенства — получится верное равенство.","Значит, решение системы обязательно подходит и уравнению $3x=6$. Пара $(2;5)$: $2+5=7$, $4-5=-1$, $3\\cdot2=6$ — все верно."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Решите систему способом сложения. В ответе запишите пару $(x;y)$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}3x+2y&=1\\\\2x-3y&=18\\end{aligned}\\right.$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["(3;-4)","(3; -4)","3;-4","3; -4"]}},"hints":["Уравняем коэффициенты при $y$: НОК чисел 2 и 3 равен 6. Умножим первое уравнение на 3, второе — на 2: $9x+6y=3$ и $4x-6y=36$.","Сложим: $13x=39$, $x=3$. Из первого уравнения $2y=1-9=-8$, $y=-4$.","Проверка: $9-8=1$, $6+12=18$. Ответ: $(3;-4)$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Способ сложения превращает систему двух уравнений в одно уравнение с одной переменной. Улики складывают так, чтобы одна переменная пропала, а новая улика проходит через тот же перекресток. Чтобы быстро вспомнить главное, держите в голове карту:

Найденную переменную подставляют в исходное уравнение, а пару проверяют в обоих. В следующем уроке условие задачи даст две улики, и систему можно будет решить любым из способов.

Часто задаваемые вопросы

Какой способ лучше — подстановка или сложение?

Ни один не лучше всегда: оба дают один и тот же ответ. Если переменная уже выражена или при ней коэффициент 1 либо −1, удобнее подстановка. Если коэффициенты противоположны, равны или легко выравниваются умножением, удобнее сложение.

Можно ли вычитать уравнения, а не складывать?

Можно: вычитание — это сложение с уравнением, умноженным на −1. Чтобы не ошибиться в знаках, сначала явно умножьте вычитаемое уравнение на −1, а потом сложите.

Обязательно ли брать наименьшие множители?

Нет. Любые множители, после которых коэффициенты при переменной противоположны, дают тот же ответ. Наименьшие удобнее: меньше чисел и меньше риск ошибиться. Нельзя только умножать на 0 — тогда уравнение пропадет.

В какое уравнение подставлять найденное значение?

В любое из исходных уравнений, обычно в то, где числа проще. Не подставляйте в уравнение, умноженное на число: там легче ошибиться. Готовую пару проверьте в обоих уравнениях системы.

Что значит, если после сложения пропали обе переменные?

Посмотрите на оставшееся равенство. Если оно неверное, например 0 = −6, решений нет: прямые параллельны. Если получилось 0 = 0, решений бесконечно много: подходят все пары, которые подходят одному из уравнений.

Награды за урок