Рациональные выражения
Познакомимся с рациональными выражениями, научимся определять допустимые значения переменных.
Дробные и целые выражения
целые выражения
Выражения, составленные из чисел и переменных, с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, называются целыми выражениями.
Примеры целых выражений: $$5t+8y-\frac{4x+19}{2}, \space 2x^2+16(x+y).$$
дробные выражения
Выражения, в которых производится деление на переменную, называются дробными выражениями.
Примеры дробных выражений: $$\frac{a}{b}, \space \frac{35}{8x},\space x:2u.$$
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Допустимые значения переменных
Целые выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных.
Дробные же выражения имеют смысл лишь тогда, когда знаменатель будет отличен от нуля. Как Вы думаете, почему?
Показать ответ
Скрыть
Делить на ноль нельзя!
Например, выражение$$\frac{5x+2y}{\textcolor{blue}{x}}+1$$имеет смысл, когда знаменатель $\textcolor{blue}{x}$ не равен нулю: $x\not=0.$
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Пример 1
Найдем допустимые значения переменной в выражении: $$\frac{x+11}{x(x+1)}$$
Когда произведение равно нулю
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
Показать решение
Скрыть
Знаменатель дроби не должен быть ревен $0$. $$\textcolor{green}{x}(\textcolor{orange}{x+1})\not=0$$
Значит, $x\not= 0 $ и $x+1\not=0$. Запишем данное условие в виде системы уравнений: $$\left\{\begin{aligned}\textcolor{green}{x}&\not= 0\\\textcolor{orange}{x+1}&\not=0\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}x&\not= 0\\x&\not=-1\end{aligned}\right.$$ Получается, что $x$ может принимать любые значения, кроме $0$ и $-1.$
Пример 2
Найдем область определения функции $$y=\frac{x^2+5}{\textcolor{purple}{x-5}}$$
Область определения функции
Область определения функции — это значения, которые может принимать переменная, как правило это $x.$
Показать решение
Скрыть
$$\textcolor{purple}{x-5}\not=0$$ $$x\not=5$$
Значит, область определения данной функции — все числа, кроме числа $5.$
Пример 3
При каких значениях $t,$ дробь равна нулю?$$\frac{\textcolor{blue}{t^2-25}}{\textcolor{coral}{t-5}}$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю.
Показать решение
Скрыть
Найдем значения $t$, при которых числитель будет равен нулю: $$\textcolor{blue}{t^2-25}=0$$ $$t^2=25$$ $$t=5, \space t=-5$$
Определим значения $t$, при которых знаменатель не равен нулю: $$\textcolor{coral}{t-5}\not=0$$ $$t\not=5$$
Так как $t$ не должно быть равно $5,$ ответ будет: $-5.$
Часто задаваемые вопросы
Область определения функции — это значения, которые может принимать переменная, как правило это $x.$
Область значений функции — те значения, которые принимает функция при подстановке той или иной переменной, как правило это $y.$
Уравнения со знаком $\not=$ решаются так же, как обычные уравнения со знаком $=.$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти