Аватар Неизвестный
Личный кабинет Кабинет родителя Кабинет учителя Настройки Выйти Войти Регистрация Родителю Подписка
КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
Классы
Темы
Подобрать занятие
Подобрать занятие
Классы
Темы
НАЗНАЧИТЬ

Рациональные выражения

Содержание
18

Познакомимся с рациональными выражениями, научимся определять допустимые значения переменных.

Дробные и целые выражения

целые выражения

Выражения, составленные из чисел и переменных, с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, называются целыми выражениями.

Примеры целых выражений: $$5t+8y-\frac{4x+19}{2}, \space 2x^2+16(x+y).$$

дробные выражения

Выражения, в которых производится деление на переменную, называются дробными выражениями.

Примеры дробных выражений: $$\frac{a}{b}, \space \frac{35}{8x},\space x:2u.$$

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Допустимые значения переменных

Целые выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных.
Дробные же выражения имеют смысл лишь тогда, когда знаменатель будет отличен от нуля. Как Вы думаете, почему?

Показать ответ

Скрыть

Делить на ноль нельзя!

Например, выражение$$\frac{5x+2y}{\textcolor{blue}{x}}+1$$имеет смысл, когда знаменатель $\textcolor{blue}{x}$ не равен нулю: $x\not=0.$

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Пример 1

Найдем допустимые значения переменной в выражении: $$\frac{x+11}{x(x+1)}$$

Когда произведение равно нулю

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Показать решение

Скрыть

Знаменатель дроби не должен быть ревен $0$. $$\textcolor{green}{x}(\textcolor{orange}{x+1})\not=0$$

Значит, $x\not= 0 $ и $x+1\not=0$. Запишем данное условие в виде системы уравнений: $$\left\{\begin{aligned}\textcolor{green}{x}&\not= 0\\\textcolor{orange}{x+1}&\not=0\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}x&\not= 0\\x&\not=-1\end{aligned}\right.$$ Получается, что $x$ может принимать любые значения, кроме $0$ и $-1.$

Пример 2

Найдем область определения функции $$y=\frac{x^2+5}{\textcolor{purple}{x-5}}$$

Область определения функции

Область определения функции — это значения, которые может принимать переменная, как правило это $x.$

Показать решение

Скрыть

$$\textcolor{purple}{x-5}\not=0$$ $$x\not=5$$

Значит, область определения данной функции — все числа, кроме числа $5.$

Пример 3

При каких значениях $t,$ дробь равна нулю?$$\frac{\textcolor{blue}{t^2-25}}{\textcolor{coral}{t-5}}$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю.

Показать решение

Скрыть

Найдем значения $t$, при которых числитель будет равен нулю: $$\textcolor{blue}{t^2-25}=0$$ $$t^2=25$$ $$t=5, \space t=-5$$

Определим значения $t$, при которых знаменатель не равен нулю: $$\textcolor{coral}{t-5}\not=0$$ $$t\not=5$$

Так как $t$ не должно быть равно $5,$ ответ будет: $-5.$

Часто задаваемые вопросы

Что такое область определения функции?

Область определения функции — это значения, которые может принимать переменная, как правило это $x.$

Что такое область значений функции?

Область значений функции — те значения, которые принимает функция при подстановке той или иной переменной, как правило это $y.$

Как решать уравнения, где вместо знака $=$ стоит $\not=$?

Уравнения со знаком $\not=$ решаются так же, как обычные уравнения со знаком $=.$

Когда произведение равно нулю?

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Когда дробь равна нулю?

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

5
5
1
5Количество опыта, полученного за урок

Оценить урок

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Комментарии

Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение

НАЗНАЧИТЬ