Способ подстановки для систем линейных уравнений

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какую переменную удобнее выразить для подстановки (без дробей)?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}2x+3y&=12\\\\x-4y&=-5\\end{aligned}\\right.$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$y$ из второго уравнения","$y$ из первого уравнения","$x$ из первого уравнения","$x$ из второго уравнения"],"explanations":["Коэффициент при этой переменной равен -4: при выражении появится дробь, считать сложнее","Коэффициент при этой переменной равен 3: при выражении появится дробь, считать сложнее","Коэффициент при этой переменной равен 2: при выражении появится дробь, считать сложнее",""],"answer":[3]}},"hints":["Удобна переменная с коэффициентом $1$ или $-1$.","Такой коэффициент только у x из второго уравнения: дроби не появятся."],"step":1},{"id":"1","content":"Какую переменную удобнее выразить для подстановки (без дробей)?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}5x+2y&=9\\\\3x+y&=4\\end{aligned}\\right.$[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$x$ из второго уравнения","$y$ из второго уравнения","$x$ из первого уравнения","$y$ из первого уравнения"],"explanations":["Коэффициент при этой переменной равен 3: при выражении появится дробь, считать сложнее","","Коэффициент при этой переменной равен 5: при выражении появится дробь, считать сложнее","Коэффициент при этой переменной равен 2: при выражении появится дробь, считать сложнее"],"answer":[1]}},"hints":["Удобна переменная с коэффициентом $1$ или $-1$.","Такой коэффициент только у y из второго уравнения: дроби не появятся."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите систему. В ответе запишите пару $(x;y)$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x&=y+3\\\\2x+y&=12\\end{aligned}\\right.$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["(5;2)","(5; 2)","5;2","5; 2"]}},"hints":["Подставим $x=y+3$: $2(y+3)+y=12$.","$3y+6=12$, $y=2$; $x=2+3=5$. Ответ: $(5;2)$."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите систему. В ответе запишите пару $(x;y)$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}y&=2x-4\\\\x+3y&=-5\\end{aligned}\\right.$ [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["(1;-2)","(1; -2)","1;-2","1; -2"]}},"hints":["Подставим $y=2x-4$: $x+3(2x-4)=-5$.","$7x-12=-5$, $x=1$; $y=2\\cdot1-4=-2$. Ответ: $(1;-2)$."],"step":1},{"id":"3","content":"Из системы выражено $y=2x-1$. После подстановки во второе уравнение получится уравнение [[fill_choice-1]]<br>$\\left\\{\\begin{aligned}y&=2x-1\\\\3x+2y&=9\\end{aligned}\\right.$","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$3x+2\\cdot2x-1=9$","$3x+2(2x+1)=9$","$2x-1+2y=9$","$3x+2(2x-1)=9$"],"answer":3}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Подставляем выражение $2x-1$ вместо $y$ целиком, в скобках.","$3x+2(2x-1)=9$."],"step":1},{"id":"3","content":"Из системы выражено $x=3y+1$. После подстановки во второе уравнение получится уравнение [[fill_choice-2]]<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x&=3y+1\\\\2x-y&=7\\end{aligned}\\right.$","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$2x-3y+1=7$","$2\\cdot3y+1-y=7$","$2(3y+1)-y=7$","$3y+1-y=7$"],"answer":2}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Подставляем выражение $3y+1$ вместо $x$ целиком, в скобках.","$2(3y+1)-y=7$."],"step":1},{"id":"4","content":"Какая пара является решением системы?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x+2y&=7\\\\3x-y&=7\\end{aligned}\\right.$[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$(3;2)$","$(2;3)$","$(2;-1)$","$(1;3)$"],"explanations":["","В первом уравнении получается 8 (нужно 7), во втором — 3 (нужно 7): оба равенства нарушены","В первом уравнении получается 0 (нужно 7), во втором — 7 (нужно 7): одно из равенств нарушено","В первом уравнении получается 7 (нужно 7), во втором — 0 (нужно 7): одно из равенств нарушено"],"answer":[0]}},"hints":["Решение системы подходит обоим уравнениям: проверим каждую пару в обоих.","Пара $(3;2)$ подходит первому и второму уравнениям."],"step":1},{"id":"4","content":"Какая пара является решением системы?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}2x+y&=5\\\\x-y&=1\\end{aligned}\\right.$[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$(1;3)$","$(2;1)$","$(3;2)$","$(1;2)$"],"explanations":["В первом уравнении получается 5 (нужно 5), во втором — −2 (нужно 1): одно из равенств нарушено","","В первом уравнении получается 8 (нужно 5), во втором — 1 (нужно 1): одно из равенств нарушено","В первом уравнении получается 4 (нужно 5), во втором — −1 (нужно 1): оба равенства нарушены"],"answer":[1]}},"hints":["Решение системы подходит обоим уравнениям: проверим каждую пару в обоих.","Пара $(2;1)$ подходит первому и второму уравнениям."],"step":1},{"id":"5","content":"Вообразавр решал систему $\\left\\{\\begin{aligned}y&=2x+2\\\\y&=2x-5\\end{aligned}\\right.$ подстановкой. Он получил $2x+2=2x-5$, затем $0\\cdot x=-7$, записал $x=0$ и нашел $y=2$, ответ $(0;2)$. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: из $0\\cdot x=c$ следует $x=0$","Надо было найти $x$ из второго уравнения и записать другую пару","Пара должна быть записана в порядке $(y;x)$","Уравнение $0\\cdot x=-7$ не имеет корней: система решений не имеет"],"explanations":["При $x=0$ левая часть равна 0, а правая — не нуль, равенство неверно","Второе уравнение не поможет: после подстановки $0\\cdot x=-7$, и это равенство неверно при любом $x$. Решений нет","Порядок $(x;y)$ верный; ошибка не в записи, а в том, что решений нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Проверим уравнение $0\\cdot x=c$ при $c\\ne0$: слева 0, справа не 0.","Равенство неверно при любом $x$, в том числе при $x=0$. Решений у системы нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Вообразавр решал систему $\\left\\{\\begin{aligned}y&=3x-1\\\\y&=3x+5\\end{aligned}\\right.$ подстановкой. Он получил $3x-1=3x+5$, затем $0\\cdot x=6$, записал $x=0$ и нашел $y=-1$, ответ $(0;-1)$. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Уравнение $0\\cdot x=6$ не имеет корней: система решений не имеет","Надо было найти $x$ из второго уравнения и записать другую пару","Пара должна быть записана в порядке $(y;x)$","Ошибки нет: из $0\\cdot x=c$ следует $x=0$"],"explanations":["","Второе уравнение не поможет: после подстановки $0\\cdot x=6$, и это равенство неверно при любом $x$. Решений нет","Порядок $(x;y)$ верный; ошибка не в записи, а в том, что решений нет","При $x=0$ левая часть равна 0, а правая — не нуль, равенство неверно"],"answer":[0]}},"hints":["Проверим уравнение $0\\cdot x=c$ при $c\\ne0$: слева 0, справа не 0.","Равенство неверно при любом $x$, в том числе при $x=0$. Решений у системы нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решил систему $\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=9\\\\x-y&=3\\end{aligned}\\right.$ подстановкой. Он выразил $y=9-x$, подставил: $x-(9-x)=3$, нашел $x=6$ и записал ответ: «$x=6$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Не найдено $y$: ответом должна быть пара $(6;3)$","Ответ должен быть $(3;6)$","Верно: $x=6$ и есть решение системы","Ошибка в выражении $y$: выражать нужно $x$"],"explanations":["","Порядок в паре $(x;y)$ нельзя менять: первым пишут $x$","Решение системы — пара чисел, одно значение $x$ без $y$ ответом не является","Выразить можно любую переменную, ответ от выбора не меняется"],"answer":[0]}},"hints":["Решение системы — пара чисел $(x;y)$.","Найдем $y$: $y=9-x$ при $x=6$ дает $y=3$. Ответ: $(6;3)$."],"step":1},{"id":"6","content":"Вообразавр решил систему $\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=10\\\\2x-y&=2\\end{aligned}\\right.$ подстановкой. Он выразил $y=10-x$, подставил: $2x-(10-x)=2$, нашел $x=4$ и записал ответ: «$x=4$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Верно: $x=4$ и есть решение системы","Ответ должен быть $(6;4)$","Ошибка в выражении $y$: выражать нужно $x$","Не найдено $y$: ответом должна быть пара $(4;6)$"],"explanations":["Решение системы — пара чисел, одно значение $x$ без $y$ ответом не является","Порядок в паре $(x;y)$ нельзя менять: первым пишут $x$","Выразить можно любую переменную, ответ от выбора не меняется",""],"answer":[3]}},"hints":["Решение системы — пара чисел $(x;y)$.","Найдем $y$: $y=10-x$ при $x=4$ дает $y=6$. Ответ: $(4;6)$."],"step":1},{"id":"7","content":"При каком значении $a$ система имеет бесконечно много решений?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}y&=2x+1\\\\4x-2y&=a\\end{aligned}\\right.$ [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Подставим выражение для $y$ во второе уравнение.","$4x-2(2x+1)=a$: слагаемые с $x$ уничтожаются, остается $0\\cdot x=a+2$.","Бесконечно много решений при $0\\cdot x=0$, то есть при $a=-2$. Ответ: -2."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"При каком значении $a$ система имеет бесконечно много решений?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}y&=3x-2\\\\6x-2y&=a\\end{aligned}\\right.$ [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Подставим выражение для $y$ во второе уравнение.","$6x-2(3x-2)=a$: слагаемые с $x$ уничтожаются, остается $0\\cdot x=a-4$.","Бесконечно много решений при $0\\cdot x=0$, то есть при $a=4$. Ответ: 4."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Пара $(x;y)$ — решение системы. Вычислите $x+y$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}2x-y&=7\\\\3x+2y&=7\\end{aligned}\\right.$ [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Выразим $y=2x-7$ из первого уравнения.","Подставим во второе: $3x+2(2x-7)=7$, $7x=21$, $x=3$; $y=2\\cdot3-7=-1$.","$x+y=3+(-1)=2$. Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Пара $(x;y)$ — решение системы. Вычислите $x-y$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}3x+y&=-1\\\\x-2y&=-12\\end{aligned}\\right.$ [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-7"}},"hints":["Выразим $y=-1-3x$ из первого уравнения.","Подставим во второе: $x-2(-1-3x)=-12$, $7x+2=-12$, $x=-2$; $y=-1-3\\cdot(-2)=5$.","$x-y=-2-5=-7$. Ответ: $-7$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"После подстановки в разных системах получились такие уравнения. Соотнесите уравнение и число решений системы.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$0\\cdot x=7$","$0\\cdot x=0$","$7x=0$"],"items":["Нет решений","Бесконечно много решений","Одно решение","Два решения"]}},"instruction":"Соотнесите исход подстановки и число решений","hints":["Слева в $0\\cdot x$ всегда 0. Если справа не нуль, равенство неверно при любом $x$; если справа 0 — верно при любом $x$.","$0\\cdot x=7$ — решений нет; $0\\cdot x=0$ — бесконечно много; $7x=0$ — одно решение $x=0$.","Ответ: нет решений; бесконечно много решений; одно решение. Лишний ответ: «Два решения»."],"step":1},{"id":"9","content":"После подстановки в разных системах получились такие уравнения. Соотнесите уравнение и число решений системы.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$0\\cdot y=-2$","$0\\cdot y=0$","$-2y=0$"],"items":["Нет решений","Бесконечно много решений","Одно решение","Два решения"]}},"instruction":"Соотнесите исход подстановки и число решений","hints":["Слева в $0\\cdot y$ всегда 0. Если справа не нуль, равенство неверно при любом $y$; если справа 0 — верно при любом $y$.","$0\\cdot y=-2$ — решений нет; $0\\cdot y=0$ — бесконечно много; $-2y=0$ — одно решение $y=0$.","Ответ: нет решений; бесконечно много решений; одно решение. Лишний ответ: «Два решения»."],"step":1},{"id":"10","content":"Решите систему. В ответе запишите пару $(x;y)$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}\\frac{x}{2}+\\frac{y}{5}&=4\\\\x-y&=1\\end{aligned}\\right.$ [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["(6;5)","(6; 5)","6;5","6; 5"]}},"hints":["Уберем дроби: умножим обе части первого уравнения на 10, получим $5x+2y=40$.","Из второго уравнения $x=y+1$. Подставим: $5(y+1)+2y=40$, $7y=35$, $y=5$.","$x=5+1=6$. Проверка: $\\frac{6}{2}+\\frac{5}{5}=4$, $6-5=1$. Ответ: $(6;5)$."],"step":1},{"id":"10","content":"Решите систему. В ответе запишите пару $(x;y)$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}\\frac{x}{3}-\\frac{y}{2}&=1\\\\x+y&=8\\end{aligned}\\right.$ [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["(6;2)","(6; 2)","6;2","6; 2"]}},"hints":["Уберем дроби: умножим обе части первого уравнения на 6, получим $2x-3y=6$.","Из второго уравнения $x=8-y$. Подставим: $2(8-y)-3y=6$, $16-5y=6$, $y=2$.","$x=8-2=6$. Проверка: $\\frac{6}{3}-\\frac{2}{2}=1$, $6+2=8$. Ответ: $(6;2)$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>