7 класс Алгебра Системы линейных уравнений Решение систем линейных уравнений

Способ подстановки для систем линейных уравнений

Содержание

В уроке «Системы линейных уравнений с двумя переменными» системы решали графически: решение системы — точка пересечения двух прямых. Но по рисунку точный ответ виден, только если прямые пересекаются в узле сетки. В этом уроке разберем способ подстановки: он находит решение вычислениями и заодно показывает, сколько решений у системы — одно, ни одного или бесконечно много.

Первая улика подсказывает, что подставить во вторую

В этом модуле пользуемся моделью «улики на карте»: пара $(x;y)$ — адрес клетки на координатной плоскости. Уравнение с двумя переменными — улика: подходящие ей адреса лежат на прямой. Система двух уравнений — две улики, и искомый адрес должен подойти обеим. На карте это перекресток двух прямых.

Сразу вопрос, к которому вернемся в конце урока. Вот три системы с одной и той же первой уликой:

Система А	Система Б	Система В
$\left\{\begin{aligned}y&=2x-3\\x+y&=3\end{aligned}\right.$	$\left\{\begin{aligned}y&=2x-3\\4x-2y&=2\end{aligned}\right.$	$\left\{\begin{aligned}y&=2x-3\\4x-2y&=6\end{aligned}\right.$

У одной из них ровно одно решение, у другой — ни одного, у третьей — бесконечно много. Как узнать, какая из них какая, не рисуя прямых?

Начнем с системы А. Первое уравнение $y=2x-3$ описывает все адреса первой улики: при $x=0$ получаем адрес $(0;-3)$, при $x=1$ — адрес $(1;-1)$, при $x=2$ — адрес $(2;1)$. Любой адрес первой прямой имеет вид $(x;2x-3)$. Значит, перекресток нужно искать среди таких адресов. Вложим это описание во вторую улику: вместо $y$ подставим выражение $2x-3$.

Пример 1

Решим систему А: $$\left\{\begin{aligned}y&=2x-3\\x+y&=3\end{aligned}\right.$$

Шаг 1. Переменная $y$ уже выражена через $x$: $y=2x-3$.

Шаг 2. Подставим это выражение во второе уравнение: $x+(2x-3)=3$.

Шаг 3. Решим уравнение с одной переменной: $3x-3=3$, $3x=6$, $x=2$.

Шаг 4. Найдем вторую переменную по выражению из шага 1: $y=2\cdot2-3=1$.

Шаг 5. Проверим пару $(2;1)$ в обоих уравнениях: $1=2\cdot2-3$ — верно; $2+1=3$ — верно.

Ответ: $(2;1)$.

Алгоритм

Способ подстановки решения системы двух уравнений с двумя переменными:

Из одного уравнения выразите одну переменную через другую.
Подставьте это выражение во второе уравнение — получится уравнение с одной переменной.
Решите это уравнение.
Подставьте найденное значение в выражение из шага 1 и найдите вторую переменную.
Проверьте пару в обоих уравнениях и запишите ответ $(x;y)$.

Почему это работает? После подстановки в уравнении осталась одна переменная $x$, но каждое ее значение — это адрес на первой прямой. Уравнение $x+(2x-3)=3$ спрашивает: в каком месте первой прямой выполняется и вторая улика? Ответ $x=2$ указывает место перекрестка.

{"questions":[{"content":"Решавр решает систему способом подстановки:<br>$\\left\\{\\begin{aligned}y&=x+2\\\\3x+y&=14\\end{aligned}\\right.$<br>Расставьте его шаги в нужном порядке.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Из первого уравнения $y=x+2$","Подставим это выражение во второе уравнение: $3x+(x+2)=14$","Значит, $4x=12$ и $x=3$","Тогда $y=3+2=5$","Проверка: $5=3+2$ и $3\\cdot3+5=14$, ответ $(3;5)$"]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Начинают с выражения для $y$ из первого уравнения, его подставляют во второе.","Из полученного уравнения находят $x$, по выражению — $y$, последней идет проверка.","Порядок: $y=x+2$; $3x+(x+2)=14$; $x=3$; $y=5$; проверка и ответ $(3;5)$."],"step":1},{"content":"Решите систему. В ответе запишите пару $(x;y)$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}y&=2x\\\\x+y&=9\\end{aligned}\\right.$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["(3;6)","(3; 6)","3;6","3; 6"]}},"hints":["Подставим $y=2x$ во второе уравнение: $x+2x=9$.","$3x=9$, $x=3$; $y=2\\cdot3=6$. Ответ: $(3;6)$."],"step":1}],"mix":1}

Найденный x — еще не адрес

Самая частая ошибка в способе подстановки — остановиться на шаге 3, как только найдено первое число.

Ошибка

Вообразавр решил систему А, получил $x=2$ и записал ответ: «$x=2$». Проверим, что означает такой ответ на карте. Условию $x=2$ подходят адреса $(2;0)$, $(2;1)$, $(2;5)$ и любые другие с первым числом 2 — это целый вертикальный столбец. Адрес $(2;0)$ не подходит даже первой улике: $2\cdot2-3=1$, а не 0.

Рассуждение ломается на подмене: число $x$ называет только столбец, а решение системы — пара чисел, то есть клетка. Вторую переменную находят по выражению из шага 1: $y=2\cdot2-3=1$. Ответ: $(2;1)$.

Прямые y=2x−3 и x+y=3 пересекаются в клетке (2;1); число x=2 задает целый столбец, а не один адрес — x = 2 — это весь столбец карты, а перекресток в нем один: адрес (2; 1)

Важен и порядок чисел в ответе: первым в паре пишут $x$, вторым — $y$. Пара $(1;2)$ — это другой адрес. Для системы А он не подходит: при $x=1$ первая улика дает $y=2\cdot1-3=-1$, а не 2.

Важно

Ответ системы — пара $(x;y)$ или вывод о числе решений. Одно найденное число ответом не бывает: его подставляют в выражение из шага 1 и находят второе.

{"questions":[{"content":"Решавр решил систему способом подстановки и нашел $x=3$. Что нужно сделать, чтобы записать ответ?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=5\\\\x-y&=1\\end{aligned}\\right.$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Найти $y=5-3=2$ и записать ответ $(3;2)$","Записать ответ $x=3$: система решена","Записать ответ $(3;4)$","Записать ответ $(2;3)$ — числа поменять местами"],"explanations":["","Решением системы является пара $(x;y)$, одного значения $x$ мало","Для пары $(3;4)$ во втором уравнении $3-4=-1\\ne1$: $y=4$ получится, если из $x-y=1$ выразить $y=x+1$ — ошибка в знаке","Порядок в паре $(x;y)$ нельзя менять: при $x=2$, $y=3$ получим $2-3=-1\\ne1$"],"answer":[0]}},"hints":["Одно значение — это еще не решение системы: нужна пара.","Из $y=5-x$ при $x=3$ получаем $y=2$. Ответ: $(3;2)$."],"step":1},{"content":"Из системы найдено $x=4$. Выражение для $y$ получено первым шагом: $y=2x-3$. Найдите $y$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Подставим $x=4$: $y=2\\cdot4-3$.","$y=8-3=5$. Ответ: 5."],"step":1}],"mix":1}

Какую переменную выражать удобнее

В системе А переменная $y$ была выражена заранее. Обычно ее приходится выражать самим, и от выбора зависит объем вычислений. Рассмотрим систему $$\left\{\begin{aligned}4x-y&=5\\3x+2y&=12\end{aligned}\right.$$ Из каждого уравнения можно выразить любую из двух переменных — получится четыре варианта.

Система 4x−y=5, 3x+2y=12: из первого уравнения y=4x−5 выражается без дробей, три других выражения дают дробь — Только при y в первом уравнении коэффициент −1: выражение y = 4x − 5 получается без дробей

Три варианта из четырех дают дроби: приходится делить на коэффициент 4, 3 или 2. Только в первом уравнении при $y$ стоит коэффициент $-1$: из $4x-y=5$ сразу получаем $y=4x-5$.

Правило

Для подстановки выражайте ту переменную, коэффициент при которой равен $1$ или $-1$. Тогда делить не придется и дроби не появятся.

Пример 2

Решим систему $\left\{\begin{aligned}4x-y&=5\\3x+2y&=12\end{aligned}\right.$

Решение. Из первого уравнения $y=4x-5$. Подставим во второе уравнение: $3x+2(4x-5)=12$. Выражение берем в скобки: множитель 2 относится ко всему выражению, а не только к $4x$. Получаем $3x+8x-10=12$, $11x=22$, $x=2$. Тогда $y=4\cdot2-5=3$.

Проверка. $4\cdot2-3=5$ — верно; $3\cdot2+2\cdot3=12$ — верно.

Ответ: $(2;3)$.

Если коэффициента $1$ или $-1$ нет ни при одной переменной, способ подстановки все равно работает, только с дробями. Для таких систем удобнее способ сложения — его разберем в уроке «Способ сложения».

{"questions":[{"content":"Какую переменную из какого уравнения системы удобнее выразить для подстановки?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x+3y&=7\\\\2x-5y&=3\\end{aligned}\\right.$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$x$ из второго уравнения","$y$ из первого уравнения","$y$ из второго уравнения","$x$ из первого уравнения"],"explanations":["Получится $x=\\frac{3+5y}{2}$ — дробь, вычислять сложнее","Получится $y=\\frac{7-x}{3}$ — дробь, вычислять сложнее","Получится $y=\\frac{2x-3}{5}$ — дробь, вычислять сложнее",""],"answer":[3]}},"hints":["Удобно выражать переменную с коэффициентом 1: дробей не будет.","В первом уравнении при $x$ коэффициент 1: $x=7-3y$."],"step":1},{"content":"Решите систему. В ответе запишите пару $(x;y)$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}y&=x-1\\\\2x+y&=8\\end{aligned}\\right.$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["(3;2)","(3; 2)","3;2","3; 2"]}},"hints":["Подставим $y=x-1$: $2x+x-1=8$.","$3x=9$, $x=3$; $y=3-1=2$. Ответ: $(3;2)$."],"step":1}],"mix":1}

Сначала убираем дроби, потом подставляем

Иногда дроби стоят в самих уравнениях системы. Подставлять выражение в уравнение с дробями можно, но вычислений становится больше. Удобнее сначала умножить обе части такого уравнения на общий знаменатель, как в уроке «Уравнения, которые сводятся к линейным». Решим систему $$\left\{\begin{aligned}\frac{x}{3}+\frac{y}{2}&=4\\x-y&=2\end{aligned}\right.$$

Шаг	Что делаем	Запись
1	Умножаем обе части первого уравнения на 6 — общий знаменатель дробей	$2x+3y=24$
2	Выражаем $x$ из второго уравнения: коэффициент при $x$ равен 1	$x=y+2$
3	Подставляем выражение в первое уравнение	$2(y+2)+3y=24$
4	Решаем уравнение с переменной $y$	$5y+4=24$, $y=4$
5	Находим $x$ по выражению из шага 2	$x=4+2=6$
6	Проверяем пару в исходных уравнениях	$\frac{6}{3}+\frac{4}{2}=4$, $6-4=2$

Ответ: $(6;4)$. Здесь первым нашли $y$, а не $x$ — и снова останавливаться нельзя: $x$ находят по выражению $x=y+2$.

Правило

Если в уравнении системы есть дроби, сначала умножьте обе его части на общий знаменатель, а потом выражайте переменную и подставляйте.

Ошибка

На общий знаменатель умножают только дроби и забывают число справа: из $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=4$ получают $2x+3y=4$. Проверим на паре $(6;4)$: исходное уравнение верно, $\frac{6}{3}+\frac{4}{2}=4$, а новое — нет, $2\cdot6+3\cdot4=24\ne4$. Получилась другая прямая, и ответ будет неверным. Умножать нужно каждое слагаемое обеих частей: $\frac{x}{3}\cdot6+\frac{y}{2}\cdot6=4\cdot6$.

{"questions":[{"content":"Чтобы убрать дроби, обе части уравнения $\\frac{x}{4}+\\frac{y}{6}=2$ умножили на 12. Получилось уравнение [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$3x+2y=24$","$x+y=24$","$3x+2y=2$","$2x+3y=24$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Умножаем на 12 каждое слагаемое обеих частей: $\\frac{x}{4}\\cdot12$, $\\frac{y}{6}\\cdot12$ и $2\\cdot12$.","$12:4=3$, $12:6=2$, $2\\cdot12=24$. Ответ: $3x+2y=24$."],"step":1},{"content":"Решите систему. В ответе запишите пару $(x;y)$.<br>$\\left\\{\\begin{aligned}\\frac{x}{2}-\\frac{y}{3}&=1\\\\x+y&=7\\end{aligned}\\right.$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["(4;3)","(4; 3)","4;3","4; 3"]}},"hints":["Уберем дроби: умножим обе части первого уравнения на 6, получим $3x-2y=6$.","Из второго уравнения $y=7-x$. Подставим: $3x-2(7-x)=6$, $5x-14=6$, $5x=20$, $x=4$.","$y=7-4=3$. Проверка: $\\frac{4}{2}-\\frac{3}{3}=1$, $4+3=7$. Ответ: $(4;3)$."],"step":1}],"mix":1}

Переменная исчезла, а равенство неверно

Вернемся к системе Б из начала урока: $$\left\{\begin{aligned}y&=2x-3\\4x-2y&=2\end{aligned}\right.$$ Первая улика та же: $y=2x-3$. Подставим выражение во второе уравнение: $4x-2(2x-3)=2$, $4x-4x+6=2$, то есть $0\cdot x=-4$.

Переменная исчезла. В уроке «Линейное уравнение с одной переменной» вы видели: уравнение $0\cdot x=-4$ корней не имеет, ведь любое число, умноженное на 0, дает 0, а не $-4$. Что это значит на карте? Пройдем по первой прямой и в каждом адресе спросим вторую улику — вычислим $4x-2y$.

Прямые y=2x−3 и 4x−2y=2 параллельны: на первой прямой выражение 4x−2y равно 6, а нужно 2 — В каждом адресе первой прямой 4x − 2y = 6, а вторая улика требует 2: общих адресов нет, прямые параллельны

В адресах $(0;-3)$, $(1;-1)$, $(2;1)$, $(3;3)$ получается одно и то же число: $4\cdot0-2\cdot(-3)=6$, $4\cdot1-2\cdot(-1)=6$ и так далее. На всей первой прямой выражение $4x-2y$ равно 6, а вторая улика требует 2. Ни один адрес первой прямой второй улике не подходит: прямые не пересекаются, они параллельны. Вторая прямая — это $y=2x-1$, она проходит на 2 клетки выше первой.

Правило

Если после подстановки получилось равенство $0\cdot x=c$, где $c\ne0$, то система решений не имеет. Прямые, которые задают ее уравнения, параллельны.

Ошибка

Вообразавр получил $0\cdot x=-4$ и решил: «При $x$ стоит 0, значит, $x=0$». Он нашел $y=2\cdot0-3=-3$ и записал ответ $(0;-3)$. Проверим во втором уравнении: $4\cdot0-2\cdot(-3)=6\ne2$ — пара не подходит. Рассуждение ломается сразу: $0\cdot x=-4$ не означает $x=0$, ведь при $x=0$ левая часть равна 0, а не $-4$. На рисунке выше адрес $(0;-3)$ лежит на первой прямой, но не на второй. Верный ответ: решений нет.

{"questions":[{"content":"При решении системы способом подстановки получилось уравнение $0\\cdot x=5$. Что можно сказать о системе?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Решений нет","Решение $x=0$","Бесконечно много решений","Решение $x=5$"],"explanations":["","Подстановка $x=0$ дает $0\\cdot0=0\\ne5$: такое $x$ не подходит","Так бывает при $0\\cdot x=0$, а здесь правая часть не нуль","Подстановка $x=5$ дает $0\\cdot5=0\\ne5$: такое $x$ не подходит"],"answer":[0]}},"hints":["При любом $x$ левая часть равна 0, а правая — 5.","Равенство $0=5$ неверно, значит, у системы нет решений."],"step":1},{"content":"[[image-1]]На рисунке — графики уравнений системы $y=2x+1$ и $y=2x-3$. Какое равенство получится при подстановке первого выражения во второе уравнение?[[choice-2]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tt0ddk4vs37p.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["$0\\cdot x=0$ — решений бесконечно много","$x=0$ — одно решение","$x=-4$ — одно решение","$0\\cdot x=-4$ — решений нет"],"explanations":["Так бывает, когда прямые совпадают, а здесь они сдвинуты на 4 единицы","Для $0\\cdot x=-4$ значение $x=0$ не подходит: $0\\ne-4$","Слагаемые с $x$ взаимно уничтожаются, находить $x=-4$ неоткуда",""],"answer":[3]}},"hints":["Подставим $y=2x+1$ в $y=2x-3$: $2x+1=2x-3$.","Слагаемые с $x$ уничтожаются: $0\\cdot x=-4$. Прямые параллельны, решений нет."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Переменная исчезла, а равенство верно

Теперь система В: $$\left\{\begin{aligned}y&=2x-3\\4x-2y&=6\end{aligned}\right.$$ Подставим: $4x-2(2x-3)=6$, $4x-4x+6=6$, то есть $0\cdot x=0$. Это равенство верно при любом $x$. Пройдем по первой прямой: выражение $4x-2y$ в каждом ее адресе равно 6, как мы уже видели, — и вторая улика требует именно 6. Каждый адрес первой прямой подходит и второй улике.

Значит, прямые совпадают. Действительно, разделим обе части уравнения $4x-2y=6$ на 2: $2x-y=3$, откуда $y=2x-3$ — это та же первая улика, записанная по-другому. У системы бесконечно много решений: подходит любая пара вида $(x;2x-3)$, например $(0;-3)$, $(1;-1)$, $(5;7)$.

Правило

Исход подстановки показывает число решений системы:

Теперь можно ответить на вопрос из начала урока, не рисуя прямых. Система А: подстановка дала $3x=6$ — одно решение $(2;1)$. Система Б: $0\cdot x=-4$ — решений нет. Система В: $0\cdot x=0$ — решений бесконечно много. Рисунок подтверждает вычисления.

Три системы с одной первой прямой y=2x−3: одно решение, нет решений, бесконечно много — А — перекресток в (2; 1), Б — параллельные прямые, В — прямые совпали: три исхода подстановки на одной карте

Важно

«Бесконечно много решений» не значит, что подходит любая пара чисел. Подходят только адреса общей прямой. Пара $(1;1)$ системе В не подходит: первая улика при $x=1$ дает $y=2\cdot1-3=-1$, а не 1.

podstanovka-tri-ishoda

{"questions":[{"content":"При решении системы способом подстановки получилось уравнение $0\\cdot x=0$. Что можно сказать о системе?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Решений нет","Единственное решение $(0;0)$","Решение $x=0$","Решений бесконечно много"],"explanations":["«Нет решений» бывает при $0\\cdot x=c$, где $c\\ne0$; здесь равенство верно","Такое равенство верно при любом $x$, поэтому решение не единственное","$0\\cdot x=0$ верно не только при $x=0$, а при любом $x$",""],"answer":[3]}},"hints":["Равенство $0=0$ верно при любом $x$.","Тогда подходит любое $x$ и соответствующее $y$ — решений бесконечно много."],"step":1},{"content":"Выразите $y$ из первого уравнения, подставьте во второе и распределите системы по числу решений.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Одно решение","Нет решений","Бесконечно много решений"],"items":[["$y=x+1$ и $x+y=5$","$y=2x$ и $y=x+3$"],["$y=2x+1$ и $y=2x+3$","$y=-x$ и $x+y=4$"],["$y=3x$ и $2y=6x$","$y=x-1$ и $2x-2y=2$"]]}},"instruction":"Распределите системы по группам","hints":["Приравняем выражения для $y$ (подставим одно в другое) и посмотрим на исход.","Если слагаемые с $x$ взаимно уничтожаются и остается $0=c$ (где $c\\ne0$) — решений нет; $0=0$ — бесконечно много; иначе одно."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Пара должна подойти обеим уликам

Последний шаг алгоритма — проверка. Она ловит ошибки вычислений, но только если проверять пару в обоих уравнениях. Рассмотрим систему $$\left\{\begin{aligned}x+y&=6\\3x-y&=-2\end{aligned}\right.$$

Ошибка

Вообразавр выразил $y=6-x$ и подставил во второе уравнение без скобок: $3x-6-x=-2$. Он получил $2x=4$, $x=2$, $y=6-2=4$, проверил пару $(2;4)$ в первом уравнении: $2+4=6$ — верно, и записал ответ. Проверим во втором: $3\cdot2-4=2\ne-2$ — пара не подходит. Ошибка — в потерянных скобках: $3x-(6-x)=3x-6+x$.

Почему первая проверка ошибку не заметила? Значение $y$ нашли по выражению $y=6-x$, взятому из первого уравнения. Поэтому первому уравнению пара подходит при любом $x$, даже неверном. Ошибку подстановки ловит только второе уравнение.

Прямые x+y=6 и 3x−y=−2: точка (2;4) лежит на первой прямой, но не на второй, а перекресток — (1;5) — (2; 4) лежит только на первой прямой, (1; 5) — на обеих: ошибку подстановки ловит второе уравнение

Пример 3

Решим ту же систему верно.

Решение. $y=6-x$; $3x-(6-x)=-2$, $3x-6+x=-2$, $4x=4$, $x=1$. Тогда $y=6-1=5$.

Проверка. $1+5=6$ — верно; $3\cdot1-5=-2$ — верно.

Ответ: $(1;5)$.

Правило

Проверяйте пару в обоих уравнениях системы. Уравнение, из которого выражали переменную, пройдет проверку всегда; ошибку подстановки покажет второе уравнение.

{"questions":[{"content":"Является ли пара $(2;1)$ решением системы?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=3\\\\2x-y&=4\\end{aligned}\\right.$[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нет: надо подставлять $x=1$, $y=2$","Нет: во втором уравнении получается 3, а не 4","Да: пара подходит первому уравнению","Да: сумма чисел равна 3"],"explanations":["Порядок $(x;y)$ верный: $x=2$, $y=1$, менять числа не нужно","","Проверка в одном уравнении недостаточна: второе тоже должно выполняться","Сумма — это только первое уравнение, второе не выполняется"],"answer":[1]}},"hints":["Решение системы должно подходить обоим уравнениям.","В первом: $2+1=3$ — верно. Во втором: $2\\cdot2-1=3\\ne4$ — неверно."],"step":1},{"content":"Вообразавр получил для системы пару $(4;1)$ и проверил ее только в первом уравнении. Чему равна левая часть второго уравнения при $x=4$, $y=1$?<br>$\\left\\{\\begin{aligned}x+y&=5\\\\2x-y&=3\\end{aligned}\\right.$ [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Подставим $x=4$, $y=1$ во второе уравнение: $2\\cdot4-1$.","$8-1=7\\ne3$: второе равенство неверно, пара не является решением. Левая часть равна 7."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Способ подстановки нужен, когда перекресток прямых трудно или невозможно прочитать по рисунку, и в задачах, где две неизвестные величины связаны двумя условиями. Он сводит систему к знакомому уравнению с одной переменной, а исход этого уравнения сразу говорит, сколько решений у системы. Как вспомнить главное через модель «улики на карте»:

Дальше, в уроке «Способ сложения», научимся складывать улики так, чтобы одна из переменных пропала сразу.

Часто задаваемые вопросы

По какому уравнению находить вторую переменную?

Если решение верно, любое уравнение системы даст то же значение. Удобнее всего выражение из шага 1: в нем вторая переменная уже выражена, остается подставить число. А проверять пару нужно в обоих уравнениях.

Может ли система двух линейных уравнений иметь ровно два решения?

Нет, если каждое уравнение задает прямую. Две прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо совпадают. Если у двух прямых есть две общие точки, то они совпадают: через две точки проходит только одна прямая. Тогда решений бесконечно много.

Что делать, если после подстановки исчезла переменная y, а не x?

Все то же самое. Если выразить $x$ через $y$ и подставить, может получиться $0\cdot y=c$. При $c\ne0$ решений нет, при $c=0$ — бесконечно много. Важна не буква, а то, что переменная исчезла и осталось числовое равенство.

Зачем способ подстановки, если есть графический способ?

График показывает, сколько у системы решений, но точный ответ дает, только если прямые пересекаются в узле сетки. У системы из уравнений $y=x$ и $x+y=1$ решение $(0{,}5;0{,}5)$ — по клеткам его прочитать трудно. Подстановка дает его сразу: $x+x=1$, $x=0{,}5$, $y=0{,}5$.

Награды за урок