Карточки
Тесты
Зави
Решение задач с помощью систем уравнений: от условия к ответу
Решение задач с помощью систем уравнений: от условия к ответу
В уроке «Решение задач с помощью систем уравнений» разобраны основные типы задач, которые решают с помощью систем: на массу, монеты, периметр, движение по реке и растворы. Здесь научимся переводить условие в систему через таблицу условий, решим задачи о покупках, движении навстречу и вдогонку, о числах, проверим ответ по смыслу и запишем его на вопрос задачи. Системы будем решать способами из уроков «Способ подстановки» и «Способ сложения».
Каждый факт условия — отдельная улика
Вопрос, к которому вернемся в конце урока. Оператор связи предлагает два тарифа. Тариф А: 300 руб. в месяц и 1 руб. за каждую минуту разговоров. Тариф Б: 100 руб. в месяц и 3 руб. за минуту. При каком числе минут оба тарифа обойдутся в одну и ту же сумму? Одно уравнение дает стоимость по тарифу А. Что дает второе?
Вспомним модель модуля «улики на карте»: пара $(x;y)$ — адрес, точка на координатной плоскости; уравнение — улика, ее адреса лежат на прямой; решение системы — перекресток двух улик. В текстовой задаче улики дает условие: каждый факт о двух неизвестных величинах — отдельное уравнение.
Задача: на турбазе 15 домиков, четырехместные и шестиместные, в них всего 70 мест. Сколько домиков каждого вида? Пусть $x$ — число четырехместных домиков, $y$ — число шестиместных. Первый факт «домиков 15» дает улику $x+y=15$. Ей подходит много адресов: $(5;10)$, $(8;7)$, $(10;5)$, $(12;3)$ и другие. Проверим их вторым фактом «мест 70»:
| Адрес | $(5;10)$ | $(8;7)$ | $(10;5)$ | $(12;3)$ |
|---|---|---|---|---|
| Домиков: $x+y$ | 15 | 15 | 15 | 15 |
| Мест: $4x+6y$ | 80 | 74 | 70 | 66 |
| Второй факт выполнен? | нет | нет | да | нет |
Обоим фактам подходит только адрес $(10;5)$ — перекресток двух улик. Перебирать адреса долго, поэтому факты записывают уравнениями. Чтобы не потерять ни один, составляют таблицу условий: в строках — неизвестные величины, в столбцах — факты. Каждый столбец дает одно уравнение.
Метод
Решение задачи с помощью системы уравнений:
- Обозначьте две неизвестные величины буквами и запишите, что означает каждая буква.
- Найдите в условии два факта об этих величинах и запишите каждый уравнением — получится система.
- Решите систему удобным способом.
- Проверьте найденные числа по смыслу и по тексту условия.
- Запишите ответ словами: в порядке вопроса, с единицами.
Задача 1
1. $x$ — число четырехместных домиков, $y$ — число шестиместных.
2. Домиков 15, мест 70: $$\left\{\begin{aligned}x+y&=15\\4x+6y&=70\end{aligned}\right.$$
3. Из первого уравнения $x=15-y$. Подставим во второе: $4(15-y)+6y=70$, $60+2y=70$, $y=5$. Тогда $x=15-5=10$.
4. Числа целые и положительные; $10+5=15$, $4\cdot10+6\cdot5=70$ — верно.
5. Ответ: 10 четырехместных и 5 шестиместных домиков.
Стоимость покупки — цена, умноженная на количество
Для класса купили 4 набора красок и 3 альбома за 680 руб. В другой раз купили 2 набора красок и 5 альбомов за 620 руб. Сколько стоит набор красок и сколько альбом?
Пусть $x$ руб. — цена набора красок, $y$ руб. — цена альбома. Четыре набора стоят $4x$ руб., три альбома — $3y$ руб., вся первая покупка — $4x+3y$ руб. Каждая покупка — отдельная улика:
| Покупка | Краски, $x$ руб. за набор | Альбомы, $y$ руб. за штуку | Всего, руб. |
|---|---|---|---|
| первая | 4 набора: $4x$ | 3 альбома: $3y$ | 680 |
| вторая | 2 набора: $2x$ | 5 альбомов: $5y$ | 620 |
Правило
Стоимость покупки — это сумма по видам товаров: для каждого вида цену одной штуки умножают на число штук. $$\text{стоимость}=\text{цена}\cdot\text{количество}$$
Задача 2
По таблице: $$\left\{\begin{aligned}4x+3y&=680\\2x+5y&=620\end{aligned}\right.$$
Решение. Умножим второе уравнение на 2: $4x+10y=1240$. Вычтем из него первое уравнение: $7y=560$, $y=80$. Подставим в первое: $4x+3\cdot80=680$, $4x=440$, $x=110$.
Проверка. Цены положительные; $4\cdot110+3\cdot80=680$, $2\cdot110+5\cdot80=620$ — верно.
Ответ: набор красок стоит 110 руб., альбом — 80 руб.
Ошибка
Вообразавр записал первую покупку как $x+y=680$. Но набор и альбом вместе стоят $110+80=190$ руб.: 680 руб. — цена четырех наборов и трех альбомов, а не одного набора и одного альбома.
Навстречу скорости складываются, вдогонку — вычитаются
Расстояние между двумя городами 240 км. Легковой автомобиль и грузовик выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 2 ч. Если бы они одновременно выехали из тех же городов в одну сторону, так что легковой едет вслед за грузовиком, он догнал бы грузовик через 8 ч. Найдем скорости автомобилей.
Каждый сценарий движения — отдельный факт. Пусть $x$ км/ч — скорость легкового автомобиля, $y$ км/ч — грузовика. Навстречу расстояние между машинами за час уменьшается на $x+y$ км. Вдогонку — только на $x-y$ км: грузовик за этот час тоже уезжает вперед.
Правило
При движении навстречу скорость сближения равна сумме скоростей, при движении вдогонку — разности скоростей догоняющего и догоняемого. $$\text{расстояние}=\text{скорость сближения}\cdot\text{время}$$
Задача 3
Навстречу за 2 ч машины вместе закрыли 240 км, вдогонку за 8 ч легковой сократил отставание на те же 240 км: $$\left\{\begin{aligned}2(x+y)&=240\\8(x-y)&=240\end{aligned}\right.$$
Решение. Разделим первое уравнение на 2, второе на 8: $x+y=120$, $x-y=30$. Сложим: $2x=150$, $x=75$. Тогда $y=120-75=45$.
Проверка. Скорости положительные, легковой быстрее; $2\cdot(75+45)=240$, $8\cdot(75-45)=240$ — верно.
Ответ: скорость легкового автомобиля 75 км/ч, грузовика — 45 км/ч.
Так же устроено движение по реке из урока «Решение задач с помощью систем уравнений»: по течению катер идет со скоростью $v+u$, против течения — со скоростью $v-u$, где $v$ — собственная скорость катера, $u$ — скорость течения.
«Во столько раз» и «на столько» — разные уравнения
Сравним две фразы о числах $x$ и $y$. «$x$ на 2 больше $y$» означает $x=y+2$: к меньшему числу прибавили 2. «$x$ в 2 раза больше $y$» означает $x=2y$: меньшее число взяли два раза. При $y=17$ первая фраза дает $x=19$, а вторая — $x=34$.
Правило
«На $a$ больше» — к меньшему числу прибавляют $a$. «В $a$ раз больше» — меньшее число умножают на $a$. Сначала определите, какое число меньше: к нему относится и сложение, и умножение.
Задача 4
Одно число в 2 раза больше другого, а их разность равна 17. Найдите эти числа.
Решение. Пусть $x$ — большее число, $y$ — меньшее. $$\left\{\begin{aligned}x&=2y\\x-y&=17\end{aligned}\right.$$ Подставим $x=2y$ во второе уравнение: $2y-y=17$, $y=17$. Тогда $x=2\cdot17=34$.
Проверка. $34=2\cdot17$, $34-17=17$ — верно.
Ответ: большее число 34, меньшее 17.
Ошибка
Вообразавр записал «в 2 раза больше» как $x=y+2$. Подстановка во второе уравнение дает $y+2-y=17$, то есть $2=17$, и он решил, что решений нет. Но числа 34 и 17 условию подходят. На карте Вообразавр нарисовал не ту улику: прямая $x=y+2$ параллельна прямой $x-y=17$. Ломается перевод фразы: «в 2 раза» — умножение, а не сложение.
Ответ записывают на вопрос задачи, а не в порядке букв
Систему решили, числа нашли — осталось записать ответ, и здесь ошибаются чаще всего. Ответ системы — пара $(x;y)$, но буквы решающий выбирает сам, а вопрос может перечислять величины в другом порядке.
Ошибка
Задача: «Две бригады за день уложили вместе 140 м трубы, причем первая — на 20 м больше второй. Сколько метров уложила вторая бригада и сколько — первая?»
Вообразавр обозначил: $x$ м — работа первой бригады, $y$ м — второй. Система $$\left\{\begin{aligned}x+y&=140\\x-y&=20\end{aligned}\right.$$ дала $x=80$, $y=60$, и он записал: «Ответ: 80 м и 60 м».
Вопрос начинается со второй бригады, и читатель поймет: вторая уложила 80 м, первая — 60 м. Тогда первая уложила меньше второй, а по условию — на 20 м больше. Ошибка на последнем шаге: числа записаны в порядке букв $x$, $y$, а не в порядке вопроса, и не названо, какое из них к какой бригаде относится.
Правило
Ответ текстовой задачи записывают словами: каждое число — с названием величины и единицами, в том порядке, в каком спрашивает вопрос. Если спрашивают об одной величине, в ответ записывают только ее.
Верная запись: «Вторая бригада уложила 60 м, первая — 80 м». Она сходится с условием: $60+80=140$, и 80 на 20 больше 60. Это тот же адрес $(80;60)$, только названный словами.
Найденные числа проверяют по смыслу задачи
У каждой величины есть смысл: число людей и предметов — целое и неотрицательное, длина, цена и скорость — положительные. На карте это значит, что перекресток должен попасть в осмысленную часть плоскости: для людей и предметов — только в точки с целыми неотрицательными координатами.
Ошибка
Задача: «На концерт продали 160 билетов, детские по 100 руб. и взрослые по 250 руб., всего на 25 000 руб. Сколько продали взрослых билетов?»
Вообразавр обозначил: $x$ — число детских билетов, $y$ — число взрослых — и составил систему $$\left\{\begin{aligned}x+y&=160\\100x+250y&=2500\end{aligned}\right.$$ В правой части второго уравнения он потерял ноль: 2500 вместо 25 000. Из первого уравнения $x=160-y$; $100(160-y)+250y=2500$, $16\,000+150y=2500$, $150y=-13\,500$, $y=-90$.
Число билетов не может быть отрицательным — сигнал ошибки. Отбросить знак и записать «90 билетов» нельзя: условие не выполнится. Числа Вообразавра подходят его системе: $250+(-90)=160$ и $100\cdot250+250\cdot(-90)=2500$. Ошибку поймала не проверка в системе, а смысл и текст условия.
Задача 5
Верная система: $$\left\{\begin{aligned}x+y&=160\\100x+250y&=25000\end{aligned}\right.$$
Решение. $x=160-y$; $100(160-y)+250y=25\,000$, $16\,000+150y=25\,000$, $150y=9000$, $y=60$. Тогда $x=160-60=100$.
Проверка по смыслу и по тексту. Числа билетов целые и положительные. $100+60=160$ билетов, $100\cdot100+250\cdot60=10\,000+15\,000=25\,000$ руб. — верно.
Ответ: продали 60 взрослых билетов.
Важно
Не округляйте ответ и не отбрасывайте знак: число не по смыслу — повод искать ошибку. Проверяйте по тексту задачи, а не по своей системе: неверной системе найденные числа тоже подходят.
Способ решения выбирают по виду системы
Решать систему можно любым способом — перекресток один. Но удобный способ виден по уравнениям:
| Вид системы | Удобный способ | Задача из урока |
|---|---|---|
| Переменная выражена или стоит с коэффициентом $1$ или $-1$ | подстановка | домики: $x=15-y$; числа: $x=2y$ |
| Коэффициенты при переменной равны, противоположны или станут такими после умножения | сложение | автомобили: $x+y=120$, $x-y=30$; краски |
Задача 6
Вернемся к тарифам из начала урока. Пусть $x$ — число минут разговоров за месяц, $y$ руб. — стоимость связи за месяц. Тариф А дает первую улику: $y=300+x$. Тариф Б — вторую: $y=100+3x$. Тарифы стоят одинаково в перекрестке этих улик: $$\left\{\begin{aligned}y&=300+x\\y&=100+3x\end{aligned}\right.$$
Решение. В обоих уравнениях $y$ уже выражен, поэтому подходит подстановка: $300+x=100+3x$, $2x=200$, $x=100$. Тогда $y=300+100=400$.
Проверка. $300+100=400$, $100+3\cdot100=400$ — верно; 100 минут — допустимое число.
Ответ: при 100 минутах разговоров в месяц оба тарифа стоят 400 руб.
Карта подсказывает и выбор тарифа. При 50 минутах тариф А стоит $300+50=350$ руб., тариф Б — $100+3\cdot50=250$ руб.; при 150 минутах — 450 руб. и 550 руб. Кто говорит меньше 100 минут в месяц, тому выгоднее тариф Б, кто больше — тариф А.
Вывод
Система нужна, когда в задаче две неизвестные величины и два факта о них: так считают покупки, сравнивают тарифы, находят скорости. Главное — перевести условие в уравнения, а ответ системы — обратно в ответ задачи. Шаги через модель «улики на карте»:
Задачи на массу, монеты, периметр, движение по реке и растворы разобраны в уроке «Решение задач с помощью систем уравнений».
Часто задаваемые вопросы
Да. В задаче о турбазе можно обозначить $x$ — число четырехместных домиков, тогда шестиместных $15-x$, и уравнение $4x+6(15-x)=70$, как в уроке «Решение задач с помощью уравнений». Это та же подстановка, сделанная при составлении. Система удобнее, когда одну величину через другую сразу не выразить.
Обычно те, о которых спрашивают. Если спрашивают о другой величине, например о стоимости нового набора, обозначьте две неизвестные, о которых в условии есть два факта, найдите их, а затем вычислите искомое.
Тогда у задачи с такими данными нет решения по смыслу, так и пишут. Например, если 10 билетов по 100 руб. и по 250 руб. стоят 3000 руб., получится $x=-\frac{10}{3}$, $y=\frac{40}{3}$: даже 10 взрослых билетов стоят только 2500 руб. Такое бывает редко, поэтому сначала заново сверьте уравнения с текстом.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий