Сокращение рациональных дробей

Рассмотрим основное свойство дроби, а также научимся сокращать рациональные дроби.

Основное свойство дроби

Из курса шестого класса мы помним, что если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не поменяется. Данное свойство применимо и для рациональных дробей.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь:$$\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{coral}{b}}=\frac{\textcolor{blue}{a}\textcolor{darkgreen}{c}}{\textcolor{coral}{b}\textcolor{darkgreen}{c}}$$

Пример 1

Приведем дробь $\frac{\textcolor{blue}{2x}}{\textcolor{coral}{3y^2}}$ к знаменателю $\textcolor{darkgreen}{6y^3}$.

Узнаем, на какое выражение нужно домножить исходную дробь, чтобы получить искомый знаменатель:$$\textcolor{darkgreen}{6y^3}:\textcolor{coral}{3y^2}=\frac{6y^3}{3y^2}=\textcolor{orange}{2y}$$

Домножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель $\textcolor{orange}{2y}$:$$\frac{2x\cdot \textcolor{orange}{2y}}{3y^2\cdot \textcolor{orange}{2y}}=\frac{4xy}{6y^3}$$

Полученное равенство будет верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства называются тождествами.

Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

{"questions":[{"content":"Приведите дробь $\\frac{x^3}{y}$ к знаменателю $xy$.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{x^4}{xy}$","$\\frac{x^3}{xy}$","$\\frac{x^3y}{xy}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Найдем дополнительный множитель для дроби:$$xy:y=\\frac{xy}{y}=\\textcolor{blue}{x}$$","Домножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель:$$\\frac{x^3\\cdot \\textcolor{blue}{x}}{y \\cdot \\textcolor{blue}{x}}=\\frac{x^4}{xy}$$"]}]}

Сокращение дробей

Сократим дробь:

$$\frac{5(3x-4)}{4-3x}$$

Заметим, что если вынести знак «минус» за скобки знаменателя, в числителе и знаменателе будут одинаковые множители, которые можно сократить:$$\frac{5(3x-4)}{4-3x}=\frac{5(3x-4)}{-(-4+3x)}$$ $$\frac{5\cancel{\textcolor{blue}{(3x-4)}}}{-\cancel{\textcolor{blue}{(3x-4)}}}=\frac{5}{-1}=-5$$

Пример 2

Сократим дробь:$$\frac{7a^2}{21a}$$

Числа $\textcolor{blue}{7}$ и $\textcolor{coral}{21}$ сокращаются на $7$, $\textcolor{darkgreen}{a^2}$ и $\textcolor{darkgreen}{a}$ — на $a$: $$\frac{{}^{1}\cancel{\textcolor{blue}{7}}\textcolor{darkgreen}{a^{\cancel{2}}}}{{}^{3}\cancel{\textcolor{coral}{21}}\cancel{\textcolor{darkgreen}{a}}}=\frac{a}{3}$$

{"questions":[{"content":"Сократите дробь:$$\\frac{30ab}{5cb}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{6a}{c}$","$\\frac{30a}{5c}$","$\\frac{5b}{a}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Сократим числа $\\textcolor{blue}{30}$ и $\\textcolor{coral}{5}$ на $5,$ а одинаковые множители $\\textcolor{darkgreen}{b}$ — на $b.$","$$\\frac{{}^{6}\\cancel{\\textcolor{blue}{30}}a\\cancel{\\textcolor{darkgreen}{b}}}{{}^{1}\\cancel{\\textcolor{coral}{5}}c\\cancel{\\textcolor{darkgreen}{b}}}=\\frac{6a}{c}$$"]}]}

Пример 3

Сократим дробь:$$\frac{x^2-16}{xy+4y}$$

Заметим, что в числителе присутствует формула «разность квадратов», а в знаменателе можно вынести общий множитель за скобки:$$\frac{x^2-16}{x\textcolor{darkgreen}{y}+4\textcolor{darkgreen}{y}}=\frac{(x-4)(x+4)}{\textcolor{darkgreen}{y}(x+4)}$$ $$\frac{(x-4)\cancel{\textcolor{blue}{(x+4)}}}{y\cancel{\textcolor{blue}{(x+4)}}}=\frac{x-4}{y}$$

Пример 4

Сократим дробь:$$\frac{y-2}{y(2-y)}$$

Вынесем в знаменателе «минус» за скобки и сократим полученный общий множитель:$$\frac{y-2}{y(2-y)}=\frac{y-2}{-y(-2+y)}$$ $$\frac{\cancel{\textcolor{blue}{y-2}}}{-y(\cancel{\textcolor{blue}{y-2}})}=\frac{1}{-y}=-\frac{1}{y}$$

{"questions":[{"content":"Вынесите общий множитель и сократите дробь:$$\\frac{3x+18y}{6xy}$$[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$\\frac{x+6y}{2xy}$","$3$","$\\frac{6}{xy}$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["В числителе вынесем общий множитель $\\textcolor{coral}{3}$ за скобки: $$\\frac{3x+18y}{6xy}=\\frac{\\textcolor{coral}{3}(x+6y)}{6xy}$$","Сократим числитель и знаменатель на $3$:$$\\frac{{}^{1}\\cancel{\\textcolor{darkgreen}{3}}(x+6y)}{{}^{2}\\cancel{\\textcolor{darkgreen}{6}}xy}=\\frac{x+6y}{2xy}$$"]}]}

Часто задаваемые вопросы