Решение задач с помощью систем уравнений: от условия к ответу

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Сумма двух чисел равна 57, а их разность равна 15. Пусть $x$ — большее число, $y$ — меньшее. Какая система описывает условие?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=57\\\\x-y&=15\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=57\\\\x+y&=15\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=15\\\\x-y&=57\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=57\\\\y-x&=15\\end{aligned}\\right.$"],"explanations":["","Разность записана как сумма: вторая переменная должна войти со знаком «минус»","Числа перепутаны: сумма равна 57, а разность — 15","Больше $x$, поэтому разность $x-y$, а не $y-x$"],"answer":[0]}},"hints":["Запишем каждый факт из условия отдельным уравнением.","Подходит система: первое уравнение — про сумму, второе — про разность."],"step":1},{"id":"1","content":"Периметр прямоугольника равен 36 см, а длина $x$ на 4 см больше ширины $y$. Какая система описывает условие?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$\\left\\{\\begin{aligned}2x+2y&=36\\\\x-y&=4\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}2x+2y&=4\\\\x-y&=36\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}2x+2y&=36\\\\y-x&=4\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=36\\\\x-y&=4\\end{aligned}\\right.$"],"explanations":["","Числа перепутаны: периметр 36 см, а разность 4 см","Больше длина, поэтому $x-y=4$, а не $y-x=4$","Периметр — сумма всех четырех сторон, значит $2x+2y$, а не $x+y$"],"answer":[0]}},"hints":["Запишем каждый факт из условия отдельным уравнением.","Подходит система: первое уравнение — про периметр, второе — про разность."],"step":1},{"id":"2","content":"Килограмм яблок стоит $x$ руб., килограмм груш — $y$ руб. 4 кг яблок и 2 кг груш стоят 360 руб., а 3 кг яблок и 5 кг груш — 515 руб. Какая система описывает условие?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\left\\{\\begin{aligned}2x+4y&=360\\\\5x+3y&=515\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=360\\\\x+y&=515\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}4x+2y&=360\\\\3x+5y&=360\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}4x+2y&=360\\\\3x+5y&=515\\end{aligned}\\right.$"],"explanations":["Количества килограммов поменяны местами","Не учтено, сколько килограммов куплено: цену умножают на массу","Во втором условии сумма 515 руб., а не 360",""],"answer":[3]}},"hints":["Стоимость покупки — это цена, умноженная на количество, суммарно по видам.","Каждая покупка — отдельное уравнение."],"step":1},{"id":"2","content":"Ручка стоит $x$ руб., карандаш — $y$ руб. 2 ручки и 3 карандаша стоят 38 руб., а 4 ручки и 1 карандаш — 46 руб. Какая система описывает условие?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\left\\{\\begin{aligned}2x+3y&=38\\\\4x+y&=46\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}3x+2y&=38\\\\x+4y&=46\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}2x+3y&=38\\\\4x+y&=38\\end{aligned}\\right.$","$\\left\\{\\begin{aligned}2x+3y&=38\\\\4x&=46\\end{aligned}\\right.$"],"explanations":["","Количества поменяны местами: ручек две, а не три","Во втором условии сумма 46 руб., а не 38","Карандаш потерян: во втором условии куплен еще 1 карандаш"],"answer":[0]}},"hints":["Стоимость покупки — это цена, умноженная на количество, суммарно по видам.","Каждая покупка — отдельное уравнение."],"step":1},{"id":"3","content":"Катер за 2 часа по течению реки прошел 32 км, а за 3 часа против течения — 30 км. Найдите собственную скорость катера в километрах в час. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Скорость по течению $32:2=16$ км/ч, против течения $30:3=10$ км/ч.","Пусть $v$ — собственная скорость, $u$ — скорость течения: $v+u=16$, $v-u=10$. Сложим: $2v=26$, $v=13$. Ответ: 13."],"step":1},{"id":"3","content":"Катер за 3 часа по течению реки прошел 54 км, а за 2 часа против течения — 28 км. Найдите собственную скорость катера в километрах в час. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Скорость по течению $54:3=18$ км/ч, против течения $28:2=14$ км/ч.","Пусть $v$ — собственная скорость, $u$ — скорость течения: $v+u=18$, $v-u=14$. Сложим: $2v=32$, $v=16$. Ответ: 16."],"step":1},{"id":"4","content":"В задаче о прямоугольной клумбе получили ширину $y=-4$ (м). Как поступить?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Записать 0 м: отрицательной длины не бывает","Записать 4 м: знак можно отбросить","Искать ошибку: ширина не может быть отрицательной","Записать $-4$ м: так получилось при решении"],"explanations":["Нуль — тоже не ответ: числа нужно искать заново, а не заменять на удобные","Знак отбрасывать нельзя: отрицательное число означает ошибку в составлении или решении, а не «длину наоборот»","","Длина — положительная величина, отрицательный ответ смысла не имеет"],"answer":[2]}},"hints":["Проверим ответ по смыслу: подходит ли такое число к величине из условия.","Такое число не подходит, значит, где-то ошибка: проверяют составление и решение."],"step":1},{"id":"4","content":"В задаче о числе билетов получили $x=12{,}5$. Как поступить?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Записать 12 билетов: дробную часть можно отбросить","Записать 13 билетов: округлить можно","Записать 12,5 билета: так получилось при решении","Искать ошибку: число билетов не может быть дробным"],"explanations":["Отбрасывать дробную часть нельзя: условие при этом не выполняется","Округлять нельзя: тогда условие задачи нарушится","Число билетов — целое, дробный ответ смысла не имеет",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверим ответ по смыслу: подходит ли такое число к величине из условия.","Такое число не подходит, значит, где-то ошибка: проверяют составление и решение."],"step":1},{"id":"5","content":"Задача: «Сумма двух чисел равна 50, причем первое на 8 больше второго. Найдите эти числа». Расставьте шаги решения по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Пусть $x$ — первое число, $y$ — второе","Тогда по условию $x+y=50$ и $x-y=8$","Сложим эти уравнения: $2x=58$, значит, $x=29$","Подставим $x=29$ в первое уравнение: $y=50-29=21$","Остается проверка по условию: $29+21=50$, $29-21=8$; ответ: 29 и 21"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Без обозначений нельзя записать уравнения, а без уравнений — решать систему: первые два шага определены.","Найденное значение одной переменной подставляют, чтобы найти вторую; проверка по условию и ответ — в конце."],"step":1},{"id":"5","content":"Задача: «Продали 120 билетов: детские по 150 руб. и взрослые по 250 руб., всего на 22 000 руб. Сколько продали детских и сколько взрослых билетов?» Расставьте шаги решения по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Пусть $x$ — число детских билетов, $y$ — взрослых","Тогда по условию $x+y=120$ и $150x+250y=22\\,000$","Умножим первое из этих уравнений на $-150$ и сложим со вторым: $100y=4000$, значит, $y=40$","Отсюда $x=120-40=80$","Остается проверка по смыслу и по условию: числа целые, $150\\cdot80+250\\cdot40=22\\,000$; ответ: 80 детских и 40 взрослых"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Без обозначений нельзя записать уравнения, а без уравнений — решать систему: первые два шага определены.","Найденное значение одной переменной подставляют, чтобы найти вторую; проверка по условию и ответ — в конце."],"step":1},{"id":"6","content":"Два объекта движутся по одной дороге: $x$ км/ч — скорость быстрого, $y$ км/ч — медленного. Соотнесите величину и выражение.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Скорость сближения при движении навстречу","Скорость сближения при движении вдогонку","Расстояние, на которое сблизятся за 3 ч навстречу","Расстояние, на которое сблизятся за 5 ч вдогонку"],"items":["$x+y$","$x-y$","$3(x+y)$","$5(x-y)$","$3x+y$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и выражение","hints":["Навстречу скорости складываются, вдогонку — вычитаются: от большей скорости отнимают меньшую.","Расстояние — это скорость сближения, умноженная на время: скорость сближения берут в скобки целиком.","Ответ: скорость сближения при движении навстречу — $x+y$; скорость сближения при движении вдогонку — $x-y$; расстояние, на которое сблизятся за 3 ч навстречу — $3(x+y)$; расстояние, на которое сблизятся за 5 ч вдогонку — $5(x-y)$. Лишнее выражение $3x+y$: на 3 умножают всю скорость сближения $x+y$, а не только $x$."],"step":1},{"id":"6","content":"Два объекта движутся по одной дороге: $x$ км/ч — скорость быстрого, $y$ км/ч — медленного. Соотнесите величину и выражение.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Скорость сближения при движении вдогонку","Скорость сближения при движении навстречу","Расстояние, на которое сблизятся за 4 ч вдогонку","Расстояние, на которое сблизятся за 2 ч навстречу"],"items":["$x-y$","$x+y$","$4(x-y)$","$2(x+y)$","$4x-y$"]}},"instruction":"Соотнесите величину и выражение","hints":["Навстречу скорости складываются, вдогонку — вычитаются: от большей скорости отнимают меньшую.","Расстояние — это скорость сближения, умноженная на время: скорость сближения берут в скобки целиком.","Ответ: скорость сближения при движении вдогонку — $x-y$; скорость сближения при движении навстречу — $x+y$; расстояние, на которое сблизятся за 4 ч вдогонку — $4(x-y)$; расстояние, на которое сблизятся за 2 ч навстречу — $2(x+y)$. Лишнее выражение $4x-y$: на 4 умножают всю скорость сближения $x-y$, а не только $x$."],"step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр обозначил: $x$ — число ручек, $y$ — число тетрадей. Система составлена верно, он нашел $x=6$, $y=9$. Вопрос задачи: «Сколько куплено тетрадей и сколько ручек?». Вообразавр записал: «Ответ: 6 и 9». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Перепутаны обозначения: $x$ должен обозначать тетрадей","Нужно было записать сумму 15","Числа записаны в порядке букв, а вопрос начинается с тетрадей: тетрадей — 9, ручек — 6","Ошибки нет: 6 и 9 — найденные $x$ и $y$"],"explanations":["Обозначать можно в любом порядке, важно читать ответ по вопросу","В вопросе спрашивают о каждой величине отдельно, а не обо всех предметах сразу","","По такому ответу тетрадей куплено 6, а на самом деле 9: ответ читают по вопросу, а не по буквам"],"answer":[2]}},"hints":["Вопрос начинается с тетрадей: это $y=9$, а потом спрашивают о ручек: это $x=6$.","Читатель ответа «6 и 9» решит, что тетрадей куплено 6, а ручек — 9. Верная запись: «Тетрадей — 9, ручек — 6»."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Вообразавр обозначил: $x$ — число пирожков, $y$ — число булочек. Система составлена верно, он нашел $x=4$, $y=7$. Вопрос задачи: «Сколько куплено булочек и сколько пирожков?». Вообразавр записал: «Ответ: 4 и 7». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: 4 и 7 — найденные $x$ и $y$","Перепутаны обозначения: $x$ должен обозначать булочек","Нужно было записать сумму 11","Числа записаны в порядке букв, а вопрос начинается с булочек: булочек — 7, пирожков — 4"],"explanations":["По такому ответу булочек куплено 4, а на самом деле 7: ответ читают по вопросу, а не по буквам","Обозначать можно в любом порядке, важно читать ответ по вопросу","В вопросе спрашивают о каждой величине отдельно, а не обо всех предметах сразу",""],"answer":[3]}},"hints":["Вопрос начинается с булочек: это $y=7$, а потом спрашивают о пирожков: это $x=4$.","Читатель ответа «4 и 7» решит, что булочек куплено 4, а пирожков — 7. Верная запись: «Булочек — 7, пирожков — 4»."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"5 пирожков и 3 булочки стоят 190 руб., а 2 пирожка и 3 булочки — 130 руб. Сколько стоят 3 пирожка и 3 булочки? [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"150"}},"hints":["Пусть $x$ руб. — цена пирожка, $y$ руб. — цена булочки: $5x+3y=190$, $2x+3y=130$.","Вычтем: $3x=60$, $x=20$; из второго $y=30$.","$3\\cdot20+3\\cdot30=150$. Ответ: 150 руб."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"4 тетради и 2 ручки стоят 78 руб., а 3 тетради и 2 ручки — 62 руб. Сколько стоят 5 тетрадей и 2 ручки? [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"94"}},"hints":["Пусть $x$ руб. — цена тетради, $y$ руб. — цена ручки: $4x+2y=78$, $3x+2y=62$.","Вычтем: $x=16$, $x=16$; из второго $y=7$.","$5\\cdot16+2\\cdot7=94$. Ответ: 94 руб."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Из двух пунктов, расстояние между которыми 180 км, одновременно выехали два автомобиля. Навстречу друг другу они встретились бы через 2 часа, а если бы выехали в одну сторону (быстрый вслед за медленным), быстрый догнал бы медленного через 6 часов. Найдите скорость быстрого автомобиля в километрах в час. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Навстречу скорость сближения $180:2=90$ км/ч, вдогонку — $180:6=30$ км/ч.","Пусть $x$ — скорость быстрого автомобиля, $y$ — медленного: $x+y=90$, $x-y=30$. Сложим: $2x=120$, $x=60$; $y=90-60=30$.","Спрашивают о скорости быстрого автомобиля. Ответ: 60."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Из двух пунктов, расстояние между которыми 210 км, одновременно выехали два автомобиля. Навстречу друг другу они встретились бы через 3 часа, а если бы выехали в одну сторону (быстрый вслед за медленным), быстрый догнал бы медленного через 7 часов. Найдите скорость медленного автомобиля в километрах в час. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["Навстречу скорость сближения $210:3=70$ км/ч, вдогонку — $210:7=30$ км/ч.","Пусть $x$ — скорость быстрого автомобиля, $y$ — медленного: $x+y=70$, $x-y=30$. Сложим: $2x=100$, $x=50$; $y=70-50=20$.","Спрашивают о скорости медленного автомобиля. Ответ: 20."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Задача: «В классе 26 учеников (условие 1), девочек на 4 больше, чем мальчиков (условие 2)». Распределите ответы учеников.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Подходит обоим условиям","Подходит только условию 1","Подходит только условию 2"],"items":[["11 мальчиков и 15 девочек","Девочек 15, мальчиков 11"],["15 мальчиков и 11 девочек","13 мальчиков и 13 девочек"],["9 мальчиков и 13 девочек","20 мальчиков и 24 девочки"]]}},"instruction":"Распределите ответы по группам","hints":["Каждый ответ проверяем по обоим условиям отдельно — подстановка в одно условие ничего не доказывает.","Ловушка: порядок слов в ответе не важен, важно, какое число к какой величине относится. «Девочек 15, мальчиков 11» — тот же верный ответ.","Обоим условиям: 11 мальчиков и 15 девочек; Девочек 15, мальчиков 11. Только условию 1: 15 мальчиков и 11 девочек; 13 мальчиков и 13 девочек. Только условию 2: 9 мальчиков и 13 девочек; 20 мальчиков и 24 девочки."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Задача: «Сумма двух чисел равна 40 (условие 1), первое число в 3 раза больше второго (условие 2)». Распределите ответы учеников.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Подходит обоим условиям","Подходит только условию 1","Подходит только условию 2"],"items":[["Первое число 30, второе 10","Второе число 10, первое 30"],["Первое число 10, второе 30","Первое число 25, второе 15"],["Первое число 15, второе 5","Первое число 36, второе 12"]]}},"instruction":"Распределите ответы по группам","hints":["Каждый ответ проверяем по обоим условиям отдельно — подстановка в одно условие ничего не доказывает.","Ловушка: порядок слов в ответе не важен, важно, какое число к какой величине относится. «Второе число 10, первое 30» — тот же верный ответ.","Обоим условиям: Первое число 30, второе 10; Второе число 10, первое 30. Только условию 1: Первое число 10, второе 30; Первое число 25, второе 15. Только условию 2: Первое число 15, второе 5; Первое число 36, второе 12."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>