Способ сложения для систем линейных уравнений

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Вообразавр вычел второе уравнение из первого:<br>$\\left\\{\\begin{aligned}5x-2y&=11\\\\2x-2y&=2\\end{aligned}\\right.$<br>Получилось $3x-4y=9$, и он решил: «$y$ не исключается, нужен другой множитель». Прав ли он и какое решение у системы?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Не прав: при вычитании $y$ пропадает, $3x=9$, решение $(3;2)$","Не прав, но решение $(3;3)$","Прав: надо умножить второе уравнение на $-1$ и сложить","Прав: систему решают только подстановкой"],"explanations":["","Эта пара не подходит первому уравнению: при $x=3$, $y=3$ левая часть равна $9$, а не $11$","Умножить на $-1$ и сложить — то же самое, что вычесть; ошибка в знаке: минус перед вычитаемым меняет $-2y$ на $2y$","Коэффициенты при $y$ равны, поэтому вычитание сразу убирает $y$; подстановка тоже подойдет, но вычитание короче"],"answer":[0]}},"hints":["Вычтем по частям: $-2y-(-2y)=-2y+2y=0$ — слагаемые с $y$ уничтожаются.","Остается $3x=9$, $x=3$; из второго уравнения $y=2$. Ответ: $(3;2)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"1","content":"Вообразавр вычел второе уравнение из первого:<br>$\\left\\{\\begin{aligned}7x-3y&=8\\\\4x-3y&=2\\end{aligned}\\right.$<br>Получилось $3x-6y=6$, и он решил: «$y$ не исключается, нужен другой множитель». Прав ли он и какое решение у системы?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Прав: надо умножить второе уравнение на $-1$ и сложить","Не прав: при вычитании $y$ пропадает, $3x=6$, решение $(2;2)$","Не прав, но решение $(3;2)$","Прав: систему решают только подстановкой"],"explanations":["Умножить на $-1$ и сложить — то же самое, что вычесть; ошибка в знаке: минус перед вычитаемым меняет $-3y$ на $3y$","","Эта пара не подходит первому уравнению: при $x=3$, $y=2$ левая часть равна $15$, а не $8$","Коэффициенты при $y$ равны, поэтому вычитание сразу убирает $y$; подстановка тоже подойдет, но вычитание короче"],"answer":[1]}},"hints":["Вычтем по частям: $-3y-(-3y)=-3y+3y=0$ — слагаемые с $y$ уничтожаются.","Остается $3x=6$, $x=2$; из второго уравнения $y=2$. Ответ: $(2;2)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"Решите систему способом сложения и найдите $x$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}2x+5y&=16\\\\3x-5y&=-1\\end{aligned}\\right.$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Коэффициенты при $y$ противоположны: сложим уравнения.","$5x=15$, $x=3$. Ответ: 3."],"step":1},{"id":"2","content":"Решите систему способом сложения и найдите $x$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x-2y&=-9\\\\4x+2y&=4\\end{aligned}\\right.$ [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-1"}},"hints":["Коэффициенты при $y$ противоположны: сложим уравнения.","$5x=-5$, $x=-1$. Ответ: -1."],"step":1},{"id":"3","content":"На какое число нужно умножить второе уравнение, чтобы после сложения пропал $y$?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x+3y&=7\\\\2x-y&=7\\end{aligned}\\right.$[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["На $-3$","На $3$","На $4$","На $2$"],"explanations":["После умножения получится $3y$, вместе с $3y$ при сложении останется $6y$ — $y$ не пропадет","","После умножения получится $-4y$, вместе с $3y$ при сложении останется $-y$ — $y$ не пропадет","После умножения получится $-2y$, вместе с $3y$ при сложении останется $y$ — $y$ не пропадет"],"answer":[1]}},"hints":["Коэффициенты при $y$ после умножения должны стать противоположными.","Умножим второе уравнение на 3: получится слагаемое $-3y$ — противоположное к $3y$."],"step":1},{"id":"3","content":"На какое число нужно умножить первое уравнение, чтобы после сложения пропал $y$?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}3x+y&=10\\\\2x-4y&=2\\end{aligned}\\right.$[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["На $3$","На $5$","На $-4$","На $4$"],"explanations":["После умножения получится $3y$, вместе с $-4y$ при сложении останется $-y$ — $y$ не пропадет","После умножения получится $5y$, вместе с $-4y$ при сложении останется $y$ — $y$ не пропадет","После умножения получится $-4y$, вместе с $-4y$ при сложении останется $-8y$ — $y$ не пропадет",""],"answer":[3]}},"hints":["Коэффициенты при $y$ после умножения должны стать противоположными.","Умножим первое уравнение на 4: получится слагаемое $4y$ — противоположное к $-4y$."],"step":1},{"id":"4","content":"Решите систему вычитанием одного уравнения из другого и найдите $x$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}6x+y&=20\\\\4x+y&=12\\end{aligned}\\right.$ [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["При $y$ коэффициенты равны — вычтем из первого уравнения второе, и $y$ пропадет.","$2x=8$, $x=4$. Ответ: 4."],"step":1},{"id":"4","content":"Решите систему вычитанием одного уравнения из другого и найдите $y$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}3x-2y&=5\\\\3x+y&=11\\end{aligned}\\right.$ [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["При $x$ коэффициенты равны — вычтем из первого уравнения второе, и $x$ пропадет.","$-3y=-6$, $y=2$. Ответ: 2."],"step":1},{"id":"5","content":"Обе части уравнения $2x-3y=-5$ умножили на $-2$. Получилось уравнение [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$-4x+6y=10$","$4x-6y=10$","$-4x-6y=10$","$-4x+6y=-5$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["На $-2$ умножают каждое слагаемое левой части и правую часть; знак каждого числа меняется.","$2\\cdot(-2)=-4$, $-3\\cdot(-2)=6$, $-5\\cdot(-2)=10$: $-4x+6y=10$."],"step":1},{"id":"5","content":"Обе части уравнения $-3x+4y=7$ умножили на $-3$. Получилось уравнение [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$-9x-12y=-21$","$9x+12y=-21$","$9x-12y=7$","$9x-12y=-21$"],"answer":3}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["На $-3$ умножают каждое слагаемое левой части и правую часть; знак каждого числа меняется.","$-3\\cdot(-3)=9$, $4\\cdot(-3)=-12$, $7\\cdot(-3)=-21$: $9x-12y=-21$."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр исключает $y$ способом сложения:<br>$\\left\\{\\begin{aligned}2x+3y&=12\\\\5x-y&=13\\end{aligned}\\right.$<br>Расставьте его шаги по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Умножим второе уравнение на 3: $15x-3y=39$","Сложим его с первым уравнением, получим $17x=51$","Получаем $x=3$","Подставим $x=3$ во второе уравнение: $15-y=13$, значит, $y=2$","Подставим пару в оба уравнения: $2\\cdot3+3\\cdot2=12$ и $5\\cdot3-2=13$, ответ $(3;2)$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сложение имеет смысл, только когда коэффициенты при $y$ уже противоположны: умножение — первый шаг.","После сложения находят $x$, по нему — $y$; проверка в обоих уравнениях идет последней.","Порядок: умножение, сложение, $x$, затем $y$, проверка и ответ."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр исключает $y$ способом сложения:<br>$\\left\\{\\begin{aligned}4x-5y&=3\\\\3x+2y&=8\\end{aligned}\\right.$<br>Расставьте его шаги по порядку.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Умножим первое уравнение на 2, а второе — на 5: $8x-10y=6$ и $15x+10y=40$","Сложим полученные уравнения, получим $23x=46$","Получаем $x=2$","Подставим $x=2$ во второе уравнение: $6+2y=8$, значит, $y=1$","Подставим пару в оба уравнения: $4\\cdot2-5\\cdot1=3$ и $3\\cdot2+2\\cdot1=8$, ответ $(2;1)$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Сложение имеет смысл, только когда коэффициенты при $y$ уже противоположны: умножение — первый шаг.","После сложения находят $x$, по нему — $y$; проверка в обоих уравнениях идет последней.","Порядок: умножение, сложение, $x$, затем $y$, проверка и ответ."],"step":1},{"id":"7","content":"Соотнесите систему и первый шаг, после которого при сложении (или вычитании) пропадет одна переменная.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$2x+3y=8$ и $x-3y=1$","$3x+2y=7$ и $3x-5y=0$","$x+2y=4$ и $3x-5y=1$","$2x+3y=5$ и $3x+4y=6$"],"items":["Сразу сложить уравнения","Сразу вычесть второе уравнение из первого","Умножить первое уравнение на $-3$ и сложить","Умножить первое на 3, второе на $-2$ и сложить","Умножить первое уравнение на 3 и сложить"]}},"instruction":"Соотнесите систему и первый шаг","hints":["Смотрим на коэффициенты при одной переменной: противоположные — складываем, равные — вычитаем, иначе подбираем множители.","Множитель выбирают с таким знаком, чтобы коэффициенты стали противоположными: проверьте, что после умножения их сумма равна 0.","Ответ по порядку: сразу сложить уравнения; сразу вычесть второе уравнение из первого; умножить первое уравнение на $-3$ и сложить; умножить первое на 3, второе на $-2$ и сложить. Лишний шаг: «Умножить первое уравнение на 3 и сложить» — с ним переменная удвоится, а не пропадет."],"step":1},{"id":"7","content":"Соотнесите систему и первый шаг, после которого при сложении (или вычитании) пропадет одна переменная.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$4x-y=5$ и $2x+y=7$","$5x+2y=9$ и $x+2y=5$","$2x+y=3$ и $5x-3y=2$","$3x+5y=1$ и $2x+3y=1$"],"items":["Сразу сложить уравнения","Сразу вычесть второе уравнение из первого","Умножить первое уравнение на 3 и сложить","Умножить первое на 2, второе на $-3$ и сложить","Умножить первое уравнение на $-3$ и сложить"]}},"instruction":"Соотнесите систему и первый шаг","hints":["Смотрим на коэффициенты при одной переменной: противоположные — складываем, равные — вычитаем, иначе подбираем множители.","Множитель выбирают с таким знаком, чтобы коэффициенты стали противоположными: проверьте, что после умножения их сумма равна 0.","Ответ по порядку: сразу сложить уравнения; сразу вычесть второе уравнение из первого; умножить первое уравнение на 3 и сложить; умножить первое на 2, второе на $-3$ и сложить. Лишний шаг: «Умножить первое уравнение на $-3$ и сложить» — с ним переменная удвоится, а не пропадет."],"step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решает систему способом сложения.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}3x+2y&=13\\\\x-y&=1\\end{aligned}\\right.$<br>Он умножил второе уравнение на 2, записал $2x-2y=1$, сложил с первым и получил $5x=14$. Найдите ошибку и верное значение $x$.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ошибка в сложении правых частей: должно быть $5x=12$","Ошибки нет: $x=\\frac{14}{5}$","Правую часть тоже умножают на 2: $5x=15$, $x=3$","Надо было умножить на $-2$, тогда $x=3$"],"explanations":["Правые части $13$ и $1$ сложены верно; ошибка раньше — при умножении второго уравнения","Тогда $y=\\frac{9}{5}$, а $3\\cdot\\frac{14}{5}+2\\cdot\\frac{9}{5}=12\\ne13$: правая часть второго уравнения тоже умножается на 2","","После умножения на $-2$ получится $2y$, вместе с $2y$ будет $4y$ — $y$ при сложении не пропадет"],"answer":[2]}},"hints":["Множитель 2 применяют к обеим частям второго уравнения: $2x-2y=2$.","Сложим с первым: $5x=13+2=15$, $x=3$. Проверка: $y=2$ подходит обоим уравнениям."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Вообразавр решает систему способом сложения.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}2x+5y&=16\\\\x-y&=1\\end{aligned}\\right.$<br>Он умножил второе уравнение на 5, записал $5x-5y=1$, сложил с первым и получил $7x=17$. Найдите ошибку и верное значение $x$.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибка в сложении правых частей: должно быть $7x=15$","Ошибки нет: $x=\\frac{17}{7}$","Правую часть тоже умножают на 5: $7x=21$, $x=3$","Надо было умножить на $-5$, тогда $x=3$"],"explanations":["Правые части $16$ и $1$ сложены верно; ошибка раньше — при умножении второго уравнения","Тогда $y=\\frac{10}{7}$, а $2\\cdot\\frac{17}{7}+5\\cdot\\frac{10}{7}=12\\ne16$: правая часть второго уравнения тоже умножается на 5","","После умножения на $-5$ получится $5y$, вместе с $5y$ будет $10y$ — $y$ при сложении не пропадет"],"answer":[2]}},"hints":["Множитель 5 применяют к обеим частям второго уравнения: $5x-5y=5$.","Сложим с первым: $7x=16+5=21$, $x=3$. Проверка: $y=2$ подходит обоим уравнениям."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"При каком значении $a$ система имеет бесконечно много решений?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x+2y&=3\\\\ax+4y&=6\\end{aligned}\\right.$ [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Бесконечно много решений, если одно уравнение получается из другого умножением обеих частей на число.","Умножим первое уравнение на 2: $2x+4y=6$. Оно совпадает со вторым при $a=2$.","Ответ: $2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"При каком значении $a$ система имеет бесконечно много решений?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}3x-y&=2\\\\6x+ay&=4\\end{aligned}\\right.$ [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"-2"}},"hints":["Бесконечно много решений, если одно уравнение получается из другого умножением обеих частей на число.","Умножим первое уравнение на 2: $6x-2y=4$. Оно совпадает со вторым при $a=-2$.","Ответ: $-2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Коэффициенты в этих системах похожи. Чтобы увидеть, сколько у системы решений, сначала умножьте уравнения на подходящие числа, затем сложите их. Распределите системы.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Одно решение","Нет решений","Бесконечно много решений"],"items":[["$4x+6y=10$ и $6x+8y=14$","$2x-3y=-1$ и $6x-8y=-2$"],["$6x+9y=3$ и $4x+6y=5$","$2x+4y=6$ и $3x+6y=10$"],["$2x-4y=6$ и $-x+2y=-3$","$4x+6y=2$ и $6x+9y=3$"]]}},"instruction":"Распределите системы по группам","hints":["Ловушка: похожие коэффициенты еще не значат, что левые части пропорциональны. Подберите множители так, чтобы пропал $x$, и посмотрите, пропал ли вместе с ним $y$.","Если $y$ остался — решение одно (у первых двух систем это $(1;1)$). Если пропали обе переменные: $0=c$, $c\\ne0$ — решений нет; $0=0$ — бесконечно много.","Одно решение: $4x+6y=10$ и $6x+8y=14$; $2x-3y=-1$ и $6x-8y=-2$. Нет решений: $6x+9y=3$ и $4x+6y=5$; $2x+4y=6$ и $3x+6y=10$. Бесконечно много: $2x-4y=6$ и $-x+2y=-3$; $4x+6y=2$ и $6x+9y=3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Коэффициенты в этих системах похожи. Чтобы увидеть, сколько у системы решений, сначала умножьте уравнения на подходящие числа, затем сложите их. Распределите системы.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Одно решение","Нет решений","Бесконечно много решений"],"items":[["$3x+6y=9$ и $4x+9y=13$","$5x-2y=3$ и $10x-3y=7$"],["$3x-6y=2$ и $-x+2y=1$","$10x+4y=7$ и $15x+6y=9$"],["$6x-9y=3$ и $4x-6y=2$","$-2x+5y=1$ и $6x-15y=-3$"]]}},"instruction":"Распределите системы по группам","hints":["Ловушка: похожие коэффициенты еще не значат, что левые части пропорциональны. Подберите множители так, чтобы пропал $x$, и посмотрите, пропал ли вместе с ним $y$.","Если $y$ остался — решение одно (у первых двух систем это $(1;1)$). Если пропали обе переменные: $0=c$, $c\\ne0$ — решений нет; $0=0$ — бесконечно много.","Одно решение: $3x+6y=9$ и $4x+9y=13$; $5x-2y=3$ и $10x-3y=7$. Нет решений: $3x-6y=2$ и $-x+2y=1$; $10x+4y=7$ и $15x+6y=9$. Бесконечно много: $6x-9y=3$ и $4x-6y=2$; $-2x+5y=1$ и $6x-15y=-3$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>